De thi Toan chung chuyen Thai Binh 1516

7 c Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức P chỉ nhận một giá trị nguyên.. Cho phương trình.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016

MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3,0 điểm)

Cho biểu thức:

2

P

x x x x x x

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của biểu thức Pkhi x  3 2 2

c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức

7

P chỉ

nhận một giá trị nguyên

Bài 2 (2,0 điểm)

Cho phương trình x2 2mxm 13 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại

Bài 3 (1,0 điểm)

Giải phương trình: 2 2

1 0

x

x  x    .

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F Gọi M là trung điểm của cạnh HC

a) Chứng minh AE.AB = AF.AC

b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH

c) Chứng minh HAM HBO 

d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM

Bài 5 (0,5 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  3 Chứng minh rằng:

a  b  c  

Hết

Họ và tên thí sinh:………SBD:………

ĐÁP ÁN

1a 2x 2 x x 1 x x 1

P

x



0,5



0,5

2

0,25

Thay vào biểu thức 2 2 1 2 2

2 1

P    

1c

Đưa được

x

Đánh giá 2x 2 2 x 6 x, suy ra

0

6

x

Vậy

7

P chỉ nhận một giá trị nguyên đó là 1 khi

4 2

4 2

x x

x x

2a Khi m 1 ta có phương trình x22x 8 0 0,5

Giải phương trình ta được hai nghiệm: x12;x2 4 0,5 2b

Tính được  ' m2 m 13 0,25

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  m2 m 13 0 (*) 0,25

Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có

1 2

3

1 2

x x m

x x m







Giả sử x1  x2 2thay vào (2) ta được x2  m 1;x1m 12 0,25

Thay hai nghiệm x x1; 2 vào (1) ta được

 12  1 2 2 3 0 0

3

m

m







Khẳng định hai giá trị m vừa tìm được thỏa mãn điều kiện (*), kết luận 0,25 3

Điều kiện: x 0, đưa phương trình trở thành:

2



Đặt ẩn phụ: 2 2 9

x

t

x   , phương trình trở thành:

1

2

t

t







 

Trường hợp: t 1 ta có x 2x29 (vô nghiệm) 0,25

Trường hợp:

1 2

t 

ta có

2

2

2

x

x







4a

Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung 0,25

Ta có AEF AHF AHF; ACB suy ra AEF ACB

(hoặc AFF AHE AHE; ABC suy ra AFEABC) 0,25

Suy ra hai tam giác AEF và ACB đồng dạng 0,25

Từ tỷ số đồng dạng

AE AF

AC AB ta có AE.AB = AC.AF 0,25

4b Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH. 0,25

Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM) 0,25

Từ đó MFO  900, MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH 0,25 4c Xét hai tam giác AHM và BHO có AHM BHO 900 0,25

Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có

2

AH HB HC AH OH HB HM

HB HO

0,25

Suy ra HAM HBO 0,25 4d Gọi K là giao điểm của AM với đường tròn

Ta có HBO HAM  MHK , suy ra BO // HK 0,25

Mà HK AM , suy ra BOAM , suy ra O là trực tâm của tam giác ABM 0,25

5 Giả sử a b c  , từ giả thiết suy ra ab 1 Ta có bất đẳng thức sau:

2

1

0

a b ab

(luôn đúng)

Vậy ta cần chứng minh: 2

c ab abc c ca bc abc a b c abc

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì

 

2

2 3

3

a b c ab bc ca

ab bc ca abc







hay a b c   3 3abc

Dấu bằng xảy ra khi a b c  1

0,25

Cho các số dương a b c, , thỏa mãn a b c  3.Chứng minh rằng:

3 2

5

Ta có

3 3

a b c

ab bc ca ab bc ca

 

0,25

2 3

a c b c

a c b c

c c ab bc ca

ab ab bc ca ca

a c b c c a c b a b