Sự hội tụ có điều kiện và không điều kiện của chuỗi trong không gian lp

LÍI NÂI †ULþ thuy¸t hëi tö câ vai trá quan trång trong gi£i t½ch v nhi·u ng nh kh¡c cõa to¡n håc.. Sü hëi tö cõa c¡c chuéi trongkhæng gian ành chu©n nâi chung v trong khæng gian Banachnâ

MÖC LÖC

Líi nâi ¦u 2

1 Sü hëi tö câ i·u ki»n cõa chuéi trong khæng

LÍI NÂI †U

Lþ thuy¸t hëi tö câ vai trá quan trång trong gi£i t½ch v  nhi·u

ng nh kh¡c cõa to¡n håc Nhi·u kh¡i ni»m v  k¸t qu£ trong to¡nhåc ÷ñc x¥y düng düa tr¶n sü hëi tö nh÷ ành ngh¾a h m li¶ntöc, ¤o h m, t½ch ph¥n x¡c ành, Sü hëi tö cõa c¡c chuéi trongkhæng gian ành chu©n nâi chung v  trong khæng gian Banachnâi ri¶ng âng vai trá quan trång trong vi»c nghi¶n cùu t½nh ch§tcõa khæng gian Banach v  câ nhi·u ùng döng trong gi£i t½ch còngc¡c l¾nh vüc kh¡c L½ thuy¸t têng qu¡t v· sü hëi tö cõa chuéi sè

v  chuéi trong khæng gian Banach ¢ ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu

tø ¦u th¸ k¿ 20 bði Levi, Steinitz, Orlicz, Nikishin, Kadets,

º t¼m hiºu t½nh ch§t hëi tö cõa c¡c chuéi; º câ th¶m nhúnghiºu bi¸t v· khæng gian Banach chóng tæi nghi¶n cùu sü hëi töcõa c¡c chuéi trong mët khæng gian Banach °c bi»t câ nhi·uùng döng trong to¡n håc v  c¡c ng nh k¾ thuªt â l  khæng gian

Lp Vîi möc ½ch â chóng tæi chån · t i luªn v«n l  : Sü hëi tö

câ i·u ki»n v  khæng i·u ki»n cõa chuéi trong khæng gian

Lp Luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y th nh hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1 câ nhan · : Sü hëi tö câ i·u ki»n cõa chuéi trongkhæng gian Lp Ph¦n ¦u cõa ch÷ìng n y d nh cho vi»c tr¼nh

b y mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n v· khæng gian Banach

m  chóng tæi c¦n dòng trong luªn v«n Ph¦n ti¸p theo, tr¼nh b y

ành l½ Steinitz v· mi·n c¡c têng cõa chuéi trong khæng gian húuh¤n chi·u v  mët sè v½ dö º chùng minh r¬ng khæng thº mð

rëng ành l½ Steinitz cho chuéi trong khæng gian Bnach væ h¤nchi·u Ph¦n cuèi cõa ch÷ìng 1 tr¼nh b y ành l½ t÷ìng tü ànhl½ Steinitz v· chuéi hëi tö câ i·u ki»n trong Lp vîi 1 < p < ∞.Ch÷ìng 2 câ nhan · : Chuéi hëi tö khæng i·u ki»n trongkhæng gian Lp Ph¦n ¦u cõa ch÷ìng n y tr¼nh b y ành l½Dvoretzky- Rogers v· sü tçn t¤i chuéi hëi tö khæng i·u ki»ntrong c¡c khæng gian Banach væ h¤n chi·u nh÷ng chuéi n ykhæng hëi tö tuy»t èi Ph¦n cuèi, tr¼nh b y ành l½ Orlicz v·

sü hëi tö khæng i·u ki»n cõa chuéi P ∞

n=1xn trong khæng gian

Lp[0, 1] k²o theo sü hëi tö cõa chuéi sè P ∞

n=1 k xn kp vîi p th½chhñp

C¡c k¸t qu£ trong luªn v«n chõ y¸u l  ¢ câ trong t i li»utham kh£o Chóng tæi h» thèng, tr¼nh b y theo möc ½ch ¢ °t

ra v  chùng minh chi ti¸t c¡c k¸t qu£ m  trong c¡c t i li»u thamkh£o ch¿ chùng minh v­n t­t ho°c khæng chùng minh B¶n c¤nh

â, chóng tæi ÷a ra V½ dö 1.1.15, M»nh · 1.1.12, H» qu£ 1.1.13,

tø â ÷a ra c¡ch chùng minh kh¡c cho ành l½ 1.1.14

Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n v  ho n th nh t¤i tr÷íng ¤ihåc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh, chu ¡o v  nghi¶m kh­ccõa th¦y gi¡o PGS.TS inh Huy Ho ng T¡c gi£ xin ÷ñc b y

tä láng bi¸t ìn s¥u s­c cõa m¼nh èi vîi Th¦y T¡c gi£ công xin

÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh cõa m¼nh tîi Ban chõ nhi»mkhoa To¡n, khoa Sau ¤i håc v  t§t c£ c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡otrong tê Gi£i t½ch v  trong khoa To¡n ¢ gióp ï t¡c gi£ trongsuèt thíi gian håc tªp v  ho n th nh luªn v«n Nh¥n dàp n y t¡cgi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng THPTNam  n 1, Ngh» An ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï t¡c gi£ trongsuèt thíi gian håc tªp Cuèi còng, xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±

v  c¡c b¤n håc vi¶n cao håc kho¡ 17-Gi£i t½ch ¢ t¤o i·u ki»n

gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp, nghi¶n cùu.

v  trong khæng gian Lp.

1.1 Sü hëi tö cõa chuéi trong khæng gian BanachMöc n y tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa c¡c chuéihëi tö trong khæng gian Banach

1.1.1 ành ngh¾a Gi£ sû {xn} l  mët d¢y trong khænggian Banach X Khi â, têng h¼nh thùc x1 + x2 + + xn + hay P ∞

n=1xn ÷ñc gåi l  mët chuéi trong X

1.1.2 ành ngh¾a Vîi méi n = 1, 2, têng sn = P n

k=1xk

÷ñc gåi l  têng ri¶ng thù n cõa chuéi P ∞

k=1xk.1.1.3 ành ngh¾a Mët chuéi ÷ñc gåi l  hëi tö n¸u d¢yc¡c têng ri¶ng cõa nâ hëi tö theo chu©n cõa khæng gian Giîih¤n S cõa d¢y c¡c têng ri¶ng cõa chuéi P ∞

n=1xn ÷ñc gåi l  têngcõa chuéi v  ta vi¸t P ∞

n=1xn = s.1.1.4 ành ngh¾a N¸u P ∞

k=1xk = s th¼ rn = s −P n

k=1xk

÷ñc gåi l  ph¦n d÷ thù n cõa chuéi

1.1.5 ành l½ ( Ti¶u chu©n Cauchy cho mët chuéihëi tö ) Mët chuéi P ∞

n=1xn trong khæng gian Banach hëi

tö khi v  ch¿ khi nâ tho£ m¢n i·u ki»n : måi  > 0 tçn t¤i

n0 ∈ N sao cho vîi måi n > n0, p > 1 ta câ

n=1xσ(n) hëi tö vîi måisong ¡nh σ : N∗ → N∗

1.1.8 ành ngh¾a Chuéi P ∞

n=1xn ÷ñc gåi l  hëi tö câ

i·u ki»n n¸u nâ hëi tö nh÷ng khæng hëi tö tuy»t èi

1.1.9 ành ngh¾a Chuéi P ∞

n=1xn trong khæng gian nach ÷ñc gåi l  hëi tö ho n h£o n¸u chuéi P ∞

Ba-n=1αnxn hëi tövîi måi c¡ch chån h» sè αn = ±1

Sau ¥y l  mët sè mèi quan h» giúa c¡c lo¤i hëi tö cõa chuéivøa ành ngh¾a ð tr¶n

n∈H j xn k> 0 Khi

â vîi J1 = {1} tçn t¤i tªp húu h¤n H1 ⊂ N∗\{1} sao cho

k P

n∈H 1 xn k> 0 °t J2 = H1 ∪ {1} V¼ J2 húu h¤n n¶n tçnt¤i tªp húu h¤n H2 ⊂ N∗\J2 sao cho k P

n∈H 2 xn k> 0 Ti¸ptöc l½ luªn t÷ìng tü ta x¥y düng ÷ñc d¢y c¡c tªp con húu h¤n

Hk cõa N∗ æi mët khæng giao nhau, k P

k P

n∈H xn k<  Khi â, vîi méi song ¡nh σ : N∗ → N∗ v  méi

 > 0, °t m = max σ−1(J ) Ta câ k P k+p

i=k+1xσ(i) k<  vîi måi

k > m v  måi p ∈ N∗ Theo ti¶u chu©n Cauchy th¼ P ∞

i=1xσ(i)hëi tö

1.1.11 ành l½ Mët chuéi trong khæng gian Banach hëi

tö khæng i·u ki»n khi v  ch¿ khi nâ hëi tö ho n h£o

Chùng minh i·u ki»n õ Gi£ sû chuéi P ∞

n=1xn hëi

tö ho n h£o nh÷ng khæng hëi tö khæng i·u ki»n Khi â, tçn

t¤i song ¡nh σ : N∗ → N∗ sao cho P ∞

n=1xσ(n) khæng hëi tö Do

â, tø ti¶u chu©n Cauchy suy ra tçn t¤i δ > 0 v  d¢y c¡c sè tü

nhi¶n k1 < l1 < k2 < l2 < k3 < sao cho

Do â, theo ti¶u chu©n Cauchy th¼ P ∞

i=1αixi khæng hëi tö i·u

n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t chuéi P ∞

n=1xn hëi tö ho n h£o Tø

â suy ra P ∞

n=1xn hëi tö khæng i·u ki»n

i·u ki»n c¦n Gi£ sû chuéi P ∞

n=1xn hëi tö khæng i·uki»n nh÷ng khæng hëi tö ho n h£o, tùc l  tçn t¤i hå {αi = ±1 :

i = 1, 2, } sao cho chuéi P ∞

i=1αixi khæng hëi tö Khi â, theoti¶u chu©n Cauchy ­t tçn t¤i δ > 0 v  d¢y c¡c sè tü nhi¶n

j = ∆j\∆+j Ta câ

xi∈∆ + j

Do â k P

x i ∈∆+j xi k> δ2 ho°c k P

x i ∈∆−j xi k> δ2 K½ hi»u ∆∗

j l mët trong hai tªp ∆±

j sao cho k P

xi∈∆∗j xi k> δ2 v  k½ hi»u

∆0 = {xi : i = 1, 2, }\ ∪∞j=1 ∆∗j.B¥y gií ta th nh lªp chuéi giao ho¡n cõa chuéi P ∞

n=1xn nh÷sau Vi¸t c¡c ph¦n tû cõa ∆∗

1 theo thù tü trong ∆∗

1, rçi vi¸t ti¸pmët ph¦n tû cõa ∆0 Sau â, vi¸t ti¸p c¡c ph¦n tû cõa ∆∗

1 theothù tü trong ∆∗

2, rçi l¤i vi¸t ti¸p mët ph¦n tû cõa ∆0 kh¡c vîiph¦n tû cõa ∆0 ¢ vi¸t ra tr÷îc â Ti¸p töc l m t÷ìng tü cho

∆∗3, Chuéi vøa ÷ñc th nh lªp l  chuéi giao ho¡n cõa chuéi

n=1xn v  tø ti¶u chu©n Cauchy suy ra chuéi n y khæng hëi tö

i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t chuéi P ∞

n=1xn hëi tö khæng

i·u ki»n Do â, chuéi P ∞

n=1xn hëi tö ho n h£o

M°t kh¡c, tø t½nh tuy¸n t½nh cõa f ta câ

B¥y gií, gi£ sû chuéi P ∞

n=1xn hëi tö khæng i·u ki»n Khi â,vîi méi song ¡nh σ : N∗ → N∗ th¼ chuéi P ∞

n=1xσ(n) hëi tö Do

â, theo i·u vøa chùng minh ð tr¶n th¼ chuéi P ∞

n=1f (xσ(n)) hëi

tö Vªy chuéi P ∞

n=1f (xn) hëi tö khæng i·u ki»n

1.1.13 H» qu£ N¸u chuéi P ∞

n=1xn hëi tö ho n h£o trongkhæng gian Banach E v  f : E → F l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nhli¶n töc tø E v o khæng gian Banach F th¼ chuéi P ∞

n=1f (xn)hëi tö ho n h£o trong F

Chùng minh N¸u chuéi P ∞

n=1xn hëi tö ho n h£o th¼ theo

ành l½ 1.1.11 nâ hëi tö khæng i·u ki»n Do â, theo M»nh

· 1.1.12, P ∞

n=1f (xn) hëi tö khæng i·u ki»n L¤i theo ành l½1.1.11, chuéi P ∞

n=1f (xn) hëi tö ho n h£o

1.1.14 ành l½ Trong khæng gian ành chu©n húu h¤nchi·u, mët chuéi l  hëi tö khæng i·u ki»n khi v  ch¿ khi nâhëi tö tuy»t èi

Chùng minh V¼ måi khæng gian ành chu©n húu h¤n chi·u

·u l  khæng gian Banach n¶n i·u ki»n õ cõa ành l½ tr¶n l tr÷íng hìp ri¶ng cõa ành l½ 1.1.10.1/

B¥y gií, ta chùng minh i·u ki»n c¦n Gi£ sû X l  khænggian ành chu©n n− chi·u v  P ∞

k=1xk l  chuéi hëi tö khæng i·uki»n trong X V¼ X l  khæng gian n− chi·u n¶n trong X câ cì

sð Hamel {a1, , an} Khi â, méi x ∈ X ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng

x = P n

j=1λjaj, λj ∈ K, j = 1, 2, , n Vîi méi j = 1, 2, , n tax¡c ành h m fj : X → K bði cæng thùc

D¹ d ng kiºm tra ÷ñc t½nh tuy¸n t½nh li¶n töc cõa c¡c fj Do

â, tø t½nh hëi tö khæng i·u ki»n cõa chuéi P ∞

xk = (0, 0, , 0, k1, 0, 0, ) vîi 1

k l  sè h¤ng thù k, k = 1, 2, Khi â, P ∞

k=1xk hëi tö khæng i·u ki»n nh÷ng khæng hëi tötuy»t èi

Chùng minh ¦u ti¶n, ta chùng tä chuéi P ∞

k=1xk hëi tötrong c0 v  P ∞

k=1xk = {k1}k Thªt vªy, vîi méi n = 1, 2, ta câ

(D l  tªp hñp t§t c£ c¡c d¢y sè m  c¡c sè h¤ng cõa d¢y nhªngi¡ trà 1 ho°c -1 )

1.1.16 ành l½ ( Gelfand ) N¸u chuéi P ∞

k=1xk hëi

tö khæng i·u ki»n trong khæng gian Banach X th¼ S(D) ={P ∞

k=1αkxk : α = {αk} ∈ D}l  mët tªp comp­c trong X.Chùng minh ¦u ti¶n, ta chùng minh r¬ng vîi méi  > 0tçn t¤i n = n() ∈ N sao chok P ∞

i=1αixi k<  vîi måi d¢y{αi} ∈ D Thªt vªy, gi£ sû kh¯ng ành n y khæng óng Khi

â, tçn t¤i δ > 0 còng d¢y c¡c sè tü nhi¶n n1 < n2 < v  c¡cd¢y {α(j)

ho n to n bà ch°n trong khæng gian Banach X º chùng minh

S(D) compact ta ch¿ c¦n chùng tä S(D) âng trong X Gi£ sû{α(l)}∞

l=1 l  d¢y trong D sao cho liml→∞S(a(l)) = S ∈ X, trong

â α(l) = {αi(l)}∞

i=1, l = 1, 2, V¼ α(l)

i = ±1, l = 1, 2, n¶nd¢y {α(l)} câ d¢y con hëi tö theo to¤ ë tîi d¢y α = {αi} ∈ Dkhi l → ∞, ta v¨n k½ hi»u d¢y con n y l  {α(l)} Theo chùngminh tr¶n, vîi måi  > 0 tçn t¤i sè tü nhi¶n n0 = n() saocho k P ∞

i=n 0 αixi k<  vîi måi {αi} ∈ D Chån l0 ∈ N saocho αl0

i = αi (1 6 i < n0) V¼ αi → αi khi l → ∞ vîi måi

i = 1, 2, n¶n l0 l  tçn t¤i Khi â, vîi l > l0 ta câ

1.2.1 ành ngh¾a Gi£ sû P ∞

k=1xk l  mët chuéi trongkhæng gian Banach X Ta gåi tªp hñp DS(P ∞

k=1xk) c¡c gi¡ trà

x ∈ X tho£ m¢n i·u ki»n chuéi P ∞

k=1xπ(k) câ têng b¬ng x vîiho¡n và π : N → N n o â l  mi·n c¡c têng cõa chuéi P ∞

k=1xk.1.2.2 Bê · (v· sü l m trán c¡c h» sè)([4]) Cho {xi}n

1

l  mët tªp húu h¤n trong khæng gian ành chu©n m chi·u,

l  mët tªp húu h¤n c¡c vectì vîi têng b¬ng x trong khæng gian

ành chu©n m chi·u X Khi â, c¡c ph¦n tû cõa tªp hñp n y

câ thº ÷ñc s­p x¸p l¤i theo mët c¡ch sao cho vîi b§t k¼ sènguy¶n d÷ìng k 6 n ta câ

k=1xk l  mët chuéi hëi tö câ

i·u ki»n vîi têng b¬ng s trong khæng gian Banach X.Mët phi¸m

h m tuy¸n t½nh f ∈ X∗ ÷ñc gåi l  phi¸m h m hëi tö cõa chuéi

k=1xk n¸u P ∞

k=1 | f (xk) |< ∞.Tªp hñp Γ t§t c£ c¡c phi¸m h m hëi tö cõa chuéi P ∞

k=1xk l mët khæng gian tuy¸n t½nh con cõa X∗ Γ khæng nh§t thi¸t ângn¸u X l  khæng gian væ h¤n chi·u K½ hi»u

Γ0 = {x ∈ X : f (x) = 0, ∀f ∈ Γ},

v  gåi Γ0 l  ph¦n bò trüc giao cõa Γ Rã r ng Γ0 l  mët khænggian con tuy¸n t½nh, âng cõa X Chóng ta th nh lªp hai tªphñp sau

1 ).1.2.5 Nhªn x²t N¸u chóng ta l§y ra sè h¤ng thù haicõa v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc (1) th¼ ÷ñc mët b§t ¯ng thùcti»n lñi hìn cho chóng ta :

tö trong khæng gian m chi·u E v  P ∞

k=1xk = s Khi â, mi·nc¡c têng cõa chuéi P ∞

k=1xk l  khæng gian s + Γ0, trong â Γ0

l  ph¦n bò trüc giao cõa tªp hñp Γ c¡c phi¸m h m hëi tö cõachuéi P ∞

k=1xk, tùc l  DS(P ∞

k=1xk) = s + Γ0.Chùng minh Gåi f ∈ X∗ l  phi¸m h m hëi tö cõa chuéi

k=1xk Theo ành ngh¾a, P ∞

k=1f (xk) l  chuéi hëi tö tuy»t èi

Tø â, vîi ho¡n và π b§t k¼, tø sü hëi tö cõa chuéi P ∞

k=1xπ(k)suy ra

k=1xk) ⊃ s + Γ0 l  phùc t¤p hìn v  s³ gçmhai ph¦n Tr÷îc h¸t, chóng ta chùng minh r¬ng vîi s0 ∈ s + Γ0b§t k¼ câ mët ho¡n và π0 cõa chuéi ban ¦u P ∞

k=1xk v  mët d¢yc¡c ch¿ sè n1 < n2 < sao cho

limj→∞ k s0 −

nj

X

i=1

xπ0(i) k= 0,

ngh¾a l  d¢y c¡c têng ri¶ng cõa chuéi ÷ñc s­p x¸p l¤i hëi tö

¸n s0 Khi â, ch¿ c¦n x¥y düng mët ho¡n và π tho£ m¢n chuéi

i=1xπ(i) hëi tö ¸n s0

X²t tªp Q Nâ chùa s v  hiºn nhi¶n theo Bê · 1.2.6 côngchùa s0 (s0 ∈ s + Γ0 ⊂ Q) Cho d¢y n → 0 Cho s0 ÷ñc x§p x¿bði ph¦n tû q1 ∈ Q({xi}∞

ra mët iºm xi trong têng cuèi còng sao cho θi = 1 K½ hi»u

S1 = {xi} ∪ {x1}, v  têng c¡c ph¦n tû trong S1 l  s1 Hiºnnhi¶n

k s0 − s1 k6 1 + m max

i>1 k xi k + k x1 k B¥y gií ta x²t tªp s1 + Q({xk}∞

k=1\S1) Tªp n y chùa s v  côngchùa s0 ( theo nhªn x²t sau : Cho S0 l  mët tªp con húu h¤nb§t k¼ c¡c sè h¤ng cõa chuéi P ∞

i=1xi, v  y l  mët ph¦n tû b§t k¼cõa khæng gian X K¸t luªn cõa Bê · 1.2.6 v¨n óng n¸u thayQ({xk}∞

k=1) b¬ng y + Q({xk}∞

k=1\S0) Gi£ sû s0− s1 ÷ñc x§p x¿bði ph¦n tû q2 ∈ Q({xi}∞

i=1\S1), tùc l 

k s0 − s1 − q2 k=k s0 − s1 −Xλixi k6 2

Khi â q2 ÷ñc x§p x¿ bði ph¦n tû p2 trong P ({xi}∞

i=1\S1) :

k q2 − p2 k=k q2 − Xθixi k6 m max

i >2 k xi k,trong â θi b¬ng 0 ho°c 1 Chóng ta th¶m v o tªp hñp S1 iºm

x2 v  c¡c xi trong têng cuèi còng sao cho θi = 1 Tªp hñp thu

÷ñc k½ hi»u l  S2, v  têng c¡c ph¦n tû cõa S2 k½ hi»u l  s2.Chóng ta câ

k s0 − s2 k6 2 + m max

i>2 k xi k + k x2 k Ti¸p töc qu¡ tr¼nh n y mët c¡ch væ h¤n, chóng ta câ d¢y c¡ctªp húu h¤n

Chóng ta ti¸p töc ph¦n hai cõa chùng minh Ta câ mët chuéi(º thuªn ti»n ta l¤i k½ hi»u nâ l  P ∞

i=1xi) vîi sè h¤ng têng qu¡td¦n v· 0 v  vîi mët d¢y c¡c têng ri¶ng hëi tö v· s0 :

limj→∞ k s0 −

n j+1

X

i=nj+1

xi k= 0

Chóng ta ¡p döng v o méi tªp {xi}nj+1

i=n j +1 Bê · v· sü s­p x¸pl¤i d÷îi d¤ng biºu thà trong Nhªn x²t 1.2.5, v  k½ hi»u π l  ho¡n

và thu ÷ñc cho to n bë d¢y cõa c¡c sè tü nhi¶n Khi â,

Möc ½ch cì b£n cõa möc n y l  x¥y düng c¡c v½ dö º chùngminh r¬ng khæng thº mð rëng ành l½ Steinitz cho chuéi trongkhæng gian Banach væ h¤n chi·u.

Chóng ta ¢ bi¸t r¬ng n¸u P ∞

k=1xk l  chuéi hëi tö câ i·uki»n trong khæng gian húu h¤n chi·u th¼ DS(P ∞

k=1xk) chùanhi·u hìn mët iºm ( nâi mët c¡ch ch½nh x¡c hìn, nâ chùa c£

÷íng th¯ng) C¡c v½ dö sau ¥y cho th§y mët chuéi hëi tö câ

i·u ki»n trong khæng gian væ h¤n chi·u câ thº câ duy nh§t iºmtrong mi·n c¡c têng cõa nâ

¦u ti¶n, chóng ta nhî l¤i r¬ng,

th nh ph¦n to¤ ë b§t k¼ ch¿ chùa húu h¤n c¡c sè h¤ng kh¡c 0

v  têng húu h¤n khæng bà thay êi bði sü s­p x¸p l¤i

Tr÷îc khi x²t v½ dö ti¸p theo, ta nhî l¤i r¬ng Lp([a, b]) ={f : [a, b] → R, f o ÷ñc v  | f |p kh£ t½ch tr¶n [a, b]} vîi

1 6 p < ∞ l  khæng gian Banach vîi chu©n

vîi måi f, g ∈ L2([a, b])

N¸u khæng c¦n ch¿ ra [a, b] th¼ ta th÷íng vi¸t Lp thay cho

Lp([a, b])

1.3.2 V½ dö 2 Gåi ˙I(a, b) l  h m sè nhªn gi¡ trà b¬ng 1tr¶n [a, b] v  nhªn gi¡ trà 0 ð ngo i[a, b] Chóng ta s³ x¥y dünggçm câ c¡c ph¦n tû

xi,k = ˙I(k.2−i, (k + 1).2−i), yi,k = −xi,k,trong â 0 6 i < ∞, 0 6 k < 2i ¥y l  mët d¢y trong khænggian L2[0, 1] N¸u têng ÷ñc vi¸t theo thù tü

x0,0 + y0,0 + x1,0 + y1,0 + x1,1 + y1,1 + x2,0 +

th¼ chuéi s³ hëi tö v· 0 N¸u thù tü thay êi

x0,0 + x1,0 + x1,1 + y0,0+ x2,0 + x2,1 + y1,0 + x2,2+ x2,3 + y1,1 + th¼ chuéi s³ hëi tö v· h m çng nh§t 1 Hìn núa, chuéi khængthº hëi tö v· h m b¬ng 1

2 tr¶n [0, 1], dò nâ s­p x¸p l¤i, v¼ måitêng ri¶ng cõa chuéi ·u l  h m ch¿ nhªn c¡c gi¡ trà nguy¶n

1.4 Chuéi hëi tö câ i·u ki»n trong Lp

Möc n y tr¼nh b y mët ành l½ t÷ìng tü ành l½ Steinitz v· mi·nc¡c têng cõa chuéi hëi tö trong khæng gian Lp vîi 1 6 p < ∞.Chóng ta c¦n hai b§t ¯ng thùc sau

1.4.1 Bê · C¡c b§t ¯ng thùc sau óng cho hai sè thüc

a v  b b§t k¼ :

| a + b |p6| a |p +p.b | a |p−1 sign a + Ap | b |p (1)vîi 1 < p 6 2, v 

| a + b |p6| a |p +p.b | a |p−1 sign a + Ap(| b |p + | a |p−2| b |2)

(2)vîi 2 < p < ∞, trong â Ap phö thuëc v o p

Chùng minh Chóng ta chùng minh (2), cán chùng minh(1) t÷ìng tü V¼ vîi a = 0 b§t ¯ng thùc óng vîi Ap > 1 b§tk¼ n¶n ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng a 6= 0 Chóng ta chia hai v¸ cõab§t ¯ng thùc (2) cho | a |p v  k½ hi»u b/a l  β :

| 1 + β |p6 1 + pβ + Ap(| β |p + | β |2)

Bi¸n êi ta ÷ñc b§t ¯ng thùc

| 1 + β |p −1 − pβ

| β |p + | β |2 6 Ap.V¼ h m ð v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc x¡c ành v  li¶n töc tr¶n

to n bë tröc v  câ giîi h¤n khi β → ±∞, nâ câ mët cªn tr¶nhúu h¤n, ta l§y cªn tr¶n â l  Ap



1.4.2 Bê · Vîi x v  y b§t k¼ trong Lp, ta câ

k x + y kp6k x kp +Fx(y) + Ap k y kp (3)