Nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề phương trình thông qua việc vận dụng quan điểm tiếp cận hệ thống và sơ đồ tư duy

14 Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học của học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụ

1

Bộ giáo dục và đào tạo

Tr-ờng đại học Vinh

2

Bộ giáo dục và đào tạo

Tr-ờng đại học Vinh

Luận VĂn ThạC sĩ giáo dục học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS Chu trọng thanh

NGHỆ AN – 2012

3

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS Chu Trọng Thanh, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá

trình thực hiện luận văn

Tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến quý thầy cô trong Khoa toán trường Đại học Vinh đã tận tình giảng dạy lớp Cao học Toán khóa XVIII - Chuyên ngành Lí luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán cũng như đã đóng góp những ý kiến quý báu trong thời gian soạn thảo đề cương đến khi hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn: Ban giám hiệu, phòng quản lý Sau đại học trường Đại học Đồng Tháp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian học và làm luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Phòng GD – ĐT Huyện Tam Nông, Ban giám hiệu và tập thể giáo viên trường THCS Phú Thành A, trường THCS Phú Ninh, trường THCS Phú Thọ đã tạo điều kiện tốt cho tác giả trong suốt thời gian thực nghiệm sư phạm

Dù rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn

Xin chân trọng cảm ơn!

Tác giả Trần Văn Thành

4

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 6

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 10

1.1 Tư duy 10

1.2 Tư duy hệ thống 41

1.3 Sơ đồ tư duy 44

1.4 Những nghiên cứu gần đây về ứng dụng sơ đồ tư duy trong dạy học ở Việt Nam 49

1.5 Kết luận chương 1 52

Chương 2 VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM TIẾP CẬN HỆ THỐNG VÀ SƠ ĐỒ TƯ DUY VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ 53

2.1 Những nội dung cơ bản về chủ đề phương trình trong chương trình trung học cơ sở 53

2.2 Xem xét các nội dung thuộc chủ đề phương trình theo hướng tiếp cận hệ thống 60

2.3 Xây dựng các sơ đồ tư duy sử dụng trong dạy học chủ đề phương trình ở trường trung học cơ sở 63

2.4 Dạy học một số nội dung chủ đề phương trình ở trường trung học cơ sở theo hướng vận dụng quan điểm tiếp cận hệ thống và sử dụng sơ đồ tư duy 93

2.5 Kết luận chương 2 119

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 119

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 119

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 120

3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 120

3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm 121

3.5 Phương pháp xử lý kết quả thực nghiệm 122

3.6 Kết quả thực nghiệm 123

3.7 Kết luận chương 3 142

KẾT LUẬN 142

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 146

PHỤ LỤC 152

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Các lớp dạy thực nghiệm và đối chứng

5 Bảng 3.2 Điểm quy đổi các mức độ trả lời của phiếu thăm dò

Bảng 3.3 Tổng hợp các tham số đặc trưng bài kiểm tra 15 phút

Bảng 3.4 Phân phối điểm bài kiểm tra 15 phút

Bảng 3.5 Phân phối tần số và tần suất lũy tích bài kiểm tra 15 phút

Bảng 3.6 Tổng hợp các tham số đặc trưng bài kiểm tra 1 tiết

Bảng 3.7 Phân phối điểm bài kiểm tra 1tiết

Bảng 3.8 Phân phối tần số và tần suất lũy tích bài kiểm tra 1tiết

Bảng 3.9 Tổng hợp kết quả học tập bài kiểm tra 1 tiết

Bảng 3.10 Tổng hợp các tham số đặc trưng bài kiểm tra HKII, cặp TN1-ĐC1 Bảng 3.11 Phân phối tần số và tần suất lũy tích bài kiểm HKII, cặp TN1 - ĐC1 Bảng 3.12 Tổng hợp kết quả học tập của bài kiểm tra HKII, cặp TN1 – ĐC1

Bảng 3.13 Tổng hợp các tham số đặc trưng của bài kiểm tra HKII, cặp TN2 – ĐC2 Bảng 3.14 Phân phối tần số và tần suất lũy tích bài kiểm tra HKII, cặp TN2 – ĐC2 Bảng 3.15 Tổng hợp kết quả học tập bài kiểm tra HKII, cặp TN2 – ĐC2

Bảng 3.16 Tổng hợp các tham số đặc trưng bài kiểm tra HKII, cặp TN3 – ĐC3 Bảng 3.17 Phân phối tần số và tần suất lũy tích bài kiểm tra HKII, cặp TN3 – ĐC3 Bảng 3.18 Tổng hợp kết quả học tập bài kiểm tra KHII, cặp TN3 – ĐC3

Bảng 3.19 Tổng hợp các tham số đặc trưng của bài kiểm tra HKII, cặp TN4 – ĐC4 Bảng 3.20 Phân phối tần số và tần suất lũy tích bài kiểm tra HKII, cặp TN4 – ĐC4 Bảng 3.21 Tổng hợp kết quả học tập của bài kiểm tra HKII, cặp TN4 – ĐC4

Bảng 3.28 Số lượng phiếu thăm dò

Bảng: 3.29 Thái độ của học sinh khi tham gia vẽ và trình bày sơ đồ tư duy

Bảng 3.30 Ý kiến của học sinh về ưu điểm của sơ đồ tư duy

Bảng 3.31 Ý kiến của học sinh về hạn chế của sơ đồ tư duy

Bảng 3.32 Mức độ rèn luyện khả năng hoạt động của học sinh

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 2.1 Sơ đồ tư duy bài “Mở đầu về phương trình”

Hình 2.2 Sơ đồ tư duy bài “Phương trình bậc nhất một ẩn”

Hình 2.3 Sơ đồ tư duy bài “Phương trình tích”

Hình 2.4 Sơ đồ tư duy bài “Phương trình chứa ẩn ở mẫu”

6 Hình 2.5 Sơ đồ tư duy bài “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” Hình 2.6 Sơ đồ tư duy Ôn tập chương “ Phương trình bậc nhất một ẩn”

Hình 2.7 Sơ đồ tư duy bài “Phương trình bậc hai một ẩn”

Hình 2.8 Sơ đồ tư duy bài “Công thức nghiệm của phương trình bậc hai” Hình 2.9 Sơ đồ tư duy bài “Định lý Vi-ét”

Hình 2.10 Sơ đồ tư duy “Các dạng toán nâng cao về phương trình bậc hai” Hình 2.11 Sơ đồ tư duy bài “Phương trình quy về phương trình bậc hai” Hình 2.12 Sơ đồ tư duy “ Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu”

Hình 2.13 Sơ đồ tư duy “Công thức nghiệm thu gọn”

Hình 2.14 Sơ đồ mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn

Hình 2.15 Sơ đồ liên hệ các kiến thức Toán học với thực tiễn

Hình 3.1 Đồ thị đường lũy tích bài kiểm tra 15 phút

Hình 3.2 Đồ thị đường lũy tích bài kiểm tra 1 tiết

Hình 3.3 Biểu đồ kết quả học tập bài kiểm tra 1 tiết

Hình 3.4 Đồ thị đường lũy tích bài kiểm tra HKII, cặp TN1 – ĐC1

Hình 3.5 Biểu đồ kết quả học tập bài kiểm tra HKII, cặp TN1 – ĐC1

Hình 3.6 Đồ thị đường lũy tích bài kiểm tra HKII, cặp TN2 – ĐC2

Hình 3.7 Biểu đồ kết quả học tập bài kiểm tra HKII, cặp TN2 – ĐC2

Hình 3.8 Đồ thị đường lũy tích bài kiểm tra HKII, cặp TN3 – ĐC3

Hình 3.9 Biểu đồ kết quả học tập bài kiểm tra HKII, cặp TN3 – ĐC3

Hình 3.10 Đồ thị đường lũy tích bài kiểm tra HKII, cặp TN4 – ĐC4

Hình 3.11 Biểu đồ kết quả học tập bài kiểm tra HKII, cặp TN4 – ĐC4

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Chiến lược phát triển giáo dục nước ta giai đoạn 2009 – 2020 đã

khẳng định: phấn đấu xây dựng một nền giáo dục Việt Nam hiện đại, khoa học, dân tộc, làm nền tảng cho sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa, phát triển bền vững đất nước, thích ứng với nền kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa, hướng tới một xã hội học tập, có khả năng hội

7

nhập quốc tế; nền giáo dục này phải đào tạo được những con người Việt Nam có năng lực tư duy độc lập và sáng tạo, có khả năng thích ứng, hợp tác và năng lực giải quyết vấn đề, có kiến thức và kỹ năng nghề nghiệp, có thể lực tốt, có bản lĩnh, trung thực, ý thức làm chủ và tinh thần trách nhiệm công dân, gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội

1.2 Tiếp cận Hệ thống, nhiều trường hợp còn được gọi là Tư duy Hệ

thống, là một lĩnh vực mới mẻ và đang được hoàn thiện rất nhanh do tính thực tiễn cao của nó Tiếp cận Hệ thống không hình thành một cách đơn độc Một số thành tựu khoa học trên thế giới: “Học thuyết chung về hệ thống” của Bertalanffy, lý thuyết Nhiễu loạn (chaos) và Hình học Gồ ghề (fractal geometry)

Ở Việt Nam, tập tài liệu mỏng và không được phát hành rộng rãi “Về

hệ thống và tính ì hệ thống” của Phan Dũng (1996) có lẽ là tài liệu đầu tiên về

lý thuyết hệ thống ở Việt Nam Đây là tập tài liệu sử dụng lý thuyết Hệ thống làm cơ sở của sáng tạo khoa học chứ chưa nhằm ứng dụng vào các hệ thống thực tiễn Lý thuyết Hệ thống được Nguyễn Đình Hòe (1998, 1999, 2002, 2005) sử dụng để nghiên cứu các hệ thống chăn thả gia súc có sừng, nuôi trồng thủy sản, các hệ thống sinh thái nhân văn nhạy cảm và đánh giá các dự

án phát triển bằng sơ đồ khung logic

Như vậy, những năm đầu thế kỷ 21 đánh dấu bước phát triển ứng dụng

ồ ạt của tiếp cận hệ thống vào các hệ sản xuất, vào nghiên cứu phát triển Mỗi bước phát triển đòi hỏi lý thuyết hệ thống phải được hoàn thiện thêm và ngày càng được các nhà khoa học, các nhà quản lý tài nguyên, môi trường và các

hệ sản xuất chú ý rộng rãi

1.3 “Sơ đồ tư duy” được phát triển vào cuối thập niên 60 (của thế kỉ 20)

bởi Tony Buzan như là một cách để giúp học sinh "ghi lại bài giảng" mà chỉ dùng các từ then chốt và các hình ảnh Cách ghi chép này sẽ nhanh hơn, dễ nhớ và dễ ôn tập hơn Đến giữa thập niên 70, Peter Russell đã làm việc chung với Tony và họ đã truyền bá kĩ xảo về giản đồ ý cho nhiều cơ quan quốc tế

8 cũng như các học viện giáo dục

1.4 Trong chương trình toán phổ thông, những kiến thức và kỹ năng về

phương trình chiếm một vị trí hết sức quan trọng, tạo thành một hệ thống xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 12 Nội dung của vấn đề rất đa dạng, phong phú, khá phức tạp đi từ dễ đến khó dưới những dạng ẩn tàng hay tường minh; phạm vi ứng dụng rộng lớn không chỉ đóng khung trong các phân môn toán (đại số, giải tích, hình học) mà còn đến cả các môn học khác (vật lý, hóa học,…) Do vậy có thể nói: học tốt chủ đề phương trình là một “điều kiện tiên quyết” để học tốt môn toán và các môn khoa học tự nhiên và kỹ thuật

Với những lý do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề phương trình thông qua việc vận dụng quan điểm tiếp cận hệ thống và Sơ đồ tư duy”

2 Mục đích nghiên cứu

Vận dụng quan điểm tiếp cận hệ thống xem xét một cách toàn diện về chủ đề phương trình theo nghĩa mỗi nội dung liên hệ với những nội dung khác thành các hệ thống Sử dụng các loại hình ngôn ngữ thể hiện các mối liên

hệ đó nhằm làm cho học sinh hiểu kiến thức một cách chính xác, nắm bản chất nội dung và dễ ghi nhớ, vận dụng

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tư duy hệ thống và ứng dụng của sơ

đồ tư duy vào dạy học môn toán; nghiên cứu vấn đề dạy học hệ thống kiến thức chủ đề phương trình trong chương trình môn toán ở trường trung học cơ

sở

4 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng quan điểm tiếp cận hệ thống và sơ đồ tư duy một cách thích hợp vào dạy học môn toán nói chung và dạy học phương trình nói riêng thì sẽ góp phần phát triển tư duy học sinh và nâng cao chất lượng dạy học

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

­ Nghiên cứu về tư duy hệ thống và sơ đồ tư duy

­ Làm thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng những đề xuất

6 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

­ Nghiên cứu các vấn đề thuộc tư duy hệ thống có liên quan đến quá trình nhận thức của học sinh trong dạy học;

­ Nghiên cứu các vấn đề về nội dụng và phương pháp dạy học kiến thức toán trong chương trình trung học cơ sở;

­ Phạm vi khảo sát thực tiễn dạy học ở các trường trung học cơ sở trong Huyện Tam Nông tỉnh Đồng Tháp

7 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các nhóm phương pháp nghiên cứu thường dùng trong khoa học giáo dục:

­ Phương pháp nghiên cứu lý luận;

­ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: điều tra, khảo sát thực tế,

­ Thực nghiệm sư phạm;

­ Xử lý số liệu thực tiễn và thực nghiệm bằng phương pháp thống kê toán học

8 Những đóng góp của luận văn

Vận dụng quan điểm tiếp cận hệ thống vào dạy học phương trình sẽ giúp cho giáo viên và học sinh có một cái nhìn tổng thể các mối quan hệ của phương trình trong từng trường hợp cụ thể

Sử dụng sơ đồ tư duy để thể hiện các mối liên hệ có tính chất hệ thống trong chủ đề phương trình nói riêng và toán học nói chung

9 Cấu trúc của luận văn

10 Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn

có 3 chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Vận dụng quan điểm tiếp cận hệ thống và sơ đồ tư duy vào dạy học chủ đề phương trình ở trường trung học cơ sở

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư duy

1.1.1 Khái niệm tư duy

Quá trình hoạt động nhận thức của con người là một trong những hoạt động trọng tâm cơ bản nhất của con người, do đó nó cũng tuân theo cấu trúc tổng quát của một hoạt động nói chung Quá trình nhận thức được phản ánh hiện thực khách quan bởi con người, là quá trình tạo thành tri thức trong bộ óc con người về hiện thực khách quan Nhờ có nhận thức, con người mới có ý thức về thế giới; ý thức về cơ bản là kết quả của quá trình nhận thức thế giới Nhờ đó, con người có thái độ đối với thế giới xung quanh, đặt ra mục đích và dựa vào đó mà hành động Nhận thức không phải một hành động tức thời, giản đơn, máy móc và thụ động mà là một quá trình biện chứng, tích cực, sáng tạo Quá trình nhận thức được diễn ra theo con đường từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn Đó là quá trình nhận thức đi từ hiện tượng đến bản chất, từ bản chất kém sâu sắc đến bản chất sâu sắc hơn Vì

11 vậy: “Trong lí luận nhận thức, cũng như trong tất cả lĩnh vực khác của khoa học, cần suy luận một cách biện chứng, nghĩa là đừng giả định rằng nhận thức của chúng ta là bất di bất dịch và có sẵn, mà phải phân tích xem sự hiểu biết nảy sinh ra từ sự không hiểu biết như thế nào, sự hiểu biết không đầy đủ, chính xác trở thành đầy đủ hơn và chính xác hơn như thế nào”

Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại

tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động

và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người Cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói, và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào

đó Khả năng phản ánh thực tại một cách khái quát của tư duy được biểu hiện ở khả năng của con người có thể xây dựng những khái niệm chung, gắn liền với

sự trình bày những quy luật tương ứng Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của tư duy được biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgíc, chứng minh của con người Khả năng này hết sức mở rộng khả năng nhận thức Xuất phát từ chỗ phân tích những sự kiện có thể tri giác được một cách trực tiếp, cho phép nhận thức được những gì không thể tri giác được nhờ các giác quan Những khái niệm và những hệ thống khái niệm (những lí luận khoa học) ghi lại (khái quát hoá) kinh nghiệm của loài người và là điểm xuất phát để tiếp tục nhận thức thực tại Tư duy con người được nghiên cứu trong những lĩnh vực khoa học khác nhau và bằng những phương pháp khác nhau” 58, tr 4

12

Từ những điều đó, ta thấy rằng nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con nguời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn Tuy nhiên trong thực tế biến đổi thì cuộc sống xã hội luôn đặt ra những vấn đề cấp bách và biến đổi khôn lường Do đó con người không thể giải quyết được nhiều vấn đề phức tạp đặt ra trong Toán học Muốn giải quyết các vấn đề như vậy con người cần phải có nhận thức cao hơn, đó là

nhận thức lí tính mà ta còn gọi đó là “tư duy”

Tư duy được rất nhiều nhà tâm lí học nghiên cứu, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã được trình bày trong công trình của X L Rubinstêin Theo ông thì “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể với khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” 59, tr 8

Như vậy tư duy mang bản chất xã hội và có tính sáng tạo, kết quả của nó không phải bằng chân tay, bằng hình tượng mà bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ Qua ngôn ngữ con người nhận thức những tình huống có vấn đề trong cuộc sống, trong xã hội và qua quá trình phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, tổng quát hoá để đi đến những khái niệm, định lí, phán đoán, để có được những sản phẩm của tư duy Từ đó ta thấy được rằng, tư duy lúc nào cũng gắn kết với ngôn ngữ và được thực hiện trong ngôn ngữ cho nên nếu tư duy không phát triển thì ngôn ngữ cũng không thể phát triển được Vì vậy nếu có tư duy tốt đúng đắn thì có thể có triển vọng để nắm vững ngôn ngữ tốt, trong sáng và rõ ràng qua đó phát triển được trí tuệ của học sinh

Vì thế mà, khách thể trong quá trình tư duy được phản ánh dưới nhiều mức

độ khác nhau, từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người Và tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

Nhà tâm lí học Crugliăc nói rằng: “Nhờ tư duy mà có thể chuyển được những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang những tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ hiện tượng sang bản chất và từ bản chất bậc một sang bản chất bậc hai,

13

Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên bề mặt của hiện tượng, chỉ trong quá trình phân loại mới có thể phát hiện và tìm ra được chúng Tư duy càng phát triển bao nhiêu càng có khả năng lĩnh hội tri thức một cách có kết quả và sâu sắc và càng có nhiều khả năng vận dụng những tri thức ấy trong hoạt động thực tế bấy nhiêu Tri thức và tư duy gắn bó với nhau như sản phẩm đi đôi với quá trình” 1, tr 65

Qua đó ta thấy rằng, một tình huống khi gặp vấn đề nào đó, nó sẽ kích thích tư duy con người tìm tòi cách giải quyết, thúc đẩy nhận thức để tiến lên thu thập các tri thức mới, từ đó làm cho tư duy ngày một phát triển cao độ trong mối liên quan biện chứng với nhau

1.1.2 Các thao tác tƣ duy [2, tr 128]

Xét về bản chất thì tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra Cá nhân có tư duy hay không là chổ họ có tiến hành các thao tác này trong đầu mình hay không Cho nên những thao tác tư duy này còn gọi là những quy luật bên trong của tư duy Quá trình tư duy có các thao tác tư duy cơ bản:

1.1.2.1 Phân tích và tổng hợp

Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác

tư duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng

khác nhau của các quá trình đó Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua

bộ môn Toán, giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả

năng phân tích và tổng hợp

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận Tổng hợp là nhìn

bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các

bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo [63, tr 122]

14 Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học của học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [16,

tr 15]

Theo M N Sácđacốp thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ

phận của những sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính như vậy mới nhận thức

được một cách trọn vẹn các sự vật và hiện tượng Tổng hợp (cộng) là sự tổng

hợp sơ đẳng, nhờ đó mà các bộ phận của một toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các bộ phận đó Ông cho rằng; sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kết máy móc các bộ phận thành một chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổng cộng các bộ phận của một toàn thể Sự tổng hợp chân chính là một hoạt động tư duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực

Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược

nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không tầm thường) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau Chúng là hai

mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó Vì phân tích cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên

hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy Phân tích một cái toàn thể là con đường

để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn Sự thống nhất của quá trình phân tích- tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định

15 hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2)

Như vậy, phân tích và tổng hợp theo con đường: tổng hợp 1 - phân tích - tổng

hợp 2 Các thao tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ của con người

Trong giải toán, học sinh thường phải thực hiện các thao tác phân tích,

tổng hợp xen kẽ với nhau Bẳng gợi ý của G Pôlya viết trong tác phẩm “Giải bài toán như thế nào” đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán Trong mỗi

bước tác giả đã đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán Có thể thấy trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăng khít với nhau Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần)

và trong quá trình tổng hợp phải có sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic và tính định hướng của quá trình tổng hợp) Một điều hiển nhiên là: Một bài tập

mà học sinh cần phải giải (Bài tập này do thầy giáo đặt ra, do chương trình học tập yêu cầu, do học sinh biết được trong quá trình tự học vv ) chỉ có hữu hạn các phương pháp giải, các phương pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiến thức đã được học, kiến thức tự tích luỹ ) của học sinh

vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh thường là:

Định hướng tìm tòi lời giải bài tập

Nội dung và hình

thức của bài toán

Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán

16

Do vậy việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh qua việc giải bài tập nhất thiết phải được tiến hành thông qua sự phân loại học sinh Không có

một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng, thậm chí có những quá

trình phân tích-tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh

này nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tượng,

nghiên cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trước khi hướng dẫn cho học sinh quá trình phân tích – tổng hợp khi giải bài tập toán là rất quan trọng

Theo G Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là 2 động tác quan trọng của trí

óc Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy Những chi tiết quá nhiều và

17 quá nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩ, không tập trung vào điểm căn bản Đó

là trường hợp của một người chỉ thấy cây mà không thấy rừng Trước hết, phải hiểu bài toán như một cái toàn bộ Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem xét những điểm chi tiết nào là căn bản Ta phải nghiên cứu thật sát và phân chia bài toán thành từng bước và chú ý, không đi quá xa khi chưa cần thiết” [50, tr 74]

Khi bài toán cần giải đã được hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõ giả thiết kết luận), đã tìm hiểu được mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vào chi tiết Đặc biệt nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện

xa hơn nữa việc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn

Ví dụ 1.1 Giải phương trình: x33x2 2x 6 0 (1)

Đây là bài toán giải phương trình không dễ dàng với học sinh mới học cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn, mà nó đòi hỏi một khả năng vận dụng thành thạo kỹ năng phân tích để có thể đi tới đích bằng cách dùng nhiều lần phép phân tích đa thức Bên cạnh đó nó còn đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử Đầu tiên là việc nhóm hạng tử, sau đó qua hai lần đặt nhân tử chung Phép phân tích chấm dứt ở đây; với cơ sở là học sinh đã biết giải phương trình bậc nhất bà bậc hai

Đối với một bài toán trong đó có giả thiết và kết luận thì sự phân tích phải hướng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lôgic nối giả thiết với kết luận Trong Toán học, thường được sử dụng hai phép phân tích: phép phân tích đi lên (suy ngược lùi) và phép phân tích đi xuống (suy ngược tiến)

18 Trong quá trình dạy học giáo viên cần hướng dẫn học sinh dùng phép suy ngược để tìm lời giải, dùng phép suy xuôi để trình bày lời giải

Khi giải Toán trước tiên phải nhìn bao quát xem bài toán thuộc loại gì, phải phân tích cái đã cho, cái phải tìm Đó là việc xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho Mấu chốt vấn đề ở đây là cách nhìn bài toán Phải biết cách nhìn bài toán dưới dạng chính quy mẫu mực Đây là cách nhìn chủ yếu vào đặc điểm chủ yếu của bài toán Cách nhìn này giúp ta phát hiện được các điểm cơ bản, đơn giản nếu không bị che khuất bởi những hình thức rắc rối Tuy nhiên, lại phải biết cách nhìn bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ Đồng thời cũng phải luyện tập thường xuyên, người giải mới biết cách khai thác hết mọi khía cạnh biểu hiện tinh vi của bài toán, mới có được những điều muốn nói của các con số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài toán Với bài toán đại số nhưng lại phải liên tưởng đến chẳng hạn phạm vi lượng giác, hình học, và ngược lại

1.1.2.2 Khái quát hóa

Theo G Pôlia, “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” [49, tr 21]

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật

một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [36, tr 55]

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến phương pháp tư duy khái quát Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói: “Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con người mới có thể hiểu được nó” Không có khái quát thì không có khoa học; không biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt” [64, tr.170]

để nghiên cứu những tam giác với góc tuỳ ý

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì

những dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán được biểu diễn bằng

mà thôi Bằng con đường đó con người sẽ tiết kiệm thời gian sức lực của

Khái quát hoá

Khái quát hóa từ cái riêng

lẻ đến cái tổng quát

Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hoá tới cái

tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát chưa biết

20 mình, biết cách khám phá các tri thức khoa học bằng những phương pháp tối ưu

Như vậy, khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một số các trường hợp riêng lẻ Với nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý nên các kết luận được rút ra từ khái quát hoá thường mang tính chất giả thuyết, dự đoán Bởi nếu khẳng định chắc chắn thì đã là chứng minh rồi

Chúng ta thường khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó Tổng quát hoá một bài toán thông thường là sự mở rộng bài toán đó

Trong môn trung học cơ sở, nói riêng trong môn Đại số, có nhiều tình huống liên quan đến hoạt động khái quát hoá

Chẳng hạn:

- Khái quát hoá để hình thành khái niệm;

- Khái quát hoá để hình thành định lý;

- Khái quát hoá các bài toán toán học;

- Khái quát hoá để hình thành phương pháp giải lớp các bài toán;

- Khái quát hoá hướng suy nghĩ giải bài tập toán

1.1.2.3 Trừu tượng hoá

Theo Nguyễn Bá Kim: “Trừu tượng hoá là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất” Chẳng hạn trừu tượng hoá mệnh đề: “Bình phương của một số âm là một số dương” học sinh phải tách đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2 để được mệnh đề:

“luỹ thừa bậc chẵn của một số âm là một số dương”

Hoàng Chúng cho rằng: Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ với nhau Nhờ trừu tượng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự vật sâu sắc hơn Và ngược lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp

ta tách được những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất,

tức là đã trừu tượng hoá Trừu tượng hoá là một “hoạt động của tư duy”, hoạt

21 động này của bộ não con người có thể hướng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung và nói riêng là của Toán học Ở đây chúng ta chỉ bàn đến việc trừu tượng hoá một bài tập thuộc chủ để phương trình trong quá trình rèn luyện các thao tác tư duy thông qua việc giải bài tập như thế nào mà thôi

Không có khái quát hoá và trừu tượng hoá thì không thể có kiến thức

và tri thức lí thuyết được Khi trừu tượng hoá, chúng ta tách ra cái chung trong các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú ý tới những cái riêng này Chẳng hạn từ những kết quả cụ thể: phương trình bậc nhất một ẩn có tối đa một nghiệm Phương trình bậc hai một ẩn có tối đa hai nghiệm Phương trình bậc ba một ẩn có tối đa ba nghiệm Tất cả 3 phương trình kể trên đều là phương trình Từ đó ta có thể tách một đặc điểm chung

của các dạng phương trình và có mệnh đề khái quát sau: “Số nghiệm của phương trình không vượt quá bậc của nó”

Học sinh cũng thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những điều kiện cụ thể mới, thường là do phải chuyển từ tư duy cụ thể sang tư duy trừu tượng, tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất làm mờ nhạt, che lấp cái chung, tạo ra cái hố ngăn cánh giữa cái cụ thể và cái trừu tượng Có thể giúp học sinh khắc phục khó khăn đó bằng cách dùng sơ

đồ, hình vẽ Nhờ sự kết hợp được cả hai mặt cụ thể và trừu tượng trong bản

thân nó, sơ đồ có thể giúp làm “cầu nối” khi chuyển từ tư duy cụ thể sang tư

duy trừu tượng và ngược lại

Chẳng hạn ta xét bài toán: “Một con cá nặng bao nhiêu, nếu đuôi của

nó nặng 4kg, đầu nặng bằng đuôi cộng với một nửa thân, thân nặng bằng đầu cộng với đuôi?”

Mối quan hệ giữa khối lượng của đuôi, đầu và thân cá khá rối đối với học sinh Tuy nhiên bài toán có thể giải khá gọn bằng cách dùng sơ đồ đoạn thẳng

22 Gọi Đ, đ và T lần lượt là khối lượng của đầu cá, đuôi cá và thân cá,

ta có:

Đ = đ +

2

T

và T = Đ + đ ta có sơ đồ như trong hình vẽ

Nhìn vào sơ đồ dễ thấy rằng: T = đ x4 = 16 kg

và: Đ = đ x3= 12 kg Vậy con cá nặng 32kg

Để giúp học sinh phát triển tư duy trừu tượng trong sự tác động qua lại với tư duy cụ thể, lại cần phải kết hợp với việc sử dụng hình vẽ, kí hiệu với phát triển ngôn ngữ, giúp cho kiến thức của học sinh được chính xác mà không hình thức

Trong khi đòi hỏi học sinh khái quát hoá những mệnh đề để được những mệnh đề tổng quát hơn Chẳng hạn khi học về phương trình bậc 2, yêu cầu học sinh làm bài tập sau:

Ví dụ 1.2 Giải phương trình:

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9

Hướng dẫn học sinh giải:

Ở bài toán này, chắc chắn ý định khai triển vế trái, biến đổi đưa phương trình về dạng : ax4

+ bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a  0), rồi thực hiện giải Như vậy học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn vì học sinh mới chỉ học giải phương trình trùng phương

- Hãy nhận xét các hệ số có mặt trong các thừa số ở vế trái ?

Bằng cách trừu tượng hoá các số cụ thể, yêu cầu học sinh đề xuất bài

toán tổng quát và xây dựng cách giải dạng toán này?

Bài toán tổng quát: Giải phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) =

   điều kiện

2t

4



  ) Khi đó (2)  (t + ad)(t + bc) = e (Đây là phương trình bậc 2)

1.1.2.4 Đặc biệt hoá

Theo G Pôlia: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việc nghiên cứu đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác đều n cạnh (n3) sang việc nghiên cứu tam giác đều (n=3)

24 Những dạng đặc biệt hoá thường gặp trong môn Toán có thể được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Đặc biệt hoá có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lý tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể

Trong hoạt động giải Toán đặc biệt hoá là chuyển việc nghiên cứu từ trường hợp chung sang trường hợp riêng Chẳng hạn, khi học sinh đã học rồi công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai ax2bx c 0a0thì không phải lúc nào cũng khuôn mẫu dùng công thức đó để giải tìm nghiệm mà tùy trường hợp nếu như phương trình bậc hai đó khuyết b hoặc khuyết c, hoặc các hệ số có dạng

kết luận, tìm được cái “chốt” giúp cho việc giải quyết các bài toán tổng quát

Các trường hợp riêng đôi lúc gợi ý cho các chứng minh tổng quát Chẳng hạn, đối với học sinh lớp 8 chưa được học công thức nghiệm của phương trình bậc hai trước khi học sinh được học khảo sát hàm số ax2 + bx + c = 0 (a  0), nhưng khi gặp phương trình dạng này học sinh vẫn giải được bằng cách phân tích để đưa về phương trình bậc nhất

1.1.2.5 So sánh

Đặc biệt hoá

Đặc biệt hoá từ cái tổng

quát đến cái riêng lẻ Đặc biệt hoá từ cái riêng đến cái riêng hơn

Đặc biệt hoá tới cái riêng lẻ đã biết Đặc biệt hoá tới cái riêng lẻ chưa biết

25

So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồi tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) có cái gì giống và khác nhau

Trong hoạt động Toán học, so sánh giữ một vai trò quan trọng Usinxki chỉ ra: “Nếu anh muốn hiểu rõ một sự vật nào đó của thiên nhiên bên ngoài thì anh hãy phân biệt nó với các sự vật giống nó nhất và tìm trong

nó những dấu hiệu giống với sự vật xa lạ với nó nhất; chỉ khi ấy anh mới hiểu rõ tất cả các dấu hiệu bản chất của sự vật, chính điều đó mới có nghĩa là hiểu sự vật” [52, tr 111]

Sự so sánh các sự vật và hiện tượng của hiện thực khách quan diễn ra theo một góc độ nhất định, xuất phát từ một quan điểm nào đó, nhằm giải quyết một vần đề nhất định I M Xêtsênốp viết: “Người ta đối chiếu và so sánh các sự vật, nhằm đánh giá sự giống nhau và khác nhau của chúng trong tất cả các mối quan hệ có thể có” [52, tr 111]

Trong giảng dạy và học tập, so sánh luôn luôn phục vụ một nhận thức nào đó, nó luôn luôn có mục đích Do đó các sự vật và hiện tượng có thể giống nhau theo quan điểm này và khác nhau theo quan điểm khác Chẳng hạn khi dạy cho học sinh công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

có thể cho học sinh so sánh lại với công thức nghiệm tổng quát để học sinh khắc sâu kiến thức

Rõ ràng trong quá trình giảng dạy nếu ta để ý, sử dụng thao tác so sánh một cách đúng lúc, thích hợp sẽ giúp học sinh nắm chắc kiến thức mới tiếp thu, củng cố được kiến thức cũ đã học và giúp học sinh vận dụng kiến thức cũ tốt hơn Hay khi dạy về các phép biến đổi tương đương của bất phương trình,

chúng ta có định lý: “Cho bất phương trình f(x) > g(x) (1) có tập xác định D, y=h(x) là một hàm số xác định trên D Khi đó, trên D bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình f(x)+h(x) > g(x)+ h(x) (2)”

26

Để học sinh nắm chắc định lí này giáo viên có thể cho học sinh so

sánh với một định lí tương tự trong phần phương trình đó là: “Cho phương trình f(x) = g(x) (1) có tập xác định D, y=h(x) là một hàm số xác định trên D Khi đó, trên D phương trình (1) tương đương với phương trình f(x)+h(x) = g(x)+ h(x) (2)” giáo viên có thể chỉ cho học sinh thấy:

Định nghĩa hai phương trình tương đương và hai bất phương trình tương đương giống nhau ở chỗ: Chúng tương đương khi tập nghiệm trùng nhau

Từ tính chất này của phương trình và bất phương trình đều suy ra được một hệ quả cho phép có một phép biến đổi tương đương rất hay dùng trong

biến đổi phương trình và bất phương trình đó là: có thể chuyển một biểu thức

từ vế này sang vế kia và khi đã đổi dấu của nó

Bằng cách so sánh như vậy sẽ làm cho học sinh nắm chắc bản chất về định nghĩa các nghiệm của phương trình và bất phương trình hơn Chỉ khi nắm vững kiến thức cơ bản học sinh mới có thể tư duy một cách linh hoạt, sáng tạo khi giải quyết vấn đề

1.1.2.6 Tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó được phản ánh bằng khái niệm [49, tr 22]

Trong “Lôgic học”, D Gorki viết: “Tương tự là phép suy luận trong đó

từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác Nếu đối tượng A có dấu hiệu

là a, b, c, d và đối tượng B cũng có dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có tính chất d Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép

suy luận tương tự như sau:

A có tính chất a, b, c, d

B có tính chất a, b,c -

27 Kết luận B cũng có tính chất d”

Chúng ta đã nghiên cứu đặc biệt hóa và thấy không có gì đáng để nghi ngờ cả Nhưng khi bước vào nghiên cứu sự tương tự thì chúng ta có một cơ sở kém vững chắc hơn

Trong Toán học, người ta thường xét vấn đề tương tự trên các khía cạnh sau:

- Hai phép chứng minh là tương tự, nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giống nhau;

- Hai hình là tương tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau Nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần

tử tương ứng của chúng có quan hệ giống nhau Chẳng hạn đường thẳng trong mặt phẳng tương tự với mặt phẳng (trong Hình học không gian), vì trong Hình học phẳng đường thẳng là đường đơn giản nhất có vai trò giống mặt phẳng là mặt đơn giản nhất trong Hình học không gian Ngoài ra, có nhiều

định lý vẫn còn đúng nếu chúng ta thay từ “đường thẳng” bởi từ “mặt phẳng”, ví dụ định lý “Nếu hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song” (có thể thay “đường thẳng” bởi “mặt phẳng”)

Nói về vai trò của phép tương tự, nhà Sư phạm đồng thời là nhà Toán học nổi tiếng người Mỹ G Pôlya có nhận xét: “Trong Toán học sơ cấp cũng

như trong Toán học cao cấp, phép tương tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh

Trong một số phát minh, phép tương tự đóng vai trò quan trọng hơn cả”; còn đối với nhà Thiên văn học tài ba Kepler (người Đức), người đã phát minh ra

ba định luật nổi tiếng trong Thiên văn học thì: “Tôi vô cùng biết ơn các phép tương tự, những người thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tương tự đã

giúp tôi khám phá ra các bí mật của tự nhiên, đã giúp tôi vượt qua mọi trở

ngại” [50, tr 148]

28

Ở đây, chúng ta chỉ xét những phép tương tự theo nghĩa là chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát

a d

a

a a

29 Đối với học sinh, tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo của người học Để giải một bài toán, chúng ta thường nghĩ về một bài toán tương tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài toán tương tự dễ hơn đó làm mô hình

30 khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời khi gặp trở ngại

Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn

và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức, kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy

Ví dụ 1.4 Bài toán: Hai đơn vị bộ đội cùng một lúc đi từ hai địa điểm A và B

để gặp nhau Đơn vị đi từ A mỗi giờ đi được 4km, đơn vị đi từ B mỗi giờ đi được 5km Một người liên lạc đi xe đạp với vận tốc 12km/h lên đường cùng một lúc với các đơn vị bộ đội, bắt đầu đi từ A để gặp đơn vị đi từ B Khi gặp đơn vị này rồi, người liên lạc lập tức quay về gặp đơn vị đi từ A, và khi gặp đơn vị này rồi, lại lập tức quay về để gặp đơn vị đi từ B và cứ như thế cho đến khi hai đơn vị gặp nhau Biết rằng AB dài 36km Tính quãng đường người liên lạc đi

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích và tìm cách giải bài toán như sau:

31 Quãng đường người liên lạc đã đi là tổng các quãng đường chạy đi chạy lại của anh ta Các quãng đường này cứ ngắn dần, ngắn dần … cho đến khi bằng 0 (tức là hai đơn vị bộ đội A, B gặp nhau) Vậy thì phương hướng giải bài toán là tính tổng các quãng đường ngắn dần như thế chăng? Các quãng đường người liên lạc chạy đi, chạy lại luôn thay đổi! Nếu tính các quãng đường như vậy thì thật không dễ chút nào?

Trong bài toán này có đại lượng nào không đổi? Hay nói cách khác là các giá trị của đại lượng đó, luôn bằng nhau?

Đó là thời gian chuyển động của: đơn vị bộ đội A, đơn vị bộ đội B và của người liên lạc, từ lúc khởi hành cho tới lúc gặp nhau Đó chính là điểm nút quan trọng để ta định hướng được cách giải bài toán Nếu tính được ta nhân với vận tốc 12km/h đó chính là quãng đường của người liên lạc đi được Đây chính là bài toán đề cập tới ba đai lượng: Quãng đường (km), vận tốc (km/h), thời gian (h)

Đối tượng: đơn vị bộ đội A, đơn vị bộ đội B

Đại lượng thời gian là đại lượng hằng

Mối liên hệ giữa các giá trị:

s1 = 4t1; s2 = 5t2; t1 = t2; s1 + s2 = 36

Từ việc phân tích trên dẫn đến cách giải bài toán như sau:

- Vì thời gian từ lúc khởi hành cho đến lúc gặp nhau của hai đơn vị bộ đội (cũng là thời gian người liên lạc chạy đi, chạy lại) bằng nhau, nên thời gian là một đại lượng hằng Do đó quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ

Thời gian đơn vị bộ đội A đã đi là: 16 : 4 = 4 (h)

Quãng đường người liên lạc đã đi: 4 12 = 48 (km)

Nhận xét: Cái khó của bài toán này là nếu cứ tưởng tượng quãng đường

đi đi lại lại của người liên lạc sẽ làm cho bài toán phức tạp Ngoài ra lại thêm

câu “bắt đầu đi từ A” làm cho người giải dễ nghĩ sai hướng Thật ra người

liên lạc bắt đầu đi từ A hay bắt đầu đi từ B, thì quãng đường anh ta đi là như nhau Cái hay của bài toán này, một phần cũng ở chỗ đó: Nếu trong các câu:

“Bắt đầu đi từ A … khi hai đơn vị gặp nhau”, ta thay chữ “A” bằng chữ

“này”, “B” bằng “kia”, thì bài toán sẽ giảm đi một phần sự lý thú Đặc biệt, trong mối liên hệ giữa các giá trị và do đó trong suy luận, không có mặt giá trị 12km/h (vận tốc của người liên lạc) Việc này làm cho người giải toán băn khoăn là không biết là đưa nó vào chỗ nào trong quá trình giải Do vậy cái thâm thúy của bài toán sẽ mất, nếu yêu cầu tính thời gian (khi đó không cần đến vận tốc) chạy đi chạy lại của người liên lạc

Ngoài ra dựa vào quá trình phân tích ở trên và mối liên hệ giữa các giá trị: s1 = 4t1, s2 = 5t2 , t1 = t2, s1 + s2 = 36, ta có thể giải bài toán trên bằng cách khác

? km

Số thứ I

36 km ? km

Số thứ II

33

Ta có:

Tổng vận tốc của hai đơn vị bộ đội là: 4 + 5 = 9 (km/h)

Thời gian để hai đơn vị bộ đội đi cho đến lúc gặp nhau: 36 : 9 = 4 (h) Suy ra quãng đường của người liên lạc đã đi là: 12 4 = 48 (km)

Qua ví dụ trên ta thấy sự mềm dẻo, linh hoạt thể hiện ở chỗ biết phân tích bài toán một cách toàn diện, ở nhiều khía cạnh khác nhau và đã phát hiện

ra điểm mấu chốt của của bài toán, đó là đại lượng thời gian là một đại lượng hằng, và đã đưa bài toán về dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai

số, tìm ra mốt liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán, để từ đó lựa chọn được phương án giải tối ưu

1.1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách

nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của

ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh

ra chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:

- Một là tính đa dạng của các cách sử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và

đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu

- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

Ví dụ 1.5 Ta xét bài toán quen thuộc sau:

Vừa gà vừa chó, bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

34

Một trăm chân chẵn

Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?

Có thể phát biểu lại bài toán một cách dễ hiểu hơn: Một chủ trại nọ, nuôi

gà và chó, cả thảy có 36 con, gồm 100 chân Hỏi chủ trại có bao nhiêu gà và chó?

Có nhiều cách giải bài toán này, giáo viên gợi ý dùng phương pháp “giả thiết tạm” học sinh đưa ra các hướng giải bài toán như sau:

+ Hướng suy nghĩ thứ nhất: Nếu “dồn” tổng các giá trị của đại lượng số

con về đối tượng là gà ta có cách giải thứ nhất:

Cách 1: Giả thiết rằng 36 con đều là gà, khi đó số chân là: 36 2 = 72 (chân)

Số chân hụt đi: 100 – 72 = 28 (chân)

Sở dĩ số chân hụt đi là vì mỗi con gà ít hơn mỗi con chó hai chân, vậy số con chó là: 28 : 2 = 14 (con)

Suy ra số con gà là: 36 – 14 = 22 (con)

+ Hướng suy nghĩ thứ hai : Nếu “dồn” tổng các giá trị của đại lượng số

con về đối tượng là chó ta có cách giải thứ hai:

Cách 2: Giả thiết rằng 36 con đều là chó, khi đó số chân là: 36 4 = 144

(chân)

Số chân dôi ra là: 144 – 100 = 44 (chân)

Sở dĩ số chân dôi ra là vì mỗi con chó hơn mỗi con gà 2 chân, vậy số con

gà là: 44 : 2 = 22 (con)

Suy ra số con chó là: 36 – 22 = 14 (con)

+ Hướng suy nghĩ thứ ba: Nếu “dồn” tổng các giá trị của đại lượng số

chân về đối tượng là gà ta có cách giải thứ ba:

Cách 3: Giả thiết rằng cả 100 chân đều là chân gà, vậy có: 100 : 2 = 50 (con)

Số con tăng lên 50 – 36 = 14 (con) tương ứng với số chân là:

14 2 = 28 (chân)

Sở dĩ số chân tăng thêm là vì mỗi con gà ít hơn mỗi con chó 2 chân, vậy số con chó là: 28 : 2 = 14 (con)

35 Suy ra số con gà là: 36 – 14 = 22 (con)

+ Hướng suy nghĩ thứ tư: Nếu “dồn” tổng các giá trị của đại lượng số

chân về đối tượng là chó ta có cách giải thứ tư:

Cách 4: Giả thiết rằng cả 100 chân đều là chân chó, vậy có:100 : 4 = 25 (con)

Số con hụt đi là: 36 – 25 = 11 (con), ứng với số chân là:

11 4 = 44 (chân)

Sở dĩ số chân bị hụt đi là do mỗi con chó nhiều hơn mỗi con gà 2 chân, vậy số con gà là: 44 : 2 = 22 (con)

Suy ra số con chó là: 36 – 22= 14 (con)

Nhận xét: Phương pháp chung của bốn cách giải trên là “dùng giả thiết tạm” cụ thể là “dồn” giá trị tổng của một đại lượng về một đối tượng để dẫn

đến mâu thuẫn

Cả bốn cách trên về bản chất thì không khác nhau mấy, trong trường hợp

có nhiều biến số, cách đặt ẩn số rõ ràng là tiện lợi hơn nhiều, một khi đưa về giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình thì có nhiều công thức để giải Tuy nhiên ở đây khi mà học sinh chưa học về giải bài toán bằng cách lập phương trình Khi đó cách giải bằng lời (đặt giả thiết tạm) lại nổi lên vẻ đẹp lung linh, có hàm lượng tư duy cao hơn Khi đưa ra bài toán này chính là khai thác vẻ đẹp của lời giải bằng lời mà không cần đặt ẩn số

+ Bằng đại số: Ta có thể giải bài toán trên không phải dựa vào phương pháp “giả thiết tạm”, mà bằng một con đường chính quy hơn, nếu ta biết môn

Đại số, dù chỉ là ít ỏi thôi Đại số, đó là thứ ngôn ngữ không dùng đến lời mà chỉ sử dụng các kí hiệu Toán học Nếu ta quen với ngôn ngữ của các kí hiệu

đó, thì ta có thể phiên dịch sang ngôn ngữ đó những điều phát biểu trong ngôn ngữ thông thường Bây giờ ta hãy thử phiên dịch bài toán của ta sang ngôn ngữ các kí hiệu Toán học Trong trường hợp này, việc phiên dịch đó không khó khăn gì

Phát biểu bài toán Bằng lời Bằng ngôn ngữ đại số

36 Chủ trại có cả thảy 36 con Một số lượng gà nào đó Khi đó lượng chó là Tổng cộng có 100 cái chân

36

x

36 – x 2x + 4(36 – x) = 100

Ta đã biến đổi bài toán trên thành một phương trình theo ẩn x Để tìm x ta giải phương trình: 2x + 4(36 – x) = 100 và không khó khăn gì ta tìm được

x = 22 Kho đó, số gà là 22 con; số chó là 14 con

Phương pháp này áp dụng cho tất cả trong trường hợp các số lớn lẫn trường hợp các số nhỏ, áp dụng được trong một tập hợp vô hạn các bài toán,

ta chỉ cần nắm vững những điều cơ bản của ngôn ngữ đại số

Với mỗi bài toán, tìm ra được lời giải là một niềm vui, sẽ vui sướng và thú vị hơn nếu ta tìm được nhiều lời giải cho một bài toán Có thể rất bổ ích nếu đem so sánh các cách giải khác nhau của cùng một bài toán Nhìn lại các cách giải trên, ta có thể nhận thấy rằng, mỗi một cách đó đều có ưu điểm riêng và có một vẻ lí thú đặc biệt của nó

Qua ví dụ trên ta thấy, đây là một bài toán quen thuộc mà chúng ta đã gặp

ở cấp tiểu học đến cấp trung học và có tác dụng lớn trong việc rèn luyện tư duy linh hoạt cho học sinh Việc lựa chọn cách giải tùy thuộc vào giả thiết của bài toán và kiến thức của từng lớp học, qua đó rèn luyện cho học sinh có khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn khả năng nhìn một đối tượng toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau

1.1.3.3 Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được thể hiện:

- Tính độc đáo của tư duy được thể hiện như là những khả năng tìm ra giải pháp hay, lạ tuy đã biết những giải pháp khác

- Khả năng tìm ra những mối liên hệ bên trong những sự kiện mà bên ngoài tưởng như không có liên hệ gì với nhau

37

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau, mà trái lại, chúng quan

hệ mật thiết với nhau, khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo), tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và các tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn),

và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau và trong đó có thể tìm được nhiều phương án tối ưu Các yếu tố cơ bản này, lại có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

Đối với những bài toán cụ thể, tư duy sáng tạo trong việc giải toán, bên cạnh cách nhìn bài toán dưới dạng chính quy mẫu mực, còn phải biết nhìn bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ Phải có con mắt tinh tường để khai thác hết mọi khía cạnh tinh vi của bài toán, khi đó sẽ “gọi” được những điều muốn nói của các con số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng bên trong bài toán

Ta có thể minh họa bởi các ví dụ sau:

Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán thấy giữa các hệ số hình thành tỉ lệ, thực hiện biến đổi đơn giản các hệ số đưa phương trình về dạng: a x b x c    0:

38

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành

động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng Chẳng hạn khi dạy

– học giải bài tập, giáo viên cần hình thành cho học sinh phương pháp chung

để giải bài toán bao gồm bốn bước:

Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài;

Bước 2 Tìm cách giải;

Bước 3 Trình bày lời giải;

Bước 4 Kiểm tra lời giải và nghiên cứu thêm về bài toán và cách giải

Ta có thể minh họa bằng ví dụ sau:

Ví dụ 1.7 Một thị trấn hiện có 40804 dân Biết rằng mỗi năm dân số

tăng lên 1% Tìm số dân của thị trấn cách đây 2 năm

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh theo bốn bước:

Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài:

Loại bài toán này liên quan về phần trăm (%) Cho biết số dân hiện nay

là 40804 người và phải tìm dân số cách đây 2 năm khi dân số mỗi năm tăng 1%

Bước 2 Tìm cách giải:

Ta nên chọn ẩn là số dân cách đây 2 năm, rồi tìm xem sau 1 năm, rồi sau 2 năm dân số đã tăng bao nhiêu Từ đó mà lập phương trình theo bài ra

Bước 3 Trình bày lời giải:

Gọi số dân cách đây 2 năm là x (x nguyên dương)

39 1% tức là

100x10000x

40804.10000 4000010200

Giá trị này thỏa mãn điều kiện ở trên

Vậy số dân cách đây 2 năm là 40000 người

Bước 4 Kiểm tra và nghiên cứu thêm về bài toán và cách giải:

Khai thác bài toán: Đáng lẽ tìm số dân một thị trấn ta có thể đổi bài toán

thành tìm số dân của hai thị trấn như sau:

Hai thị trấn M và P năm ngoái có tổng số dân là 12 vạn người Năm nay dân số thị trấn M tăng 1%, dân số thị trấn P tăng 0,9% Do đó tổng dân số năm nay của hai thị trấn là 121130 người Tính số dân của mỗi thị trấn năm ngoái và năm nay

Nếu gọi số dân thị trấn M năm ngoái là x vạn người (x nguyên dương)

thì số dân thị trấn P năm ngoái sẽ là 12 x

Nam nay số dân thị trấn M tăng

x

40  x 5 (thỏa điều kiện) Vậy năm ngoái số dân thị trấn M là 5 vạn người, số dân thị trấn P là 7 vạn người

Năm nay số dân thị trấn M là 5.101 5,05

100  vạn người, số dân thị trấn P

là 7.100,9 7,063

100  vạn người

1.1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề, tìm ra kết quả mới, tạo được bài toán mới

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm thiếu lôgic Chưa tối ưu

từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên, đã biểu hiện khá rõ ở học sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá, giỏi Trong học tập Toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải Điều quan trọng là người giáo viên phải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em