- Bản chất của phương pháp là làm đơn giản hóa biểu thức chứa lũy thừa; đưa việc chứng minh biểu thức chứa lũy thừa về các số cụ thể có chứa các dấu hiệu chia hết thể hiện qua các chữ số[r]
Trang 1H U Y ÊN Đ Ề :
TÍNH CHẤT CHIA HẾT
TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
A LÝ TH U Y ẾT
1 Định nghĩa
Với mọi a, bN (b0) ta luôn tìm được số tự nhiên r sao cho
a = bq + r (0 r < b)
a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư
- Nếu r = 0 ta được phép chia hết, tanói rằng a chia hết cho b (a b)
hay a là bội của b, hay b chia hết a, hay b là ước của a (b/a)
- Nếu r > 0,ta được phép chia có dư, ta nói rằng a không chia hết cho b
2 Tính chất chia hết của tổng , của hiệu , của tích
*Tích chất
- số a chia hết cho mọi số a ≠ 0
- Số 0 chia hết cho mọi số b ≠ 0
- Nếu a b và b c thì a c
- Nếu a b và b a (a ≠0,b ≠ 0) thì a = b
- Nếu a b, a m và (b,m) = 1 thì a bm
- Nếu ab m và (b,m) = 1 thì a m
- Nếu a m và bm thì a b m ( a ≥ b )
- Nếu a b thì ka b ,(k N , b ≠0)
- Nếu a b và b là ước của c thì a c
- Nếu a m và bm thì a b m ( a ≥ b )
- Nếu a b m và am thì b m,(m ≠0)
- Nếu am và bn thì ab mn
- Nếu ab thì an bn
* Nâng cao
- Nếu a b, a m Thì k1 a + k2 a m
- Nếu a m và b m ; a +b + c m Thì c m
- Nếu a m và b m ; a +b + c m Thì c m
3.Các dấu hiệu chia hết của số tự nhiên
a Biểu diễn số tự nhiên trong hệ thập phân
Trang 2N = a a an n 1 0= 10n an+ 10n-1an-1+…+ 10a1+a0
b Các dấu hiệu chia hết của số tự nhiên
- Dấu hiệu chia hết cho 2 :
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi số ấy có chữ số tận cùng là số chẵn ( 0; 2; 4; 6; 8)
N 2 ao 2 a0 0;2;4;6;8
- Dấu hiệu chia hết cho 5 :
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
N 5 ao 5 a0 0;5
- Dấu hiệu chia hết cho 10 :
Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0
N 10 ao =0
- Dấu hiệu chia hết cho 3 :
Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3
N 3 a0 + a1 +…+an 3
- Dấu hiệu chia hết cho 9 :
Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9
N 9 a0 + a1 +…+an 9
- Dấu hiệu chia hết cho 4 :
Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó lập thành một số chia hết cho 4
N 4 a a1 0 4
- Dấu hiệu chia hết cho 25 :
Một số chia hết cho 25 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó lập thành một số chia hết cho 25
N 25 a a1 0 25
- Dấu hiệu chia hết cho 8 :
Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó lập thành một số chia hết cho 8
N 8 a a a2 1 0 8
- Dấu hiệu chia hết cho 125 :
Một số chia hết cho 125 khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó lập thành một số chia hết cho 125
Trang 3N 125 a a a2 1 0 125
-Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng ở vị trí chẵn và tổng các chữ số của nó đứng ở vị trí lẻ(kể từ trái qua phải) chia hết cho 11
N 11 a0 a2 – a 1 a3
11
4 Những tính chất khác đáng chú ý :
- Nguyên tắc Dirichlet : Nếu đem n+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ hai vật trở lên
+ Tổng quát: Nếu đem nk+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ k +1 vật trở lên
- Trong n số tự nhiên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết n , n ≥ 1
Tích n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n
5 Các phương pháp giải các bài toán về chia hết
Phương pháp 1 : Để chứng minh A(n) chia hết cho một m, ta phân
tích m ra thừa số Giả sử m = p.q Nếu p và q là số nguyên tố, hay p và q là nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách chứng minh A(n) p và A(n) q
( từ đó suy ra A(n) p.q = m )
Ví dụ 1: Chứng minh tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
Giải: Ta có A(n) = (n – 1)n(n + 1) và 6 = 2.3 ( 2 và 3 là số nguyên tố), ta
tìm cách chứng minh A(n) 2 và A(n) 3
Trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 2
vậy A(n) 2
Trong ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 3
vậy A(n) 3
Có A(n) 2 và A(n) 3 vậy A(n) 2.3 = 6
* Nếu q và p không nguyên tố cùng nhau thì ta phân tích A(n) ra thừa số, chẳng hạn A(n) = B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n) p và C(n) q ( suy ra A(n) = B(n).C(n) p.q = m)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải: Gọi số chẵn đầu tiên là 2n, số chẵn tiếp theo là 2n+2, tích của chúng
sẽ là A(n) = 2n(2n+2) ta có 8 = 4.2 và A(n) = 2n(2n+2) = 4.n(n+1) đây là
Trang 4tích của 2 thừa số một thừa số là 4 chia hết cho 4 và thừa số kia là n(n+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
Vì vậy A(n) = 2n(2n+2) = 4.n(n+1) 2.4 = 8
Phương pháp 2: Để chứng minh A(n) m, có thể biến đổi A(n) thành tổng của nhiều số hạng và chứng minh mỗi số hạng chia hết cho m
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng n3 – 13n 6 với mọi n thuộc Z
Giải: Ta phải chứng minh A(n) = n3 – 13n 6
Chú ý rằng 13n = 12n+n mà 12n 6, ta biến dổi A(n) thành
A(n) = (n3 – n) – 12n = n(n2 – 1) – 12n = (n – 1)n(n + 1) – 12n
Mà (n – 1)n(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên (n – 1)n(n + 1) 6 ( Ví dụ 1) Và 12n 6
Vì vậy (n – 1)n(n + 1) – 12n 6 hay A(n) = n3 – 13n 6
Phương pháp 3: Để chứng minh tổng không chia hết cho m, có thể
chứng minh một số hạng của tổng không chia hết cho m còn tất cả các số hạng còn lại chia hết cho m
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 +n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5
Giải:
Ta có n2 +n + 1 = n( n+ 1 ) + 1
Vì n( n+ 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
n( n+ 1 ) + 1 là một số lẻ nên không chi hết cho 4
n( n+ 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9
n( n+ 1 ) + 1không có tận cùng là 0 hoặc 5 do đó không chi hết cho 5
Phương pháp 4: Phương pháp phản chứng
Ví dụ 5 : Chứng minh rằng a2 – 8 không chia hết cho 5 với aN
Giải: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Giả sử A(n) = a2 – 8 5, nghĩa là A(n) phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5, suy ra a2 (là một số chính phương) phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 3;8 – Vô lý ( vì một số chính phương bao giờ cũng có các chữ số tận cùng
là 0 ; 1; 4; 6; 9)
Trang 5Vậy a2 – 8 không chia hết cho 5
Phương pháp 5: Phương pháp qui nạp.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng 16n – 15n – 1225 (1)
Giải:
Với n = 1 thì 16n – 15n – 1 = 16 – 15 – 1 = 0 225
Giả sử (1) đúng với n = k tức là 16k – 15k – 1 225
Cần chứng minh (1) đúng với n = k+1
Ta chứng minh 16k+1 – 15(k+1) – 1 225
Thực vậy: 16k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1
= (16k – 15k – 1) + 15.16k – 15 Theo giả thiết qui nạp 16k – 15k – 1 225
Còn 15.16k – 15 = 15(16k – 1) 15.15 = 225
Vậy 16n – 15n – 1225
Phương pháp 6: Nguyên lý Diricle
- Nguyên lý Dirichlet : Nếu đem n+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ hai vật trở lên
+ Tổng quát: Nếu đem nk+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất
một ngăn kéo chứa từ k +1 vật trở lên
- Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết n, n ≥ 1
Tích n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n.
Ví dụ 7 : Cho 7 số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể
chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 6
Giải:
Khi chia một số cho 6 thì số dư r chỉ ó thể lấy một trong 6 giá trị
là 0; 1; 2; 3; 4; 5 Vì có 7 số tự nhiên chia cho 6 mà chỉ có 6 só dư nên theo nguyên lý Điricle thì ít nhất có 2 số chia cho 6 có cùng số dư , nên hiệu của hai số này chia hết cho 6
Phương pháp 7 : Sử dụng chữ số tận cùng
* Chú ý : - Phương pháp này được áp dụng khi chứng minh một lũy thừa hay biểu thức chứa các lũy thừa chia hết cho 2; 4; 5; 8; 10; 125 ; …
Trang 6- Bản chất của phương pháp là làm đơn giản hóa biểu thức chứa lũy thừa; đưa việc chứng minh biểu thức chứa lũy thừa về các số cụ thể có chứa các dấu hiệu chia hết thể hiện qua các chữ số tận cùng
- Thực chất của việc tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa là tìm
số dư của lũy thừa đó cho 10; tìm hai chữ số tận cùng là tìm số dư của lũy thừa đó cho 100; tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của lũy thừa đó cho 1000…
* Để tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa cần chú ý rằng:
Các số tự nhiên có tận cùng là 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa (khác 0) nào cũng có tận cùng là 0; 1; 5; 6
Các số tự nhiên có tận cùng là 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4n ( n # 0 ) đều có tận cùng là 6
Các số tự nhiên có tận cùng là 3; 7 ; 9 nâng lên lũy thừa 4n đêu có tận cùng là 1
( Riêng đối với Các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên lũy thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó , nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt 6 và 1; )
*Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 ; 8
Ví dụ 8 : Chứng minh rẳng với mọi số tự nhiên n thì
34n + 1 + 2 Chia hết cho 5
Ta có
34n + 1 + 2 = ( 34 ) n 3 + 2 = 81n 3 + 2 = ( … 1 ) 3 + 2 có tận cùng bằng 5 N ên chia hết cho 5
Vậy 34n + 1 + 2 Chia hết cho 5
B CÁ C B À I TO Á N LIÊN Q UA N
DẠNG 1 : CHỨNG MINH CHIA HẾT
1.1.Chứng minh dựa vào các dấu hiệu chia hết(định nghĩa)
- Nắm vững các dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên
- Biến đổi điều cần chứng minh thành các yếu tố có chứa những dấu hiệu chia hết cần có
Ví dụ 1 Chứng minh rằng :
a) ab ba chia hết cho 11
b) ab ba chia hết cho 9 với a > b
Giải:
a) Ta có ab ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11
Trang 7Vậy ab ba 11
b) Ta có: ab ba= (10a + b) - (10b + a) = 9a – 9b = 9(a – b) 9
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
a) A= 3n+2 – 2 n+2 + 3n – 2 n chia hết cho 10
b) B = 10 n – 18 n – 1 chia hết cho 27
Bài làm :
a) A = 3n+2 – 2 n+2 + 3n – 2 n
= 3n (32 + 1) – 2 n (22 +1)
= 10 3n – 5 2n
= 10 (3n –2n-1) 10
Vậy A chia hết cho 10
b) B = 10 n – 18 n – 1
= 10n – 1 – 9n +27n
=
99 9
n - 9n + 27 n
= 9 (
11 1
n - n) + 27 n
Vì n là tổng của các chữ số
11 1
n nên
11 1
n - n chia hết cho 3.Do đó
9 (
11 1
n - n) chia hết cho 27 (1)
Mà 27n chia hết cho 27 (2)
Từ (1),(2) suy ra : 9 (
11 1
n - n) + 27 n chia hết cho 27.
Vậy B chia hết cho 27 (điều phải chứng minh)
Ví dụ 3 Chứng minh rằng nếu abcd eg chia hết cho 11 thì
abcdeg chia hết cho 11
Giải:
Ta có abcdeg10000.ab100.cdeg 9999.ab99.cd(abcdeg) 11
1.2.Chứng minh dựa vào những tính chất chia hết
* Phương pháp
- Nắm vững các dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên
Trang 8- Biến đổi điều cần chứng minh thành các yếu tố có chứa những dấu hiệu chia hết cần có
Ví dụ 1 Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia hết cho 15 dư 6
và chia 9 dư 1
Giải:
Giả sử có số a Nthoả mãn cả hai điều kiện trên thì:
a = 15q1 + 6 chia hết cho 3 mâu thuẫn
a = 15q2 + 1 không chia hết cho 3
vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn (đpcm)
Ví dụ 2 Chứng minh rằng: F = 1028 + 8 chia hết cho 72
Giải:
F = 1028 + 8 chia hết cho 72
Ta thấy: 72 = 8.9
Ta có:
1028 + 8 9 vì tổng các chữ số bằng 9
1028 + 8 8 vì có tận cùng là 008
Mà (8;9) = 1 nên 1028 + 8 8.9 = 72 (đpcm)
Ví dụ 3 Chứng minh rằng: H = 2 + 22 + 23 +…+ 260 chia hết cho 3
Giải:
H = 2 + 22 + 23 +…+ 260 chia hết cho 3
Dãy số H có 60 số hạng mà 60 chia hết cho 2 nên ta nhóm một cặp hai số hạng
Ta có
H = 2 + 22 + 23 +…+ 260
H = (2 + 22 ) + ( 23 + 24) + …+ (259 + 260)
H = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + … + 259.(1+2)
H = 2.3 + 23.3 + … + 259.3
H = 3.(2 + 23 + + 259) 3
Vậy H chia hết cho 3
Ví dụ 4 Chứng minh tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn
tổng của 5 số lẻ chia cho 10 dư 5
Giải:
Trang 9Gọi 5 số chẵn liên tiếp là 2n ; 2n + 2 ; 2n+ 4 ; 2n + 6 ; 2n + 8
Ta có
A = 2n +( 2n + 2 ) + ( 2n + 4 ) + ( 2n + 6 ) + ( 2n + 8 )
= 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8
= 10n + 20 = 10 ( n + 2 ) 10
Vậy A chia hết cho 10
*Gọi 5 số lẻ liên tiếp là 2n +1 ; 2n + 3 ; 2n+ 5 ; 2n + 7 ; 2n + 9
Ta tính tổng được 10n + 25 = 10 ( n + 2 ) + 5 10 ( dư 5 )
1.3.Chứng minh theo phương pháp quy nạp
Phương pháp :
+ Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 0 (hoặc n = 1 )
+ Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k (giả thiết này được goi là giả thiết quy nạp) Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 + Theo nguyên lí quy nạp ta kết luận mệnh đề đúng với mọi n
* Chú ý : Nếu phải chứng minh rằng mệnh đề luôn đúng với mọi số tự nhiên lớn hơn p (n ≥ p) thì ở bước một ta sẽ phải kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p,ở bước 2 và bước 3 làm tương tự như trên
Ví dụ 1: Chứng minh rằng mọi số n N ta có : 4n + 15n – 1 9 (1)
Bài làm :
Với n = 1 ta có : 41 + 15.1 – 1 = 18 9.Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k , tức là ta có : 4k + 15n – 1 9
4k + 15k – 1 = 9m (m Z) 4k = 9m – (15k – 1)
Với n = k+ 1 ta có :
4k+1 + 15(k + 1) – 1 = 4.4k + 15k + 14 = 4 (9m – (15k – 1)) + 15k + 14
= 36m – 45k + 18
= 9(4m – 5m + 2) 9
Vậy (1) đúng với n = k + 1 , do đó (1) đúng với mọi n ≥ 1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n ta có
7n +3n – 1 chia hết cho 9 (2)
Bài làm :
Với n = 1 ta có 71 + 3 1 – 1 = 9 9 (2) đúng với n = 1
Giả sử (2) đúng với n = k tức là 7k + 3 k – 1 = 9 9 Cần chứng minh (2) đúng với n = k+ 1 tức cần chứng minh 7k+1 + 3 (k +1) – 1 = 9 9
Trang 10Thật vậy :
Theo giả thiết quy nạp ta có : 7k + 3 k – 1 = 9 9
7k + 3 k – 1 = 9m (với m Z)
7k = 9m – 3k + 1
Nên 7k+1 + 3 (k +1) – 1 = 7 7k + 3 (k +1) – 1
= 7 (9m – 3k + 1) + 3 (k +1) – 1 = 63m – 18k + 9
= 9 (7m – 2k +1) 9
(2) đúng với n = k+1 , do đó (2) đúng với mọi n ≥ 1
Vậy 7n +3n – 1 chia hết cho 9 đúng với mọi n nguyên dương
1.4.Chứng minh chia hết bằng việc Sử dụng chữ số tận cùng
- Tìm chữ số tận cùng (hoặc hai chữ số tận cùng hoặc
ba chữ số tận cùng …) của biểu thức chứa lũy thừa đó.
Ví dụ 1 : Chứng minh 8102 - 2102 chia hết cho 5
Bài làm :
Ta có : 8102 = 84 25 82 = (…6) 64 = … 4
2102 = 24 25 22 = (…6) 4 = … 4
Vậy 8102 - 2102 có tận cùng là 0 8102 - 2102 chia hết cho 5
Ví dụ 2 : Chứng minh 51n + 47102 chia hết cho 10 ( n N )
Bài làm
Ta có 51n = … 1
47102 = 47100 472 = ( … 1 ) ( …9 ) = … 9
51n + 47102 =( … 1 ) + ( …9 ) Có tận cùng bằng 10 Vậy 51n + 47102 chia hết cho 10
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
a) Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11
b) Cũng chứng minh như trên đối với số tự nhiên có ba chữ số
Bài 2 Chứng minh rằng nếu ab 2 cdthì abcdchia hết cho 67
Bài 3 Cho abcdegchia hết cho 37 Chứng minh rằng abcdeg 37
Bài 4 Cho biết a + 4b chia hết cho 13, (a, b N) Chứng minh rằng:
10a + b chia hết cho 13