Thuật toán tham lam giải một lớp bài toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên

Luận văn này, chúng tôi muốn đề cập đến một lớp bài toánlập kế hoạch sản xuất có dạng bài toán "chiếc túi" mục 2.1, chương 2.Bài toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên mà ở đ

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất và thống kê 5

1.1.1 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất 5

1.1.2 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết thống kê 8

1.2 Một số nội dung cơ bản của bài toán quy hoạch ngẫu nhiên 10

1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 10

1.2.2 Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên 12

1.2.3 Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên và các hướng tiếp cận giải 13

1.3 Một số phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch 16

1.3.1 Phương pháp tụt 16

1.3.2 Phương pháp thử thống kê 17

1.3.3 Phương pháp tham lam giải bài toán quy hoạch nguyên tất định 19

Chương 2 Thuật toán tham lam giải một lớp bài toán quy hoạch ngẫu nhiên 21

2.1 Một lớp bài toán lập kế hoạch sản xuất 21

2.1.1 Bài toán thực tế 21

2.1.2 Mô hình toán học tổng quát của bài toán khi có biến động ngẫu nhiên 21

2.2 Cận cho chính sách thích nghi và thuật toán tham lam 24

2.2.1 Cận cho chính sách thích nghi (Adaptive Policy) 24

2.2.2 Thuật toán tham lam (The Greedy Algorithm) 26

và phương pháp xấp xỉ (Approximate) 32

2.3.1 Chính sách có trật tự và các tập cố định 32

2.3.2 Một chính sách thích nghi (5 + ε)-xấp xỉ 35

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

Mở đầu

Bài toán lập kế hoạch sản xuất đã được nghiên cứu và ứng dụng mộtcách rộng rãi trong hầu hết các ngành kinh tế, kỹ thuật Tuy nhiên, trongtừng lớp bài toán lập kế hoạch có những dạng mô hình toán học khác nhau

Sự biến động ngẫu nhiên của dữ liệu có được cũng phụ thuộc vào thực tếcủa bài toán Luận văn này, chúng tôi muốn đề cập đến một lớp bài toánlập kế hoạch sản xuất có dạng bài toán "chiếc túi" (mục 2.1, chương 2).Bài toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên mà ở đó cáckhối lượng công việc là các biến ngẫu nhiên với phân bố xác suất được biết,

đã được nghiên cứu khá rộng rãi và công bố trong các bài báo từ trướcnhững năm 1966

Bài toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên, nói ngắn gọn

là bài toán lập kế hoạch ngẫu nhiên Hầu như các bài toán lập kế hoạchngẫu nhiên, được nghiên cứu hiện nay liên quan đến việc lập kế hoạch chotất cả các công việc nhằm làm giảm thiểu chi phí dự kiến thời gian hoànthành đối với một xí nghiệp hoặc tổ hợp các xí nghiệp

Trong một kết quả gần đây, tác giả B C Dean đã cho thấy rằng cácnghiên cứu đó không xem xét tới mục tiêu cụ thể mà ông đang nói tớitrong bài báo của mình Về các kết quả được đề cập trong bài báo, chủyếu tác giả xét tới thuật toán tham lam, từ đó đưa ra hướng tiếp cậnphương pháp xấp xỉ nhằm giảm bớt độ phức tạp của thuật toán Với cáchđặt vấn đề như vậy, chúng tôi cố gắng tiếp cận tới các kết quả ông cùngcộng sự, trên bài báo Xấp xỉ bài toán chiếc túi ngẫu nhiên: Lợi ích củathích nghi (Approximating the Stochastic Knapsack Problem: The Benefit

of Adaptivity), công bố 2005

Các kết quả mà bài báo đã nêu, chúng tôi nhận thấy có thể sử dụng

để nghiên cứu một lớp bài toán lập kế hoạch sản xuất khi dữ liệu có biến

động ngẫu nhiên Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Thuậttoán tham lam giải một lớp bài toán lập kế hoạch sản xuất cóbiến động ngẫu nhiên ".

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nêunhững khái niệm và kiến thức cở sở của lý thuyết xác suất và thống kê; bàitoán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên và bài toán chiếc túi ngẫunhiên, các hướng tiếp cận để giải nó Các kiến thức chuẩn bị này nhằmphục vụ cho việc nghiên cứu của đề tài

Chương 2 Thuật toán tham lam giải một lớp bài toán quyhoạch ngẫu nhiên Đây là nội dung chính của luận văn Trước hết chúngtôi nêu bài toán thực tế đặt ra, từ đó mô hình hoá dạng toán học Tiếptheo nghiên cứu việc thực hiện thuật toán tham lam, có chú ý tới lợi íchthích nghi, nhằm xấp xỉ giải bài toán đã cho

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS.Trần Xuân Sinh, nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

và cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất thống kê và toán ứng dụng

đã giảng dạy, chỉ bảo cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.Cũng nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo cô giáo trongkhoa Toán, Phòng Sau đại học trường Đại học Vinh Tôi xin bày tỏ lờicảm ơn tới bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận tiện cho tôi hoànthành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót.Chúng tôi mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và cácbạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 10 năm 2012

Tác giả

P1) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ F, (tính không âm)

• Không gian xác suất

Cho (Ω, F ) là một không gian đo Khi đó (Ω, F , P) được gọi là khônggian xác suất

• Đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất; G là σ-đại số của F; B là σ-đại

số Borel trên R Khi đó ánh xạ X : Ω −→ R được gọi là đại lượng ngẫunhiên G-đo được nếu với mọi B ∈ B, ta có

X−1(B) := {ω : X(ω) ∈ B} ∈ G

Trong trường hợp khi X là đại lượng ngẫu nhiên F -đo được, thì X đượcgọi đơn giản là đại lượng ngẫu nhiên

Cho (Fn, n ∈ N) là dãy tăng các σ-đại số con của σ-đại số F : F0 ⊂

F1 ⊂ ⊂ Fn ⊂ ⊂ F Giả sử (Xn, n ∈ N) là dãy các đại lượng ngẫu

nhiên Khi đó nếu Xn ∈ F , ∀n ∈ N, thì dãy (Xn, F , n ∈ N) được gọi là dãyphù hợp.

• Hàm Borel

Hàm ϕ : (Rn, B(Rn)) → (R, B(R)) được gọi là hàm Borel, nếu nó là hàmB(Rn) - đo được, nghĩa là

ϕ−1(B) ∈ B(Rn),với mỗi B ∈ B(R)

• Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P), nhận giá trịtrên R Hàm số FX(x) = P[X < x], (x ∈ R) được gọi là hàm phân phối củađại lượng ngẫu nhiên X

1.1.1.2 Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên

• Định nghĩa Giả sử X : (Ω, F , P) → (R, B) là đại lượng ngẫu nhiên.Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là

kỳ vọng X và ký hiệu là EX

• Các tính chất

1 Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0

2 Nếu X = C thì EX = C, với C là hằng số

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi hằng số λ, ta có E(λX) = λEX

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY

8 Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = EX.EY

1.1.1.3 Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên

• Định nghĩa Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là DX(hay varX) là một số được xác định bởi

DX = E(X − EX)2.Khi đó

1.1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện và martingale

• Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất X : Ω → R là đại lượng ngẫunhiên và G là σ-đại số con của F Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Y được gọi

là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ-đại số G nếu

(i) Y là đại lượng ngẫu nhiên G-đo được,

(ii) Với mỗi A ∈ G, ta có

và thường ký hiệu là Y = E(X|G)

• Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất (Xn, n ∈ N) là dãy cácđại lượng ngẫu nhiên (Fn, n ∈ N) là dãy tăng các σ-đại số Khi đó dãy(Xn, Fn)n∈N được gọi là martingale nếu

(i) (Xn, Fn)n∈N là dãy phù hợp,

(ii) E Xn < ∞, ∀n ∈ N,

(iii) Với m ≤ n, m, n ∈ N thì E(Xn|Fm) = Xm h.c.c

1.1.2 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết thống kê

1.1.2.1 Mẫu và các loại xác định mẫu

• Tổng thể và mẫu

◦ Trong thực tế, các thông tin về một đối tượng hoặc hiện tượng cầnnghiên cứu chỉ có thể có được nhờ vào các quan sát hay là các phép thử.Các thông tin có được như vậy phải đảm bảo tính chính xác, tính ngẫunhiên của nó, phải là các đại diện một cách trung thực cho đối tượng hoặchiện tượng mà chúng ta cần nghiên cứu

Các quan sát (phép thử) được tiến hành một cách độc lập với nhau Kếtquả của quan sát (phép thử) này không phụ thuộc vào kết quả của quansát (phép thử) khác và cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra kếtquả của quan sát (phép thử) khác Để có được quan sát (phép thử), chúng

ta cần chọn mẫu (lấy mẫu)

◦ Tập hợp có các phần tử là đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi làtổng thể Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể Nếu từtổng thể, ta chọn ra n phần tử thì n phần tử đó gọi là một mẫu có kíchthước n hay cỡ n được chọn từ tổng thể

◦ Khi chọn mẫu, nếu phần tử đã chọn loại ra khỏi tổng thể, đối với mỗilần chọn tiếp theo thì gọi là mẫu không hoàn lại Nếu phần tử đã chọn trảlại tổng thể, rồi mới chọn phần tử tiếp theo thì gọi là mẫu có hoàn lại

◦ Mẫu được gọi là mẫu ngẫu nhiên nếu nó được chọn một cách nào đó

để bảo đảm tính khách quan, ngẫu nhiên

Giả sử chúng ta tiến hành n quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên X

Ta gọi Xj là việc quan sát lần thứ j về biến ngẫu nhiên X Khi đó ta có(X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên cỡ n Ta ký hiệu xj là kết quả quan sátđược ở lần thứ j thì (x1, x2, , xn) là n giá trị cụ thể ta quan sát được

• Các loại xác định mẫu

◦ Ta gọi mẫu định tính là mẫu mà ta quan tâm đến các phần tử của nó

có một tính chất A nào đó hay không

◦ Ta gọi mẫu định lượng là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố vềlượng của các phần tử trong mẫu, chẳng hạn như chiều dài, khối lượng 1.1.2.2 Đặc trưng mẫu

• Tỷ lệ mẫu Cho mẫu định tính kích thước n, trong đó có m phần tử

• Phương sai mẫu

Định nghĩa Phương sai mẫu được xác định theo công thức

1.2 Một số nội dung cơ bản của bài toán quy hoạch ngẫu nhiên1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên

Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng

Rn, với cTx = Pn

j=1cjxj; b = (b1, b2, , bm) ∈ Rm; A = (Aj) = (aij)m×n,với Ax = Pn

j=1aijxj; hai vectơ (ma trận) a = (a1, a2, , am) và b =(b1, b2, , bm) được sắp thứ tự a ≤ b nếu ai ≤ bi, ∀i = 1, m

Bài toán quy hoạch tuyến tính nêu trên, nếu có các phần tử của matrận A, b, c xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài toán quy hoạch tuyếntính ngẫu nhiên (Stochastic Linear Program) Để nghiên cứu bài toán quyhoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu cầu thực tế mà có nhiều cáchtiếp cận khác nhau

Thông thường, người ta xét tới các trường hợp:

Nếu bài toán đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương ántối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối

ưu không cần thay đổi thì đó là bài toán quy hoạch ngẫu nhiên một giaiđoạn (chỉ cần một lần xét tới tập phương án)

Nếu bài toán đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương ántối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối

ưu cần tính toán điều chỉnh lại một lần thì đó là bài toán quy hoạch ngẫunhiên hai giai đoạn (cần hai lần xét tới tập phương án)

Nếu bài toán đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương ántối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối

ưu cần tính toán điều chỉnh lại hơn một lần thì đó là bài toán quy hoạchngẫu nhiên nhiều giai đoạn (cần hơn hai lần xét tới tập phương án) Bài

toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn được xét đến thông qua bàitoán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn.

Bài toán quy hoạch tuyến tính 2 giai đoạn có dạng ở giai đoạn 2 là

y tương ứng là các biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai;

D là ma trận cấp m × m (thông thường có thể lấy ma trận đơn vị);

y = (y1, y2, , ym); Dy thể hiện độ lệch giữa Ax với b và q = (q1, q2, , qn)gọi là vectơ phạt bởi tác động của đại lượng ngẫu nhiên ez

Giai đoạn thứ nhất, biến x là nghiệm thu được trên cơ sở thông tin cóđược từ thực nghiệm

Giai đoạn thứ hai, biến y là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm sơ

bộ x của giai đoạn thứ nhất với thông tin xác định

Do vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính đã nêu, tương đương với việc giảibài toán

với điều kiện

1.2.2 Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên

Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, với tập phương án có một số (hoặc tấtcả) các toạ độ của biến nhận giá trị rời rạc thì ta có bài toán quy hoạchrời rạc ngẫu nhiên Trong lớp các bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên,chúng ta quan tâm tới lớp bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên

Xét các bài toán quy hoạch nguyên dạng

min

trong đó W là một vectơ ngẫu nhiên có phân phối xác suất P; M là mộttập hợp hữu hạn các điểm nguyên thuộc Rn; C(x, W ) là một hàm lấygiá trị thực của hai biến vectơ x và W ; EP[C(x, W )] := R C(x, w)P(dw)

là giá trị kỳ vọng của C(x, W ) Chúng tôi giả thiết rằng hàm giá trị kìvọng c(x) được xác định rõ Với mỗi x ∈ M hàm C(x, ) là P đo được và

2) Hàm C(x, W ) là dễ tính toán đối với x và W cho sẵn

3) Tập hợp M các phương án, mặc dầu hữu hạn nhưng rất rộng, vì vậycách tiếp cận bằng liệt kê là không thể thực hiện được

Ta đã biết rằng các bài toán tối ưu rời rạc là bài toán NP-khó Một khókhăn ở đây là hàm mục tiêu c(x) có thể phức tạp hoặc khó để tính toánngay cả với phương pháp xấp xỉ Bởi thế các bài toán tối ưu rời rạc ngẫunhiên là thực sự khó Chúng ta có thể xét các bài toán tối ưu rời rạc ngẫunhiên trong đó nghiệm với sai số cho phép là đủ nhỏ để xác định công thứcước lượng của c(x) đối với mỗi x.

Quan tâm tới phương pháp này có Hochberg, Tamhane, Bechhofer, ner, Goldsman, Futschik và Pflug Một cách tiếp cận khác đã được Gelfand,Milter, Alrefaei, Andradattir, Fox, Heine, Gut - jahr, Pflug và Homem-de-Mello nghiên cứu, bao gồm các phương pháp thích nghi tốt để đếm các sựkiện mà giá trị hàm mục tiêu không được biết đến một cách chính xác Mộtcách tiếp cận nhánh và cận để giải bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên

Sant-đã được gợi ý bởi Norkin, Ermokiev, Ruszczynski, và Pflug Còn Schultz

và Stougie đã gợi ý một cách tiếp cận đại số để giải quy hoạch nguyênngẫu nhiên bằng cách nhờ tới một hệ cơ sở rút gọn của cơ sở Grobner.1.2.3 Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên và các hướng tiếp cận giải1.2.3.1 Bài toán chiếc túi tất định Cho n đồ vật, trọng lượng tươngứng của đồ vật thứ i là ai và có giá trị là ci (i = 1, n) Ta hãy xếp đồ vậtvào túi có tải trọng là b, sao cho tổng trọng lượng không vượt quá b và đạtgiá trị lớn nhất

Ta có thể tóm tắt bài toán như sau:

1.2.3.2 Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên Bài toán chiếc túi tất định

là bài toán quy hoạch tuyến tính, có các tính chất riêng biệt của nó nênđược giải bằng phương pháp quy hoạch động Khi thông tin về dữ liệu củabài toán phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên thì ta có bài toán chiếc túi ngẫunhiên

1.2.3.3 Cách tiếp cận giải bài toán chiếc túi

• Để giải bài toán chiếc túi tất định, người ta đã đưa ra nhiều thuậttoán Sau đây, ta xét thuật toán giải dựa trên phương pháp quy hoạch động.Với mỗi số nguyên k và h, (k = 1, n, h = 0, b), ta đặt

Từ công thức (1.4), người ta cũng có thể biến đổi để có được công thức

đệ quy sau đây, gọi là Hệ thức Dantzig

án tối ưu cần tìm

• Để giải bài toán chiếc túi ngẫu nhiên, tuỳ theo cách tiếp cận khác nhau

về mặt kỹ thuật mà có những phương pháp đặc biệt khác nhau Thôngthường người ta chuyển về bài toán quy hoạch với ràng buộc ngẫu nhiên

Do ràng buộc với thông tin về dữ liệu ai, i = 1, 2, , n không rõ ràng,nên điều kiện ràng buộc Pni=1aixi ≤ b không được xác định, phụ thuộcvào sự xuất hiện có tính ngẫu nhiên của ai

Giả sử ai, i = 1, 2, , n phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên wi, i = 1, 2, , n

Ký hiệu w = (wi) lấy giá trị trong W ⊆ Rn+; độ đo xác suất P trên W làP(w ∈ W ) = P(W ) = 1 Khi đó bài toán (1.1)(1.2)(1.3) trở thành bài toánchiếc túi với ràng buộc ngẫu nhiên

xi ∈ {0; 1}, i = 1, 2, , n,trong đó ε > 0, đủ bé cho trước nào đó.

Như vậy bài toán chiếc túi lúc này đặt ra là: Tìm một điểm x∗ ∈ {0; 1}n

1.3 Một số phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược ba hướng tiếp cận giải bàitoán quy hoạch bằng phương pháp xấp xỉ Đây cũng là những phương phápthường được sử dụng cho việc thiết lập thuật toán giải bài toán quy hoạchtuyến tính ngẫu nhiên

1.3.1 Phương pháp tụt

Xét bài toán quy hoạch

minf (x) : x ∈ M ,trong đó f (x) là hàm khả vi, xác định trên tập lồi đóng M , thông thường,

ta xét hàm f (x) thuộc lớp C1,1(M ) (hàm f (x) khả tích và đạo hàm thoảmãn điều kiện Lipschitz trên M ) Quá trình xây dựng dãy điểm xk gọi làgiảm dư nếu xk ∈ M và f (xk+1) ≤ f (xk), k = 0, 1, Từ nay về sau, ta giảthiết rằng tập các phương án tối ưu

M∗ = x∗ ∈ M : f (x∗) = min

x∈Mf (x) 6= ∅,đồng thời cũng giả thiết rằng xk ∈ M/ ∗, (vì trong trường hợp ngược lại xk

là phương án tối ưu cần tìm và quá trình giảm dư kết thúc) Hướng s ∈ Rnchấp nhận được từ x ∈ M được gọi là hướng tụt từ x (hay là giảm từ x )nếu f (x + λs) ≤ f (x), với mọi λ ∈ [0, λ0], λ0 > 0

1.3.1.1 Lược đồ tổng quát

Bước xuất phát Chọn xấp xỉ ban đầu x0 ∈ M

Bước k, (k = 1, 2, ) Tại điểm xk, ta chọn hướng tụt (−sk) (Chẳnghạn chọn sk = xk− yk, trong đó yk ∈ M được chọn sao cho f (yk) < f (xk)).k.1 Đặt

wk = min

β≥0 f (xk − βsk) = f (xk− βksk)

k.2 Lấy λk ∈ (0, 1] sao cho

f (xk − βksk) ≤ (1 − λk)f (xk) + λkwk (∗)k.3 Ta xây dựng xấp xỉ thứ k + 1 theo công thức

Theo cách xác định wk thì wk ≤ f (xk − βsk) với mọi β ≥ 0, tính riêng

β = 0, ta được wk ≤ f (xk) Đồng thời do λk > 0 nên ta suy ra

f (xk+1) ≤ f (xk)

Điều đó chứng tỏ hướng chấp nhận (−sk) là hướng tụt từ xk

Chúng ta có thể thấy rằng các cách chọn ngẫu nhiên hướng chấp nhậnđược (−sk) là hướng tụt như đã nêu thì quá trình giảm dư là hội tụ.1.3.2 Phương pháp thử thống kê

ý tưởng của phương pháp thử thống kê (hay phương pháp Monte Carlo)

là phương pháp số giải các bài toán bằng cách mô hình hoá các đại lượngngẫu nhiên Về mặt nội dung, phương pháp này liên quan tới ý tưởng xâydựng một quá trình ngẫu nhiên có tất cả những đặc tính cần thiết của hệ

thống cần nghiên cứu Phương pháp thử thống kê có thể áp dụng được

ở mọi nơi, miễn là ở đó bài toán cho phép mô tả bằng toàn thể hay mộtphần của lý thuyết xác suất, dù rằng bài toán đó có thể đã có nội dungtiền định chặt chẽ

Các bộ phận cấu thành của phương pháp là:

- Xây dựng các mô hình xác suất của các quá trình thực tiễn cần nghiêncứu;

- Mô hình hoá các đặc trưng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước;

- Giải các bài toán của lý thuyết ước lượng thống kê

Giá trị thực tiễn của phương pháp thử thống kê là nó thay những phépthử bởi các kết quả tính toán dựa trên các đại lượng ngẫu nhiên Bởi vậy,

có thể xây dựng được các đặc trưng cần thiết của quá trình cần nghiêncứu, mà không cần dùng các phương pháp mô tả sự thay đổi của quá trình

đã cho Bài toán cơ bản của phương pháp thử thống kê là xác định xácsuất của các sự kiện bất kỳ và các giá trị trung bình của các đại lượngngẫu nhiên qua kết quả của các phép thử lặp đi lặp lại nhiều lần

Cơ sở của lược đồ chung về phương pháp thử thống kê là Định lý giớihạn trung tâm Từ Định lý giới hạn trung tâm suy ra rằng khi tăng sốphép thử thì độ chính xác của nghiệm tăng lên

Như vậy, thực chất của phương pháp thử thống kê là chương trình để tiếnhành một dãy các phép thử ngẫu nhiên Tuy nhiên, trong thực tế thườngdùng một cơ chế tiêu chuẩn để sản sinh ra các đại lượng ngẫu nhiên cóphân phối đều trên một miền nào đó Có thể nhận được số ngẫu nhiên ởphương pháp thử thống kê theo một trong những phương pháp đã biết.Nhược điểm quan trọng của phương pháp thử thống kê là để nhận đượccác đặc trưng của quá trình nghiên cứu với độ chính xác cho trước thì cầnquá nhiều phép thử

Vì vậy, phương pháp thử thống kê thường chỉ áp dụng được với các bàitoán có số ẩn không lớn lắm (số ẩn n không lớn hơn 30)

1.3.3 Phương pháp tham lam giải bài toán quy hoạch nguyêntất định

1.3.3.1 Lược đồ chung

Ta xét bài toán tối ưu

min{f (x) : x ∈ D},trong đó D là tập hợp hữu hạn các điểm nguyên thuộc Rn

ý tưởng tham lam: Ta hãy lấy một bài toán thực tế "Cực đại giá trịcác món ăn trong một bữa ăn", từ đây ta có "Kỹ thuật tham ăn" Tham

ăn hiểu một cách dân dã đời thường là: trong một mâm có nhiều món ăn,món nào ngon nhất (giá trị nhất) ta sẽ ăn trước và ăn cho hết món đó thìchuyển sang món ngon thứ hai, lại ăn hết món ngon thứ hai này và chuyểnsang món ngon thứ ba, cứ tiếp tục như vậy · · · Quá trình sẽ dừng lại khi

ăn đủ no hoặc hết món ăn

Kỹ thuật tham ăn thường được vận dụng để giải bài toán tối ưu nguyênnhằm xây dựng dần các thành phần tối ưu của một phương án x tối ưu.Như vậy, phương án x = (xi) được xây dựng bằng cách lựa chọn từngthành phần xi, i = 1, n, của x cho đến khi hoàn chỉnh (đủ n thành phần).Với mỗi thành phần thứ i, ta sẽ chọn xi tối ưu (tối ưu theo một biến).Bằng cách này thì có thể với số bước đủ lớn, ta chấp nhận một phương án

"tốt" gần với tối ưu

1.3.3.2 Sơ đồ chung của phương pháp

Ký hiệu M là tập phương án, S là tập lời giải gồm hữu hạn thành phần,xuất phát ta lấy S = ∅ Giả sử lời giải của bài toán cần tối đa n thànhphần Khi tập S chưa đủ n thành phần của bài toán, ta gọi là tập lời giải

bộ phận

Sơ đồ chung của thuật toán tham lam

Bước xuất phát Đặt S = ∅;

Bước k , k = 1, 2,

Với M 6= ∅ và S là tập lời giải bộ phận, ta thực hiện:

Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, với tập phương án có số (hoặc tấtcả) toạ độ biến nhận giá trị rời rạc ta có tốn quy hoạchrời rạc ngẫu nhiên Trong lớp toán quy hoạch. .. rời rạc ngẫu nhiên, chúng ta quan tâm tới lớp toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên

Xét toán quy hoạch nguyên dạng

min

trong W vectơ ngẫu nhiên có phân phối xác suất P; M mộttập... data-page="11">

toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn xét đến thơng qua bàitốn quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn.

Bài tốn quy hoạch tuyến tính giai đoạn có dạng giai đoạn

y tương ứng biến