Tài liệu Ch-ơng 5 uốn ngang phẳng doc

2 Nội lực: Giả sử có 1 thanh chịu uốn ngang phẳng, ta dùng 1 mặt cắt cắt thanh, ta thấy trên mặt cắt xuất hiện các thành phần nội lực là lực cắt Qy và mô men uốn Mx đ-ợc quy -ớc dấu nh-

Ch-ơng 5

uốn ngang phẳng

1 Khái niệm

1)Khái niệm chung

Khi có lực tác dụng nếu trục thanh bị cong đi, ng-ời ta nói :thanh chịu uốn Thanh chịu uốn đ-ợc gọi là dầm

Nếu trục thanh bị cong đi nh-ng

vẫn nằm trong 1 mặt phẳng, ta có

uốn ngang phẳng

Ngoại lực tác dụng gây nên uốn

th-ờng là các lực hoặc mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm và vuông góc với trục của dầm

2) Nội lực:

Giả sử có 1 thanh chịu uốn

ngang phẳng, ta dùng 1 mặt cắt cắt

thanh, ta thấy trên mặt cắt xuất hiện

các thành phần nội lực là lực cắt Qy

và mô men uốn Mx đ-ợc quy -ớc

dấu nh- sau:

*Dấu của lực cắt Qy: Mang dấu d-ơng khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay 900 theo chiều kim đồng hồ đến trùng chiều với nó Ng-ợc lại mang dấu âm

*Dấu của mô men Mx: Mang dấu d-ơng khi nó làm căng thớ về chiều d-ơng của trục y Ng-ợc lại mang dấu âm

Nh-ng khi vẽ biểu đồ thì biểu đồ mô men uốn không đề dấu, mà căng thớ phía nào thì vẽ về phía nấy

Biểu đồ nội lực của uốn ngang phẳng gồm có 2 biểu đồ là biểu đồ mô men uốn và biểu đồ lực cắt Ta hãy xem xét 1 ví dụ về vẽ biểu đồ

Ví dụ :Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn cho sơ đồ dầm chịu lực nh- hình vẽ

P

z P

Mx

Qy

y

Ta chia dầm làm 2 đoạn là BC

và AB Xét từng đoạn:

*Đoạn BC: dùng mặt cắt 1-1

cắt thanh với z(0-a)

Giả thiết Qy d-ơng, Mx căng

thớ d-ới.Ta có:

- Ph-ơng trình hình chiếu theo

ph-ơng thẳng đứng:

Qy+P=0 cho nên Qy=-qa

dấu (-) chứng tỏ chiều giả thiết

sai cho nên nó phải có chiều ng-ợc lại, tức là mang dấu âm

- Ph-ơng trình mô men:

Mx-P.z=0 cho nên Mx =qa.z

khi z=0 thì Mx=0

z=a thì Mx=qa2 (căng thớ d-ới)

Ta vẽ đ-ợc biểu đồ đoạn BC

* Đoạn BA: dùng mặt cắt 2-2 cắt thanh với z(o-2a)

Giả thiết Qy d-ơng, Mx căng thớ

d-ới

- Ph-ơng trình hình chiếu:

Qy+P -qz =0

Qy=qz-qa

Khi z=0 thì Qy=-qa (âm)

Khi z=2a thì Qy=qa (d-ơng)

Qy=0 khi z=a

- Ph-ơng trình mô men:

Mx+ M+ qz.z/2-P(a+z)=0

Ta có: Mx=qa(a+z)-qa2-qz2/2

Khi z=0 thì Mx=0

Khi z=2a thì Mx =0

Ta tìm điểm mô men uốn đạt cực trị:

dM

dz

x = qa-qz =0 cho nên z=a thì mô men đạt cực trị và có giá trị là qa2/2 (căng thớ d-ới)

Ta đặt các giá trị đã xác định đ-ợc theo các ph-ơng trình trên vào biểu đồ và vẽ

đ-ợc nh- trên hình vẽ

3-Quan hệ giữa nội lực và ngoại lực

q M=qa2

P=qa

A B C 2a a qa

qa

qa2/2 qa2

Mx

Qy

z

P=qa

Mx q M=qa2

B C

Qy z a P=qa

a)Liên hệ vi phân:Quan hệ giữa biểu đồ nội lực và ngoại lực đ-ợc biểu diễn qua

các liên hệ vi phân sau:

 

 

dQ

dM

d M

y

x y x





 2 2

Ta có thể phát biểu bằng lời nh- sau:

- Đạo hàm bậc nhất của lực cắt theo chiều trục thanh bằng c-ờng độ lực phân bố

- Đạo hàm bậc nhất của mô men theo chiều trục thanh thì bằng lực cắt

- Đạo hàm bậc 2 của mô men theo lực cắt thì bằng c-ờng độ lực phân bố

b)Nhận xét quan hệ giữa nội lực và ngoại lực

Dựa vào liên hệ vi phân và biểu đồ ta đã vẽ đ-ợc ở phần trên, ta có các nhận xét sau:

- Về dạng đ-ờng biểu đồ:

+ Trong đoạn thanh không có lực phân bố thì biểu đồ lực cắt là đ-ờng hằng số, biểu đồ mô men là đ-ờng bậc nhất

+ Trong đoạn thanh có lực phân bố hằng số thì biểu đồ lực cắt là đ-ờng bậc nhất, biểu đồ mô men là đ-ờng cong bậc 2 luôn hứng lấy tải trọng

+ Tại điểm biểu đồ lực cắt cắt trục hoành (Qy=0) thì miểu đồ mô men đạt cực trị

- Về b-ớc nhảy:

+ Tại điểm có lực tập trung thì biểu đồ lực cắt có b-ớc nhảy, giá trị b-ớc nhảy chính bằng giá trị lực tập trung Biểu đồ mô men bị gẫy khúc tại điểm đó

+Tại điểm có mô men tập trung thì biểu đồ mô men có b-ớc nhảy, giá trị b-ớc nhảy chính bằng giá trị mô men tập trung

Ta có thể dựa vào các nhận xét trên để kiểm tra biểu đồ hoặc vẽ nhanh biểu đồ

2 Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang

khi uốn thuần tuý

1-Định nghĩa: Một thanh chịu uốn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ xuất

hiện 1 thành phần nội lực là mô men uốn Mx

2 ) Thí ngiệm và giả thuyết:

a.Thí nghiệm:

Trên mẫu, ta kẻ các đ-ờng song song với trục của thanh đặc tr-ng cho thớ dọc và

kẻ các đ-ờng vuông

góc với trục của

thanh, đặc tr-ng cho

mặt cắt ngang Các

đ-ờng đó tạo nên l-ới

hình ô vuông (hình

vẽ)

Tác dụng mô men

uốn, ta thấy các

đ-ờng vuông góc bị

xoay đi 1 góc nh-ng

vẫn là các đ-ờng

thẳng vuông góc Các

đ-ờng song song với trục của thanh trở thành các đ-ờng cong nh-ng vẫn song song

với trục của thanh Làm thí nghiệm nhiều lần, ta vẫn thu đ-ợc kết quả nh- trên, từ

đó ng-ời ta đ-a ra các giả thuyết sau:

b.Giả thuyết

* Giả thuyết 1: Mặt cắt ngang tr-ớc và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với

trục của thanh

* Giả thuyết 2: Các thớ dọc trong quá trình biến dạng không chèn ép hoặc đẩy xa

nhau

Ngoài ra ng-ời ta còn giả thiết vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi,

nghĩa là tuân theo định luật Húc: 

 





E G

3) Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang

* Tr-ớc tiên ta hãy xem xét biến dạng khi thanh chịu uốn thuần tuý (hình vẽ)

Ta nhận thấy thớ trên thì co

vào , thớ d-ới dãn ra, nh- vậy

chứng tỏ tồn tại 1 thớ không bị

thay đổi kích th-ớc gọi là thớ

trung hoà Các thớ trung hoà

tạo nên 1 lớp trung hoà Giao

tuyến giữa lớp trung hoà và mặt

cắt ngang gọi là đ-ờng trung

hoà

* T-ơng tự nh- khi kéo nén đúng tâm, sử dụng các giả thuyết ta có thể biết rằng:

trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp

* Xét 1 mặt cắt ngang bất kỳ, trên mặt cắt ngang có nội lực là mô men uốn Mx

Lập hệ trục toạ độ xoy,trong đó trục x là đ-ờng trung hoà(hình vẽ) Tại điểm

K(x,y), có giá trị -s là  z Xung quanh K lấy 1 phân tố diện tích dF Nội lực trên

dF là z.dF và tổng mô men của nó lấy đối với trục x là:

M M

(thớ trung hoà)

M x y z dF

F

 . . (1)

và tổng hình chiếu hình chiếu

của nó là:

N z z dF

F

  0 (2)

Ta cần phải biết quy luật biến

thiên của -s:

* Cắt 1 đoạn thanh có chiều dài

là dz sau khi bị biến dạng (hình

vẽ)

Xét thớ trung hoà có chiều

dài:

dz=.d

Xét thớ cách thớ trung hoà 1 đoạn là

y

Ta có chiều dài của nó là:(+y) d

và biến dạng tỉ đối:

z

d

y

 (  ).  . 

.

Trong đó  là bán kính thớ trung

hoà

Theo định luật Húc, ta có:



z  E z  E y. (3)

Thay (3) vào (1), ta có:

Mx= E y dF E J x

F . 2.  .



Suy ra : 1

 

M EJ

x x

(5.1) Thay 5.1 vào (3), ta có:

z x

x

M

 (5.2) (5.2) là công thức tính -s trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn thuần tuý

Thay (3) vào (2) ta có:

E y dF E S x

F  .  . 

 0 cho nên Sx=0 nghĩa là đ-ờng trung hoà chính là 1 trục trung tâm, hay gốc toạ độ đi qua tâm C của mặt cắt

Mx

x x x

z

z

y

 d

y

4-Sự phân bố ứng suất pháp

trên mặt cắt ngang

Theo công thức 5.2 ta

thấy -s pháp phân bố bậc

nhất trên mặt cắt ngang theo

trục y

Khi y=0 (trên đ-ờng trung hoà) thì z  0

Khi y=yk

max thì -s đạt max  M . max

x x k

Khi y=y n

max thì -s đạt min   M . max

x x n

Ng-ời ta đặt J

y

x

max

Wx Gọi là mô men chống uốn, có thứ nguyên là [chiều dài3] và có đơn vị th-ờng dùng là cm3 Ta hãy xem xét mô men chống uốn của 1 số hình đơn giản th-ờng gặp:

- Hình chữ nhật : xét hình chữ nhật có kích th-ớc là :đáy b,chiều cao h Khi đó thì

yk

max=yn

max=h/2 và Jx=bh3

12 cho nên Wx=bh2

6

- Hình tròn: t-ơng tự ta cũng có: Wx=0,1D3

- Hình vành khăn: Wx=0,1D3 (1-4) trong đó   d

D

Ta vẽ đ-ợc biểu đồ nh- hình vẽ

5 Điều kiện bền khi uốn thuần tuý

Phần trên ta đã xác định đ-ợc -s lớn nhất của điểm chịu kéo , chịu nén Tuỳ theo hình dáng của mặt cắt ngang và vật liệu, ta có các điều kiện bền nh- sau: a)Mặt cắt có ít nhất 2 trục đối xứng:

Vì yk

max=yn

max cho nên max  min  M

W

x x

cho nên đối với cả vật liệu dẻo và dòn,

ta có điều kiện bền nh- sau:

max  M  

W

x x

k

b) Mặt cắt bất kỳ:Khi đó điều kiện bền đ-ợc viết cho cả 2 điểm chịu kéo và chịu nén lớn nhất.Đó là:

 

 

max min





k n

6.Mặt cắt hợp lý:

min

Mx yn

max x

z yk

max

y max

* Định nghĩa: Mặt cắt hợp lý là mặt cắt chịu lực tốt nhất, nh-ng cũng tiết kiệm vật liệu nhất

* Dựa vào biểu đồ phân bố -s pháp trên mặt cắt

ngang, ta thấy càng gần đ-ờng trung hoà thì vật

liệu chịu lực càng ít, cho nên ng-ời ta có xu

h-ớng khoét bỏ bớt phần vật liệu bên trong tạo

nên các mặt cắt nh-: hình chữ I, chữ C ghép

* Mặt khác, mặt cắt phải đ-ợc tạo sao cho: Điểm chịu kéo lớn nhất đạt đến -s cho phép về kéo thì đồng thời điểm chịu nén lớn nhất cũng đạt đến -s cho phép về nén Nghĩa là thoả mãn:

 

 

.

M

M

x x

x x

Chia cho 2 vế cho nhau, ta đ-ợc:  

 

y y

k n

k n

max max

 

 =

Ta thấy mặt cắt hợp lý phải thoả mãn biểu thức trên, nghĩa là chiều cao đ-ợc chia theo tỷ lệ trên

- Vật liệu dẻo: thì =1 cho nên trọng tâm chia đều theo chiều cao nh- các mặt cắt chữ I, chữ C ghép cân

- Vật liệu dòn: Vì  <1 cho nên chiều cao

đ-ợc trọng tâm mặt cắt chia theo tỉ lệ trên

nh- các mặt cắt chữ T,L

3 Uốn ngang phẳng

1.Định nghĩa:Một thanh chịu uốn ngang phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang xuất

hiện các thành phần nội lực là mô men uốn Mx và lực cắt Qy

2.ứng suất trên mặt cắt ngang:

Sau khi làm thí nghiệm cũng nh- khi uốn thuần tuý, nh-ng khi uốn ngang phẳng, ng-ời ta thấy : Mặt cắt ngang không còn phẳng và vuông góc với trục của thanh nữa Điều đó chứng tỏ trên mặt cắt ngang không những chỉ có -s pháp mà còn có -s tiếp Ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng:

* Mô men uốn gây nên -s pháp là : z x

x

M

 nh- ta đã biết khi uốn thuần tuý

* Lực cắt gây nên -s tiếp, đ-ợc xác định theo công thức Jurapski:

c

Q S

bc là chiều rộng của phần cắt

Dựa vào công thức trên, ta có thể xác định đ-ợc ứng suất tiếp của 1 số mặt cắt sau:

- Mặt cắt hình chữ nhật:có đáy là b và chiều cao là

h Ta thấy ứng suất tiếp phân bố bậc 2 theo chiều

cao và có giá trị lớn nhất max .

 3 2

Q F

y

- Mặt cắt tròn có đ-ờng kính D: T-ơng tự ta có:

max .

 4 3

Q F

y

3.Điều kiên bền:

Ta nhận thấy là điểm nguy hiểm của ứng suất pháp th-ờng lệch so với điểm nguy hiểm của ứng suất tiếp Do vậy: trong thực tế ng-ời ta th-ờng viết điều kiện bền theo ứng suất pháp và th-ờng khi ứng suất pháp đ-ợc thoả mãn thì ứng suất tiếp cũng thoả mãn

Tóm lại điều kiện bền khi uốn ngang phẳng cũng t-ơng tự nh- khi uốn thuần tuý

Chú ý: Đối với mặt cắt có chân đế nh- mặt cắt chữ I, T, L… thì ng-ời ta th-ờng chú ý kiểm tra bền cho mắt cắt sát chân đế, vì tại đó ứng suất pháp và tiếp đều đạt giá trị khá lớn, khi đó phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, phải sử dụng thuyết bền để kiểm tra

4 chuyển vị của dầm chịu uốn ngang phẳng

Ta đã biết, khi dầm chịu uốn thì trục dầm bị cong đi, đ-ờng cong của trục dầm gọi là đ-ờng đàn hồi Nếu lập hệ trục toạ độ yoz, ta có ph-ơng trình đ-ờng đàn hồi nh- sau: y =y(z)

Xét 1 điểm K bất kỳ, sau khi biến dạng điểm K di chuyển thành điểm K’ Khi

đó KK’ gọi là chuyển vị dài của điểm K

Phân KK’ thành 2

thành phần: Thành

phần vuông góc với

mặt cắt v(z) và thành

phần nằm ngang u(z)

Lý thuyết đàn

hồi đã chứng minh

đ-ợc rằng: thành phần

u(z) là vô cùng bé bậc cao so với v(z), cho nên có thể bỏ qua Khi đó chuyển vị của

điểm K có thể coi là chuyển vị thẳng đứng Khi đó ta có: y  v(z)

Chuyển vị thẳng đứng của 1 điểm đ-ợc gọi là độ võng của điểm đó Khi đó, ph-ơng trình đ-ờng đàn hồi có thể đ-ợc coi là ph-ơng trình của độ võng

Bây giờ ta xét 1 mặt cắt ngang đi qua điểm K, sau khi bị biến dạng mặt cắt bị xoay đi 1 góc  gọi là góc xoay Nếu qua K’ ta kẻ tiếp tuyến với đ-ờng đàn hồi,

max

Qy

P K

u K’ v

thì tiếp tuyến đó tạo với ph-ơng nằm ngang 1 góc chính bằng  Cho nên ta có:

Đạo hàm độ võng thì bằng góc xoay

y’(z)= (z)

Trong thực tế thì ng-ời ta th-ờng hạn chế độ võng và góc xoay, cho nên ta có

điều kiện cứng nh- sau:

ymax=fmax f 

và max 

Trong đó độ võng và góc xoay cho phép đ-ợc xác định theo yêu cầu kỹ thuật ngoài thực tế

5 Ph-ơng trình vi phân gần đúng của đ-ờng đàn hồi

Trong quá trình chứng minh công thức ứng suất trên mặt cắt ngang, ta đã có công thức (5.1) để xác định bán kính cong của đ-ờng đàn hồi là:

1

 

M EJ

x x

Mặt khác theo toán học, ta có bán kính cong của 1 đ-ờng cong bất kỳ là:

1

1 2 32

  



y y

"

( ' ) Cân bằng vế phải của 2 biểu thức ta có:

y

y

M EJ

x x

"

(1 ' )2

3 2



 

Ta tiến hành xét dấu biểu thức

trên(hình vẽ) Ta thấy Mx và y” luôn

ng-ợc dấu nhau, cho nên biểu thức này

chỉ đúng khi lấy dấu (-)

Mặt khác, ta thấy y’2 là vô cùng bé

bậc cao cho nên ta có thể bỏ qua Khi đó

ta đ-ợc 1 ph-ơng trình gọi là ph-ơng

trình vi phân gần đúng của đ-ờng đàn

hồi nh- sau:

y”=- M

EJ x x

(5.5)

Ta có thể dựa vào ph-ơng trình vi phân gần đúng của đ-ờng đàn hồi để xác

định đ-ờng đàn hồi cũng nh- chuyển vị và góc xoay tại điểm nào đó Nh-ng khi giải ta phải dựa vào điều kiện biên cho nên để sử dụng ph-ơng pháp này để tính chuyển vị, góc xoay thì rất khó khăn và phức tạp

z

Mx Mx

Mx>0 Mx<0

y y” <0 (lồi) y”>0 (lõm)

 6 Ph-ơng pháp năng l-ợng tính chuyển vị

I) Nguyên tắc chung

Khi vật thể chịu lực tác dụng, nó sẽ bị biến dạng sinh ra chuyển vị Nếu vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, khi đó ngoại lực sẽ sinh công A là hàm của lực và chuyển vị

Nếu bỏ qua mất mát năng l-ợng do sinh nhiệt hoặc do nguyên nhân vật lý nào

đó, thì công của ngoại lực đ-ợc chuyển thành thế năng biến dạng đàn hồi U tích luỹ trong vật thể Theo định luật bảo toàn năng l-ợng, ta có:

U =A

Từ ph-ơng trình trên, ta sẽ xác định đ-ợc chuyển vị của hệ

Thế năng biến dạng đàn hồi của các tr-ờng hợp chịu lực đơn giản:

- Kéo nén đúng tâm: n

i

l i i zi

i

F E

dz N U

1 0

2 2

- Uốn ngang phẳng   



 n

i

n i

l

i i

yi xi

i xi

F G

dz Q J

E

dz M U

2 2

2

- Xoắn thuần tuý: 



 n

i i Pi

zi

J G

dz M U

1

2 2

Ngoài ra, để thuận tiện cho việc tính toán, ng-ời ta còn th-ờng sử dụng chuyển vị

đơn vị: là chuyển vị do lực đơn vị (P=1) gây nên Ký hiệu: 

Định lí lực đơn vị: Chuyển vị do 1 lực tập trung gây ra bằng chuyển vị đơn vị theo ph-ơng của lực đó nhân với giá trị của lực đó Ta có y k P.k

Mô men uốn do 1 lực tập trung gây nên bằng mô men uốn do lực đơn vị gây nên nhân với giá trị của lực đó Ta có Mx=P.Mk

II ) Định lý cát-sti-gli-a-nô:

Định lý: Đạo hàm riêng thế năng biến dạng đàn hồi theo lực nào đó bằng chuyển

vị theo ph-ơng của lực đó

Từ định lý, ta biểu diễn bằng biểu thức sau:

n n P

U y





 Chứng minh:

Xét một hệ chịu hệ lực tác dụng P1, P2,…, Pn (hình vẽ)

P1 P2 Pn+dPn

yn

y n

Khi đó ta xác định đ-ợc thế năng biến dạng đàn hồi U =A là công do ngoại lực sinh ra

Bây giờ ta tăng lực Pn thêm một số gia dPn , Khi đó thế năng biến dạng đàn hồi tăng thêm 1 l-ợng là: dU= n

n

dP P

U



