Sự phân tích bù hạng tử trực tiếp và môđun tựa liên tục

Môđun đều, chiều đều và độ dài của môđun chiều đều của M là n, ý udim Mn; iii Ta nói vành R có chiều đều phải hữu hạn R R có ữ Nhận xét... Cho M là môđun khác không, M không chứa t

O – O T O TRƯỜN HỌ V NH

O – O T O TRƯỜN HỌ V NH

N H AN – 12/ 2011

M L

Trang

2

5

T T 5

7

13

14

C i) 15

16

S – 17

S 17

S 29

– 31

36

T 37

L ă ú “Some results on quasi –

continuous modules” N Sỹ T ă 99 ằ ì ể

ấ ặ ớ

D ă “S ”

L ă ồ hai

hương 1 Ki n thức cơ s 1.1 T T

1.2

1.3

1.4

1.5 (C i) 1.6

hương 2 S –

2.1 S

2.2 S

2.3 –

L ă ợ T ờ Đ ọ ớ ớ ẫ PGS TS N Sỹ T T ỏ ò

ắ ớ PGS.TS N Sỹ T ã ớ ờ q ọ ợ ớ ữ ờ

q ì ọ

T B B

Đ ọ B T T ờ Đ ọ

T B T ờ Đ ọ S Gò

B T ờ T ọ H L ã

ợ q ì ọ

ặ ã ắ L ă ỏ

T ấ ợ ữ ý

Q ý ồ

i

i I M



 = {( ,x x1 2, , x n) /n *, x iM i  i 1, }n i

1.1.2 Tính chất Giả sử A là môđun con của M Ta có

i) A M khi và chỉ khi tồn tại B là môđun con của M sao cho

;

ii) A M khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu lũy đẳng f M: M

( f2  f ) sao cho Im( ) f  A

1.2.2 Một số tính chất của môđun nội xạ

môđun N là Bnội xạ và N cũng là A

B – nội xạ;

ii) Môđun N là Anội xạ nếu và chỉ nếu N là aRnội xạ với mọi

aA (tiêu chuẩn Baer);

D Ker( ) Ker( )

Do  ấ ớ ỗ (x B) A

B

  , ta có ( )x x B

i X  A ồ ấ ú

Đặ S = {( , B i i) / X B i  A, i:B i N }

Trên S , é q “  ”

(B1,1)(B2,2)  B1 B2 và 2 1 , ta có ( , )X  S , suy ra S  ; ( , )S  ắ

ể ợ S ỏ Z

D S ồ ( , ) B e ĩ X  B A

và : B N ồ ấ 

( 'b ar') (b ar)

    ĩ 

Dễ ể  ồ ấ   Từ ( ,B )(BaR, )

ii) i

i I M



iii) M là Anội xạ với mọi   , và đối với mọi cách chọn

1.3 Môđun con cốt y u và môđun con đóng

1.3.1 ịnh nghĩa Cho M là Rmô N

M

i) N ợ ọ cốt yếu trong M ý N e M,

ớ ọ K M thì N K 0 nói M N

trong M K M sao cho N K

1.3.2 Tính chất Cho M là Rmôđun phải và , N K là các môđun con của M

tr.19);

ii) Nếu N đóng trong K và K đóng trong M thì N cũng đóng trong M (xem [6], tr.20)

1.4 Môđun đều, chiều đều và độ dài của môđun

chiều đều của M là n, ý udim ( M)n;

iii) Ta nói vành R có chiều đều phải hữu hạn R R có

ữ

Nhận xét Ta có udim( ) 0 M   M 0

1.4.2 Tính chất

i) Nếu e

chiều đều hữu hạn và trong trường hợp này ta có udim ( ) N = udim ( M) Ngược lại, nếu M có chiều đều hữu hạn và udim ( ) N = udim ( M thì )

e

ii) Nếu M M1M2 .M n thì ta có

udim ( M = udim) (M1) + udim(M2) + + udim ( M n);

iii) Nếu N và M N có chiều đều hữu hạn thì / M cũng có chiều đều hữu hạn và udim ( ) M  udim ( ) N + udim ( M N ; / )

iv) Nếu M có chiều đều hữu hạn và f M: M là một đơn cấu tùy ý thì Im( )f e M.

1.4.3 ộ dài của môđun

(C ) N 2 A và B M ẳ ấ ớ

A M thì B ũ

i) M ợ ọ CS – môđun (hay Extending) M

ii) R có một iđêan trái tối đại duy nhất;

iii) J R là iđêan trái tối đại; ( )

iv) Tập các phần tử không khả nghịch trái của R đóng kín đối với phép cộng;

v) J R( ) { x R Rx/ R};

vi) Đối với mỗi x thuộc R thì hoặc x hoặc 1 x khả nghịch

2.1.5 ổ đề Cho M là môđun khác không, M không chứa tổng trực tiếp

môđun con đều

2.1.6 ổ đề Nếu U là một môđun đều có độ dài hữu hạn thì vành các tự

đồng cấu End U là vành địa phương ( )

Chứng minh Lấ f End U( ) Ker f( )Ker(1 f)0 T

xKer f( )Ker(1 f)0 thì f x( )0 và (1 f)( )x 0, hay là ( ) 0

Chứng minh Theo B 6 ồ ấ End U và ( 1)

và giả sử U là (1C1)môđun Khi đó, với mọi môđun con đóng X của

U , tồn tại tập con F của I sao cho

U sao cho U  Y Y' T e ta có

X    X U X Y Y  Y X Y

Đặ X' X Y'. Vì udim ( X ') m 1 e q thì X' U ồ , Z U

sao cho U  X'Z Theo

2.1.10 ổ đề Giả sử M là (1C1)môđun Khi đó các hạng tử trực tiếp của M cũng là (1C1)môđun

môđun con đều

2.1.12 ịnh lý Giả sử R là một vành và M là Rmôđun sao cho M là tổng trực tiếp của các môđun đều M i

mọi ,i j thuộc I và i j. Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương

M K  , ỉ M J là ( ) M k  ớ ọ

  Khi

ớ ọ x M k, x( )x  (x ( )),x ( )x M J( ) và ( ) '

N A0 AM J( )0 ớ ọ jJ [7, Proposition 3.6], A M J Từ ( ) X'A là 'X M J( )

ặ U M J( ) M k M J( ) và ( )

2.3.2 Mệnh đề Nếu M là môđun đều thì M là môđun tựa – liên tục

2.3.3 Mệnh đề Mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun tựa – liên tục là

một môđun tựa – liên tục

M   A A' K, M   B B' K

ĩ A và B M Vì M ỏ

3

(C nên A) B ũ M ồ con L M sao cho M   A B L Từ e

N  N M  N A B L   A B NL

ĩ A B ũ N D N ỏ (C 3)

2.3.4 ịnh lý Cho M là một Rmôđun phải Các phát biểu sau đây là tương đương

giao của nhau;

iii) f M là môđun con của ( ) M với mọi lũy đẳng f End E M( );

2.3.6 Hệ quả Nếu M1M2 là tựa – liên tục và M1  M2, thế thì M1

là M tựa – nội xạ 2 M là tựa – nội xạ khi và chỉ khi M M là tựa – liên tục

B ờ ể ý ằ Đ ý 2 ta c ỉ i

2.3.7 ịnh lý Giả sử R là một vành và Rmôđun M là tổng trực tiếp các môđun đều M i

mọi ,i j thuộc I và i j. Khi đó, M là một môđun tựa – liên tục 

KẾT LUẬN

L ă ã

1 H M ấ

i)

;

2 T ì ĩ

ể

( 2.1.7)

);

3 Trình bày ĩ –

ể R

Đ ý 7), ể

R Đ ý )

[5] F W Anderson and K R Fuller (1974), Rings and Categorie of

Modules, Graduate Texts in Math No 13, Springer – Verlag,

NewYork, Heidelberg, Berlin

[6] F Kasch, Modules and Rings (1982) (Translationand editing by D A

R Wallace, University of Stirling, Stirling, Scotland), Copyright ©

1982 by Academic Press Inc, (London) LTD

[7] S H Mohamed and B J Muller (1990), Continuous and Discrete

Modules, London Math Soc Lecture Notes Series 147, Cambridge

Univ Press, Cambridge

[8] K Oshiro (1989), On Hadara rings I, II, III, Math J Okayama Univ

31, 161 – 178

[9] Ngo Sy Tung (1994), Some results on quasi – continuous modules,

Acta Mathematica Vietnamica, volume 19, number 2, pp 13 – 17

[10] R Wisbauer (1991), Foundations of Rings and Modules, Gordon and

Breach, Reading