TR N AN H I   TU N HÀ N I - 2009 Chương BI N NG U NHIÊN ………… ti p theo §4 M TS QUY LU T PPXS THÔNG D NG Phân b nh th c Ví d Ki m tra 100 s n ph m c a m t nhà máy theo ki u có hồn l i Ta th y Có dãy 100 phép th v i k t qu c a m i phép th A = “Chính ph m”, A = “Ph ph m” Chúng có xác su t khơng i qua m i l n ki m tra K t qu c a m i l n ki m tra không nh hư ng n k t qu c a nh ng l n ki m tra l i T ng quát hóa ta có nh nghĩa M t dãy n phép th c g i c l p n u k t qu c a m i phép th không nh hư ng n k t qu c a nh ng phép th l i M t dãy n phép th c l p c g i m t l
c Bernoulli th a i u ki n: ∗ M i phép th ch xét t i bi n c A A ∗ P(A) = p m i phép th Ta xét m t lư c Bernoulli g m n phép th t X = s l n xu t hi n A n phép th X m t bnn có t p giá tr {0, 1, 2, …, n} Ta tìm quy lu t ppxs c a X Trư ng h p n = Ký hi u Bi = “A x y phép th th i” P(Bi) = p, P (Bi ) = − p = q P{X = 0} = P(B1 B2 B3 ) = P(B1 ) P(B2 )P(B3 ) = q3 = C3 p0q P{X = 1} = P(B1 B2 B3 ∪B1 B2 B3 ∪B1 B2 B3 ) = 3pq2 = C3 p1q P{X = 2} = P(B1B2 B3 ∪B1B2B3 ∪B1 B2B3 ) 2 = 3p q = C3 p2q1 P{X = 3} = P(B1B2B3 ) = p3 = C3 p q Trư ng h p t ng quát Ch ng minh tương t trư ng h p trên, ta có: Quy lu t ppxs c a X i P{X = i} = Cn pi q n − i (i = 0, 1, …, n) Ta nói X có phân b nh th c v i tham s n, p Ta ký hi u X ∼ B(n, p) (B vi t t t binomial) c bi t, X ∼ B(1, p) ta nói X có phân b khơngm t v i tham s p X P q p nh lý N 1) 2) 3) u X ∼ B(n, p), E(X) = np D(X) = npq mod(X) = [(n+1)p] ( ph n nguyên c a (n+1)p) Ví d T l c tri ng h ng c viên Bush b u c t ng th ng 60% Ngư i ta h i ý ki n 20 c tri c ch n m t cách ng u nhiên G i X s ngư i b phi u cho Bush 20 ngư i ó a) Tính s ngư i b phi u có kh nh t tính trung bình s ngư i b phi u 20 ngư i b) Tính P{X ≤ 10}, P{X>12}, P{X = 11} §5 X P X PHÂN B NH TH C i v i X ∼ B(n, p) v i n l n vi c tính c th k P{X = k} = Cn pk q n − k nói chung khó Dư i ây ưa m t s công th c cho phép tính x p x giá tr Trư ng h p n l n p bé (np )k P{X = k} ≈ e − np k! X p x t t n> 50 p5 ho c npq>20 Ví d Gi s t l dân cư m c b nh A vùng 10% Ch n ng u nhiên m t nhóm 400 ngư i Tính xác su t nhóm có úng 50 ngư i m c b nh A Gi i X = s ngư i m c b nh A nhóm X ∼ B(400; 0,1)  50 − 400(0,1)  ϕ P{X = 50} ≈  400(0,1)(0,9)  400(0,1)(0,9)  = ϕ(1,67 ) ≈ 0,0168 ☺ Ví d Gi s t l dân cư m c b nh A vùng 10% Ch n ng u nhiên m t nhóm 400 ngư i Tính xác su t nhóm có úng 50 ngư i m c b nh A Gi i X = s ngư i m c b nh A nhóm X ∼ B(400; 0,1)  50 − 400(0,1)  ϕ P{X = 50} ≈  400(0,1)(0,9)  400(0,1)(0,9)  = ϕ(1,67 ) ≈ 0,01648 ☺ Ví d M t cu c i u tra cho th y 63,7% gia ình m t vùng ó thích dùng lo i b t gi t A Ch n ng u nhiên 300 gia ình vùng Tính xác su t có s gia ình thích dùng lo i b t gi t A l n hay b ng 200 nh hay b ng 215 Gi i X = s gia ình thích dùng lo i b t gi t A 300 ngư i X ∼ B(300; 0,637) np = 191,1 > 5, nq = 108,9 > npq ≈ 8,329 nên P{200 ≤X ≤ 215}  215,5 − 191,1  199,5 − 191,1 ≈ Φ  − Φ  8,329 8,329     ≈ Φ (2,93 ) − Φ(1,01) ≈ 0,9983 – 0,8438 = 0,1545 ☺ Chương 33 LU T S L N Trên th c t , khơng bi t giá tr ích th c c a xác su t, ngư i ta ph i dùng t n su t thay cho xác su t Cịn khơng bi t lu t ppxs c a bnn X, ngư i ta dùng trung bình c ng c a n giá tr quan sát c v X thay cho E(X), v.v… Khi thay th th ã ph m sai sót c n ph i tuân theo gi thi t, th t c gi m sai sót Nh ng m nh n m c t i thi u góp ph n vào vi c tr l i câu h i ó có tên g i chung lu t s l n (g i lu t s l n th hi n ý khái quát: Càng có nhi u s li u v bnn sai sót) nh lý Bernoulli Gi s lư c Bernoulli g m n phép th , bi n c A xu t hi n m l n, ∀ε > cho trư c ta có P ( A)(1 − P ( A)) m  P  − P ( A) < ε  > − nε n  Ý nghĩa c a nh lý P ( A)(1 − P ( A)) V i n l n − g n 1, nên nε b t nói lên r ng h u ch c ch n l ch gi a t n su t c a A P(A) không vư t ε Ví d Gieo m t ng xu cân i 1000 l n, c tính xác su t t n su t xu t hi n m t S l ch v i xác su t xu t hi n m t S không 0,1 Gi i n =1000, P(S) = P(N) = 0,5 Ta có b t m 0,52   P − P (S ) < ε  > − = 0,975 1000 ⋅ 0,1  1000  ⇒ xác su t ph i tìm khơng nh 0,975 ☺ nh lý Tchebychev Gi s trung bình c ng c a n giá tr quan sát c v bnn X x, ó ∀ε > cho trư c ta có D( X ) P {x − E ( X ) < ε} > − nε Ý nghĩa c a nh lý D( X ) V in l n − g n 1, nên b t nói nε lên r ng h u ch c ch n l ch gi a t n su t c a x E(X) không vư t ε Do nh lý Tchebychev, o lư ng m t i tư ng ó có kích thư c q l n, ngư i ta ti n hành o r t nhi u l n r i l y trung bình c ng c a k t qu thu c làm kích thư c c a i tư ng y ... m i, doanh nghi p kh? ?ng th kh ng nh c m t cách ch c ch n doanh s h? ?ng th? ?ng có th t mà ch d ki n: t i thi u = 20 tr/ th t i a = 40 tr/ th Tìm xác su t tr/ th tr l? ?n doanh nghi p t doanh s t 35 Gi... Ph? ?n b chu n c Gauss phát minh n? ?m 1809 T 10 DM có th h? ?m m t c a ph? ?n b chu n Lu t ph? ?n b chu n g p r t nhi u Ph? ?n ph i xác su t c a VN Index cu i th? ?ng 11, u th? ?ng 12 n? ?m 20 08 i s ng Ph? ?n ph... u nhi? ?n G i X s ng? ? i b phi u cho Bush 20 ng? ? i ó a) Tính s ng? ? i b phi u có kh nh t tính trung bình s ng? ? i b phi u 20 ng? ? i b) Tính P{ X ≤ 10}, P{ X> 12} , P{ X = 11} Gi i X ∼ B (20 ; 0,6) a) s ng? ?