Phép dời hình và ứng dụng khoá luận tốt nghiệp đại học

Không gian vectơ Ơclit

Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ : VV  R

  x , y x y     x , y thỏa mãn các điều kiện sau

 Một không gian vectơ V trên trường số thực cùng với tích vô hướng trên nó được gọi là không gian vectơ Ơclit

1.2 Ví dụ a) Giả sử x y, là các vectơ trong mặt phẳng Oxy.Ta xét ánh xạ

(x y, ) |x|| y|cos(x y, ) Khi đó,  là một tích vô hướng trên R 2 b)Trên R n , ánh xạ : R n R n  R được cho bởi

((x1, x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)) x1y1+x2y2+…+xnyn là một tích vô hướng, gọi là tích vô hướng chính tắc trên R n

1.4 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy – Schwartz) (Xem tài liệu   8 )

( , )a b a b : = ( , )a b là một tích vô hướng trên V thì (ab) 2 a b 2 2

Trường hợp 1: ,a b phụ thuộc tuyến tính, tức  k R a: kb

Trường hợp 2: ,a b phụ thuộc tuyến tính, tức akb với  k R  a kb0  k R

 phương trình a 2 2kabk b 2 2 0 vô nghiệm k

Vậy ta luôn có (ab) 2 a b 2 2

1.5 Hệ quả: Cho a(a1,a2, ,an) và a1,a2, ,an) b(b1,b2,…,bn) là hai vectơ trong R n Khi đó:

1.6 Định lý ( Pytago) (Xem tài liệu   7 )

Giả sử x và y là hai vectơ trực giao ( x y0) Khi đó: xy 2  x 2  y 2

Cho hai không gian vectơ Ơclit E và E', một ánh xạ tuyến tính φ: E → E' được gọi là ánh xạ trực giao nếu nó bảo toàn tích vô hướng giữa hai vector bất kỳ của E, tức là φ(x) · φ(y) = x · y với mọi x, y thuộc E.

1.8 Mệnh đề ( Xem tài liệu   6 )

Giả sử :E n E n là một ánh xạ tuyến tính của E n và ma trận của  đối với cơ sở trực chuẩn  e 1 , , e n  là:

Khi đó,  là biến đổi trực giao khi và chỉ khi A là ma trận trực giao.

Không gian Ơclit

Một không gian Ơclit, đó là không gian afin n- chiều với nền là không gian vectơ Ơclit n- chiều

Không gian Ơclit n- chiều thường được kí hiệu là E n , với không gian vectơ Ơclit nền là E n

1.10 Ví dụ: a) Không gian Oxy thông thường là không gian Ơclit 3 chiều Thật vậy:

Hàm số  được định nghĩa bởi (A, B) = AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3) với A(a1, a2, a3) và B(b1, b2, b3) thuộc Oxy Hàm số này thỏa mãn hai tiên đề Afin: Thứ nhất, với mọi điểm A(a1, a2, a3) thuộc Oxy và mọi vectơ u(a1', a2', a3') thuộc Oxy, tồn tại duy nhất điểm M(a1 - a1', a2 - b1', a3 - c1') thuộc Oxy sao cho AM = u Thứ hai, với ba điểm A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3) và C(c1, c2, c3) bất kỳ thuộc Oxy, ta có những mối quan hệ nhất định giữa chúng.

Do đó Oxy là không gian Afin

ABCD = AB CD cos(AB CD, ) là tích vô hướng trong không gian vectơ 3 chiều Mỗi không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều với cấu trúc Afin chính tắc được xem là không gian Ơclit, ví dụ như R^n Các không gian Afin thực n- chiều có thể trở thành không gian Ơclit n- chiều khi được trang bị một tích vô hướng cho không gian vectơ liên kết Nếu E là không gian Ơclit có nền là E, thì mỗi phẳng α của nó cũng là không gian Ơclit liên kết với α, trong đó tích vô hướng được xác định từ tích vô hướng ban đầu.

Các phẳng vuông góc trong E n

Trong không gian Afin, chúng ta đã nghiên cứu các mối quan hệ giữa các mặt phẳng như cắt nhau, song song và chéo nhau Bây giờ, trong không gian Ơclit, chúng ta sẽ mở rộng thêm bằng cách xem xét quan hệ vuông góc giữa các mặt phẳng.

Trong E n cho phẳng  có phương , phẳng  có phương  Hai phẳng  và  được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu   , nếu 2 không gian vector  và  trực giao với nhau

1.12 Định lí ( Xem tài liệu   5 )

Hai phẳng vuông góc với nhau có không quá một điểm chung Hai phẳng bù vuông góc có một điểm chung duy nhất

Giả sử  và là hai cái phẳng trong E n ,   Nếu có hai điểm M,N thuộc   thì MN  , tức là MN vàMN Mặt khác,   nên =0 hay MN

Nếu  và  bù vuông góc thì E n    Do đó, nếu giả sử     thì dim(  )= dimdim dim(  ) 1 = n 0 1   n 1 (vô lý)

Hệ quả 1: Nếu  và  bù vuông góc với nhau thì tổng của chúng là E n

Vì hai mặt phẳng  và  vuông góc với nhau, nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất, tức là giao của chúng không rỗng Theo định lý về số chiều trong không gian afin, ta có công thức: dim( + ) = dim() + dim() - dim( ∩ ).

Vì   là một điểm duy nhất nên: dim (  )0 (2)

Mặt khác, nếu gọi phương của  và  lần lượt là  và  thì:

 bù vuông góc với  nên  bù vuông góc với 

Từ (1), (2) và (3) suy ra dim      n hay     E n

Hệ quả 2: Trong không gian E n, qua một điểm đã cho tồn tại duy nhất một mặt phẳng bù vuông góc với mặt phẳng đã cho, điều này có nghĩa là phương trình của mặt phẳng này được xác định hoàn toàn.

Chứng minh: Giả sử trong E n cho phẳng  và điểm A Ta chứng minh tồn tại duy nhất phẳng  qua A và bù vuông góc với 

- Chứng minh sự tồn tại: Gọi phương của  Giả sử  là không gian con trong E n và bù vuông góc với  Khi đó,  là phẳng bù vuông góc với phẳng 

Để chứng minh sự duy nhất của mặt phẳng, giả sử mặt phẳng  ' cũng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng  Từ đó, ta suy ra rằng mặt phẳng  ' có phương là , vì mặt phẳng  vuông góc với  và theo định nghĩa về sự vuông góc của các mặt phẳng Do đó, mặt phẳng  ' cũng đi qua A và có phương là , điều này chứng tỏ rằng  ' trùng với .

1.13 Định lí ( Xem tài liệu   5 )

Nếu phẳng  vuông góc với phẳng  và phẳng  bù vuông góc với phẳng  thì  cùng phương với 

Chứng minh: Gọi , ,   lần lượt là phương của các phẳng , ,   Vì  trực giao với  còn  là phần bù trực giao của  trong E n nên suy ra

Hệ quả: Hai phẳng phân biệt cùng bù vuông góc với phẳng thứ ba thì song song với nhau và có cùng số chiều

Trong không gian E³, hai mặt phẳng vuông góc với nhau sẽ tạo thành các mặt phẳng bù vuông góc Cụ thể, trong không gian Eⁿ với m mặt phẳng α và k mặt phẳng β vuông góc, nếu n = m + k, thì α và β sẽ là các mặt phẳng bù vuông góc Hơn nữa, mọi mặt phẳng k β' song song với β đều sẽ vuông góc với α.

Theo định lý về số chiều, nếu n = m + k thì dim(α + β) = m + k = n, vì α và β có giao điểm là 0 Điều này cho thấy rằng hai mặt phẳng α và β là bù trực giao, tức là chúng vuông góc với nhau Hơn nữa, do k-phẳng β' song song với β, nên ta có β' = β.

1.15 Phương trình của phẳng trong E n a) Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một siêu phẳng

Trong không gian Ơclit E n với mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho siêu phẳng P có phương trình: a 1 x 1 +a 2 x 2 +…+a n x n +bb

Viết phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm

Mn(x 0 1,x 0 2,…,x 0 n ) và vuông góc với siêu phẳng P

Giải: Lấy một điểm M(m1,m2,…,mn) thuộc siêu phẳng P

Với X là một điểm bất kì thuộc P, X=( x1,x2,…,xn ) ,XM , ta có:

Siêu phẳng có vectơ pháp tuyến là a = (a1, a2, , an) Đường thẳng d đi qua điểm M n (x0₁, x0₂, , x0n) và vuông góc với siêu phẳng P sẽ sử dụng vectơ pháp tuyến a của siêu phẳng P làm vectơ chỉ phương.

Hệ (*) là phương trình tham số của đường thẳng d

  , thay vào các phương trình còn lại của hệ (*), ta được:

Ta có thể viết lại hệ

Hệ (**) là phương trình tổng quát của đường thẳng d b) Bài toán 2: Viết phương trình của phẳng đi qua một điểm, bù vuông góc với m – phẳng

Trong không gian Ơclit n- chiều E n với mục tiêu trực chuẩn, cho m- phẳng

P xác định bởi hệ n-m phương trình

Viết phương trình Q là phẳng đi qua điểm A(x x 1 o , 2 o , ,x n o ) và bù trực giao với P

Giải: Vì Q bù trực giao với P cho nên phương Q của Q chứa các a k

 k  1, n  m  Như vậy, Q là (n-m)- phẳng đi qua A(x x 1 o , 2 o , ,x n o ) và có phương Q sinh bởi hệ n-m vectơ độc lập tuyến tính  a a 1 , 2 , , a n , trong đó

 1, 2, ,  k k k kn a a a a  k  1, n  m  Từ đó suy ra Q có phương trình tham số:

 §2: Phép dời trong không gian Ơclit

Trong mục này, chúng tôi trình bày về ánh xạ đẳng cự; định nghĩa, tính chất, phân loại và phương trình của phép dời.

Ánh xạ đẳng cự

Ánh xạ f: EE' được gọi là ánh xạ đẳng cự khi nó là một ánh xạ afin, và ánh xạ nền tương ứng  EE' phải là một ánh xạ tuyến tính trực giao.

2.3 Nhận xét: Ánh xạ đẳng cự f: EE' bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, tức d(M,N) = d f M     , f N  ,  M N ,  E

Mọi ánh xạ f: EE' giữa các không gian Ơclit bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì là một ánh xạ đẳng cự

Lấy IE và I '  f I   Xét ánh xạ : EE' xác định như sau:

Giả sử u thuộc E, ta chọn điểm M thuộc E sao cho IM = u và định nghĩa hàm φ(u) = I M' với M' = f(M) Chúng ta sẽ chứng minh rằng φ không làm thay đổi tích vô hướng của hai vectơ bất kỳ trong E Chọn thêm một vectơ v thuộc E và điểm N thuộc E sao cho IN = v, lúc này ta có φ(v) = I N' với N' = f(N).

Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M,N)=d(M’,N’)

Do đó: MN 2  M N ' ' 2   IN  IM   2  I N ' '  I M ' '  2

Vì bảo tồn tích vô hướng của hai vectơ u và v bất kỳ, ánh xạ  là tuyến tính trực giao và rõ ràng là nền của f Do đó,  được xác định là ánh xạ đẳng cự.

Khi đó, f là ánh xạ đẳng cự vì M x y N x y    , , ', '  2 thì: d M N  ,    x '  x   2  y '  y  2 d f M      , f N      x ' 1     x  1    2     y ' 2     y  2    2

Phép dời hình

Ánh xạ đẳng cự f: EE được định nghĩa là một phép dời hình trong không gian Ơclit E Trong đó, ánh xạ  (nền của f) là một phép biến đổi tuyến tính trực giao của không gian vectơ E.

2.7 Định lí ( Xem tài liệu   6 )

Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình

Chứng minh rằng tích của hai phép dời hình f và g tạo thành một phép dời hình mới g f Giả sử A và B là hai điểm bất kỳ, ta có AB = A'B' và A''B'' = A'B' Như vậy, phép biến hình g f đã biến điểm A thành A'' và điểm B thành B'', thỏa mãn điều kiện A''B'' = AB Do đó, tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.

2.8 Định lí ( Xem tài liệu   6 )

Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp f h g

Chứng minh: Giả sử g, h, f đều là các phép dời hình, ta cần chứng minh

Giả sử f biến M thành M ’ , h biến M ’ thành M " và g biến M " thành M ’’’

Ta có g h là một phép dời hình biến M ’ thành M ’’’ và do đó (g h) f biến M thành M ’’’

Mặt khác, h f biến M thành M ’’ và g (h f) biến M thành M ’’’

Vậy  g f f   g  h f  vì cả hai đều biến điểm M thành điểm M ’’’ với mọi điểm M bất kì

2.9 Định lí ( Xem tài liệu   6 )

Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các phép biến hình với phép toán là tích các phép biến hình

Chứng minh : Theo định lí 2.7 thì tích hai phép dới hình là một phép dời hình

Tập hợp các phép dời hình khép kín với phép toán đã cho có tính chất kết hợp, theo định lý 2.8 Trong tập hợp này, phép dời hình đồng nhất đóng vai trò là phần tử đơn vị, và mỗi phép dời hình đều có phép dời hình đảo ngược tương ứng.

Nếu gọi f là một phép dời hình bất kì, f  1 là phép dời hình đảo ngược của

Các tính chất afin, những đặc điểm không thay đổi qua các phép biến đổi afin, cũng là những đặc tính của phép dời hình Hơn nữa, hình học Ơclit trên không gian E^n có phạm vi rộng hơn so với hình học afin trên cùng không gian E^n.

2.11 Phân loại phép dời hình và phương trình của phép dời hình a) Phân loại phép dời hình

Với mục tiêu trực chuẩn  O e e; , , ,1 2 e n  trong E n , cho phép biến đổi afin f: E n E n có phương trình: x ,

Khi đó, A cũng là ma trận của phép đẳng cấu tuyến tính đối với cơ sở trực chuẩn  e e 1 , , , 2 e n 

Bởi vậy phép biến đổi afin f trở thành phép dời hình khi và chỉ khi ma trận A trực giao, tức là A  AI (ma trận đơn vị)

Vì A là ma trận trực giao nên detA 1

- Nếu A là ma trận trực giao và detA1 thì f được gọi là phép dời hình loại 1 hay phép dời hình thuận

Nếu ma trận \( A \) là ma trận trực giao và \( \text{det} A = -1 \), thì hàm \( f \) được gọi là phép dời hình loại 2 hoặc phép dời hình nghịch Phương trình của phép dời hình này được trình bày trong định lý (xem tài liệu [5]).

Phương trình của phép dời hình trong E n đối với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, có dạng:

  trong đó A là ma trận trực giao cấp n

Mỗi phương trình có dạng x' = Ax + b, với A là ma trận trực giao cấp n, thể hiện phép dời hình trong không gian Euclid n đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn.

2.12 Các tính chất của phép dời hình

Phép dời hình không chỉ có đầy đủ các tính chất của phép afin mà còn mang lại một số tính chất bổ sung Cụ thể, qua phép dời hình, m-phẳng sẽ biến thành m-phẳng, bao gồm điểm, đường thẳng, mặt phẳng và siêu phẳng Hơn nữa, phép dời hình còn bảo tồn tính song song giữa các đối tượng trong không gian.

Cho hai điểm phẳng M và N, với M' = f(M) và N' = f(N), trong đó f là phép dời hình Nếu M và N song song, thì M' và N' cũng sẽ song song Phép dời hình này bảo tồn tính thẳng hàng và tỉ số đơn.

Chứng minh: Giả sử f là phép dời hình và A,B,C là ba điểm phân biệt thẳng hàng, B nằm giữa A và C, A ’ = f(A), B ’ = f(B), C ’ = f(C) Ta chứng minh ba điểm A ’ ,B ’ ,C ’ thẳng hàng và (A,B,C) = (A ’ ,B ’ ,C ’ ) Thật vậy:

Vì phép dời hình bảo tồn khoảng cách nên ta có: AB = A ’ B ’ , BC = B ’ C ’ ,

AC = A ’ C ’ Vì B nằm giữa A và C, nên AB + AC = AC Do đó, A ’ B ’ + B ’ C ’ = A ’ C ’, suy ra ba điểm A ’, B ’, C ’ thẳng hàng và B ’ nằm giữa A ’ và C ’ Từ đó, ta cũng có (A, B, C) = (A ’, B ’, C ’) Vậy phép dời hình bảo tồn tính thẳng hàng và tỉ số đơn Phép dời hình cũng bảo tồn khoảng cách, giữ nguyên độ dài đoạn thẳng, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.

Nếu tam giác ABC biến thành tam giác A ’ B ’ C ’ thì ta có AB = A ’ B ’ ,

BC = B ’ C ’ , AC=A ’ C ’ Vì vây, hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp c-c-c e) Phép dời hình bảo tồn góc: x y x' y' f

Qua phép dời, góc được bảo tồn Thật vậy:

Giả sử phép dời hình f biến góc xOy thành góc x ’ O ’ y ’ Lấy A,B lần lượt thuộc Ox,Oy mà A,B khác O

Gọi A ’ ,B ’ ,O ’ lần lượt là ảnh của A,B,O qua f: A ’ = f(A), B ’ = f(B),

O ’ = f(O) Khi đó A ’ ,B ’ lần lượt thuộc O ’ x ’ ,O ’ y ’

Phép dời hình bảo tồn khoảng cách khiến tam giác AOB và A' O' B' trở nên bằng nhau, dẫn đến hai góc xOy và x' O' y' cũng bằng nhau Hơn nữa, phép dời hình có khả năng biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn khác, đồng thời chuyển đổi một mục tiêu trực chuẩn thành một mục tiêu trực chuẩn tương ứng.

Như chúng ta đã biết, một phép biến hình của mặt phẳng là một song ánh f: P  P với P là tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng.

Phép đối xứng trục

Cho đường thẳng d trong mặt phẳng Phép biến hình mà biến mỗi điểm

Phép đối xứng qua đường thẳng d, hay còn gọi là phép đối xứng trục d, xảy ra khi điểm M biến thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng, và phép đối xứng này thường được ký hiệu là Đ d.

3.2 Định lí ( Xem tài liệu   6 )

Phép đối xứng trục là một phép dời hình

Giả sử M, N là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và phép đối xứng trục Đ d biến các điểm M, N thành các điểm M ’ , N ' Khi đó, các đoạn thẳng MM ' ,

NN ' cùng vuông góc với trục d tại trung điểm H,K của chúng

  Mặt khác: MN MH HKKN

MN 2 MH 2 HK 2 KN 2 2MH KN.

(còn MH HK 0 và HK KN 0)

Tương tự: M N' ' 2 M H' 2 HK 2 KN' 2 2M H KN' '

   MH  2  HK 2    KN   2   2 MH    KN 

Do đó: M N' '  MN hay MN M N' '

Vậy phép đối xứng trục là phép dời hình d

3.3 Phương trình của phép đối xứng trục a) Bài toán 1: Trong mặt phẳng cho đường thẳng a Viết phương trình phép đối xứng qua a

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Oxa, M(x,y) Khi đó, tọa độ của M ’ là điểm đối xứng của M qua a là M ’ (-x,y)

Nếu ta gọi M ’ (x ’ ,y ’ ) thì phương trình phép đối xứng qua a là:

  b) Bài toán 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a có phương trình:

0 axby c Viết phương trình phép đối xứng qua a

Giả sử M(x,y) và M ’ (x ’ ,y ’ ) là điểm đối xứng của M qua a Gọi I là trung điểm của MM’ ' '

  và tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình đường thẳng a

Mặt khác: MM’a nên MM '  u b  ;  a  là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a

MM u x x b y y a bx ay bx ay

Từ (1) và (2) ta có hệ: ax ' ' ax 2 0

' ' 0 by by c bx ay bx ay

Hệ (*) là phương trình phép đối xứng qua đường thẳng a

Phép đối xứng trục là một phép dời hình, do đó nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình Nếu M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục d, thì M cũng là ảnh của M' qua phép đối xứng đó, dẫn đến kết luận rằng tích của phép đối xứng trục với chính nó là một phép đồng nhất Tất cả các điểm trên trục đối xứng d đều là điểm kép Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d sẽ biến thành chính nó, ngoại trừ giao điểm của a với d, các điểm khác trên a không phải là điểm kép Phép đối xứng trục được xác định hoàn toàn khi biết trục đối xứng d của nó.

3.5 Áp dụng phép đối xứng trục để giải toán a) Dấu hiệu sử dụng:

- Đối với phép đối xứng trục thì điểm kép nằm trên trục đối xứng

Phép đối xứng trục thường được áp dụng trong các bài toán liên quan đến đoạn thẳng có đường trung trực cố định hoặc trong các trường hợp có giả thiết là tia phân giác của một góc.

- Các hình có trục đối xứng: đoạn thẳng Tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân, hình vuông, hình chữ nhật, đường tròn b) Một số ví dụ

Cho hai điểm A và B nằm trong cùng một nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng x Nhiệm vụ là tìm điểm M trên đường thẳng x sao cho tổng độ dài hai đoạn thẳng AM và MB là ngắn nhất.

Gọi A ’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x cho trước và gọi M là giao điểm của đường thẳng A ’ B với x (Hình 1)

Ta có: AM MB A M ' MB

Do đó: AM ' M B '  AM MB

Vậy điểm M cần tìm là giao của đường thẳngA B ' với đường thẳng x

Trong hình thang cân ABCD, đặt I và J là trung điểm của các cạnh AB và CD, và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Cần chứng minh rằng ba điểm I, O, J thẳng hàng Tiếp theo, kẻ đường thẳng d đi qua O và song song với AB, cắt AD tại M và cắt BC tại N, từ đó chứng minh rằng OM bằng ON.

Gọi là trục đối xứng của hình thang ABCD

Ta có: Đ  : AB nên Đ  : ACBD (1) (Hình 2)

CD Tương tự: Đ  : BA nên Đ  BDAC (2)

Từ (1) và (2) Đ  : ACBD BDAC

O là điểm kép hay O  I,J,O thẳng hàng b) Giả sử d cắt cạnh AD, BC lần lượt tại M,N

Do d // AB suy ra d  Gọi M ’ là ảnh của M qua Đ 

Mặt khác MAD, mà Đ  : AD  BC M ’  BC

Do tính chất đối xứng nên OM = ON

Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác Cần dựng tam giác cân với đỉnh P, có đáy song song với cạnh BC và hai đỉnh nằm lần lượt trên hai cạnh AB và AC của tam giác ABC đã cho.

Giả sử chúng ta đã xây dựng thành công tam giác PMN đáp ứng yêu cầu bài toán, ta nhận thấy M và N là hình ảnh đối xứng qua trục, với trục đối xứng là đường thẳng d đi qua điểm P và vuông góc với cạnh BC đã cho.

- Dựng đường thẳng d qua P và vuông góc BC

- Dựng ảnh của cạnh AC là A’C’ qua phép đối xứng nhận d làm trục

Gọi M là giao điểm của AB và A’C’ Dựng N là ảnh của M qua phép đối xứng trục d, từ đó tạo thành tam giác MNP thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phép quay

Phép quay tâm O góc  là phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho độ dài OM' bằng OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng .

I M Điểm O được gọi là tâm quay còn  được gọi là góc quay của phép quay đó Phép quay tâm O góc  thường được kí hiệu là Q  O ,  

3.7 Định lí ( Xem tài liệu   6 )

Phép quay là một phép dời hình

Giả sử M,N là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và Q  O ,   là phép quay biến

M,N lần lượt thành M’,N’ a) Nếu M (hay N) trùng với O thì M’ (hay N’) trùng với O, khi M’N’=MN b) Giả sử M và N đều khác O, khi đó theo định nghĩa ta có:

 OM ON ,    OM OM , '    OM ON ', '    ON ON ', 

M N  ON OM ON OM  ON OM

 ON ' 2  OM ' 2  2 OM ON c ' ' os  ON OM ', ' 

 ON ' 2  OM ' 2  2 OM ON c os  ON OM , 

3.8 Phương trình của phép quay a) Bài toán 1: Trong mặt phẳng cho điểm I và một góc  Viết phương trình phép quay tâm I góc  x y

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho OI

Giả sử M(x,y) và M’(x’,y’) là ảnh của M qua phép quay Q(O, ) ta có:

2 2 2 2 sin os sin os ' ' os sin 2 os sin sin os 2 os sin ' ' os sin sin os ' ' 1 x c y c x y x c y c x y c c x y xc y x yc x y

OM OM OM OM xx yy x y

2 2 os ' ' os sin os sin ' ' os sin sin os ' ' 2 x y c xx yy x c xy y c xy xx yy x xc y y x yc xx yy

Ta nhận thấy ' os sin

Vậy phương trình của phép quay Q O ;   là

 b) Bài toán 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(a,b) và một góc  Viết phương trình phép quay tâm I góc  x y M'

Phép quay Q(I, ) chính là phép tịnh tiến từ phép quay Q(O, ) theo véc tơ OI (a,b) Vì vậy phương trình của phép quay Q(I, ) là:

Phép quay là một phép dời hình, do đó nó sở hữu tất cả các tính chất của phép dời hình Trong phép quay với tâm O và góc quay khác không (α ≠ 0), điểm O là điểm kép duy nhất Nếu đường thẳng a đi qua tâm O, nó sẽ có những đặc điểm riêng trong quá trình quay.

Đường thẳng ảnh a đi qua điểm O Nếu phép quay tâm O với góc quay α biến điểm M thành M’, thì phép quay tâm O với góc quay -α sẽ biến điểm M’ trở lại thành M, nghĩa là f = Q0α và f⁻¹ Qua phép quay tâm O với góc quay α, điểm A sẽ biến thành A’.

Điểm B được xác định từ điểm A với góc giữa hai vectơ tương ứng là α, có nghĩa là hai đường thẳng AB cắt nhau tạo thành một góc α và một góc π - α Phép quay được xác định hoàn toàn bởi tâm quay O và góc quay α.

3.10 Áp dụng phép quay để giải toán a) Dấu hiệu sử dụng

- Điểm kép là tâm quay

Phép quay là một phương pháp thường được áp dụng trong các bài toán có điểm cố định, với góc giữa hai tia hoặc hai đường thẳng không thay đổi, được ký hiệu là a Đồng thời, độ dài các đoạn thẳng trong phép quay cũng phải bằng nhau.

- Phép quay được sử dụng trong các bài toán có giả thiết là tam giác cân, tam giác đều, hình vuông b) Một số ví dụ

Cho hai đường thẳng song song a và b, và một điểm C không nằm trên hai đường thẳng đó Cần tìm hai điểm A và B trên a và b sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

Giả sử ta đã dựng được tam giác đều ABC thỏa mãn các điều kiện bài toán

Khi đó, đường thẳng a ’ là ảnh của a cũng đi qua B (Hình 4)

Từ đó ta suy ra cách dựng:

Đường thẳng a’ được tạo ra từ ảnh của a qua phép quay Q Để thực hiện điều này, ta kẻ đường CH vuông góc với a tại điểm H, sau đó tìm ảnh H’ của H qua phép quay Cuối cùng, vẽ đường thẳng a’ vuông góc với CH’ tại điểm H’.

Gọi B là giao điểm của a' với b, và điểm A là ảnh của B trong phép quay Ta có a nằm trên a, từ đó dễ dàng chứng minh rằng tam giác Abc là tam giác đều cần dựng.

Trong tam giác ABC, chúng ta dựng hai hình vuông ABMN và ACPQ bên ngoài các cạnh AB và AC Để chứng minh rằng NC vuông góc với BQ và NC bằng BQ, ta tiến hành các bước cần thiết Tiếp theo, gọi M1 là trung điểm của BC, chúng ta sẽ chứng minh rằng AM1 vuông góc với QN và AM1 cũng bằng QN.

Hình 5 a) Ta xét phép quay Q(A,

 ) biến điểm N thành điểm B, điểm C thành điểm

Đường thẳng NC chuyển thành đường thẳng BQ Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua tâm A, ta có AM1 // B1C, vì AM1 là đường trung bình của tam giác BCB1 Qua phép quay Q(A), ta có các mối quan hệ hình học quan trọng.

C biến thành điểm Q và điểm B 1 biến thành điểm N Do đó, đương thẳng

CB 1 QN và AM 1 QN

Vì NQCB 1 , mà AM1 1

Cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn tâm O với bán kính AB = 2R Từ tam giác AMB, dựng hình vuông MBCD bên ngoài Cần tìm quĩ tích của đỉnh C khi M di chuyển trên nửa đường tròn Trên tia Bx vuông góc với AB tại B, lấy điểm O’ sao cho BO’ = BO Cần chứng minh rằng OM ⊥ O’C.

Theo giả thiết ta có BM và  BM BC ,      2 k 2 

Với phép quay tâm B, góc quay

   ta có C là ảnh của M (Hình 6) Do đó khi điểm M vạch nửa đường tròn đường kính A’B với A’ là ảnh của A trong phép quay Q( B,

Có thể chứng minh rằng qũy tích các điểm C cần tìm chính là nửa đường tròn được tạo ra từ nửa đường tròn đường kính AB, thông qua phép quay Q(B, 2).

 ) điểm M biến thành điểm C, điểm O biến thành điểm O’ nên ta suy ra OMO’C.