Rèn luyện cho học sinh các phương thức phán đoán và hành động có căn cứ trong quá trình tìm tòi kiến thức khi dạy học định lí và giải bài tập hình học 10

Cao thị h-ơngRèn luyện cho học sinh các ph-ơng thức phán đoán và hành động có căn cứ trong quá trình tìm tòi kiến thức khi dạy học định lý và giải bài tập Hình học 10 Chuyên ngành: Lý

Cao thị h-ơng

Rèn luyện cho học sinh các ph-ơng thức phán đoán và hành động có căn cứ trong quá trình tìm tòi kiến thức khi dạy học định

lý và giải bài tập Hình học 10

Chuyên ngành: Lý luận và ph-ơng pháp dạy học bộ môn Toán

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS TS Đào Tam

tr-ờng đại học vinh

Cao thị h-ơng

“Rèn luyện cho học sinh các phương thức phán đoán

và hành động có căn cứ trong quá trình tìm tòi kiến thức khi dạy học định lý v¯ gi°i b¯i tập Hình học 10”

Chuyên ngành: Lý luận và ph-ơng pháp dạy học bộ môn Toán

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS TS Đào Tam

Lời cảm ơn

Luận văn đ-ợc hoàn thành tại tr-ờng Đại Học Vinh d-ới sự h-ớng dẫn khoa học của thầy giáo GS TS Đào Tam Tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy đã trực tiếp h-ớng dẫn, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học 18 chuyên ngành lý luận và ph-ơng pháp giảng dạy bộ môn Toán, tr-ờng Đại Học Vinh đã cho tác giả những bài học bổ ích trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban chủ nhiệm khoa cùng các thầy cô giáo khoa sau đại học, tr-ờng Đại Học Vinh

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành luận văn

Dù đã rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận đ-ợc sự góp ý của các thầy cô giáo và đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Quy -ớc về các chữ viết tắt

sử dụng trong luận văn

Viết tắt Viết đầy đủ

CNH : Công nghiệp hoá HĐH : Hiện đại hoá

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄNError! Bookmark not defined

1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay Error! Bookmark not defined.

1.1.1 Phương pháp dạy học môn Toán .Error! Bookmark not defined.

1.1.2 Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay

Error! Bookmark not defined.

1.2 Dạy học khám phá, vai trò của dạy học theo hướng tổ chức các hoạt động khám phá Error! Bookmark not defined.

1.2.1 Dạy học khám phá .Error! Bookmark not defined.

1.2.2 Vai trò của dạy học khám phá, các mức độ của dạy học khám phá

Error! Bookmark not defined 1.2.3 Mức độ khám phá trong tư tưởng giải toán của G.Polia Error! Bookmark not defined.

1.2.4 Mức độ khám phá trong một số xu hướng dạy học tích cực Error! Bookmark not defined.

1.3 Các biểu hiện năng lực khám phá của học sinh khá, giỏi Error!

Bookmark not defined.

1.3.1 Yêu cầu của giáo dục Toán với học sinh khá giỏi Error! Bookmark not defined.

1.3.2 Một số biểu hiện năng lực khám phá của học sinh khá giỏi trong

học HHKG lớp 11 .Error! Bookmark not defined 1.3.2.1 Đặc điểm của học sinh khá giỏi.Error! Bookmark not defined.

1.3.2.2 Một số đặc điểm của hình học không gian lớp 11 Error!

Bookmark not defined.

1.3.2.3 Một số biểu hiện năng lực khám phá của học sinh khá giỏi

trong học HHKG lớp 11 Error! Bookmark not defined.

1.4 Vài nét về khó khăn trong dạy học HHKG và thực trạng của dạy

học HHKG lớp 11

Error! Bookmark not defined.

1.4.1 Khó khăn khi dạy học HHKG lớp 11Error! Bookmark not

defined.

1.4.2 Thực trạng của việc dạy học HHKG lớp 11 theo hướng tổ chức

các hoạt động khám phá có hướng dẫn Error! Bookmark not defined.

1.5 Kết luận Chương 1 Error! Bookmark not defined.

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM DẠY HỌC HÌNH

HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THEO

HƯỚNG TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG KHÁM PHÁ.Error! Bookmark

not defined

2.1 Nội dung chương trình HHKG lớp 11 Error! Bookmark not defined.

2.2 Định hướng xây dựng biện pháp Error! Bookmark not defined.

2.3 Một số biện pháp sư phạm nhằm dạy học HHKG lớp 11 theo

hướng tổ chức các hoạt động khám phá có hướng dẫn Error!

Bookmark not defined.

2.3.1 Biện pháp1:Chú trọng bồi dưỡng cho học sinh năng lực dự

đoán trong suốt quá trình chiếm lĩnh kiến thức.Error! Bookmark not

defined.

2.3.1.1 Tăng cường tổ chức dạy học thông qua những mô hình thực tế

nhằm bồi dưỡng năng lực phán đoán hình học

Error! Bookmark not defined.

2.3.1.2 Rèn luyện khả năng dự đoán kiến thức nhờ đặc biệt hoá, khái

quát hoá, tương tự hoá thông qua việc tổ chức các pha dạy học có tính

mở: Error! Bookmark not defined.

2.3.1.3 Sử dụng phần mềm dạy học hỗ trợ cho việc dự đoán kiến thức.

Error! Bookmark not defined.

2.3.2 Biện pháp 2 : Tăng cường tổ chức cho học sinh phát hiện các thuộc tính của một khái niệm từ đó phát biểu định nghĩa tương đương của khái niệm đó Error! Bookmark not defined.

2.3.2.1 Ngay khi dạy học khái niệm, tính chất, luôn chú trọng cho học

sinh phát biểu các thuộc tính của khái niệmError! Bookmark not

defined.

2.3.2.2 Tạo động lực cho quá trình tìm tòi các định nghĩa tương

đương của một khái niệm Error! Bookmark not defined 2.3.3 Biện pháp 3: Tổ chức các hoạt động cho học sinh phát hiện và xác lập mối liên hệ giữa hình học không gian và hình học phẳng Error! Bookmark not defined.

2.3.3.1 Khi dạy học các khái niệm mới trong HHKG, cần tổ chức cho

học sinh phát hiện sự tương tự của khái niệmError! Bookmark not

not defined.

2.3.4.2 Hoạt động phân tích biến đổi giả thiết của bài toán Error!

Bookmark not defined.

2.3.4.3 Phân tích phát hiện ra mối liên hệ bên trong của giả thiết và

kết luận Error! Bookmark not defined.

2.3.4.4 Phân tích các yếu tố trong bài toán: đối tượng, quan hệ các

đối tượng để đề xuất bài toán mới Error! Bookmark not defined.

2.4 Kết luận chương 2 Error! Bookmark not defined Chương 3.THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Error! Bookmark not defined 3.1 Mục đích thực nghiệm Error! Bookmark not defined 3.2 Nội dung thực nghiệm Error! Bookmark not defined 3.3 Kết quả thực nghiệm và phân tích kết quả thực nghiệm Error! Bookmark not defined.

3.4 Kết luận chương 3 Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined.

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Xuất phát từ mục tiêu giáo dục THPT, Luật Giáo dục năm 2005 đã xác định “các phẩm chất và năng lực phát triển cho HS nhằm trước hết đáp ứng được yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực trong giai đoạn phát triển kinh tế xã hội mới của đất nước, giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá để đến năm 2020 đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp trong bối cảnh toàn cầu hoá, mở

rộng giao lưu hội nhập quốc tế với sự hình thành và phát triển của nền kinh tế tri thức, đồng thời đáp ứng yêu cầu phát triển đa dạng của mỗi cá nhân”

Điều 24 của Luật Giáo dục năm 2005 cũng đã yêu cầu về đổi mới nội dung, phương pháp giáo dục THPT là “nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo của HS, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn học công cụ, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán học cùng với phương pháp làm việc trong môn Toán sẽ trở thành công

cụ để học tốt những môn học khác Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết thì môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ

Và trong một xã hội đang phát triển nhanh theo cơ chế thị trường, cạnh tranh gay gắt thì phán đoán được, phát hiện sớm, biết hành động đúng để giải quyết hợp lý những vấn đề nảy sinh trong thực tiễn là một năng lực đảm bảo

sự thành đạt trong cuộc sống nói chung và trong quá trình học môn Hình học lớp10 nói riêng Vì vậy tập dượt cho HS biết phán đoán phát hiện, hành động

và giải quyết những vấn đề gặp phải trong học tập trong cuộc sống của cá nhân, gia đình và cộng đồng không chỉ có ý nghĩa ở tầm phương pháp dạy học mà phải được đặt ra như một mục tiêu giáo dục Trong dạy học phát hiện

và giải quyết vấn đề, dạy học khám phá, dạy học kiến tạo nếu HS có được những kỹ năng phán đoán và hành động có căn cứ trong quá trình học tập thì

HS sẽ vừa nắm được tri thức vừa nắm được phương pháp chiếm lĩnh tri thức

đó, không những thế mà còn phát triển được tư duy tích cực sáng tạo, được chuẩn bị một năng lực thích ứng với đời sống xã hội, phát triển kịp thời và giải quyết hợp lí các vấn đề nảy sinh

Việc nghiên cứu lý luận về phán đoán, dự đoán, về hành động hay các cách tiếp cận phát hiện trong dạy học giải Toán đã được một số tác giả trong nước quan tâm như: "Dạy học khái niệm Toán cho học sinh phổ thông theo quan điểm kiến tạo", Tạp chí giáo dục; "Phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diến trong quá trình dạy học giải toán ở bậc trung học phổ thông", Luận văn Thạc sỹ giáo dục học Toán của tác giả Nguyễn Thị Hoa Mùi; "Cải tiến phương pháp dạy học Toán với yêu cầu tích cực hoá hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua phần giảng dạy",

“quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 THPT", Luận án Tiến sĩ của tác giả Nguyễn Lan Phương Các công trình nghiên cứu trên đã nghiên cứu về dạy học kiến tạo, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề,nghiên cứu về dự đoán và suy luận Tuy nhiên việc vận dụng các phương thức phán đoán và các phương thức hành động có căn cứ khi dạy học định lý và giải bài tập Hình học 10 chưa được nghiên cứu một cách có hệ thống Nhưng đó lại là một vấn

đề cấp thiết trong quá trình giảng dạy Toán lớp 10, là cái nôi cho học sinh học tập tiếp các nội dung toán học nói riêng và các môn học khác nói chung Sự quan tâm chưa đúng mức và còn gặp rất nhiều khó khăn về vấn đề này trong trường phổ thông cũng bởi phán đoán có căn cứ thuộc phạm trù trí tuệ mà khi dạy học thì thời lượng dành cho từng phần không có nhiều nên học sinh khó

có thể có thời gian làm bài tập cũng như đào sâu kiến thức hay rèn luyện các phương thức phán đoán và hành động

Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện cho học sinh các phương thức phán đoán và hành động có căn cứ trong quá trình tìm tòi kiến thức khi dạy học định lý và giải bài tập Hình học 10”

II Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu đề xuất các phương thức phán đoán và hành động có căn

cứ nhằm cụ thể hoá các họat động phát hiện và giải quyết vấn đề của HS, qua

đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Hình học 10 theo hướng tích cực hoá người học

III Đối tượng nghiên cứu:

Nghiên cứu xác đinh các phương thức phán đoán và đề xuất các

phương thức luyện tập cho HS phán đoán, hành động có căn cứ trong dạy học

định lý và giải bài tập Hình học 10

IV Giả thuyết khoa học:

Từ việc nghiên cứu một số lý thuyết dạy học tích cực và thực hiện dạy học Toán ở trường phổ thông chúng tôi cho rằng cần và có thể luyện tập cho

HS một số phương thức phán đoán và hành động có căn cứ trong quá trình phát hiện tìm tòi kiến thức mới khi dạy học Hình học ở lớp 10 để góp phần thực hiện mục tiêu tích cực hoá hoạt động nhận thức của người học qua đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán

V Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu cơ sở logic học và cơ sở Toán học

Nghiên cứu lý luận dạy học tích cực gắn với yêu cầu phải luyện tập phán đoán và hành động có căn cứ

Nghiên cứu các tri thức thúc đẩy hoạt động phán đoán

Nghiên cứu khảo sát thực tiễn ở trường phổ thông để xác định ưu, nhược điểm của Toán học trong việc luyện tập cho HS năng lực phán đoán

Đề xuất con đường, phương pháp luyện tập cho HS cách thức phán đoán và hành động có căn cứ

VI Phạm vi nghiên cứu:

Nghiên cứu các tri thức điều chỉnh các phán đoán và hành động có căn

Nghiên cứu cơ sở logic học liên quan

VII Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

+ Thông qua việc nghiên cứu tài liệu sách tham khảo, Luận án Tiến sỹ Luận văn liên quan đến đề tài nghiên cứu

+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Toán 10 THPT

- Phương pháp điều tra thực tiễn nhằm xác định những thuận lợi, khó khăn của học sinh trong việc phán đoán và hành động trước những kiến thức của Toán 10 đặt ra

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

+ Quan sát kiểm tra hoạt động của HS

+ So sánh lớp thực nghiệm với lớp đối chứng, kết hợp trao đổi ý kiến với các GV giảng dạy

VIII Đóng góp của luận văn:

Luận văn góp phần vào việc chỉ ra cơ sở lý luận của việc rèn luyện cho

HS các phương thức phán đoán và hành động có căn cứ trong quá trình tìm tòi kiến thức khi dạy học định lí và giải bài tập Hình học 10

Luận văn đã đề xuất một số phương thức phán đoán và phương thức hành động có căn cứ trong quá trình tìm tòi kiến thức khi dạy học định lí và giải bài tập Hình học 10

Có thể sử dụng Luận văn để làm tài liệu tham khảo cho GV Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT

IX.Cấu trúc của Luận văn:

Ngoài phần phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn còn có những nội dung chính sau đây:

MỞ ĐẦU

NỘI DUNG:

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

Chương II: THỰC TRẠNG CỦA VIỆC RÈN LUYỆN CHO HS CÁC

PHƯƠNG THỨC PHÁN ĐOÁN VÀ HÀNH ĐỘNG CÓ CĂN CỨ TRONG TIẾN TRÌNH DẠY HỌC HÌNH HỌC 10 Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chương III: CÁC PHƯƠNG THỨC PHÁN ĐOÁN VÀ HÀNH ĐỘNG CÓ CĂN CỨ TRONG QUÁ TRÌNH TÌM TÕI KIẾN THỨC KHI DẠY HỌC ĐỊNH

Đứng trước một tình huống có vấn đề, một quan hệ cần xem xét, một dấu hiệu nào đó của sự vật hiện tượng, một ngữ cảnh … tạo ra cho ta một hình thức tư duy là phán đoán Trong toán học, phán đoán là một hình thức không thể thiếu để tư duy một đối tượng, một quy luật, một mối quan hệ, một khái niệm, một định lý hay một bài tập … như thế chúng ta không thể bỏ qua năng lực phán đoán trong quá trình tìm kiếm tri thức của mình Vậy ta hiểu phán đoán là gì và có những loại phán đoán nào?

Theo Vương Tất Đạt trong “logích học” ( 2 ,tr 66 ) thì phán đoán là hình thức của tư duy, nhờ kết hợp các khái niệm có thể khẳng định hay phủ định về sự tồn tại của đối tượng với dấu hiệu của nó hay vì quan hệ giữa các đối tượng

Mặc dù trong quá trình đó, đối tượng hay các mối quan hệ chúng ta tư duy được có thể có nhiều hình thức khác nhau Vì thế phán đoán có thể được chia thành các cấu trúc khác nhau

- Phán đoán khẳng định là phán đoán xác nhận có một mối liên hệ giữa đối tượng được phán đoán với thuộc tính của đối tượng Công thức của phán đoán khẳng định “S là P”

Ví dụ 1: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành 2 phần có

diện tích bằng nhau Đây là một dạng phán đoán khẳng định và trong quá trình nghiên cứu tác giả và các đồng nghiệp cần chứng minh hoặc bác bỏ

- Phán đoán phủ định: Là phán đoán xác nhận không có mối liên hệ giữa đối tượng được phán đoán (chủ từ) với thuộc tính của đối tượng (thuộc từ) Công thức của phán đoán phủ định là “S không phải là P” ( 2 , tr.72)

Ví dụ 2: Độ dài ab không nhỏ hơn a b (với mọi a;b)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC thoa mãn điều kiện b2

= ac Chứng minh rằng tam giác ấy không thể có hai góc lớn hơn 600

- Phán đoán mặc nhiên là loại phán đoán mà sự nhận thức về đối tượng chỉ mới đạt đến một trình độ còn mơ hồ, kết quả phỏng đoán còn chưa chắc chắn Công thức của phán đoán mặc nhiên là “S hình như là P” hoặc “S có thể

là P”

Ngoài ra còn có phán đoán minh nhiên, phán đoán tất nhiên Như vậy

có những phán đoán về toàn bộ đối tượng được phán đoán và cũng có những phán đoán chỉ giành cho một bộ phận đối tượng

Mặt khác người ta cũng có thể phận loại phán đoán thành phán đoán chung, phán đoán riêng, phán đoán đơn nhất như trong “lôgích học đại cương” của Vương Tất Đạt Nhưng cũng có tài liệu phân loại phán đoán thành phán đoán phức và phán đoán đơn

Như vậy dù phân loại phán đoán theo hình thức nào thì “phán đoán cũng là một hình thức của tư duy nhờ đó người ta nối liền các quan hệ, các khái niệm để khẳng định khái niệm này là hoặc không phải khái niệm kia và được biểu thị dưới dạng hình thức ngôn ngữ là câu Cũng như khái niệm không thể xuất hiện và tồn tại bên ngoài từ và cụm từ, phán đoán có thể chân thực hay giả dối tuỳ theo sự phản ánh đúng hoặc không đúng hiện thực khách quan của nó.”

Ví dụ 4: Tam giác ABC có tính chất gì nếu các góc A,B,C cuả nó thoã

mãn hệ thức: (cosB+2sinC) + 4(sinB+2cosC) =15

Phân tích bài toán: Giả thiết đã cho không xuất hiện góc A nên ta có thể phán đoán cho trường hợp có một khả năng đặc biệt nào đó của góc A xuất hiện hoặc vuông, hoặc cân …và vì thế chúng ta tìm cách đưa về tìm giá trị lượng giác của góc A hay tìm giá trị lượng giác của góc B+C Nhưng dù có phán đoán nào đó cho góc A thì chúng ta cũng phải giải quyết bài toán bằng vốn kiến thức đã có của mình Hơn nữa giả thiết xuất hiện 4sinB, 3cosB, 6sinC, 8cosC chúng ta có thể phán đoán rằng có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Như vậy ta đã có định hướng cho phương pháp giải bài toán trên

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

) sin )(cos

64 36 ( sin

)(cos 16 9 ( cos

8 sin 6 sin

Như vậy nhờ việc nối liền các khái niệm, các quan hệ, các tính chất đã

có thì phán đoán cho bài toán đã được khẳng định

Phán đoán có thể thông qua nhiều hoạt động khác nhau là hoạt động tương tự hoá, khái quát hoá hay đặc biệt hoá bài toán Tuỳ và những nội dung dạy học cụ thể, một bài toán cụ thể hay đối tượng HS thích hợp để có thể phát triển bài toán theo nhiều phương thức khác nhau để tạo hứng thú, động lực cho HS nhằm kích thích và phát triển tư duy sáng tạo cho HS

Khi chúng ta nghiên cứu về hoạt động đặc biêt hoá có thể là:

- Nghiên cứu một điểm tuỳ ý trong tam giác bằng việc đưa về nghiên cứu trọng tâm tam giác hay một điểm nào đó nằm trên một cạnh của tam giác hay trùng với một trong các đỉnh của tam giác …

- Khi nghiên cứu về hoạt động khái quát hoá có thể nghiên cứu bài toán

từ trọng tâm của hệ hai điểm đến ba điểm và khái quát cho hệ n điểm, từ một điểm nào đó trong tam giác có tính chất x sang một điểm tuỳ ý trong tam giác

có tính chất x …

Nhưng các hoạt động tương tự ,khái quát hoá hay đặc biệt hoá nó đan xen lẫn nhau hỗ trợ nhau trong quá trình giải quyết một vấn đề đặc biệt trong quá trình phát triển bài toán nào đó

Chứng minh rằng:

'

2 '

AM AB

AC AA

AB



Phân tích bài toán: Từ yêu cầu

chứng minh của bài toán ta nghĩ ngay đến

sử dụng định lí Talet, muốn vậy ta cần

phải kẻ thêm các đường phụ để từ đó có

thể thiết lập hệ thức liên hệ với các tỉ số

xuất hiện trong điều phải chứng minh

Dẫn đến ta vẽ các đường BM1, CM2 song

song với A'B'

Từ đó ta dễ dàng có điều phải chứng minh

Bây giờ nếu tiếp tục phân tích mổ xẻ bài toán bằng việc thay đổi một số đại lượng nào đó ví dụ như điểm M được xác định là chia đoạn thẳng AB theo một tỉ số nào đó thì sao? khi đó HS lại có thể phán đoán bài toán tương tự như sau:

Bài toán 5.1: Cho tam giác ABC Gọi M là điểm thuộc đoạn BC sao

AM AC

AC AB

AB



Với bài toán này, làm tương tự ví dụ 5 ở trên (tức là, ta kẽ đường phụ

và sử dụng định lí Talet) ta có điều phải chứng minh

Như vậy, để giải quyết được bài toán 5.1 này người giải toán đã phải hoạt động dựa trên sự tương tự hoá của ví dụ 5

Thông qua việc giải bài toán theo cách trên, mà cụ thể là hai tình huống

của ví dụ 5 và bài toán 5.1 chúng ta có thể phán đoán bài toán tổng quát như

sau:

Bài toán 5.2: Cho tam giác SAB Gọi M là điểm trên AB sao cho:

MAk MB Một đường thẳng d cắt SA, SB, SM theo thứ tự tại A', B', M'

đó là bài toán 5.2 và lại kiểm tra tính đúng sai của bài toán 5.2 lại nhờ hoạt

động đặc biệt hoá Như vậy các hoạt động đó không đứng độc lập một mình

mà đan xen lẫn nhau, hỗ trợ nhau trong quá trình phát triển bài toán

Bài toán không chỉ dừng lại ở đây chúng ta có thể cho HS phán đoán một bài toán tương tự trong không gian xuất phát từ một số tính chất đã biết (trung điểm của đoạn thẳng tương tự trọng tâm của tam giác) như sau :

Bài toán tương tự:

Cho tứ diện SABC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC,một mặt phẳng cắt các cạnh SA, SB, SC, AG lần lượt tại A’, B’, C’, G’ Chứng minh rằng:

'

3 ' '

SG SC

SC SB

SB SA

SA







Ta sử dụng bài toán phẳng chứng minh bài toán tương tự:

Ví dụ 6: Sau khi đã học các tính chất về trung điểm của đoạn thẳng và

trọng tâm của tam giác ta có:

“Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có

MB

MA   3 ” (2)

Đối với học sinh giỏi có thể hướng dẫn HS đối với những trường hợp trên thì hệ số của các vectơ MA, MB, MC là 1

Vậy nếu các hệ số khác 1 thì sao có phán đoán gì cho bài toán này hay không? Tức là a MAb MB (ab)MJ (3)?

Và khi đó điểm J được xác định như thế nào khi điểm I trong hệ thức (1) được xác định bởi hệ thức IA +IB = 0 Khi đó HS có thể liên tưởng đến

một sự tương tự đối với J là điểm được xác định bởi hệ thức a JA +b JB =0(4) khi đó ta dùng hệ thức (4) để kiểm tra tính đúng sai của công thức (3)

Và bài toán tổng quát cho bộ n điểm như sau:

Cho bộ n điểm A1,A2,A3,…,An O là điểm thoã mãn hệ thức:

0

3 3 2 2 1

1OA a OA a OA  a n OA n 

Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có:

MO a a

a a MA a MA

a MA a MA

a 1 2 2  3 3  n n  ( 1 2  3  n)

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC

Chứng minh rằng đường thẳng AM chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau

Sau khi cho HS chứng minh xong bài toán trên thì có thể hướng dẫn HS phán đoán và phát biểu cho bài toán tương tự trong không gian

Bài toán tương tự: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chứng minh

rằng mặt phẳng (ABG) chia tứ diện thành hai phần có thể tích bằng nhau

1.1.2 Hoạt động và hành động:

1.1.2.1 Hoạt động:

Hoạt động là quá trình tương tác biện chứng giữa chủ thể và khách thể nhằm để chủ thể biến đổi khách thể thành sản phẩm của hoạt động thoã mãn nhu cầu của chủ thể Chủ thể và khách thể là hai cực tác động, biến đổi lẫn nhau liên hệ biện chứng (trong hoạt động chủ thể làm thay đổi khách thể) tạo

ra sản phẩm của hoạt động Ngược lại khách thể làm biến đổi chủ thể là phát triển năng lực,phẩm chất ,trí tuệ của con người Và hoạt động nào cũng có đối tượng, không có hoạt động nào không có đối tượng Theo quan điểm tâm lí học đối tượng của hoạt động là cái được sinh thành trong quan hệ sinh thành hoạt động Còn trong Toán học đối tượng ban đầu còn độc lập với HS sau đó chủ thể xâm nhập vào đối tượng, thông qua biến đổi đối tượng để làm bộc lộ đối tượng

Ví dụ 8: Tìm quĩ tích của điểm M trong tam giác ABC sao cho:

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong một nội dung là cụ thể hoá được mục đích dạy học nào đó, chỉ ra được cách kiểm tra việc thực hiện những mục đích này, đồng thời vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được nhiều mục đích dạy học khác, cho nên điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác được những hoạt động tiềm tàng trong nội dung để đạt được mục đích dạy học Quan điểm này thể hiện rõ rệt, mối liên hệ hữu cơ của mục đích nội dung và phương pháp dạy học Nó hoàn toàn phù hợp với một luận điểm cơ bản cho rằng con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động ( 9 , tr 112,113)

Quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động và giao lưu của HS nhằm đạt được các mục đích dạy học Đây là quá trình điều khiển con người vì vậy cần quan tâm đến nhiều yếu tố tâm lý, chẳng hạn HS có sẵn sàng, có hứng thú thực hiện hoạt động này, hoạt động khác hay không? ( 9 , tr 121)

Tổ chức cho HS học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo, rèn luyện cho HS những kĩ xảo những phương thức tư duy cần thiết Đó chính là những hoạt động rất quan trọng trong việc học tập và luyện tập của HS

Ví dụ 9: Tổ chức cho HS hoạt động để giải bài toán: Cho đường tròn C(O;R) và một điểm M sao cho OM = 3R Một đường kính AB di động quanh

O Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB luôn đi qua một

điểm cố định

Những hoạt đông có thể tổ chức là:

- Hãy vẽ hình và ghi các kí hiệu

- Những yếu tố nào không đổi, cố định ?

- Mối liên hệ giữa các yếu tố này với yêu cầu của đề bài ?

- Dự đoán điểm cố định và chứng minh

Hoạt động học có chủ định có bốn đặc điểm cơ bản, đó là: có đối tượng

là tri thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng; nhằm phát triển trí tuệ, năng lực người học, làm thay đổi bản thân người học; có tính chất tái tạo và nhằm tiếp thu cả phương pháp chiếm lĩnh tri thức; được điều khiển một cách có ý thức

A.N Lêonchiep nhấn mạnh quan điểm học tập có mục đích. 10

Hoạt động học tập có mục đích có cấu trúc bao gồm ba thành phần sau:

- Các động cơ học tập - nhận thức: Mọi hoạt động học tập có mục đích được kích thích bằng những động cơ phù hợp Đó có thể là những động cơ gắn liền với nội dung học tập, nghĩa là động cơ lấy các phương thức hành động khái quát hay là động cơ tự hoàn thiện mình

- Các nhiệm vụ học tập: Nhiệm vụ học tập là mục tiêu mà HS ý thức được cho mình dưới hình thức “bài toán” có vấn đề Từ đó sẽ tạo ra tình huống có vấn đề và nếu giải quyết nó thì HS thực hiện được mục đích đặt ra - chiếm lĩnh được tri thức và kỹ năng cần thiết

- Các hành động học tập: HS giải quyết được các nhiệm vụ nhận thức nhờ thực hiện các hoạt động thành phần sau: Hoạt động tách các vấn đề từ các nhiệm vụ nhận thức; hoạt động vạch ra các phương thức chung để giải quyết vấn đề trên cơ sở phân tích các quan hệ chung trong tài liệu học tập; hoạt động mô hình hóa các quan hệ chung của tài liệu học tập và các phương thức

chung để giải quyết vấn đề học tập; hoạt động cụ thể hóa và phong phú hóa các thể hiện cục bộ riêng của các quan hệ chung và các phương thức hành động chung; hoạt động kiểm tra tiến trình và kết quả hoạt động học tập; hoạt động đánh giá sực phù hợp giữa tiến trình và kết quả hoạt động học tập với những nhiệm vụ học tập đã đề ra Như vậy hoạt động học tập trong dạy học toán có những tính chất đặc trưng sau:

- Hoạt động học tập hướng vào đối tượng, đó là các khái niệm toán học, các mối liên hệ, quan hệ, các quy luật cần khám phá

- Hoạt động học tập gắn với động cơ: Đó là một nhiệm vụ nhận thức do

GV chuyển giao cho HS hoặc tự HS đề ra cho bản thân, đó là đối tượng mang tính nhu cầu kích thích tư duy của HS, vạch ra ý nghĩa của hoạt động; động

cơ là điều kiện bên trong của hoạt động

- Hoạt động học tập gắn với nhiệm vụ nhận thức Hoạt động học tập chỉ xảy ra khi HS đứng trước một mâu thuẫn, một khó khăn, một chướng ngại nhận thức cần vượt qua Nói khác đi hoạt động học tập xẩy ra khi người học đứng trước một vấn đề toán học cần giải quyết và nếu giải quyết được vấn đề thì HS thực hiện được nhiệm vụ, mục đích đặt ra - chiếm lĩnh được tri thức

- Hoạt động học tập được thực hiện thông qua tổ hợp các hành động học tập:

* Biến đổi vấn đề về dạng quen thuộc

* Huy động kiến thức đã có để giải quyết vấn đề

* Thực hiện các bước lập luận

* Kiểm tra đánh giá các bước lập luận

* Tổng quát hóa vấn đề

1.1.2.3 Hoạt động dạy:

Dạy: Theo Từ điển Giáo dục (Bùi Hiển - Nguyễn Văn Giao - Nguyễn

Hữu - Vũ Văn Tạo, Nxb Từ điển Bách khoa, 2001): Dạy là truyền thụ lại những kiến thức, kinh nghiệm, đưa đến những thông tin khoa học cho người khác tiếp thu một cách có hệ thống, có phương pháp, nhằm mục đích tự nâng

cao trình độ văn hóa, năng lực trí tuệ và kỹ năng thực hành trong đời sống thực tế

Theo A.V Petrovski (1982), Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, Nxb Giáo dục: Dạy là quá trình kích thích và điều khiển tích cực bên

ngoài và bên trong của HS sao cho kết quả là HS hình thành được những tri thức và kỹ năng, kỹ xảo xác định

Như vậy hoạt động dạy là hoạt động tạo ra sự cộng hưởng cao đối với hoạt động học của HS nhằm mục tiêu để HS chiếm lĩnh tri thức hình thành kỹ năng, kỹ xảo

Trong hoạt động dạy, hoạt động thành phần cơ bản của GV bao gồm:

Hoạt động thiết kế: bao gồm việc xác định kiến thức và kỹ năng cơ bản; dự

kiện phương pháp dạy học hay tổ hợp các phương pháp dạy học tích hợp cho tiết dạy với nội dung cụ thể nào đó; dự kiến cách tổ chức dạy học, đồ dùng dạy học và nội dung luyện tập củng cố kiến thức

Hoạt động gợi động cơ: Bản chất là chuyển giao ý đồ dạy học tập,

nhiệm vụ nhận thức thông qua việc tạo tình huống nhận thức, tạo đối tượng mang tính nhu cầu

Hoạt động điều khiển: Bao gồm các hoạt động gợi động cơ trung gian,

hướng HS vào hướng giải quyết các khâu trung gian một cách tự giác, tích cực, độc lập Hoạt động điều khiển của GV có thể thực hiện bằng việc thiết kế

hệ thống câu hỏi sư phạm, định hướng sư phạm giúp HS hoạt động phát hiện biến đổi đối tượng, biến đổi vấn đề nhằm để HS huy động đúng đắn kiến thức

để giải quyết vấn đề

Hoạt động xác nhận kiến thức của HS: Xem xét các bước lập luận; phát

hiện các sai lầm, cách khắc phục, khẳng định tính chuẩn xác của kiến thức, phương pháp của HS trong kết quả của việc giải quyết vấn đề của HS

Từ đó có thể nhận thấy đặc trưng của phương pháp dạy học: người học là đối tượng tác động của GV, đồng thời là chủ thể, là nhân cách mà hoạt động của họ (tương ứng vói sự tác động của người GV) phụ thuộc vào hứng thú, nhu cầu, ý chí của họ Nếu GV không gây cho HS có mục đích tương ứng với

mục đích của mình thì không diễn ra hoạt động dạy và hoạt động học và phương pháp tác động không đạt được kết quả mong muốn

1.1.2.4 Hành động:

Bất kỳ phương pháp nào, dù là phương pháp nhận thức hay phương pháp thực hành sản xuất, để thực hiện có kết quả vào đối tượng nào đó thì cũng phải biết được tính chất của đối tượng, tiến trình biến đổi của nó dưới tác động của phương pháp đó Nghĩa là phải nhận thức những quy luật khách quan của đối tượng mà chủ thể định tác động vào thì mới đề ra những biện pháp hoặc hệ thống những thao tác cùng với những phương tiện tượng ứng để nhận thức và để hành động thực tiễn

Vì vậy, cấu trúc của phương pháp dạy học trước tiên là mục đích của người GV đề ra và tiến hành một hệ thống hành động với những phương tiện

mà họ có Dưới tác động đó của người giáo viên làm cho người học đề ra mục đích của mình và thực hiện hệ thống hành động với phương tiện mà họ có nhằm lĩnh hội nội dung dạy học

Phương pháp dạy học là cách thức hành động có trình tự, phối hợp tương tác với nhau của GV và của HS nhằm đạt được mục đích dạy học

Như vậy hoạt động là tổ hợp có thứ tự các các hành động nhằm hoàn thành các hoạt động để đem lại hiệu quả của hoạt động Nói cách khác hệ thống những hành động có chủ đích theo một trình tự nhất định của GV nhằm

tổ chức hoạt động nhận thức và hoạt động thực hành của HS nhằm đảm bảo cho họ lĩnh hội nội dung dạy học và chính như vậy mà đạt được mục đích dạy học

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC thoã mãn điều kiện: cotA + cotC = 2cotB

2

2 2

2  

Vậy ta giả thiết có thể đưa góc về cạnh hoặc có thể biến đổi trực tiếp về cosB Do vậy ta có thể có một chuỗi các hành động:

+ Từ giả thiết ta có:

S

c b a a c b

4

2 2 2 2 2

4

2 2







c a

b ac

có thể tiếp tục đi trên con đường đó không? Tất cả những câu hỏi đó là căn

cứ thúc đẩy người học hành động và vì thế chúng ta hành động không thể không có căn cứ

Ví dụ11: Giải bất phương trình: x 1+ x-3  2 (x 3 )2  2x 2

Theo ( 7 tr, 82)

Phân tích bài toán:

Đối với bài toán này chúng ta có thể giải quyết đơn thuần bằng đại số nhưng nếu biết nhìn bài toán đại số này sang một hình thức khác đó là bài toán hình học thì sẽ dễ dàng giải quyết hơn nhiều vì vế phải là bình phương của một véc tơ Như vậy chúng ta có thể có một chuỗi các hành động trên cơ

sở đã có những căn cứ được xác lập như sau:

+ Xây dựng hệ thống vectơ

Xét các vectơ sau: u ( x 1;x-3) v (1;1) (với x1)

Khi xây dựng hệ vectơ u,v thì chúng ta đã căn cứ vào vế trái và vế phải của phương trình đó chính là các biểu thức về mối quan hệ của hai véctơu,v

+ Kiểm tra tính khả thi của việc vận dụng phương pháp vectơ

Vậy bất phương tình đã cho có dạng u.v  u v (1)

+ Vận dụng kiến thức về tích vô hướng để giải quyết tiếp bài toán: Theo tính chất của tích vô hướng thì từ (1) ta có:

u.v = u v cos( u , v ) = 1 Vậy u,v là hai véc tơ cùng hướng tức là

k x

Ví dụ 12: Khi dạy học về công thức tính độ dài đường trung tuyến

ma

2

= 4

1(2b2 - 2c2 - a2) Định hướng cho hành động:

+ Có thể xuất phát từ kiến thức AB2= AB.AB.cos0 0 = AB 2 ;

1(2b2 - 2c2 - a2)

Như vậy xuất phát từ một số định hướng cho tri thức ta đã có một chuối các hành động để giải quyết cho bài toán

1.2 VAI TRÕ CỦA PHƯƠNG THỨC PHÁN ĐOÁN VÀ HÀNH ĐỘNG

CÓ CĂN CỨ TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÝ VÀ GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 10 ĐẶT TRONG BỐI CẢNH TIẾP CẬN PHÁT HIỆN:

1.2.1 Tiếp cận phát hiện trong dạy học định lí

1.2.1.1 Yêu cầu của dạy học định lý:

Khi dạy định lý hình học GV thường cho HS đọc định lý, ghi giả thiết, kết luận và chứng minh theo hướng dẫn của sách giáo khoa đã trình bày, ít có

GV hướng dẫn cho HS tìm ra cách chứng minh hay hoặc khai thác tư duy của

HS qua việc đề ra nhiều phương án vẽ thêm hình phụ để chứng minh định lý, vận dụng định lý để khai thác những bài toán liên quan Không làm được điều

đó vì lý do khách quan là thời gian trên lớp còn hạn chế, thời gian chuẩn bị bài của GV cũng không nhiều, mặt khác cũng có những GV chưa tâm huyết, chưa chịu suy nghĩ Đối với HS thì thường mang tính lệ thuộc sách giáo khoa, hầu hết không nghĩ đến việc suy nghĩ để phát hiện đề xuất cách chứng minh mới

Trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, ngoài nhiệm vụ dạy chữ, dạy người còn phải biết khơi dậy niềm đam mê học tập, có khả năng tư duy sáng tạo trong quá trình nghiên cứu Vì thế mỗi một

GV cần phải tập cho HS khi chứng minh định lý phải xem xét một cách toàn diện, vận dụng hết lượng kiến thức đã học có liên quan đến định lý để phát hiện kẻ thêm hình phụ và đề xuất những hướng chứng minh khác nhau Từ đó biết xâu chuỗi kiến thức một cách lôgíc và biết vận dụng định lý đó vào giải quyết các bài toán

Định lý toán học cung cấp cho HS một phần cơ bản hệ thống kiến thức của bộ môn toán

Thông qua việc học định lý toán học hình thành cho HS các phẩm chất

tư duy toán học như suy diễn, chứng minh …Hình thành phương pháp luận biện chứng khoa học

Vì vậy việc dạy học định lý có tầm quan trọng trong dạy học toán Dạy học định lý phải đạt được các yêu cầu: (  9 ,Tr 356,357)

- HS nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng từ đó

có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

- HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy được chứng minh định lý là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học

- HS hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh theo yêu cầu của chương trình

1.2.1.2 Các con đường hình thành định lý:

Có hai con đường hình thành định lý là con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn (  9 ,Tr 356,357)

* Con đường có khâu suy đoán

- Gợi động cơ xây dựng định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sịnh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học và gợi động cơ phải đáp ứng các yêu cầu:

+ Ngắn gọn rõ ràng có tính định hướng không có nhiều yếu tố phụ + Phải đảm bảo tính thực tiễn chính xác

- Dự đoán và phát biểu định lý dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán, qui nạp không hoàn toán, tương tự hoá, khái quát hoá một định lý đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ mối liên

hệ và phụ thuộc …

- Chứng minh định lý trong đó chú ý đến trường hợp gợi động cơ chứng minh và gợi cho HS thực hiện những hoạt động ăn khớp với nhứng phương pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những qui tắc kết luận logic thường dùng

- Vận dụng định lý vừa chứng minh được để giải quyết, khép kín vấn

đề dặt ra khi gợi động cơ

- Củng cố định lí (khâu này được thực hiện chung cho cả hai con đường)

Ví dụ 13: Khi xây dựng tính chất của phép cộng các véctơ GV có thể

hướng dẫn HS bài đọc thêm “thuyền buồm chạy ngược chiều gió” (  4 ,Tr 13 )

* Con đường suy diễn:

- Gợi động cơ học tập để chứng minh định lý

- Xuất phát từ những tri thức toán học đã biết dùng suy diễn logic dẫn tới định lý

- Phát biểu định lí

- Vận dụng định lí

1.2.2 Tiếp cận phát hiện trong dạy học giải bài tập Toán:

Ở trường phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A.A.Stôliar) Đối với HS, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải các bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán

Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá Khối lượng bài tập Toán ở trường phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng Có những lớp bài toán có thuật giải, nhưng phần lớn là những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải Đứng trước những bài toán đó, GV gợi ý và hướng dẫn HS như thế nào để giúp họ lựa chọn phương thức biến đổi bài toán phù hợp để giải quyết vấn đề là một vấn đề hết sức quan trọng Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra được những gợi ý hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật sư phạm của chính người GV

Theo G.Polya “Giải một bài tập toán chúng ta phải lập một lược đồ xác định mạch lạc những thao tác (lôgic,toán học hay thực tiễn) bắt đầu từ giả thiết và kết thúc bằng kết luận, dẫn dắt từ các đối tượng mà ta có trong tay đến đối tượng ta muốn đạt tới”

Polya.G quan niệm giải một bài tập Toán là một quá trình tìm kiếm những hoạt động thích hợp để đạt kết quả Theo ông giải một bài tập Toán gồm 4 bước:

- Bước 1: Hiểu rõ bài toán

- Bước 2: Xây dựng chương trình giải (tìm sự liên hệ giữa các dữ kiện

và cái chưa biết, có thể phải xét đến các bài toán phụ nếu chưa tìm được trực tiếp sự liên hệ đó, cuối cùng phải xây dựng một chương tình,một dữ kiện và cách giải)

- Bước 3: Thực hiện chương trình giải

- Bước 4: Khảo sát lời giải đã tìm được

Và cũng theo G.Polya “nếu người thầy dành tất cả thì giờ cho HS làm những bài tập tầm thường thì sẽ làm HS mất hết hứng thú, làm trở ngại cho việc phát triển trí tuệ của họ và như vậy đã không biết sử dụng những thuận lợi của mình Nhưng nếu người thầy khêu gợi được trí tò mò của HS bằng cách ra cho HS những bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán bằng đặt

ra câu hỏi gợi ý thì người thầy có thể mang lại cho họ cái hứng thú của sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả.”

Như vậy dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là người thầy trang bị cho HS lời giải bài toán mà điều then chốt GV dạy cho họ kỹ năng hướng về những tình huống có vấn đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết lựa chọn một hoạt động một hướng đi để giải quyết vấn đề

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn giảng dạy học, Nguyễn Bá Kim cho rằng có thể nêu lên phương pháp chung

để giải bài toán như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh, có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

- Bước 2: Tìm cách giải Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những sau nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với mộ bài toán tưương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn…

- Bước 3: Trình bày lời giải

- Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lới giải Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ 14: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ

trong tam giác đều tới ba cạnh của tam giác đó là một hằng số ( 9 Tr 389)

Giải:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài Bài toán có thể phát biểu một cách

cụ thể như sau: Cho một tam giác đều ABC Gọi M là một điểm nằm trong tam giác đó Lí hiệu các hìhn chiếu của m trên ba cạnh AB, BC, CA lần tlượt

là H, I, K Chứng minh rằng MH + MI + MK không đổi dù M lấy bất kỳ vị trí nào trong tam giác

Bước 2: Tìm cách giải Việc giải bài toán sẽ dễ hơn nếu ta xác định được hằng số MH + MI + MK Muốn vậy ta có thể đặc biệt hóa chẳng hạn bằng cách lấy M trùng A khi đó MH + MI + MK = MI Như vậy hằng số cần tìm chính bằng độ dài cần tìm h của đường cao của tam giác đều đã cho (chú

ý rằng trong một tam giác đều ba đường cao có độ dài bằng nhau) Bài toán trở thành chứng minh rằng MH + MI + MK = h

Để chứng minh tổng MH + MI + MK = h, người ta thường nghĩ tới sắp đặt 3 đoạn thẳng này liên tiếp trên một đường thẳng nào đó để tạo thành một đoạn thẳng có độ dài bằng h Nhưng vị trí và sự thay đổi vị trí của 3 đoạn thẳng này trên hình vẽ khi M di chuyển trong tam giác ABC cho thấy điều đó khó thực hiện đối với bài toán này

Một hướng khác là: Có thể biểu thị h qua những đại lượng không đổi khác Cho trước một tam giác đều thì không chỉ đường cao mà cả diện tích S, cạnh a của tam giác đó cũng không đổi Ý nghĩ về mối liên hệ giữa MH+MI+MK với diện tích gợi ra sự liên tưởng tới đẳng thức sau đây:

dtMAB + dtMBC+ dtMCA = dtABC

2

1a.MK=

2 1a.h

Do đó: MH+MI+MK=h

Để kiểm tra lời giải, trước hết có thể thử lại hằng số MH+MI+MK ở một vài vị trí đặc biệt khác, chẳng hạn lấy M là giao điểm của 3 đường cao, đồng thời là 3 trung tuyến của tam giác đều Khi đó MH=MI=MK=

3

1.h

do đó MH+MI+MK =h

Mặt khác có thể rà soát lại từng mắt xích, chứng minh, nhưng lập luận

ở lời giải bài toán là đơn giản

Bước 3: Trình bày lời giải

Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tma giác đều ABC, hình chiếu của

M trên 3 cạnh AB, BC, CA lần lượt là HI và K Ký hiệu cạnh và đường cao của tam giác đó lần lượt là a và h, ta có:

dtMAB + dtMBC+ dtMCA = dtABC

2

1a.MK=

2

1a.h

Do đó: MH+MI+MK=h

Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ tổng MH+MI+MK không đổi dù lấy M

ở bất kỳ vị trí nào trong tam giác

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Từ bài toán trong ví dụ này có thể phát biểu và giải bài toán khái quát hoặc mở rộng sau đây:

Bài toán 14.1: Mở rộng ra trường hợp đa giác đều Chứng minh rằng

tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trong một đa giác đều tới các cạnh của đa giác đó là một hằng số

Bài toán 14.2: Mở rộng ra trường hợp đa giác lồi có các cạnh bằng

nhau Phân tích kỹ lời giải ta thấy kết aủa trên không đòi hỏi đa giác đã cho bắt buộc phải là đa giác đều và bài toán trên có thể mở rộng cho trường hợp

đa giác lồi có các cạnh bằng nhau

Bài toán 14.3: Mở rộng ra trường hợp tứ diện đều Chứng minh rằng

tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trong một tứ diện đều tới các mặt của tứ diện đó là một hằng số

1.3 HOẠT ĐỘNG PHÁN ĐOÁN VÀ HÀNH ĐỘNG CÓ CĂN CỨ THỂ HIỆN QUA PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC:

1.3.1 Thể hiện qua phương pháp dạy học kiến tạo:

1.3.1.1 Thế nào là dạy học kiến tạo?

Động từ kiến tạo chỉ hoạt động của con người tác động lên một đối tượng, hiện tượng,quan hệ nhằm mục đích hiểu chúng và sử dụng chúng như những công cụ kí hiệu để xây dựng nên các đối tượng, các hiện tượng, các quan hệ mới hơn ( 23 ,Tr 21)

Theo quan điểm của lí thuyết kiến tạo thì HS phải là chủ thể tích cực xây dựng nên kiến thức cho bản thân mình chứ không phải chỉ thu nhận một cách thụ động từ môi trường bên ngoài Người học không phải là một thùng rỗng để có thể rót đầy kiến thức vào đó Điều quan trọng nhất là trong quá trình xây dựng kiến thức cho bản thân mình HS cần dựa trên những kiến thức hoặc kinh nghiệm đã có từ trước

Trong quá trình này HS vận dụng những kiến thức đã có để giải quyết một tình huống mới nảy sinh và sắp xếp kiến thức mới nhận được vào cấu trúc kiến thức hiện có (Bruner -1999) nhấn mạnh rằng chỉ khi nào người học tạo nên mối liên hệ hữu cơ giữa kiến thức mới và cũ, sắp xếp kiến thức mới vào cấu trúc hiện có thì lúc đó kiến thức mới sẽ có giá trị ứng dụng và không

bị lãng quên

Quá trình kiến tạo tri thức là một quá trình vận động, phát triển và tiến hoá chứ không phải là một quá trình tĩnh tại, đứng im Mỗi người xây dựng kiến thức cho bản thân mình một cách khác nhau, thậm chí trong cùng một

hoàn cảnh như nhau nhưng mỗi người kiến tạo tri thức cho bản thân mình là không giống nhau

Đặc điểm của dạy học theo lối kiến tạo: Dựa trên những luận cứ đã xem xét ở trên, chúng ta có thể phân tích một vài nét đặc trưng của phương pháp dạy học kiến tạo; điều kiện và biện pháp thực hiện, HS phải là chủ thể tích cực kiến tạo nên kiến thức của bản thân mình dựa trên tri thức hoặc kinh nghiệm có từ trước Chỉ khi nào tạo nên mối liên hệ hữu cơ giữa kiến thức mới và cũ, sắp xếp kiến thức mới vào cấu trúc (hiện có hoặc thay đổi cho phù hợp) thì quá trình học tập mới có ý nghĩa

Quá trình kiến tạo tri thức mang tính chất cá thể, ngay trong cùng một hoàn cảnh thì kiến tạo tri thức của mỗi HS cũng khác nhau Vì vậy đòi hỏi phải tổ chức quá trình dạy học sao cho mỗi HS đều có thể phát huy tốt nhất khả năng của mình Cần xây dựng môi trường học tập trong đó luôn khuyến khích học sinh trao đổi, thảo luận, tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề Và

HS đạt được tri thức mới theo chu trình: Phán đoán  Kiểm nghiệm  (Thất bại)  Thích nghi  Kiến thức mới

Dạy học kiến tạo là đi sâu vào tìm hiểu sự chuyển hoá bên trong của quá trình nhận thức, tìm hiểu cơ chế tiếp nhận nhận thức

Dạy học kiến tạo đã đưa ra một vài khái niệm mới như: đồng hoá và điều ứng trong giáo dục, và cho rằng người học phải tự xây dựng cho mình

một hệ thống kiến thức có cấu trúc riêng

Dựa vào bản chất của lý thuyết kiến tạo, có thể phân kiến tạo trong dạy học làm hai loại:

+ Kiến tạo cơ bản: Kiến tạo cơ bản đề cao vai trò của mỗi cá nhân trong quá trình nhận thức và cách thức cá nhân xây dựng kiến thức cho bản thân Kiến tạo cơ bản quan tâm đến quá trình chuyển hoá bên trong của cá nhân trong quá trình nhận thức Kiến tạo cơ bản coi trọng kinh nghiệm của người học trong quá trình người học hình thành thế giới quan khoa học cho mình

+ Kiến tạo xã hội: Là quan điểm nhấn mạnh đến vai trò của các yếu tố văn hoá, các điều kiện xã hội và sự tác động của các yếu tố đó đến sự hình

thành kiến thức Kiến tạo xã hội xem xét cá nhân trong mối quan hệ chặt chẽ với các lĩnh vực xã hội Nhân cách của chủ thể được hình thành thông qua tương tác của họ với những người khác Kiến tạo xã hội cũng nhìn nhận chủ thể nhận thức trong mối quan hệ sống động với môi trường xã hội

Tư tưởng dạy học kiến tạo chỉ có thể thực hiện được trong thực tiễn dạy học vận dụng một hệ thống phương pháp dạy học

Nỗ lực của thầy giáo sẽ tập trung vào việc hoàn thiện cơ chế tiếp nhận kiến thức, sự chuyển hoá bên trong của quá trình nhận thức mà hai khái niệm

then chốt của nó là: đồng hoá và điều ứng

- Đồng hoá: là làm cho hệ thống kiến thức mới tiêu hoá được, hoà nhập được với hệ thống kiến thức cũ Muốn thế, khi tổ chức quá trình dạy học thầy giáo phải:

+ Nắm được trình độ HS, nắm được hệ thống kiến thức và kinh nghiệm của người học

+ Tổ chức HS tiếp nhận kiến thức mới

+ Làm phong phú, phát triển hệ thống kiến thức

- Điều ứng: Là thay đổi, điều chỉnh, bổ sung, tổ chức vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề lý thuyết và thực tiễn

Thật vậy, nếu làm cho kiến thức mới tiêu hoá được trong hệ thống kiến thức đã có và ứng dụng được trong tình huống mới thì quá trình nhận thức sẽ

có hiệu quả cao hơn

Nhìn chung, để dạy học kiến tạo có hiệu quả phải chú ý đến cách tổ chức hoạt động dạy của thầy giáo, mà thông thường phải sử dụng một hệ thống các câu hỏi và bài tập Hệ thống câu hỏi và bài tập này phải chú ý đến các việc sau:

+ Ôn tập, hệ thống hoá kiến thức, kinh nghiệm cũ;

+ Rút ra được những nét độc đáo, cơ bản của kiến thức mới;

+ Kết hợp cái mới với cái cũ bằng cách thường xuyên hệ thống hoá kiến thức, xây dựng lại cấu trúc hệ thống kiến thức;

+ Vận dụng hệ thống kiến thức bằng cách sử dụng hệ thống bài tập đa dạng;

+ Tổ chức hệ thống bài tập sáng tạo để củng cố và phát triển kiến thức Tuy nhiên, thuyết kiến tạo cũng có những hạn chế và những ý kiến phê phán:

- Quan điểm cực đoan trong thuyết kiến tạo phủ nhận sự tồn tại của tri thức khách quan là không thuyết phục

- Một số tác giả nhấn mạnh quá đơn phương rằng chỉ có thể học tập có ý nghĩa những gì mà người ta quan tâm Tuy nhiên cuộc sống đòi hỏi cả những điều mà khi còn đi học người ta không quan tâm

- Việc đưa các kỹ năng cơ bản vào các đề tài phức tạp mà không có luyện tập cơ bản có thể hạn chế hiệu quả học tập

- Việc nhấn mạnh đơn phương việc học trong nhóm cần được xem xét Năng lực học tập cá nhân vẫn luôn luôn đóng vai trò quan trọng

- Dạy học theo lý thuyết kiến tạo đòi hỏi thời gian lớn và yêu cầu cao về năng lực của GV

1.3.3.2 Vận dụng hoạt động phán đoán trong quá trình dạy học kiến tạo

Phán đoán trong chu trình dạy học kiến tạo là hoạt động của HS thông qua khảo sát các trượng hợp riêng, trường hợp đặc biệt từ các kiến thức đã có nhờ các hoạt động so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá phát hiện dự đoán kiến thức mới Còn kiểm nghiệm được tiến hành thông qua các hoạt động giải quyết vấn đề thông qua chuỗi hành động có căn cứ để kiểm nghiệm kết quả bằng con đường suy diễn lôgíc Nếu giả thuyết phán đoán không đúng thì phải tiến hành điều chỉnh lại phán đoán và giả thuyết, sau đó kiểm nghiệm lại để đi đến kết quả mong muốn, dẫn đến sự thích nghi với tình huống và tạo

ra kiến thức mới, thực chất là tạo sơ đồ nhận thức mới cho bản thân Và HS cũng đạt được tri thức mới theo chu trình: Phán đoán  Kiểm nghiệm 

(Thất bại)  Thích nghi  Kiến thức mới Nếu giáo viên biết vận dụng tốt quan điểm dạy học này thì sẽ tạo được nhiều cơ hội từ những kiến thức đã có

để HS khai thác ứng dụng, kiến tạo nên kiến thức mới cho bản thân

Ví dụ 15: Khi dạy học định lí hàm số sin trong trong tam giác cho HS

lớp 10 GV có thể đưa ra tình huống để HS khảo sát và phán đoán: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC=a, CA=b, AB=c

Theo tính chất tam giác vuông trong tam giác đã học ở lớp 9:

c B

b a

sin sin

sin  

Đến đây HS có thể phán đoán theo suy nghĩ của mình về nội dung định

lí Sin Trong trường hợp tổng quát thì có kết quả gì? Qua đó có thể tiếp tục cho HS nhận xét và tìm ra cái đặc biệt của “a” để phán đoán Cái mà trong quá trình dạy học GV cần đạt được ở sự nhận thức cho HS đó là ngoài a là độ dài của cạnh huyền thì trong trường hợp này a cũng còn là độ dài đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC, do vậy mà

R A

a C

c

B

b

2 sin sin

sin    (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) Qua

sự nhận thức trên từ cái đặc biệt khi tam giác đó vuông, ta cũng có quyền hi vọng rằng sự nhận thức của HS cũng sẽ đi đến một phán đoán tổng quát rằng điều đó cũng đúng trong trường hợp là tam giác tổng quát, để từ đó đi đến sự hình thành định lí qua việc vận dụng hoạt động đặc biệt hoá trong quá trình kiến tạo Lúc này HS có thể kiểm nghiệm được tính đúng sai của định lí bằng hoạt động chứng minh và kiến thức mới đã được HS kiến tạo nên qua việc thực hiện một chuỗi các hành động

Ví dụ 16: Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC, G là trọng tâm

tam giác ABC Chứng minh rằng:

1 Luôn tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn:IBIC 0 (1)