Tích phân k dạng vi phân và một số ứng dụng

KIẾN THỨC CƠ SỞ 18

Ánh xạ khả vi 6

1.2.1 Định nghĩa M và N là hai đa tạp khả vi lớp C k Ánh xạ f : M  N gọi là ánh xạ khả vi lớp C k nếu f liên tục và với mọi bản đồ địa phương (U , x) của M, (V , y) của N mà W = U  f -1 (V) ≠  thì ánh xạ: y o f o x -1 : x(W)  y(V) ; x(p)  y(f(p)) là ánh xạ khả vi lớp C k (từ tập mở x(W) trong R m vào tập mở y(V) trong R n , m và n theo thứ tự là số chiều của

M và N) Các y o f o x -1 gọi là các biểu thức tọa độ địa phương của f

Với p  W thì hạng của f tại p là hạng của y o f o x -1 tại x(p) Ký hiệu là hạng pf +) f dìm tại p  M nếu hạng pf = dimM

+) f ngập tại p  M nếu hạng pf = dimN

+) f trải tại p  M nếu hạng pf = dimM = dimN

+) Nói f là dìm, ngập hay trải nếu theo thứ từ f là dìm, ngập, trải tại mọi p  M

Một hàm f được gọi là nhúng khả vi nếu nó là một dìm, đơn ánh và đồng phôi lên ảnh Ngoài ra, f được xem là vi phôi lớp C^k nếu nó là song ánh và hàm nghịch đảo f^-1 là ánh xạ khả vi lớp C^k.

1.2.2 Định lý (xem [1]) Hai đa tạp khả vi M, N vi phôi với nhau thì chúng có cùng số chiều

1.2.3 Ánh xạ tiếp xúc a) Định nghĩa Cho ánh xạ khả vi F : M  N và một điểm p  M, ánh xạ tiếp xúc tại p của ánh xạ F (hay là vi phân tại p của ánh xạ F) là ánh xạ

F* : Tp(M)  T F(P) M xác định như sau : đối với mỗi véc tơ v  T p (M) là véc tơ tiếp xúc tại điểm p = x(t0) với đường cong x(t) trong đa tạp thì F*p(v) 

TF(p)(N) là véc tơ tiếp xúc tại Fox(t0) = F(p) với đường cong trong đa tạp N Như vậy nếu : v(f) =    d(f o x(t))    dt t 0 f F (p)

Thì F*p(v) = v ‟ xác định bởi : v ‟ (g) =    d(g o F o x(t))    dt t 0 g F (p) b) Tính chất i) Ta luôn có : v(g o F) = (F*(v))(g) g F (p) ii) F*p là ánh xạ tuyến tính từ R - không gian tuyến tính Tp(M) vào R - không gian tuyến tính TF(p)(N) :

F*p(u + v) = F*p(u) + F*p(v)  ,   R,  u, v  Tp(M) iii) Đối với ánh xạ đồng nhất id trên đa tạp M ta luôn có :

(id)*p(v) = v  v  Tp(M) c) Mệnh đề Đối với hợp thành của các ánh xạ khả vi, ta có :

Chứng minh: theo tính chất i) ta có: [(G o F)*p(v)](h) = v(h o G o F) (1) cũng theo tính chất i) ta có:

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh d) Mệnh đề Nếu F: M  N là vi phôi thì F *p là song ánh và (F*p) -1 = (F -1 )*F(p)

Chứng minh: Vì F là vi phôi nên F -1 cũng là vi phôi Áp dụng tính chất iii) và mệnh đề c) ta có v = (id)*p(v) = (F -1 o F)*p(v) = (F -1 )F(p) o F*p(v)  v  Tp(M) và do đó:

F*p là đơn ánh vì F -1 * F(p) o F*p = id, và do id là toàn ánh Tương tự, F*p o (F -1 )*F(p) = id cho thấy F*p là toàn ánh Từ đó, F*p được xác định là song ánh Bởi vì F*p là song ánh, nên tồn tại (F*p) -1.

1.3 Đa tạp con Giả sử M, X là các đa tạp khả vi với dimX < dimM Khi đó ta có các khái niệm sau: i Ánh xạ i : X  M được gọi là một dìm nếu và chỉ nếu (i p )* là đơn ánh

Trong toán học, một phép nhúng được định nghĩa là một ánh xạ đồng phôi từ một tập X vào ảnh của nó, ký hiệu là i : X  i(X) Nếu phép nhúng này thỏa mãn điều kiện rằng ảnh i(X) là một tập đóng trong không gian M, thì nó được gọi là phép nhúng chìm Hơn nữa, một đa tạp X được xem là đa tạp con của M nếu có tồn tại một phép nhúng chìm i : X  M.

1.4.1 Định nghĩa Trường véc tơ trên tập mở U  E n là ánh xạ:

X : U  TU; p  X(p) sao cho với mọi p U, X(p)  T p U

Chú ý : Trường véc tơ X : U TU xác định ánh xạ 

E n ( và ngược lại X xác định 

Ta nói X là trường khả vi lớp C k nếu ánh xạ 

X là ánh xạ hằng thì trường véc tơ X gọi là trường véc tơ song song

Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U  E n là hệ n trường véc tơ

{U1, U2, ,Un} trên U sao cho với mỗi p U, {U 1 (p), U2(p), ,Un(p)} là một cơ sở của T p U

Khi đó mọi X VecU ( tập các trường véc tơ khả vi trên U) và viết được một cách duy nhất dưới dạng X = i = n  i = 1

Nếu với mọi p  U, U i (p).Uj(p) =  ij ( tức là Ui(p) là một cơ sở trực chuẩn của

TpU), thì trường mục tiêu {Ui} gọi là trường mục tiêu trực chuẩn

1.5 Dạng vi phân trên đa tạp khả vi

Gọi M là đa tạp khả vi n - chiều, x M, T x (M) là không gian tiếp xúc với

M tại x, T * x (M) là không gian véc tơ đối ngẫu của T x (M), ^ p T * x(M) là lũy thừa ngoài cấp p của T * x(M) và ^ T * x(M) là đại số ngoài trên không gian T * x(M)

Phép ánh xạ  : M   xM( ^ T * x(M)) sao cho: (x)  ^ p T * x(M) được gọi một dạng vi phân bậc p(hoặc một p - dạng vi phân) trên đa tạp M (ta cũng viết  x thay cho (x))

Giả sử (U , ) là một bản đồ trên đa tạp M ; ký hiệu y i là hàm tọa độ thứ i trong R n và u i = y i o  Như ta đã biết { ( ∂/∂u i ) x } (i = 1,2 n) là một cơ sở của

Tx(M), còn các vi phân toàn phần (du 1 )x, (du 2 )x, , (du n )x của cáchàm u 1 , u 2 , , u n thì tạo thành cơ sở trong không gian Tx * (M) mà đối ngẫu với cơ sở

{ ( ∂/∂u i ) x } như vậy theo lý thuyết về lũy thừa ngoài của không gian véc tơ, tập hợp :

(du i 1 )x ^(du i 2 )x ^ ^ (du i p )x ( 1  i1  i2 ip  n ) là một cơ sở của không gian véc tơ ^ p (T * x(M)) Như vậy mỗi phần tử ^ p (T * x(M)) có dạng: i = n  i = i 1 ,i 2 ,…,i p f i

Vì vậy đối với p - dạng  trên M và x  U ta có :

1 …i p (x)(du i 1 )x ^ ^ (du i p )x (i1 < i2 < < ip ) §2 ĐA TẠP RIEMANN HAI CHIỀU 2.1 Đa tạp hai chiều

2.1.1 Mảnh hình học a) Định nghĩa Tập con S của E n gọi là mảnh hình học trong E n nếu nó là ảnh của dìm, đồng phôi lên ảnh r : U  E n từ tập mở U trong R 2 vào E n , r gọi là một tham số hóa của mảnh hình học S, mảnh hình học còn được gọi là mảnh đơn chính quy b) Nhận xét S là mảnh hình học với tham số hóa r : U  E n thì với mọi tập mở U  U, r( 

U) là một mảnh hình học với tham số hóa r/

2.1.2 Đa tạp hai chiều trong E n Định nghĩa S là tập con của E n , (S ≠ ) gọi là đa tạp hai chiều (một mặt) trong E n nếu mỗi p  S có lân cận mở ( của p trong S ) là một mảnh hình học Mỗi tham số của mảnh hình học này gọi là một tham số hóa địa phương của S

Nếu tham số hóa địa phương r: U  S là ánh xạ từ tập mở U trong nửa phẳng {(u,v)|v≥0}, thì ta có khái niệm về đa tạp hai chiều với bờ Bờ S bao gồm các điểm p ∈ S mà có thể được tham số hóa địa phương r, với p = r(u,0).

2.1.3 Đa tạp hai chiều định hướng được (trong E n )

Một hướng trên đa tạp hai chiều S trong E n được xác định bằng cách gán cho mỗi điểm p thuộc S một hướng trong không gian véc tơ tiếp xúc hai chiều T p S Điều này đảm bảo rằng với mọi điểm po trong S và mọi tham số hóa địa phương r: U  S của S, khi r(U) chứa po, thì với mọi cặp (u,v) thuộc U, T r(u,v) sẽ biến hướng chính tắc của R 2 thành hướng tương ứng của S.

Tr(u,v)S tức là với mọi pr(U), hướng của T p S xác định bởi cơ sở (Ru(p),Rv(p))

( tham số này gọi là tương thích với hướng đó) S gọi là định hướng được khi

S có hướng và S gọi là đa tạp (đã) định hướng (hay có hướng) nếu đã chọn một hướng trên S.

Đa tạp hai chiều S trong không gian E³ có thể được định hướng khi và chỉ khi tồn tại một trường véc tơ pháp tuyến đơn vị khả vi trên S Khi E³ đã được định hướng, thì tại một điểm p thuộc S, hướng của mặt phẳng tiếp xúc TpS và hướng của véc tơ pháp tuyến tại p sẽ trùng khớp với nhau.

2.1.4 Dạng diện tích chính tắc a) Dạng vi phân trên đa tạp hai chiều S trong E n

+) Dạng vi phân bậc 0 trên S là hàm số trên S

+) Dạng vi phân bậc 1 trên S là việc đặt tương ứng với mỗi p  S một song tuyến tính p: TpS  R

Dạng vi phân bậc 2 trên S là việc xác định một song tuyến tính phản đối xứng, ký hiệu là μp, với p thuộc S, có tính chất TpS x TpS → R Điều này có nghĩa là μp là một dạng song tuyến tính phản đối xứng trên không gian tiếp tuyến TpS Thêm vào đó, dạng diện tích chính tắc cũng là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực này.

Nếu S là định hướng thì có dạng vi phân (khả vi) bậc 2 o trên S gọi là dạng diện tích chính tắc trên S xác định như sau:

Với p thuộc S và các vector ,  thuộc không gian tiếp tuyến T p S, diện tích đại số của hình bình hành tạo bởi  và  trong T p S được ký hiệu là ( o )p(,) Để chứng minh rằng  o khả vi, chúng ta cần viết biểu thức tọa độ của nó trong tham số hóa r: U  S, tương thích với hướng đã chọn của S.

 o |r(u) = Gr(Ru,Rv) d(uo r -1 ) ^ d(vo r -1 )

Trong đó Gr(Ru,Rv) là định thức Gram    Ru o Ru   

Rõ ràng dạng diện tích chính tắc o trên S là một dạng vi phân bậc 2 khác 0 tại mọi điểm của S

2.1.5 Miền compắc với bờ a) Định nghĩa Cho S là đa tạp hai chiều trong E n Miền compắc với bờ trên S là tập con K  S thỏa mãn các điều kiện :

Biên ∂K là tập hợp các điểm của S, trong đó mọi lân cận của điểm thuộc S đều chứa cả điểm thuộc K và điểm không thuộc K, và biên này được xác định là một đa tạp một chiều khả vi từng khúc.

Đường biên ∂K chia lân cận của mỗi điểm chính quy p thành hai phần: một phần thuộc về K và một phần thuộc về S Cụ thể, từ điểm p, có thể đồng phôi với một hình tròn mở tâm O trong R², biến O thành p và đường kính thành giao điểm ∂K với lân cận V Nửa hình tròn mở xác định bởi đường kính này sẽ tương ứng với phần bên trong K, trong khi nửa còn lại sẽ thuộc về phần ngoài S.

+) K có hướng nếu đã chọn một hướng trên một lân cận của K trong

Trường véc tơ 7

1.4.1 Định nghĩa Trường véc tơ trên tập mở U  E n là ánh xạ:

X : U  TU; p  X(p) sao cho với mọi p U, X(p)  T p U

Chú ý : Trường véc tơ X : U TU xác định ánh xạ 

E n ( và ngược lại X xác định 

Ta nói X là trường khả vi lớp C k nếu ánh xạ 

X là ánh xạ hằng thì trường véc tơ X gọi là trường véc tơ song song

Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U  E n là hệ n trường véc tơ

{U1, U2, ,Un} trên U sao cho với mỗi p U, {U 1 (p), U2(p), ,Un(p)} là một cơ sở của T p U

Khi đó mọi X VecU ( tập các trường véc tơ khả vi trên U) và viết được một cách duy nhất dưới dạng X = i = n  i = 1

Nếu với mọi p  U, U i (p).Uj(p) =  ij ( tức là Ui(p) là một cơ sở trực chuẩn của

TpU), thì trường mục tiêu {Ui} gọi là trường mục tiêu trực chuẩn.

Dạng vi phân trên đa tạp khả vi 8

Gọi M là đa tạp khả vi n - chiều, x M, T x (M) là không gian tiếp xúc với

M tại x, T * x (M) là không gian véc tơ đối ngẫu của T x (M), ^ p T * x(M) là lũy thừa ngoài cấp p của T * x(M) và ^ T * x(M) là đại số ngoài trên không gian T * x(M)

Phép ánh xạ  : M   xM( ^ T * x(M)) sao cho: (x)  ^ p T * x(M) được gọi một dạng vi phân bậc p(hoặc một p - dạng vi phân) trên đa tạp M (ta cũng viết  x thay cho (x))

Giả sử (U , ) là một bản đồ trên đa tạp M ; ký hiệu y i là hàm tọa độ thứ i trong R n và u i = y i o  Như ta đã biết { ( ∂/∂u i ) x } (i = 1,2 n) là một cơ sở của

Tx(M), còn các vi phân toàn phần (du 1 )x, (du 2 )x, , (du n )x của cáchàm u 1 , u 2 , , u n thì tạo thành cơ sở trong không gian Tx * (M) mà đối ngẫu với cơ sở

{ ( ∂/∂u i ) x } như vậy theo lý thuyết về lũy thừa ngoài của không gian véc tơ, tập hợp :

(du i 1 )x ^(du i 2 )x ^ ^ (du i p )x ( 1  i1  i2 ip  n ) là một cơ sở của không gian véc tơ ^ p (T * x(M)) Như vậy mỗi phần tử ^ p (T * x(M)) có dạng: i = n  i = i 1 ,i 2 ,…,i p f i

Vì vậy đối với p - dạng  trên M và x  U ta có :

Đa tạp hai chiều 11

2.1.1 Mảnh hình học a) Định nghĩa Tập con S của E n gọi là mảnh hình học trong E n nếu nó là ảnh của dìm, đồng phôi lên ảnh r : U  E n từ tập mở U trong R 2 vào E n , r gọi là một tham số hóa của mảnh hình học S, mảnh hình học còn được gọi là mảnh đơn chính quy b) Nhận xét S là mảnh hình học với tham số hóa r : U  E n thì với mọi tập mở U  U, r( 

U) là một mảnh hình học với tham số hóa r/

2.1.2 Đa tạp hai chiều trong E n Định nghĩa S là tập con của E n , (S ≠ ) gọi là đa tạp hai chiều (một mặt) trong E n nếu mỗi p  S có lân cận mở ( của p trong S ) là một mảnh hình học Mỗi tham số của mảnh hình học này gọi là một tham số hóa địa phương của S

Nếu tham số hóa địa phương r: U  S là ánh xạ từ tập mở U trong nửa phẳng {(u,v)|v≥0, thì ta định nghĩa đa tạp hai chiều với bờ Bờ S bao gồm các điểm p ∈ S mà có tham số hóa địa phương r với p = r(u,0).

2.1.3 Đa tạp hai chiều định hướng được (trong E n )

Một hướng trên đa tạp hai chiều S trong không gian E n được định nghĩa bằng cách gán cho mỗi điểm p thuộc S một hướng trong không gian véc tơ tiếp xúc hai chiều T p S Điều này đảm bảo rằng với mọi điểm po thuộc S, có một tham số hóa địa phương r: U  S sao cho r(U) chứa po, và với mọi cặp (u,v) thuộc U, không gian véc tơ T r(u,v) sẽ biến đổi hướng chính tắc của R 2 thành hướng tương ứng của S.

Tr(u,v)S tức là với mọi pr(U), hướng của T p S xác định bởi cơ sở (Ru(p),Rv(p))

( tham số này gọi là tương thích với hướng đó) S gọi là định hướng được khi

S có hướng và S gọi là đa tạp (đã) định hướng (hay có hướng) nếu đã chọn một hướng trên S.

Đa tạp hai chiều S trong không gian E³ được định hướng khi và chỉ khi tồn tại một trường véc tơ pháp tuyến đơn vị khả vi trên S Khi E³ đã có hướng, hướng của mặt phẳng tiếp tuyến TpS và hướng của véc tơ pháp tuyến tại điểm p thuộc S sẽ được xác định một cách đồng nhất.

2.1.4 Dạng diện tích chính tắc a) Dạng vi phân trên đa tạp hai chiều S trong E n

+) Dạng vi phân bậc 0 trên S là hàm số trên S

+) Dạng vi phân bậc 1 trên S là việc đặt tương ứng với mỗi p  S một song tuyến tính p: TpS  R

Dạng vi phân bậc 2 trên S là một phép ánh xạ tương ứng với mỗi điểm p thuộc S, trong đó một song tuyến tính phản đối xứng được định nghĩa bởi μp: TpS x TpS → R, tức là một dạng song tuyến tính phản đối xứng trên không gian tiếp tuyến TpS Bên cạnh đó, dạng diện tích chính tắc cũng được đề cập trong bối cảnh này.

Nếu S là định hướng thì có dạng vi phân (khả vi) bậc 2 o trên S gọi là dạng diện tích chính tắc trên S xác định như sau:

Với p thuộc S và α, β thuộc TpS, diện tích đại số của hình bình hành tạo bởi α và β trong TpS đã được xác định hướng là (μo)p(α,β) Để chứng minh rằng μo khả vi, chúng ta cần biểu diễn nó bằng tọa độ trong tham số hóa r: U → S, tương thích với hướng đã chọn của S.

 o |r(u) = Gr(Ru,Rv) d(uo r -1 ) ^ d(vo r -1 )

Trong đó Gr(Ru,Rv) là định thức Gram    Ru o Ru   

Rõ ràng dạng diện tích chính tắc o trên S là một dạng vi phân bậc 2 khác 0 tại mọi điểm của S

2.1.5 Miền compắc với bờ a) Định nghĩa Cho S là đa tạp hai chiều trong E n Miền compắc với bờ trên S là tập con K  S thỏa mãn các điều kiện :

Biên ∂K là tập hợp các điểm của S, trong đó mọi lân cận của điểm thuộc S đều chứa cả điểm thuộc K và điểm không thuộc K Đặc điểm này cho thấy biên ∂K là một đa tạp một chiều khả vi từng khúc.

Đường biên ∂K chia lân cận mọi điểm chính quy của nó thành hai phía Cụ thể, khi p là một điểm chính quy của ∂K, có sự đồng phôi từ một hình tròn mở tâm O trong R2 lên một lân cận V của p trong S Quá trình này biến O thành p, biến một đường kính thành ∂K ∩ V, và biến nửa hình tròn mở xác định bởi đường kính đó thành (K\∂K) ∩ V, trong khi nửa hình tròn còn lại trở thành (S\K) ∩ V.

+) K có hướng nếu đã chọn một hướng trên một lân cận của K trong

Khi xem xét mặt biên ∂K, hướng cảm sinh được xác định tại mỗi điểm chính quy p của ∂K Tại điểm này, véc tơ  thuộc TpS và khác không, tiếp xúc với ∂K tại p, trong khi véc tơ  cũng thuộc TpS, khác không và hướng vào bên trong K (K0 = K \ ∂K).

{, } xác định hướng đã cho của TpS

Nếu K là một miền compact với bờ trên đa tạp hai chiều S trong E n, thì tồn tại một họ hữu hạn miền compact với bờ Ci trong R 2, có các ánh xạ khả vi ri: Ci  S, sao cho hợp của các ri(Ci) bằng K Vi phôi ri thu hẹp lên C o i = Ci\∂C i là một tập mở của S và có tính chất rằng ri(C o i)r j(C o j)≠  nếu i≠ j Khi đó, ta nói K được lát bởi họ ri: Ci  S Nếu các Ci là tam giác trong R 2, thì K được lát bởi họ tam giác cong ri: Ci  S (hay ri: Ci  K).

Nếu mỗi tam giác cong Ci nằm trong một tập mở Ui ⊂ R², thì mỗi hàm ri: Ci → S có thể được phát triển thành một tham số hóa địa phương U i → S Các tam giác cong ri(Ci) trên S sẽ không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung Khi đó, ta nói rằng K được tam giác phân bởi họ ri: Ci → S; nếu K có hướng, thì các tam giác cong này được định hướng.

Và chúng ta cũng có : S là đa tạp hai chiều ( có hướng ) với bờ trong E n mà S compắc thì nó có tính chất tam giác phân

2.2 Đa tạp Riemann hai chiều

2.2.1 Định nghĩa M là một đa tạp hai chiều Một(cấu trúc) Mêtric Riemann trên M là việc đặt ứng với mỗi p  M, một tích vô hướng < , > p trên TpM, sao cho tích vô hướng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, tức là với hai trường véc tơ (tiếp xúc) khả vi X, Y trên M thì hàm số p  < X (p) , Y(p)> là hàm số khả vi Đa tạp M cùng tích vô hướng < , > đó gọi là một đa tạp Riemann hai chiều, ký hiệu (M, < , >)

Khi xem xét tích vô hướng trên TpM, được cảm sinh từ tích vô hướng trong E n, ta thu được đa tạp Riemann hai chiều với metric chính tắc, ký hiệu là (M, Can).

2.2.2 Dạng liên kết (xem [1]) a) Định lý (M, < , >) là một đa tạp Riemann hai chiều thì với mọi trường mục tiêu trực chuẩn {U1,U2} trên tập mở V của M, gọi { 1 ,  2 } là trường đối mục tiêu của nó ( tức là dạng vi phân bậc một trên V mà  i (Uj) =  i j (i,j = 1,2), ta có một và chỉ một dạng vi phân bậc một  1 2 trên V thỏa mãn : d 1 = - 2 1 ^  2 ; d 2 = -  2 1 ^  1 ( trong đó  1 2 = -  2 1 ) b) Định nghĩa Dạng  2 1 nói trên được gọi là dạng liên kết của (M , ) trong trường mục tiêu đã cho

Cung trong R n 15

2.3.1 Định nghĩa Hai cung tham số : J  E n , t  (t) và r : I E n ; u  r(u) ; ( I,J là những khoảng mở trong R;  và r khả vi ) gọi là tương đương nếu có vi phôi : J  I, t  u = (t) sao cho r o  = p Dễ thấy đó là một quan hệ tương Mỗi lớp tương đương của quan hệ đó gọi là một cung trong

E n , mỗi cung tham số của lớp tương đương đó còn gọi là một tham số hóa của cung, vi phôi  gọi là phép đổi tham số của cung

Cung Γ được xác định bởi hàm : J  E n, trong đó t  (t) là điểm trên Γ Nếu đạo hàm bậc hai ΄(to) khác 0, điểm đó được gọi là điểm chính quy Ngược lại, nếu ΄(to) bằng 0, điểm đó được gọi là điểm kỳ dị Một cung được coi là chính quy nếu mọi điểm trên cung đó đều là điểm chính quy.

Hai cung tham số \( \rho: J \to E^n, t \mapsto \rho(t) \) và \( r: I \to E^n, u \mapsto r(u) \) được gọi là tương đương nếu tồn tại một vi phôi bảo tồn hướng \( \lambda: J \to I, t \mapsto u = \lambda(t) \) với điều kiện \( \lambda'(t) > 0 \) cho mọi \( t \) sao cho \( r \circ \lambda = \rho \) Quan hệ này tạo thành một tương đương, và mỗi lớp tương đương tương ứng được gọi là một cung định hướng trong \( E^n \).

Cung định hướng Γ được xác định bởi : J  E n, trong khi cung định hướng Γ - xác định bởi r =  -1: I  E n; với : J  I là một vi phôi đảo hướng, có nghĩa là  ‟ (t) < 0 cho mọi t thuộc J, cho thấy rằng Γ có được từ việc đảo hướng.

Độ cong trắc địa 17

2.4.1 Định nghĩa Với mỗi cung chính quy, dịnh hướng trên đa tạp Riemann hai chiều có hướng ( M, ), có hàm số dọc cung đó, ký hiệu Kg, xác định như sau: Lấy một tham số hóa tự nhiên : J  M, s  (s) của cung đó (tức là ||΄|| = 1), đặt T =  ‟ và với mỗi s lấy N(s)  T(s)  M sao cho {T(s), N(s)} là một cơ sở trực chuẩn thuận của T (s)M, vì = 1 nên < T ds,T > = 0 do đó có thể viết: T ds = kgN

Hàm số kg được xác định như trên gọi là độ cong trắc địa của cung 

2.4.2 Định nghĩa Cung chính quy trên đa tạp Riemann hai chiều gọi là đường tiền trắc địa của đa tạp nếu độ cong trắc địa của nó bằng 0

2.4.3 Mệnh đề Cung chính quy với tham số hóa t (t) trên đa tạp Riemann hai chiều là đường tiền trắc địa của đa tạp khi và chỉ khi { ‟ (t),  ‟ dt(t)} phụ thuộc tuyến tính với mọi t

Chứng minh: Với  I  M, t (t) là một tham số hóa của cung định hướng đã cho thì có phép đổi tham số : I  J, t  s = (t) để o = 

( : J  M là một tham số hóa tự nhiên của cung )

Suy ra kg = 0 khi và chỉ khi { ‟ (t),  ‟ dt(t)} phụ thuộc tuyến tính

Nhận xét Từ (1) rõ ràng định nghĩa 3.2.1 trên là hợp lý do nó không phụ thuộc vào việc chọn tham số hóa tự nhiên 

2.4.4 Công thức tính Giả sử trong lân cận của (s) nói trên có trường mục tiêu trực chuẩn thuận {U1,U2} và viết dược:

(s).= T(s) = cos(s)U1( (s)) + sin(s)U2( (s)) thì rõ ràng

N(s) = -sin(s)U1( (s)) + cos(s)U2( (s)) và ta có:

T ds = (-sin d ds + sin 1 2 ( ΄))(U 1 o) + (cos d ds - cos 1 2 ( ΄))(U 2 o) = (d ds -  2 1 ( ΄))N, trong đó  1 2 là dạng liên kết của M trong trường mục tiêu

Cung trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều 17

2.5.1 Định nghĩa Cung tham số t (t) trên đa tạp Riemann hai chiều

(M,) gọi là cung trắc địa nếu ΄ dt = 0 (tức nếu trường véc tơ ΄ song song dọc )

+) Nếu t (t) là một cung trắc địa trên (M,) thì t ||΄(t)|| là một hàm hằng

+) Khái niệm cung trắc địa bất biến qua vi phôi đẳng cự giữa các đa tạp Riemann hai chiều

Cung chính quy trên đa tạp Riemann hai chiều được coi là một đường tiền trắc địa khi và chỉ khi nó có một tham số hóa, đặc biệt là tham số hóa tự nhiên, là một cung trắc địa trên đa tạp.

Phương trình cung trắc địa 18

Cho một tham số  : I  M, t  (t) trên đa tạp Riemann hai chiều (M,) với ảnh nằm trong tập mở V, nơi có trường mục tiêu trực chuẩn {U1,U2} Ta có thể viết lại phương trình như sau: ΄ =  1 (U1 o ) +  2 (U2 o ), trong đó  1 và  2 là các hàm số phụ thuộc vào t.

 d 2  dt +  1  2 1 ( ΄) (U 2 o ) trong đó  1 2 là dạng liên kết của M trong trường mục tiêu {U1,U2} Từ đó t  (t) là cung trắc địa trên M khi và chỉ khi:

Ví dụ : Xét nửa phẳng Poicaré H = {(x,y)  R 2 | y >0}

Lấy cung tham số  xác định như sau  : R  H, t  (1,e t )

Ký hiệu {E2,E2} là trường mục tiêu chính tắc trên R 2 Khi đó {U1 = yE1, U2 yE2} là trường mục tiêu trên H  dạng liên kết ứng với {U1,U2} là  2 1 = - 1 = - dx y

Vậy  là cung trắc địa.

TÍCH PHÂN k- DẠNG VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 39

Tích phân đường các dạng vi phân bậc nhất 21

Cho Γ là đường xác định bởi: : [a,b]  R n ; t  (t) với  là hàm khả vi

1.1.1 Định nghĩa: (Tích phân của hàm số dọc theo Γ)

Cho  : R n  R khả vi,   Ω 0 (R n ) Giả sử Γ đã được định hướng và

: [a,b]  R n là tham số hóa của Γ khi đó tích phân của  dọc theo Γ là Γ

Nhận xét: Nếu  là tham số hóa tự nhiên ||΄|| = thì Γ

 không phụ thuộc vào việc chọn tham số hóa cùng hướng

Chứng minh: Với Γ là đường cong xác định bởi : [a,b]  R n , t  (t)

Giả sử Γ còn được xác định bởi cung tham số khác:  1 : [a ‟ ,b ‟ ]  R n t1  1(t1)

Khi đó sẽ tồn tại một phép biến đổi tham số  : [a,b]  [a ‟ ,b ‟ ] mà  =  1  với  > 0 (t) = t1  dt 1 = ΄(t)dt

 không phụ thuộc vào cách chọn tham số hóa cùng hướng

1.1.3 Định nghĩa (Tích phân 1 - dạng vi phân dọc Γ).Cho   Ω(R n ) là 1 - dạng vi phân Khi đó tích phân của  dọc đường định hướng Γ được ký hiệu là Γ

 không phụ thuộc vào tham số hóa  của Γ

Chứng minh : Cho dạng vi phân  dọc cung định hướng Γ trong R n xác định bởi tham số hóa  : J  R n ; t  (t)của Γ cho dạng vi phân    Ω 1 (J)

   Xét   =  *  và trong tham số hóa tương đương r = . : I  R n thì  r = * = (.)* = *(*) = *(  ) u  r(u) = ((u))

Khi đó : Nếu   = dt thì Γ

 không phụ thuộc vào tham số hóa  của Γ

1.1.5 Định lý Nếu  là vi phân của một hàm  với   F (R n ) thì Γ

  chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối (a) ; (b) của đường Γ

Chứng minh : Theo giả thiết  = d ;   F (R n ) Γ là cung được xác định bởi  : [a,b]  R n ; t (t) mà (a) = A; (b) = B

(.)΄(t)dt với . : [a,b]  R n là hàm liên tục

 = .(b) - .(a) = [(b)] - [(a)] = (B) - (A) Điều này chứng tỏ tích phân Γ

d chỉ phụ thuộc vào hai điểm đầu và cuối A,

B của đường cong Γ mà không phụ thuộc vào tham biến.

Tích phân mặt của 2 - dạng vi phân 23

1.2.1 Định nghĩa Cho K là miền compăct với bờ trên đa tạp hai chiều S trong E n và hàm số  : K  R là hàm số liên tục

Lát K bởi họ ri : Ci  K ; (u , v)  ri (u,v) ( Ci là miền compawct với bờ R 2 )

Khi đó tích phân của  trên K là :

Trong đó : Gr((ri) ΄ u , (ri) ΄ v) =    r ΄ u r ΄ u    r ΄ v r ΄ u ru ΄ r ΄ v r ΄ v r ΄ v

ds gọi là diện tích của miền K

1.2.2 Định lý Tích phân của hàm số trên miền compắct với bờ trên đa tạp hai chiều S trong E n không phụ thuộc vào việc lát của K đã chọn

Giả sử K có hai cách lát, ta có thể chứng minh bằng cách xem xét „„lát con‟‟ của hai cách lát đó, dẫn đến việc chứng minh cho trường hợp K chỉ có một phần tử K = r(C) Để chứng minh, ta cần ánh xạ khả vi : C  C; với (s,t) được ánh xạ thành (u,v).

(.r.) Gr((r.) ΄ s,(r.)t ΄ ) ds.dt nhưng dễ thấy rằng:

D(s,t) nên theo công thức đổi biến số dưới dấu tích phân hai lớp suy ra dẳng thức cần chứng minh

1.2.3 Định nghĩa K là một miền compắct có hướng với bờ trên đa tạp hai chiều S trong R n ,  là một dạng vi phân bậc hai

Lát K bởi họ ri : Ci  K ; (u,v)  r i (u,v) khi đó định nghĩa tích phân  trên

  i (u,v)du.dv trong đó  i du ^ dv = ri * 

Nhận xét: Nếu  = o là dạng diện tích chính tắc trên K thì

  o là diện tích của miền K

1.2.4 Định lý Tích phân của 2 - dạng vi phân trên miền compắct có hướng K với bờ trên đa tạp hai chiều S trong R n không phụ thuộc vào lát của K đã chọn

Chứng minh: Tương tự như chứng minh ở trên đối với hàm số ta giả sử

K = r(C) Nếu có ánh xạ khả vi : C  C; (s,t)  (s,t) = (u,v) khi đó ta cần  chứng minh :

Trong đó : r *  =  du ^ dv ; (r.) *  = ds ^ dt

D(s,t) Khi đó theo công thức đổi biến số dưới dấu tích phân hai lớp ta được đẳng thức cần chứng minh

1.3 Tích phân của k - dạng vi phân

Giả sử M là một đa tạp con compact k chiều, sẽ tồn tại một tập hợp {Uα}α phủ M hữu hạn, trong đó mỗi Uα có hệ tọa độ địa phương Tập hợp các ánh xạ φα: M → R, với {φα} là phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ này.

1.3.1 Định nghĩa: Giả sử  là k - dạng vi phân trên R n , (  Ω k (R n )), khi đó tích phân của  trên đa tạp compắct k chiều M được xác định là:

 h *  (  ) với h  : U   h  (U  ) R k là một vi phôi địa phương

1.3.2 Định lý Stokes a Định nghĩa: Đa tạp M được gọi là đa tạp với biên nếu và chỉ nếu U  mở trong R m+ = {x(xi) | xm  0}

N = {p(p1, , pm) | pm = 0} là đa tạp (m-1) chiều gọi là biên của M, kí hiệu N = ∂M b Định lý Stokes: Cho M là đa tạp Riemann với biên ∂M,  là (n-1) dạng trong Ω n-1 (M), khi đó ta có

∂M   c) Các trường hợp riêng của định lý Stokes

+) Công thức Green Giả sử M  R 2 compắct với biên ∂M,  là một dạng Nếu  viết dưới dạng chính tắc  = P (x, y) dx + Q (x, y) dy ( trong đó P, Q là các hàm )

   ∂Q ∂x - ∂P ∂y dxdy   Áp dụng công thức Stokes

+) Công thức Ostrogradski : Giả sử M compắct với biên trong R 3 khi đó ∂M là mặt hai chiều,  là 2 - dạng,  được viết dưới dạng chính tắc :

 = Pdy ^ dz + Qdz ^ dx + Rdx ^ dy (P, Q, R là các hàm của x, y, z trên lân cận của compắct M)

 ∂M Rdx ^ dy §2 DẠNG THỂ TÍCH, TÍCH PHÂN DẠNG THỂ TÍCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

2.1 Dạng thể tích, tích phân dạng thể tích

2.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa1 M là một đa tạp k - chiều được định hướng trong R n thì một dạng vi phân  o bậc k trên M gọi là dạng thể tích chính tắc trên M nếu

Dạng vi phân  (e1,e2, ,ek) = 1.{e1,e2, ,ek} xác định cơ sở trực chuẩn của không gian TpM Nếu M là một đa tạp k - chiều trong R n và  là một dạng vi phân bậc k khác không tại mọi điểm, thì  được gọi là dạng thể tích k - chiều trên M.

M Định nghĩa3 Tích phân của dạng thể tích chính tắc k - chiều  trên đa tạp compắct M được gọi là thể tích tương ứng của tập M đó Kí hiêu :

2.1.2 Nhận xét Đối với đa tạp một chiều hay hai chiều thì “thể tích” thường được gọi là độ dài hay diện tích còn dv được kí hiệu là ds (vi phân độ dài), dS

2.2 Một số ứng dụng Ứng dụng tích phân các dạng vi phân cho phép tính độ dài cung, tính diện tích của các mặt, thể tích các khối quen thuộc trong chương trình phổ thông và tổng quát là thể tích k - chiều

2.2.1 Diện tích mặt tròn xoay

Xét mặt tròn xoay trong E 3 có được do quay quanh trục oz cung đoạn chính quy: x =(u), y = 0, z = (u) ; ( a u b ; 0 v 2 )

Mặt tròn xoay được xác định bởi : r(u,v) = ((u)cosv, (u)sinv, (u))

( a u b ; 0 v 2 ) khi đó : ru ΄ = (΄(u)cosv, ΄(u)sinv, ΄(u)) rv ΄ = (-(u)sinv, (u)cosv, 0)

Có thể áp dụng công thức tính diện tích mặt tròn xoay để tính diện tích mặt cầu trong không gian E3 Bên cạnh đó, cũng có thể tính trực tiếp diện tích mặt cầu.

E 3 bằng cách sử dụng công thức : S K

Mặt cầu S được định nghĩa bởi phương trình x² + y² + z² = R² trong không gian R³ Để tính diện tích của mặt cầu, trước tiên ta cần tính diện tích nửa mặt cầu phía trên, sau đó nhân đôi kết quả để có diện tích tổng thể của cả mặt cầu.

Ta có thể viết phương trình nửa mặt câù phía trên dưới dạng tham số hóa như sau : r : S 2  R 3 ; (x,y)  ( x, y, R 2 - x 2 - y 2 )

Hay ta nói nửa mặt cầu phía trên được lát bởi họ r(S 2 ), khi đó : r ΄ x = ( 1, 0, -x

Vậy diện tích mặt cầu là: 2.(2R 2 ) = 4R 2

Xét mặt trụ K có bán kính đáy R, đường sinh l xác định bởi:

Khi đó ta tính được diện tích nửa mặt trụ với y > 0 như sau:

Ta có thể lát nửa mặt trụ với y > 0 bởi họ r : C  K; (x,t)  ( x, R 2 - x 2 , z)

 R 2 R - x 2 2 dxdz Đặt x = sint  dx = costdt  -1  sint  1  -

Vậy diện tích của mặt trụ K là (Rl).2 = 2Rl

Xét mặt nón có bán kính đáy R đường sinh l :

Ta có thể lát mặt nón bởi ánh xạ : r : S 2  R 3 ; (x,y)  (x,y,z)

2.2.5 Diện tích tam giác cầu

Trên mặt cầu bán kính R trong không gian E3, ba điểm A, B, C không nằm trên một đường tròn lớn nào tạo thành một miền gọi là tam giác cầu Ba đường tròn lớn phân biệt trên mặt cầu này tạo ra tổng cộng 8 tam giác cầu Diện tích của tam giác cầu ABC sẽ được tính toán dựa trên các đặc điểm hình học của nó.

Xét hai "múi" cầu đỉnh A chứa tam giác ABC, ta có thể tham số hóa chúng bằng công thức r(,) = (Rcossin, Rsinsin, Rcos) với 0 ≤  ≤ 2 và 0 ≤  ≤  Khi đó, đạo hàm theo  được tính là r' = (-Rsinsin, Rcossin, 0) và đạo hàm theo  là r' = (Rcoscos, Rsincos, -Rsin).

C C ‟ nên ta có: Gr( r ΄ ,r ΄ ) =    r ΄  r ΄     r ΄ .r ΄  r ΄  r ΄  r ΄ .r ΄ = R 4 sin 2  Nếu góc A của tam giác cầu có độ lớn là  (radian) thì diện tích hai “ múi ” này là: SA = 2

Tương tự tại đỉnh B và C ta có: SB = 4R 2 ; S C = 4R 2 

Khi  =  thì ta có diện tích của mặt cầu là: S = 4R 2 

Với hai múi cầu tại các đỉnh A, B, C đều chứa hai tam giác cầu ABC và

A ‟ B ‟ C ‟ xuyên tâm đối của tam giác ABC nên ta có:

S = SA + SB + SC - 2SA‟B‟C‟ - 2SABC = SA + SB + SC - 4SABC suy ra:

2.2.6 Thể tích khối cầu, khối trụ

Trong không gian Euclid, thể tích của đa tạp k-chiều được định nghĩa thông qua mêtric g, với hệ tọa độ địa phương (x1, x2, , xk) Điều này cho thấy mối liên hệ giữa cấu trúc hình học của đa tạp Riemann k-chiều và các khái niệm toán học liên quan đến thể tích.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét trường mục tiêu tọa độ {∂/x 1 , ∂/x 2 , ,∂/x k } tương ứng với {E1,E2, ,Ek} và định nghĩa gij = g (Ei,Ej) với g = det(gij) Trong lân cận của đa tạp, thể tích được biểu diễn dưới dạng o = g dx1 ^dx2 ^ ^dxk Trong không gian Ơclit n chiều, với hệ tọa độ Ơclit (x1,x2, ,xn), ta có gij = aij và g = 1 Điều này dẫn đến việc trong không gian Ơclit 3 chiều, thể tích của khối cầu hay khối trụ được tính bằng tích phân các dạng thể tích, và do g = 1, thể tích này trở thành tích phân 3 lớp theo các biến x, y, z của hàm đồng nhất bằng 1 trên các khối đó.

Trong R 3 xét mặt cầu (S) có phương trình : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 khi đó thể tích V của khối cầu được giới hạn bởi (S) được tính như sau:

Theo nhận xét trên ta có :

R 2 - x 2 - y 2 dxdy Đổi sang tọa độ cực ta có : x = rcos, y = rsin ( -     ; 0  r  R ) và dxdy = rdrd khi đó : V = 2

Xét khối trụ giới hạn bởi miền (S) :    x 2 + y 2 = a 2

-l  z  l (với a >0 ; l >0) Tương tự với cách tính đối với khối cầu ở trên ta có thể tcnhs khối trụ là:

= 2la 2 §3 ĐỊNH LÝ GAUSS - BONNET 3.1 Định lý Gauss - Bonnet (xem [1])

U là một tập mở trong R² chứa tam giác AoBoCo với định hướng thuận Hàm r: U → M là một vi phôi lên một tập mở V trong đa tạp Riemann hai chiều (M,) Trên V, hướng được chọn sao cho r là vi phôi bảo tồn hướng.

Ký hiệu r(Ao) = A, r(Bo) = B, r(Co) = C thể hiện sự thu hẹp của r lên tam giác AoBoCo, tạo thành tam giác cong đỉnh A, B, C (ABC) Quá trình thu hẹp của r theo thứ tự [Bo,Co], [Co,Ao], [Ao,Bo] lần lượt tạo ra các cạnh a, b, c của tam giác cong, với các cạnh này được coi là những cung đoạn tham số.

A là độ lớn bằng Radian của góc ngoài tại A của (ABC) tức là góc tạo bởi b ‟ , c ‟ tại A trong TAM và tương tự cho Ĥ

C Ký hiệu K là độ cong Gauss của M,  là dạng diện tích chính tắc của V(với hướng đã chọn)

 k g ds trong đó k g là độ cong trắc địa của cung tương ứng Định lý Với tam giác cong ABC ta có:

(Gọi là công thức Gauss - Bonnet cho tam giác cong (ABC))

Chứng minh: Lấy một trường mục tiêu trực chuẩn thuận {U1,U2} trên V và gọi  1 2 là dạng liên kết của M trong trường mục tiêu đó

: I = [s o ,s1]  V là một cung đoạn có hướng, ||΄|| = 1, viết ΄(a) = cos(s)U 1 ((s)) + sin(s)U 2 ((s)) thì:

Trong đó chẳng hạn (s o ) là độ lớn của góc định hướng tạo bởi U1((s o )) và

U1((so)),΄(so) vậy ta có: a

 k g ds từ đó ta có:

Chú ý rằng số hạng 2lπ (với l là một số nguyên) xuất hiện do độ lớn của hàm φ(s) liên quan đến góc định hướng Hàm này là một hàm đa trị, điều này cần được lưu ý trong quá trình phân tích.

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh l =1

Dạng thể tích, tích phân dạng thể tích 26

2.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa1 M là một đa tạp k - chiều được định hướng trong R n thì một dạng vi phân  o bậc k trên M gọi là dạng thể tích chính tắc trên M nếu

Dạng vi phân k - chiều  (e1,e2, ,ek) = 1.{e1,e2, ,ek} là cơ sở trực chuẩn xác định hướng của đa tạp M Nếu M là một đa tạp k - chiều trong R n và  là một dạng vi phân bậc k khác không tại mọi điểm, thì  được gọi là dạng thể tích k - chiều trên M.

M Định nghĩa3 Tích phân của dạng thể tích chính tắc k - chiều  trên đa tạp compắct M được gọi là thể tích tương ứng của tập M đó Kí hiêu :

2.1.2 Nhận xét Đối với đa tạp một chiều hay hai chiều thì “thể tích” thường được gọi là độ dài hay diện tích còn dv được kí hiệu là ds (vi phân độ dài), dS

Một số ứng dụng 32

Ứng dụng tích phân trong các dạng vi phân giúp tính toán độ dài cung, diện tích các mặt và thể tích các khối quen thuộc trong chương trình phổ thông Đồng thời, nó cũng mở rộng đến việc tính thể tích trong không gian k chiều.

2.2.1 Diện tích mặt tròn xoay

Xét mặt tròn xoay trong E 3 có được do quay quanh trục oz cung đoạn chính quy: x =(u), y = 0, z = (u) ; ( a u b ; 0 v 2 )

Mặt tròn xoay được xác định bởi : r(u,v) = ((u)cosv, (u)sinv, (u))

( a u b ; 0 v 2 ) khi đó : ru ΄ = (΄(u)cosv, ΄(u)sinv, ΄(u)) rv ΄ = (-(u)sinv, (u)cosv, 0)

Có thể áp dụng công thức tính diện tích mặt tròn xoay để tính diện tích mặt cầu trong không gian E3 Bên cạnh đó, chúng ta cũng có thể tính trực tiếp diện tích mặt cầu.

E 3 bằng cách sử dụng công thức : S K

Mặt cầu S trong không gian R³ được biểu diễn bằng phương trình x² + y² + z² = R² Để tính diện tích của mặt cầu, trước tiên, chúng ta sẽ tính diện tích nửa mặt cầu phía trên và sau đó nhân đôi kết quả để có diện tích tổng thể của cả mặt cầu.

Ta có thể viết phương trình nửa mặt câù phía trên dưới dạng tham số hóa như sau : r : S 2  R 3 ; (x,y)  ( x, y, R 2 - x 2 - y 2 )

Hay ta nói nửa mặt cầu phía trên được lát bởi họ r(S 2 ), khi đó : r ΄ x = ( 1, 0, -x

Vậy diện tích mặt cầu là: 2.(2R 2 ) = 4R 2

Xét mặt trụ K có bán kính đáy R, đường sinh l xác định bởi:

Khi đó ta tính được diện tích nửa mặt trụ với y > 0 như sau:

Ta có thể lát nửa mặt trụ với y > 0 bởi họ r : C  K; (x,t)  ( x, R 2 - x 2 , z)

 R 2 R - x 2 2 dxdz Đặt x = sint  dx = costdt  -1  sint  1  -

Vậy diện tích của mặt trụ K là (Rl).2 = 2Rl

Xét mặt nón có bán kính đáy R đường sinh l :

Ta có thể lát mặt nón bởi ánh xạ : r : S 2  R 3 ; (x,y)  (x,y,z)

2.2.5 Diện tích tam giác cầu

Trên mặt cầu bán kính R trong không gian E3, ba điểm A, B, C không nằm trên cùng một đường tròn lớn tạo nên một miền gọi là tam giác cầu Ba cung đường tròn lớn nối ba điểm này sẽ phân chia mặt cầu thành 8 tam giác cầu khác nhau Diện tích của tam giác cầu ABC sẽ được tính toán dựa trên cấu trúc này.

Xét hai "múi" cầu đỉnh A chứa tam giác ABC, ta có thể tham số hóa chúng bằng công thức r(φ, θ) = (Rcosφsinθ, Rsinφsinθ, Rcosθ) với 0 ≤ φ ≤ 2π và 0 ≤ θ ≤ π Từ đó, ta tính được đạo hàm theo φ là r'φ = (-Rsinφsinθ, Rcosφsinθ, 0) và đạo hàm theo θ là r'θ = (Rcosφcosθ, Rsinφcosθ, -Rsinθ).

C C ‟ nên ta có: Gr( r ΄ ,r ΄ ) =    r ΄  r ΄     r ΄ .r ΄  r ΄  r ΄  r ΄ .r ΄ = R 4 sin 2  Nếu góc A của tam giác cầu có độ lớn là  (radian) thì diện tích hai “ múi ” này là: SA = 2

Tương tự tại đỉnh B và C ta có: SB = 4R 2 ; S C = 4R 2 

Khi  =  thì ta có diện tích của mặt cầu là: S = 4R 2 

Với hai múi cầu tại các đỉnh A, B, C đều chứa hai tam giác cầu ABC và

A ‟ B ‟ C ‟ xuyên tâm đối của tam giác ABC nên ta có:

S = SA + SB + SC - 2SA‟B‟C‟ - 2SABC = SA + SB + SC - 4SABC suy ra:

2.2.6 Thể tích khối cầu, khối trụ

Trong không gian Ơclit, thể tích của đa tạp k-chiều được định nghĩa thông qua mêtric g, với (x1,x2, ,xk) là hệ tọa độ địa phương Mêtric cảm sinh trên đa tạp Riemann k-chiều đóng vai trò quan trọng trong việc xác định thể tích này.

Trong không gian Ơclit n chiều, với hệ tọa độ (x1, x2, , xn), trường mục tiêu tọa độ tương ứng được biểu diễn bởi {∂/x1, ∂/x2, , ∂/xk} = {E1, E2, , Ek} Ký hiệu gij = g(Ei, Ej) và g = det(gij) Trong lân cận của đa tạp tương ứng, dạng thể tích được xác định là ωo = g dx1 ^dx2 ^ ^dxk Đặc biệt, trong không gian Ơclit 3 chiều với tọa độ (x, y, z), gij = δaij dẫn đến g = 1 Do đó, thể tích của khối cầu hay khối trụ được tính bằng cách tích phân các dạng thể tích trên các khối này, và vì g = 1, thể tích trở thành tích phân 3 lớp theo các biến x, y, z của hàm đồng nhất bằng 1 trên các khối đó.

Trong R 3 xét mặt cầu (S) có phương trình : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 khi đó thể tích V của khối cầu được giới hạn bởi (S) được tính như sau:

Theo nhận xét trên ta có :

R 2 - x 2 - y 2 dxdy Đổi sang tọa độ cực ta có : x = rcos, y = rsin ( -     ; 0  r  R ) và dxdy = rdrd khi đó : V = 2

Xét khối trụ giới hạn bởi miền (S) :    x 2 + y 2 = a 2

-l  z  l (với a >0 ; l >0) Tương tự với cách tính đối với khối cầu ở trên ta có thể tcnhs khối trụ là:

= 2la 2 §3 ĐỊNH LÝ GAUSS - BONNET 3.1 Định lý Gauss - Bonnet (xem [1])

U là một tập mở trong R² chứa tam giác AoBoCo với định hướng thuận Hàm r: U → M là một vi phôi lên một tập mở V trong đa tạp Riemann hai chiều (M,), trong đó trên V, hướng được chọn sao cho r là vi phôi bảo tồn hướng.

Ký hiệu r(Ao) = A, r(Bo) = B, và r(Co) = C được sử dụng để mô tả quá trình thu hẹp của r lên tam giác AoBoCo, tạo thành tam giác cong với các đỉnh A, B, C Quá trình thu hẹp của r diễn ra theo thứ tự [Bo,Co], [Co,Ao], và [Ao,Bo], với các cạnh của tam giác cong được coi là những cung đoạn tham số a, b, c.

A là độ lớn bằng Radian của góc ngoài tại A của (ABC) tức là góc tạo bởi b ‟ , c ‟ tại A trong TAM và tương tự cho Ĥ

C Ký hiệu K là độ cong Gauss của M,  là dạng diện tích chính tắc của V(với hướng đã chọn)

 k g ds trong đó k g là độ cong trắc địa của cung tương ứng Định lý Với tam giác cong ABC ta có:

(Gọi là công thức Gauss - Bonnet cho tam giác cong (ABC))

Chứng minh: Lấy một trường mục tiêu trực chuẩn thuận {U1,U2} trên V và gọi  1 2 là dạng liên kết của M trong trường mục tiêu đó

: I = [s o ,s1]  V là một cung đoạn có hướng, ||΄|| = 1, viết ΄(a) = cos(s)U 1 ((s)) + sin(s)U 2 ((s)) thì:

Trong đó chẳng hạn (s o ) là độ lớn của góc định hướng tạo bởi U1((s o )) và

U1((so)),΄(so) vậy ta có: a

 k g ds từ đó ta có:

Chú ý rằng số hạng 2lπ (với l là một số nguyên) xuất hiện do độ lớn của hàm đa trị φ(s) liên quan đến góc định hướng.

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh l =1

Kí hiệu cấu trúc Riemann trên V được biểu diễn là ; cung cấp cấu trúc Riemann o cho vi phôi đẳng cự (V,o) với đa tạp con mở U trong mặt phẳng Euclid R² Đối với mỗi t thuộc [0,1], cấu trúc Riemann (1-t) o + t trên V được ký hiệu là t, cho thấy đây là một cấu trúc Riemann Khi t = 0, ta nhận được o và khi t = 1, ta có đã cho Công thức (*) được thiết lập cho mọi cấu trúc Riemann trên V, với vế phải phụ thuộc liên tục vào t, dẫn đến l không phụ thuộc vào t Khi t = 0, K = 0, kg = 0 và A + B + C = 2π, từ đó suy ra l = 1.

C là độ lớn các góc trong tại các đỉnh của tam giác cong (ABC)) thì công thức Gauss-Bonnet trở thành:

+) Khi a, b, c là những cung đoạn trắc địa thì công thức đó trở thành:

3.3 Đặc trƣng Euler của đa tạp Định lý Với một tam giác phân nhẵn của đa tạp Riemann hai chiều, com pắc, có hướng(M,), kí hiệu Đ là số đỉnh có trong tam giác phân; C là số cạnh của tam giác phân; T là số tam giác phân thì ta có: 1

(trong đó K là độ cong Gauss,  là dạng diện tích chính tắc của (M,))

Vế phải của công thức trên không phụ thuộc vào tam giác phân được chọn, và được gọi là đặc trưng Euler của đa tạp M, ký hiệu là X(M).

 K ; (T j là tam giác phân thứ j) (1)

 k g ds + (T j ) -  (2) Trong đó : (T j ) là độ lớn tổng các góc trong của tam giác Tj

 k g ds +  j ((Tj) -  ) Để ý rằng do mỗi cạnh  thuộc hai tam giác, do đó được định hướng hai chiều ngược nhau nên :

 K =  j ((T j ) -  ) mà tổng các góc tại mỗi đỉnh là 2 nên :

Ta thấy mỗi cạnh được tính hai lần nên ta có : 3T = 2C  -T = 2T - 2C 

Nhận xét Đặc số Euler không phụ thuộc vào kiểu tam giác phân

3.4.1 Bài toán 1 : Như ta đã biết khi a, b, c là những cung đoạn trắc địa thì công thức Gaus-Bonnet có dạng :

Tổng độ lớn các góc trong của một tam giác cong trắc địa phụ thuộc vào giá trị của K: lớn hơn π nếu K > 0, nhỏ hơn π nếu K < 0, và bằng π nếu K = 0 Cụ thể, với ba điểm A, B, C bất kỳ nằm trên mặt cầu có phương trình x² + y² + z² = R² trong không gian R³, tổng ba góc trong của tam giác cong trắc địa (ABC) sẽ luôn lớn hơn π.

Các cung AB, BC, CA được xác định là trắc địa khi chúng nằm trên đường tròn lớn, với độ cong Gauss của mặt cầu bán kính R được tính theo công thức K = 1/R² Điều này dẫn đến việc tam giác cong trắc địa (ABC) có thể được xác định dựa trên các yếu tố này.

C >  b) Tam giác cong trắc địa (ABC) trong H(nửa phẳng Poincaré) có tổng ba góc nhỏ hơn  chứng minh: theo công thức Gauss - Bonnet

 K = A+  B +  C -  (  trong đó K = -1 là độ cong Gauss của H) nên ta có: -

C <  c) Tam giác cong trắc địa (ABC) trên mặt trụ trong E 3 có tổng ba góc bằng  chứng minh: trong E 3 mặt trụ có độ cong Gauss K = 0 nên theo công thức

3.4.2 Bài toán 2 Xét parabolloit cho bởi tham số hóa :

Kí hiệu M r là phần parabolloit cho bởi 0  u  r a) Tính độ cong trắc địa đường tròn biên và

 k g ds b) Tính X(M r ) c) Sử dụng định lý Gauss-Bonnet tính

KdA, tìm giới hạn này khi r  +

(đây là độ cong toàn thể của Parabolloit)

Bài toán này có lời giải như sau : a) Đặt (t) = (rcost, rsint, r 2 )  ΄(t) = (-rsint, rcost, 0) Đặt T = ΄(t)

Với X(u,v) = (ucosv, usinv, u 2 ) nên ta có X(r,t) = (rcost, rsint, r 2 )

X ΄ r(r,t) = (cost, sint, 2r) sau đó ta lấy N(r,t) = X ΄ r(r,t)

Do ΄ dt = d||΄|| dt (T) + ||΄΄|| 2 kg.(N)  ΄ dt N = ||΄΄|| 2 kg 

||΄΄|| 2 trong đó ΄΄ = (-rcost, -rsint, 0) và

1 + 4r 2 b) Ta chia Mr thành 4 tam giác phân khi đó sử dụng công thức tính đặc trưng Euler của Mr ta có : X(Mr) = Đ - C + T = 5 - 8 + 4 = 1 c) Theo định lý Gauss - Bonnet ta có :

1 + 4r 2 + 2 = 2( 1 + 1 r 1 + 4r 2 ) từ đó suy ra : lim r  +

Luận văn này đã đạt được những kết quả sau:

- Trình bày một cách có hệ thống k - dạng vi phân và tích phân k - dạng vi phân

- Kiểm tra diện tích của một số mặt, thể tích của một số khối quen thuộc trong chương trình phổ thông bằng tích phân k - dạng vi phân

- Đưa ra được một số hệ quả và ứng dụng của định lý Gauss-Bonnet

[1] Đoàn Quỳnh (2000),Hình học vi phân,NXBGD

[2] H.Cartan (1980), Phép tính vi phân và các dạng vi phân, NXB Đại học và

TH chuyên nghiệp, Hà Nội

[3] R.Naraximhan (1984), Giải tích trên đa tạp thực và phức, NXB Đại học và TH chuyên nghiệp

[4] Nguyễn Hữu Quang (2004), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh

[5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu Hình học Riemann, Đại học Vinh

Rimanova geometrijaavtxelom, Mir.Maxcva (Bản tiếng Nga).

Nhận xét 35

C là độ lớn các góc trong tại các đỉnh của tam giác cong (ABC)) thì công thức Gauss-Bonnet trở thành:

+) Khi a, b, c là những cung đoạn trắc địa thì công thức đó trở thành:

3.3 Đặc trƣng Euler của đa tạp Định lý Với một tam giác phân nhẵn của đa tạp Riemann hai chiều, com pắc, có hướng(M,), kí hiệu Đ là số đỉnh có trong tam giác phân; C là số cạnh của tam giác phân; T là số tam giác phân thì ta có: 1

(trong đó K là độ cong Gauss,  là dạng diện tích chính tắc của (M,))

Đặc trưng Euler của đa tạp M, ký hiệu là X(M), là một đại lượng không phụ thuộc vào tam giác phân được chọn trong công thức.

 K ; (T j là tam giác phân thứ j) (1)

 k g ds + (T j ) -  (2) Trong đó : (T j ) là độ lớn tổng các góc trong của tam giác Tj

 k g ds +  j ((Tj) -  ) Để ý rằng do mỗi cạnh  thuộc hai tam giác, do đó được định hướng hai chiều ngược nhau nên :

 K =  j ((T j ) -  ) mà tổng các góc tại mỗi đỉnh là 2 nên :

Ta thấy mỗi cạnh được tính hai lần nên ta có : 3T = 2C  -T = 2T - 2C 

Nhận xét Đặc số Euler không phụ thuộc vào kiểu tam giác phân

Tổng độ lớn các góc trong của một tam giác cong trắc địa phụ thuộc vào giá trị của K: lớn hơn π khi K > 0, nhỏ hơn π khi K < 0, và bằng π khi K = 0 Cụ thể, với ba điểm A, B, C bất kỳ trên mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² = R² trong không gian R³, tổng ba góc trong của tam giác cong trắc địa (ABC) sẽ luôn lớn hơn π.

Chứng minh rằng các cung AB, BC, CA là trắc địa khi chúng nằm trên đường tròn lớn, với độ cong Gauss của mặt cầu bán kính R được tính bằng K = 1/R² Theo đó, tam giác cong trắc địa ABC được xác định theo công thức tương ứng.

Một số ứng dụng 39

Tổng các góc trong của một tam giác cong trắc địa sẽ lớn hơn  khi K > 0, nhỏ hơn  khi K < 0, và bằng  khi K = 0 Cụ thể, với ba điểm A, B, C bất kỳ nằm trên mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² = R² trong không gian R³, tổng ba góc trong của tam giác cong trắc địa (ABC) sẽ luôn lớn hơn .

Chứng minh rằng các cung AB, BC, CA là trắc địa khi chúng nằm trên đường tròn lớn Độ cong Gauss của mặt cầu bán kính R được xác định bởi K = 1/R² Do đó, tam giác cong trắc địa (ABC) có thể được tính toán theo công thức phù hợp.

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	620,56 KB