Một số tính chất về tập bất khả quy trong không gian kn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG THỊ PHƯƠNG LAN MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TẬP BẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2012... Đối tượng nghiên cứu chính của môn hình học đại

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG THỊ PHƯƠNG LAN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TẬP BẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG THỊ PHƯƠNG LAN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I TẬP ĐẠI SỐ TRONG KHÔNG GIAN n K 3

I Iđêan nguyên tố và iđêan căn 3

II Vành Noether 10

III Tập đại số trong không gian Kn 12

CHƯƠNG II TẬP BẤT KHẢ QUY TRONGKHÔNG GIAN Kn 21

I Tô pô Zariski trong không gian Kn 21

II Tập đại số bất khả quy trong không gian Kn 25

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

MỞ ĐẦU

Vào cuối thế kỷ 19 hình học đại số đã phát triển mạnh ở Italia với những tên tuổi như Castelnuovo và Severi Nhưng do thiếu một nền tảng đại số vững chắc, các nhà toán học Italia còn dùng nhiều công cụ giải tích và đôi khi mắc phải những ngộ nhận hình học dẫn đến chứng minh không đầy đủ Phải đến Zariski và Weil, đại số giao hoán mới trở thành công cụ chính trong hình học đại số Vào những năm giữa thập kỷ 20, Grothendieck sử dụng lý thuyết phạm trù vào hình học đại số một cách có hệ thống

Trong những năm gần đây, môn Hình Học Đại Số được đưa vào chương trình giảng dạy cho sinh viên năm cuối và chương trình cao học toán Đây là

bộ môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên cứu hình học Nó đóng vai trò quan trọng trong hình học cao cấp Đối tượng nghiên cứu chính của môn hình học đại số là tập nghiệm của họ các đa thức một biến hay đa thức nhiều biến trên trường K– đó chính là tập đại số Để mô tả chúng người ta thường dùng các phương trình và quy việc nghiên cứu hình học về việc nghiên cứu tập nghiệm của một hệ phương trình Chẳng hạn chúng được trình bày trong giáo trình “Nhập môn đại số giao hoán và hình học đại số” của Ngô Việt Trung và một số giáo trình khác

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản của tập đại

số và tập bất khả quy trong không gian Kn Vì vậy luận văn được mang tên:

“Một số tính chất về tập bất khả quy trong không gian n

K ”

Nội dung của luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1: Trình bày một số tính chất cơ bản về vành, iđêan và tập đại số

Chương này được xem như là cơ sở cho việc trình bày nội dung của chương sau Chương 1 bao gồm các mục:

I Iđêan nguyên tố và iđêan căn

II Vành Noether

III Tập đại số trong không gian Kn

Chương 2: Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này,

chúng tôi trình bày về tô pô Zariski, chứng minh chi tiết một số tính chất của tập đại số bất khả quy trong không gian Kn Chương này gồm các mục:

I Tô pô Zariski trong không gian Kn

II Tập đại số bất khả quy trong không gian nK

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Hình học và Tô pô, Khoa Toán và Phòng đào tạo Sau Đại học trường Đại Học Vinh đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu và tập thể giáo viên Trường THPT Đô Lương I, gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Vinh, tháng 9 năm 2012 Tác giả

CHƯƠNG I TẬP ĐẠI SỐ TRONG KHÔNG GIAN K n

I Iđêan nguyên tố và iđêan căn

Như ta đã biết (xem [4]), một tập hợp K được gọi là vành nếu trên đó có hai phép toán hai ngôi mà ta ký hiệu là "+" (phép cộng) và "." (phép nhân) thỏa mãn các điều kiện sau:

1) K cùng với phép cộng là một nhóm aben

2) K cùng với phép nhân là một nửa nhóm

3) Phép nhân phân phối với phép cộng: với các phần tử tuỳ ý

x, y, z  K ta có : x(y + z) = xy + xz,

(y + z)x = yx + zx

Chú ý  Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi vành K là vành giao hoán  Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó gọi là phần tử

đơn vị của K và thường kí hiệu là 1

Ví dụ 1) Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép cộng và phép nhân thông

thường là một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành số nguyên

2) Tập các đa thức n biến với hệ số trên trường số thực là một vành và được kí hiệu : [ ] [ , , , ]

1 2

K X K x x xn

1.1 Định nghĩa vành con Giả sử K là vành, A là một bộ phận của K ổn định

với hai phép toán trong K, nghĩa là x + y  A, xy  A với mọi x, y  A A là một vành con của vành K nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành

1.2 Định lý về tiêu chuẩn vành con (Xem [4]) Giả sử A là một bộ phận

khác rỗng của vành K Các điều kiện sau là tương đương:

a) A là một vành con của vành K

b) Với mọi x, yA : x + y  A, xy  A, -x  A

c) Với mọi x, yA, x-yA, xyA

Chứng minh a) kéo theo b) Vì A là một vành con nên ta có ngay x+y và xy

thuộc A với mọi ,x yA Mặt khác vì A là một vành nên nó là một nhóm đối với phép cộng, ta suy ra  x A,  x A

b) kéo theo c) hiển nhiên

c) kéo theo a) Trước hết ta chú ý rằng các phép toán cảm sinh trên A cũng có tính chất kết hợp và phân phối Do đó kết hợp với tiêu chuẩn nhóm con ta có

A là một vành con của K

Chú ý: Giao của họ bất kỳ các vành con của K là vành con của K

Từ đây trở đi ta luôn giả thiết K là vành giao hoán có đơn vị 1

1.3 Định nghĩa iđêan Tập I là tập con của K và I ≠  được gọi là iđêan của K nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1.4 Mệnh đề (xem [3]) Giả sử I I1, 2 là các iđêan của vành K Khi đó:

d) Từ K là vành giao hoán cho nên ta có I I1 2 I I2 1 Hơn nữa do I I là các 1 2,iđêan cho nên I I1 2 I2 và I I2 1 I1, do đó: I I1 2 I I2 1 I1 I2

Chú ý: Nói chung I I1 2  I1 I2 Chẳng hạn: Xét K là vành số nguyên Z

Ta chọn I15 và I2 10 , khi đó: I1I2 5 10 10 ;

1 2 5 10 50

1.5 Định nghĩa

+) Cho I là một iđêan tùy ý trong vành K Khi đó ta gọi tập tất cả các phần tử

f thuộc K thỏa mãn fm  I với m là một số nguyên dương nào đó là căn của iđêan và được ký hiệu là I

Như vậy: I = {f  K | fm I, m  *

Z}

+) Nếu I  I , thì I được gọi là iđêan căn

1.6 Mệnh đề (Xem [2]) Giả sử ,I J là các iđêan của K Ta có:

a) IJ  I  J I  J

b) I  I

Chứng minh a) Vì IJ  I J cho nên IJ  I J Ngược lại, với mọi

phần tử x I J , tồn tại số nguyên dương m sao cho x m I J Do đó,

cũng tồn tại số nguyên dương m sao cho x mI và x mJ Từ đó,

Bây giờ ta chứng minh I  J I  J Ta có I  J I J, , do đó

,

I J I J hay I  J I  J Ngược lại, với x I  J , suy

ra x I và x J Do đó, tồn tại các số nguyên dương m n, sao cho

m

x I và x nJ Vì vậy x m n x m.x nI J, hay x m n  I J và

x I J , tức I  J  I J

b) Theo định nghĩa căn của iđêan, ta có I  I , do đó I  I Ngược lại,

với mỗi x I , tồn tại số nguyên dương m sao cho x m I Từ đó ta

suy ra tồn tại n , sao cho ( x m n)  x mnI Như vậy x I tức I  I

1.7 Định nghĩa Iđêan nguyên tố Giả sử I là iđêan thực sự của vành K Ta

gọi I là iđêan nguyên tố nếu từ điều kiện fg  I ta suy ra được f  I hoặc

gI

Ví dụ Iđêan {0} trong K[X] là iđêan nguyên tố vì với hai đa thức f, g ≠ 0

thì f g0

1.8.Nhận xét

1) Iđêan nguyên tố cũng có thể định nghĩa bởi điều kiện: Nếu J 1 , J 2 là hai

iđêan thoả mãn điều kiện J 1 J 2 I thì ta suy ra được J 1 I hoặc J 2 I

Thật vậy: Giả thiết I là iđêan nguyên tố và

   Do I là iđêan nguyên tố nên từ f gI , ta suy ra f I (hoặc

gI) Điều này mâu thuẫn

2) Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn

Thật vậy: Cho I là iđêan nguyên tố, ta chứng minh I  I

Trước hết ta thấy I  I (hiển nhiên)

Nếu f I ta có điều phải chứng minh Nếu gI ta lại phân tích tương tự

như trên suy ra f I Vậy f I

Như vậy, một iđêan nguyên tố là iđêan căn, nhưng điều ngược lại không

đúng Ta có tiêu chuẩn sau để iđêan căn là iđêan nguyên tố

1.9 Mệnh đề (Xem [5]) Cho I là iđêan căn I là iđêan nguyên tố khi và chỉ

khi I không phân tích được thành giao hai iđêan căn lớn hơn I

Chứng minh Giả sử I là iđêan nguyên tố Nếu I = J 1  J 2 thì J 1 J 2  I và do

đó J 1 I hay J 2 I

Đảo lại, giả sử I không phải là iđêan nguyên tố Khi đó tồn tại f, g  I, sao cho

f g  I Đặt J 1 = (I,f) và J 2 = (I,g) Rõ ràng là I  J 1 J 2 Cho

h  J 1  J 2 tuỳ ý Ta có h m  (I,f)  (I,g) với một số m > 0 nào đó Từ đây

suy ra: h 2m ( I, f)(I, g) = I 2 + I (f) + I (g) + (f g) I, do đó h  I

Vì vậy I = J 1 J 2 với J J1, 2 là những iđêan căn thực sự lớn hơn I

1.10 Nhận xét Mọi iđêan cực đại của A đều là iđêan nguyên tố

Chứng minh Giả sử I là iđêan cực đại và f gI Ta cần chứng minh f I

Nhƣ vậy ta có f I hoặc gI, hay I là iđêan nguyên tố

Chú ý: Mọi iđêan thực sự đều nằm trong một iđêan cực đại của A Điều này

là hệ quả của bổ đề Zorn vì nếu I 0 I 1  là một chuỗi iđêan thực sự thì

II Vành Noether

1.12 Định nghĩa Vành K được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các

iđêan trong K đều dừng; nghĩa là nếu I0  I1  I2  … In  In+1  … là 1 dãy

tăng các iđêan trong K thì tồn tại một số tự nhiên n sao cho In = In+1 =…

Như vậy một vành là vành Noether nếu mọi iđêan của nó đều là hữu hạn

sinh, tức là tồn tại một tập sinh có hữu hạn phần tử

Chúng ta có thể nhận biết vành Noether qua nhiều đặc trưng khác nhau Sau

đây là một vài đặc trưng của vành Noether được thể hiện qua các mệnh đề:

1.13 Định lý (Xem [3]) Giả sử K là một vành, khi đó các điều kiện sau là

tương đương:

(i).Mọi tập khác rỗng các iđêan trong vành K đều có phần tử cực đại

(ii).Mọi iđêan trong vành K đều hữu hạn sinh

(iii).Mọi dãy tăng các iđêan trong K đều dừng

Chứng minh

(i) (ii).Giả sử I là một iđêan của vành K và a1 I nếu I = < a1> thì (ii) được

thoả mãn

Nếu I  <a1> thì thì tồn tại a2I nhưng a2  <a1>.Tiếp tục quá trình này ta thu

được một dãy iđêan : <a1> < a1,a2> < a1,a2,a3 >  … (1)

Theo (i) trong dãy (1) có phần tử cực đại (a1, ,an) nào đó Rõ ràng

I = < a1,…an> Do đó I là iđêan hữu hạn sinh

(ii)  (iii) Giả sử I là hợp của tất cả iđêan trong dãy tăng I1  I2 … 

Nghĩa là I  I i Khi đó I là một iđêan của K và do đó nó được sinh ra bởi

hữu hạn phần tử x1,…, xk, mỗi xi đều thuộc một iđêan nào đó trong dãy tăng

kể trên Hay có một iđêan chứa tất cả x1,…,xk Ta có In = < x1,…,xk > = I

Vậy In=In+1=…

(iii)(i): Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử  là một họ khác rỗng các iđêan của K không có phần tử cực đại

Giả sử I1 Vì  không có phần tử cực đại nên có I2  và I2 thực sự chứa

I1 Nếu đã có iđêan Ii, vì iđêan  không có phần tử cực đại nên tồn tại iđêan

I1 +1  và iđêan Ii+1 thực sự chứa Ii Ta thu được dãy tăng không dừng các iđêan con của  : I1 I2  … …Điều này là mâu thuẫn với giả thiết Vậy mệnh đề được chứng minh

1.14 Nhận xét Mọi trường K đều là vành Noether

Thật vậy: Do trường K bất kì chỉ có 2 iđêan là {0} và K ( {0} = < 0 >;

K = <1> ) Vậy dãy tăng các iđêan chỉ là {0}  K (dãy có hai phần tử ) Suy

ra dãy tăng các iđêan trong K dừng Vậy K là vành Noether

1.15 Bổ đề (Định lý cơ sở của Hilbert) Cho K là vành Noether Khi đó, vành K[x] cũng là vành Noether

Chứng minh Giả sử K[x] có một iđêan I không hữu hạn sinh Ta sẽ xây dựng

một dãy các đa thức f i trong I bằng quy nạp như sau: Trước tiên ta đặt f10 Giả sử ta đã biết , ,

1 1

i Do I ( , ,f1 f i1) nên ta có thể chọn fi là đa thức có bậc nhỏ nhất trong tập \ ( , ,I f1 f i1) Giả sử ni d eg fi và ci là hệ

số đầu của fi Ta có: n1n2 Xét chuỗi iđêan:

( ) ( , ) ( , , )

c  c c   c ci  Chuỗi này dừng nên ta có:

III Tập đại số trong không gian K n

Từ đây, ta luôn giả thiết rằng K là một trường đóng đại số, có vô hạn phần tử

1.17 Định nghĩa Tập đại số trong Kn=K K K

+)Giả sử S1 và S2 là hai tập đa thức trong K[X] Nếu S1 S2 thì Z(S1)Z(S2)

a) Hợp hữu hạn các tập đại số trong Kn là một tập đại số trong Kn

b) Giao của một họ tùy ý các tập đại số trong nK là một tập đại số trong nK

1.21 Mệnh đề (Xem [5]) Mọi tập đại số đều là tập đại số của một iđêan

Chứng minh Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và I = S là iđêan

sinh bởi S Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I)

Thật vậy: Ta có: S  I nên Z(S)  Z(I) (1)

Ta chứng minh Z(S)  Z(I): Lấy phần tử bất kỳ a  Z(S) thì f(a) = 0, f  S Suy ra g(a) = 0 với g  I, vì :

g = h f + h f + +h f ; hn n K[X], f S, i =1,2, ,n

1 1 2 2 i i  và

fi(a) = 0 với mọi i = 1, 2, , n Khi đó a  Z(I) (2)

Vậy từ (1) và (2) suy ra Z(S) = Z(I)

1.22 Hệ quả (Xem [5]) Một tập đại số bất kì trong Kn là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các đa thức f ,f , ,f K X

1.23 Mệnh đề (Xem [1]) Cho I và J là hai iđêan tùy trong K[X] Khi đó:

a) Z(I)  Z(J) = Z(I  J) = Z(IJ);

b) Z(I)  Z(J) = Z(I + J)

Chứng minh

a) Đặt S = {fg| f  I, g  J}

Ta có S  IJ  I  J  I, J  Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I), Z(J)

 Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I)  Z(J)

Mặt khác Z(S) = Z(I)  Z(J)

Vậy Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ)

b) Do I, J  I + J nên Z(I), Z(J)  Z(I + J) Suy ra Z(I)  Z(J)  Z(I + J)

Mà Z(I)  Z(J) = Z(I  J), I  J I J  Z(I + J) = Z(I  J)

Vậy Z(I + J) = Z(I)  Z(J)

1.24 Mệnh đề (Xem [2]) Giả sử S1 và S2 là hai tập đa thức trong K[X]

Ta đặt S = {fg │f  S1, g  S2 } Khi đó: Z(S1)  Z(S2) = Z(S)

Chứng minh

+) Z(S1)  Z(S2)  Z(S)

Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý a  Z(S1)  Z(S2) thì a  Z(S1) hoặc a  Z(S2)

 Nếu a  Z(S1) thì f(a) = 0, suy ra f(a)g(a) = 0 Do đó a  Z(S)

 Nếu a  Z(S2) thì g(a) = 0, suy ra f(a)g(a) = 0 Do đó a  Z(S)

Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S) (1)

+) Z(S1)  Z(S2)  Z(S)

Lấy phần tử tùy ý a  Z(S) Khi đó f(a)g(a) = 0 suy ra f(a) = 0 hoặc g(a) = 0,

vì thế a  Z(S1) hoặc a  Z(S2) nên a  Z(S1)  Z(S2)

Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

1.25 Mệnh đề (Xem [5]) Cho {Si}iI là một họ các tập đa thức trong K[X] Khi đó:



iI Z(Si) = Z( 

iI Si)

Chứng minh Lấy phần tử tùy ý a  

iI Z(Si), khi đó: a  Z(Si) với i  I 

f(a) = 0 với f  Si, i  I  f(a) = 0 với f  

1.26 Mệnh đề (Xem [1]) Cho S  K[X] và T  K[Y] là hai hệ đa thức tùy

ý Nếu ta coi ST như một tập đa thức trong K[X, Y] thì:

Z(S) x Z(T) = Z(S  T)

Chứng minh Giả sử a  Kn và b  n

K Khi đó (a, b) là nghiệm của S  T khi và chi khi a là nghiệm của S và b là nghiệm của T Điều này chứng tỏ: Z(S) x Z(T) = Z(S  T)

Ta đã xét tập nghiệm của một hệ các đa thức cho trước Bây giờ ta xét tập các

đa thức có nghiệm là một tập điểm cho trước

1.27.Mệnh đề Giả sử V là tập con của Kn Khi đó:

IV = {f  K[X] | f(a) = 0 với mọi a  V} là iđêan của tập điểm V trong K[X]

và là iđêan lớn nhất có tập nghiệm là V, (tức là V = Z(IV))