Một số tính chất của v vành yếu

Khái niệmnày sau đó đã được khái quát hóa cho lớp các môđun bởi Wisbauer xem[8]: Môđun MR được gọi là V-môđun nếu mọi môđun đơn trong phạmtrù σ[M ] là M- nội xạ.. Trong [4], các tác giả

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

-NGUYỄN VĂN BẰNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA V - VÀNH YẾU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

-NGUYỄN VĂN BẰNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA V - VÀNH YẾU

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS ĐINH ĐỨC TÀI

Nghệ An, 2012

2.1 V- vành 142.2 V- vành yếu 182.3 Vành với môđun xiclic thỏa mãn điều kiện (℘0) 21

MỞ ĐẦU

Vào những năm đầu của thập niên 70, Villamayor đã công bố nhiềukết quả nghiên cứu đặc sắc của mình về lớp vành mà trên đó mỗi môđunđơn là môđun nội xạ (xem [7]) Để vinh danh ông, các nhà toán học tronglĩnh vực lý thuyết vành đã gọi lớp vành này là lớp V- vành Khái niệmnày sau đó đã được khái quát hóa cho lớp các môđun bởi Wisbauer (xem[8]): Môđun MR được gọi là V-môđun nếu mọi môđun đơn trong phạmtrù σ[M ] là M- nội xạ

Trong [4], các tác giả đã giới thiệu một lớp vành tổng quát của lớp vành và được gọi là lớp V- vành yếu (weakly V- ring): Vành R được gọi

V-là V- vành yếu phải nếu mỗi một môđun đơn V-là nội xạ lẫn nhau với mọimôđun xiclic thực sự, hay nói cách khác, mọi môđun xiclic thực sự đều

là V- môđun Như vậy, hiển nhiên mọi V- vành đều là V- vành yếu, tuynhiên điều ngược lại không hoàn toàn đúng, chẳng hạn như: với R = Z4

là V- vành yếu nhưng không là V- vành Có thể nói V- vành yếu là mộtlớp vành mới và khá hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu lý thuyết vànhtrong thời gian gần đây Trên đây là các lý do chính để chúng tôi lựa chọn

đề tài nghiên cứu: Một số tính chất của V- vành yếu

Trên cơ sở tài liệu tham khảo [5], mục đích của đề tài nhằm tìm hiểu

và chứng minh chi tiết một số kết quả về lớp V- vành, V-vành yếu và mốiliên hệ giữa chúng Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo,nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở Nội dung chính của chương này chủ yếudành để trình bày các khái niệm, các tính chất cơ bản nhằm phục vụ nộidung của Chương 2

Chương 2 V- vành yếu Nôi dung Chương 2 được trình bày trong 3phần:

2.1 V- vành Nội dung chính của phần này trình bày định nghĩa, ví dụ

2.3 Vành với môđun xiclic thỏa mãn điều kiện (℘0)

Trong [2], tác giả đã đưa ra điều kiện (℘0): "Một môđun C được gọi

là thỏa mãn điều kiên (℘0) nếu C là tổng trực tiếp của một môđun xạảnh và một môđun Q, trong đó hoặc Q là CS-môđun hoặc Q là môđun

có chiều Goldie hữu hạn" và thiết lập được điều kiện để một GV- vành làvành Noether Trong tiết này, với điều kiện (℘0) đã xác định trên, chúngtôi trình bày một kết quả khác trên lớp V- vành yếu phải

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh từ tháng 3 năm 2012dưới sự hướng dẫn của TS Đinh Đức Tài Tác giả xin gửi tới Thầy tấmlòng biết ơn chân thành về sự tận tình hướng dẫn của Thầy trong suốtthời gian qua

Xin chân thành gửi lời cảm ơn tới: Các Thầy giáo, Cô giáo trong Bộmôn Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Vinh; Phòng Đào tạo Sau đạihọc; bạn bè và gia đình về sự giúp đỡ, động viên cả về tinh thần lẫn vậtchất, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học này

Nghệ An, tháng 9 năm 2012

Tác giả

BẢNG KÍ HIỆU

A ⊆⊕ B : A là hạng tử trực tiếp của B

A ,→e B : A là môđun con cốt yếu của B

A ∼= B : A đẳng cấu với B

A ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B

ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm)

E(M ) : Bao nội xạ của môđun M

Soc(M ) : Đế của môđun M

End(M ) :Vành các tự đồng cấu của môđun M

u-dim(M ) : Chiều Goldie của môđun M

Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh của đồng cấu f (tương ứng)

M(I) : ⊕i∈IM (tổng trực tiếp của I bản sao của M)

MR(RM ) : M là một R-môđun phải (trái)

Mn(S) : Vành các ma trận vuông cấp n với các hệ tử trên S

M od-R: Phạm trù các R-môđun phải

Rad(M ) : Căn của môđun M

J (R) : Căn Jacobson của vành R

Z(M ) : Môđun con suy biến của môđun M

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn đượchiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđununita phải hoặc trái

Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của

Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm và tính chất này

đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôi chủ yếu thamkhảo trong các tài liệu [3], [8]

Một môđun con NR của MR được gọi là cốt yếu hay môđun con lớn(essential or large) trong MR, kí hiệu N ,→e M , nếu NR ∩ K 6= 0 vớimọi môđun con K 6= 0 của M Môđun con NR của MR được gọi là môđuncon bé (small or superfluous) trong MR , kí hiệu N  M , nếu với mọimôđun K ⊆ M sao cho K + N = M thì K = M

Môđun con K được gọi là đóng trong M nếu K không có mở rộng cốtyếu thực sự trong M

Với mỗi X ⊆ M, M là một R-môđun Linh hóa tử phải của X trong

R là tập hợp:

rR(X) = {r ∈ R |xr = 0; ∀x ∈ X } Với mỗi A ⊆ R, linh hóa tử phải của A trong M là tập hợp:

rM(A) = {m ∈ M |am = 0; ∀a ∈ A}

Định nghĩa hoàn toàn tương tự cho linh hóa tử trái Chúng ta cũng luôn

kí hiệu lM(x) = {m ∈ M |mx = 0} , rM(x) = {m ∈ M |xm = 0} để chỉlinh hóa tử trái và phải của phần tử x trong M

Cho M là R-môđun phải Một phần tửm ∈ M được gọi là phần tử suybiến phải của M nếu iđêan phải rR(m) ,→e RR Tập hợp các phần tử suybiến của M được gọi là môđun con suy biến của M và kí hiệu là Z(MR).Như vậy chúng ta có Z(MR) = {m ∈ M |mI = 0, với I là iđêan phảicốt yếu của R } hay nói cách khác Z(MR) = {m ∈ M |rR(m) ,→e RR}.Chúng ta kí hiệu Zr(R) và Zl(R) lần lượt là các iđêan phải, trái suy biếncủa R

Môđun M được là môđun suy biến nếu Z(M ) = M Nếu Z(M ) = 0,

ta gọi M là môđun không suy biến Chúng ta lưu ý rằng, môđun M-suybiến nếu và chỉ nếu M ∼= A/B, trong đóB là một môđun con cốt yếu của

A

Phần tử x của vành R được gọi là lũy linh (nilpotent) nếu tồn tại một

số tự nhiên n > 0 (chỉ số nilpotent ) sao cho xn = 0 Tập con A của vành

R được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên n > 0 sao cho với mọidãy x1, x2, , xn ∈ A ta có x1.x2 xn = 0 Tập con A của vành R đượcgọi là iđêan lũy linh nếu mọi phần tử của nó là phần tử lũy linh

Iđêan một phía A của vành R được gọi là T-lũy linh (T-nilpotent) trái(phải) nếu tồn tại một số tự nhiên nsao cho với mọi dãy a1, a2, , an ∈ A

ta có a1.a2 an = 0 (t.ư an a1 = 0) Như vậy T-lũy linh là iđêan lũylinh nhưng điều ngược lại không hoàn toàn đúng

Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x Giả sử I

là một iđêan của vành R và g + I là một phần tử lũy đẳng của R/I Tanói rằng phần tử lũy đẳng này có thể nâng tới e modulo I hay lũy đẳngnâng modulo I nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho g + I = e + I.Đặc biệt, nếu I là iđêan lũy linh, nghĩa là mọi phần tử của I là lũy linh(xn = 0, ∀n ∈ I ), thì mọi phần tử lũy đẳng của R/I đều là lũy đẳng

(a) Mọi iđêan phải (trái) khác không I là iđêan trung thành, nghĩa làr(I) = 0 (t.ư l(I) = 0);

(b) Với mỗi cặp các iđêan I1, I2 6= 0 ta có I1.I2 6= 0;

(c) Với mọi x, y ∈ R thỏa mãn xRy = 0 ta có x = 0 hoặc y = 0.Iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/P là vànhnguyên tố Hay nói cách khác, P nguyên tố nếu và chỉ nếu với mỗix, y ∈ Rthỏa mãn xRy ⊆ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P Giao của tất cả các iđêannguyên tố của vành R được gọi là căn nguyên tố (prime radical /lower nilradical) của vành R, kí hiệu N (R) Vành R được gọi là nửa nguyên tố(semiprime) nếu N (R) = 0

Môđun NR được gọi là sinh bởi MR (MR - sinh) nếu tồn tại toàn cấu

f : MR(Λ) → NR, với tập chỉ số Λ nào đó Nếu tập chỉ số Λ hữu hạn thì

ta nói rằng NR là hữu hạn sinh bởi MR (hữu hạn MR - sinh) Môđun NR

được gọi là hữu hạn R- sinh nếu tồn tại hữu hạn phần tử x1, x2, , xk

sao cho NR = x1R + x2R + + xkR Môđun thương của MR cũng đượcgọi là môđun M- xiclic Môđun M- xiclic không đẳng cấu với M được gọi

là môđun M- xiclic thực sự (proper M-xiclic) Môđun NR được gọi là Λsinh, Λ là tập chỉ số bất kỳ, nếu tồn tại một toàn cấu f : R(Λ) → NR Kíhiệu σ[M ] là phạm trù con đầy đủ của Mod-R, trong đó vật là tập tất cảcác R-môđun con của các môđun MR- sinh

-Đế phải của MR, kí hiệu Soc(MR), là tổng các môđun con đơn của

MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của M Nếu MR khôngchứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR) = 0 Căn của MR, kí hiệuRad(MR), là giao của tất cả các môđun con tối đại của MR, là tổng củatất cả các môđun con bé của MR Nếu MR không chứa môđun con tốiđại nào thì ta định nghĩa Rad(MR) = M Đặc biệt, chúng ta đã biếtRad(RR) = Rad(RR) = J (R) Do đó không sợ nhầm lẫn, ta luôn kí hiệu

J (R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng là Radical của RR Nếu

MR là môđun hữu hạn sinh thì Rad(MR)  MR

Một môđun MR 6= 0 được gọi là đều (uniform) nếu mọi môđun conkhác không của MR cốt yếu trong MR Hay nói cách khác,MR là đều nếuvới mọi môđun con khác không U và V của M, ta luôn có U ∩ V 6= 0.Chúng ta nói rằng M có chiều Goldie hữu hạn (chiều đều hữu hạn) nếu

nó không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không Nếu

M có chiều Goldie hữu hạn thì ta có sự tồn tại của một số hữu hạn bénhất n sao cho M không chứa một tổng trực tiếp có nhiều hơn n môđuncon khác không Khi đó, số n được gọi là chiều Goldie của M Kí hiệu

u-dim(M ) = n Môđun M có u-dim(M ) = n nếu và chỉ nếu tồn tại mộttổng trực tiếp n môđun con đều cốt yếu trong trong M Như vậy ta có,chiều Goldie của mọi mở rộng cốt yếu của M đều bằng chiều Goldie củamôđun M

1.2.1 Định nghĩa R-môđunN được gọi làM-nội xạ nếu với mọi môđuncon X của M, mọi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở rộng được thànhmột đồng cấu ψ : M → N Môđun N được gọi là tựa nội xạ nếu N là N-nội xạ Môđun N được gọi là môđun nội xạ nếu N là A-nội xạ với mọi Atrong Mod-R

Như vậy, môđun N là nội xạ nếu và chỉ nếu N là RR -nội xạ Chúng

ta có các điều kiện tương đương sau:

Môđun N là nội xạ khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các điều kiệntương đương sau:

a) Với mọi môđun A và với mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu

f : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu từ A → N;b)(Tiêu chuẩn Baer) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I của R tới N đều cóthể mở rộng được thành đồng cấu từ R tới N;

c) Với mọi R-môđun M, mọi đơn cấu f : N → M đều chẻ ra Nghĩa là,

Im f là hạng tử trực tiếp của M;

d) R-môđun N không có mở rộng cốt yếu thực sự

1.2.2 Định nghĩa Hai R-môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhaunếu M là N-nội xạ và ngược lại

1.2.3 Định nghĩa Nếu N là một môđun con cốt yếu của môđun nội xạ

E thì E được gọi là bao nội xạ hay R-bao nội xạ của môđun N Kí hiệuE(N )

1.2.4 Định nghĩa Môđun P được gọi là M-xạ ảnh nếu với mọi toàncấu g : M → N và đồng cấu f : P → N đều tồn tại một đồng cấu

h : P → M sao cho f = gh Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P là M-xạảnh với mọi môđun M thuộc Mod-R

Khái niệm nội xạ có nhiều hướng mở rộng khác nhau, chẳng hạn như:

mở rộng thông qua các điều kiện C1, C2, C3 chúng ta có các khái niệmCS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục

Cho MR là R- môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

• (C1) : Mọi môđun con của MR là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếpcủa MR Hay nói cách khác, mọi môđun con đóng trong MR là hạng

tử trực tiếp của MR

• (C2) : Nếu A và B là các môđun con của MR đẳng cấu với nhau và

A là hạng tử trực tiếp của MR thì B cũng là hạng tử trực tiếp của

là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu MR thỏa mãn các điều kiện(C1) và(C3) Môđun MR được gọi là (1 − C1)- môđun (uniform extending) nếu

MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1)

Từ các định nghĩa trên chúng ta có dãy kéo theo sau đây:

Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1)

Sử dụng các khái niệm trên cho vành R khi xét R như một R-môđuntrên chính nó chúng ta có các khái niệm tương ứng

1.2.6 Định nghĩa Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục) vànhphải nếu RR là một CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải trên chính nó.Tương tự chúng ta có các khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái

và vành tựa liên tục trái

Trước hết chúng ta có các khái niệm điều kiện ACC và DCC

Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện ACC (Ascending Chain tion) nếu với mọi dãy tăng các môđun con M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ ,

Condi-tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2,

MôđunM được gọi là thỏa mãn điều kiện DCC (Descending Chain dition) nếu với mọi dãy giảm các môđun con M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇ Mn ⊇ ,tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2,

Con-Môđun M được gọi là môđun Artin (Noether) nếu M thỏa mãn điềukiện DCC (ACC)

1.3.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành Artin (Noether) phải nếu

RR là môđun Artin (Noether) Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tựcho phía trái

1.3.2 Định nghĩa Vành R được gọi là vành địa phương (local ring) nếu

nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

(d) J (R) là iđêan phải tối đại;

(e) J (R) là tập hợp tất cả các phần tử không khả nghịch của R

Vành R được gọi là vành nửa địa phương (semilocal) nếu vành thươngR/J (R) là Artin nửa đơn

Như vậy, vành nửa địa phương là lớp vành mở rộng của lớp vành Artin.Sau đây chúng ta có thêm một số lớp vành mở rộng khác của lớp vànhArtin

1.3.3 Định nghĩa Một vành R là nửa hoàn chỉnh (semiperfect) nếu R

là vành nửa địa phương và các lũy đẳng nâng được modulo J (R)

Ngoài ra, theo kết quả của Bass chúng ta có điều kiện tương đươngsau: vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh (semiperpect) nếu mọi R-môđunhữu hạn sinh có bao xạ ảnh

Chúng ta lưu ý rằng nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh có bao xạảnh thì mọi R-môđun trái hữu hạn sinh cũng có bao xạ ảnh Do đó kháiniệm trái và phải trên vành nửa hoàn chỉnh là đối xứng Nếu vành R lànửa hoàn chỉnh thì ta có R/J (R) là nửa đơn và các lũy đẳng có thể nângmodulo J (R) Từ các kết quả 15.16, 15.19 và 27.1 trong [3] chứng tỏ rằngmột vành trái (phải) Artin là vành nửa hoàn chỉnh Như vậy, vành địaphương, vành Artin phải (hoặc trái) là các ví dụ về vành nửa hoàn chỉnh.1.3.4 Định nghĩa Vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (trái) nếu mọi

R-môđun phải (t.ư, trái) có bao xạ ảnh

Vành hoàn chỉnh trái (hoặc phải) là nửa hoàn chỉnh Tuy nhiên, mộtvành hoàn chỉnh trái không nhất thiết là vành hoàn chỉnh phải

1.3.5 Nhận xét Chúng ta đặc biệt lưu ý đến điều kiên DCC cho cáciđêan chính trái và phải ở định lý này Nếu R thỏa mãn điều kiện DCCcho các iđêan chính trái thì R là vành hoàn chỉnh phải và ngược lại Trênthực tế nói chung vành hoàn chỉnh trái không nhất thiết là vành hoànchỉnh phải

1.3.6 Định nghĩa Một vành R được gọi là nửa nguyên sơ (semiprimary)nếu R là vành nửa hoàn chỉnh và J (R) là lũy linh

Vành R được gọi là vành nguyên sơ (primary) nếu R/J (R) artin đơn

và J (R) lũy linh

1.3.7 Định nghĩa Một R- môđun phải M được gọi là có chiều Goldie(ký hiệu udim) hữu hạn nếu M không chứa một tổng trực tiếp vô hạn cácmôđun con Môđun M được gọi là qfd môđun (quotient finite dimensional)nếu M/K có chiều đều (chiều Goldie) hữu hạn với mọi môđun con K của

M

1.3.8 Bổ đề Môđun M có chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu M chứamột tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con khác không

1.3.9 Định nghĩa R- môđun phải được gọi làV- môđun nếu mọi môđuntrong phạm trù σ[M ] đều là M- nội xạ.

1.3.10 Bổ đề Cho R- môđun phải M Các điều kiện sau tương đương:(i) M là V- môđun;

(ii) Mỗi môđun con của M là giao của các môđun con tối đại của M;(iii) J (N ) = 0 với mọi N ∈ σ[M ]

1.3.11 Bổ đề Các miền nội xạ là đóng đối với các môđun con, ảnh cácđồng cấu và tổng trực tiếp bất kỳ

CHƯƠNG 2V- VÀNH YẾU

Trước hết chúng ta có định nghĩa về V- vành:

2.1.1 Định nghĩa Vành R được gọi là V-vành phải (trái) nếu mọi Rmôđun phải (tư trái) đơn là nội xạ

-Chúng ta gọi đối sinh của vành R là một R- môđun C sao cho với mọi

R-môđun M và ∀0 6= x ∈ M, tồn tại đồng cấu f : M → C thỏa mãn

f (x) 6= 0

Ta có một số tính chất của lớp V- vành này:

2.1.2 Định lý (1) Với vành R bất kỳ, các điều kiện sau là tương đương:(i) R là V- vành phải;

(ii) Tích của tất cả các R- môđun phải đơn là đối sinh;

(iii) Với mọi R- môđun phải, giao của tất cả các môđun con tối đạibằng 0

(2) Mọi V- vành đều là vành nửa nguyên thủy

(3) Mọi iđêan phải trong V- vành phải đều là lũy đẳng

Chứng minh (1) Trước hết ta chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử C là tíchcủa tất cả các R- môđun phải đơn Do R là một V - vành phải nên ta có

C là môđun nội xạ Ta phải chứng minh C là môđun đối sinh Thật vậy,lấy 0 6= x ∈ M, đặt N0 là một môđun con tối đại không chứa x và đặt

N1 là môđun con sinh bởi N và x Khi đó ta có N1/N0 là môđun đơn và