Về tính ổn định với xác suất 1 của hệ phương trình vi phân và sai phân ngẫu nhiên

Trờng đại học vinhKhoa toán --------Về tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân và sai phân ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân S phạm toán Cán bộ h

Trờng đại học vinh

Khoa toán

 Về tính ổn định với xác suất 1

của hệ phơng trình vi phân

và sai phân ngẫu nhiên

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân S phạm toán

Cán bộ hớng dẫn khoa học:

PGS TS Phan Đức Thành

Sinh viên thực hiện:

Đậu Thị Thu Hiền

Lớp : 42A 2 - Khoa Toán

vinh - 2005

***

Mở đầu

Mọi hệ thống hoạt động trong môi trờng đều có thể mô tả đợc bởi một

hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên hoặc sai phân ngẫu nhiên Do đó tính ổn

định của hệ thống liên quan chặt chẽ đến tính ổn định của hệ vi phân và saiphân ngẫu nhiên

Trong lý thuyết định tính phơng trình vi phân và sai phân ngẫu nhiênthì việc nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên là một nội dung quan trọng Vấn

đề đó đã đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và đạt đợc những kết quả

đáng kể bằng phơng pháp giải tích Song trong những năm gần đây đã hìnhthành một cách tiếp cận mới để nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên bằng ph-

Chơng 1: Sự ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính tất định

Chơng 2: Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân và sai phânngẫu nhiên

Khoá luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của PGS TS

Phan Đức Thành Nhân dịp này em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của

mình tới thầy

Em cũng xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu và bổích của các thầy PGS TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Trung Hoà, TS TrầnXuân Sinh cùng các thầy cô trong tổ điều khiển, khoa Toán, trờng Đại Học Vinh

Ngời thực hiện

Đậu Thị Thu Hiền

Chơng I

Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính tất định

ổn định là một trong những khái niệm sâu sắc nhất mà ngời ta đã nghĩ

ra để giải thích hành vi của một hệ thống Hơn nữa bất kỳ một hệ thống nào(hệ sinh học, hệ kỹ thuật, xã hội hay tổ chức kinh tế …) bao giờ cũng làm việc) bao giờ cũng làm việc

dy dt

dy dt

dy dt

dY

] , , ,

[ 1 2



F(t, Y) = (f 1 (t, Y), …, y , f n (t, Y)) T

f j (t, Y), ( j 1 ,n ) là các hàm số xác định trong miền D = [t 0, ) x

D Y (D Y là một miền mở thuộc R n ), liên tục theo t, có các đạo hàm riêng cấp 1 theo các biến y 1 , y 2 , …, y , y n liên tục

Định nghĩa 1.1.1:

Nghiệm Z = Z(t) ( a < t < ) của hệ (1.1) đợc gọi là ổn định theo Liapunov khi t  nếu   > 0 và t 0  (a, ),   = (, t 0) > 0 sao cho tất cả các nghiệmY(t) thoả mãn điều kiện Y(t0)  Z(t0) <  thì Y(t)  Z(t) < ,  t  t 0

Định nghĩa 1.1.2:

Nghiệm Z = Z(t) ( a < t < ) của hệ (1.1) đợc gọi là không ổn định

theo Liapunov nếu   > 0 và t0 [a, ) sao cho   > 0 tồn tại nghiệm Y(t) và thời điểm t 1 > t 0 thoả mãn Y(t0)  Z(t0) <  nhng Y(t1)  Z(t1) > 

t F dt

Y d

(1.1) đợc gọi là ổn định dới tác động của nhiễu ( Y t,~) nếu   > 0 và t 0 (a,

),   = (, t0) > 0 sao cho khi  (t,Y~) <  tất cả các nghiệm Y~(t) của hệ(1.2) thoả mãn điều kiện Y~(t0) <  thì Y~(t)  Z(t) < ,  t > t 0

trong đó: G(t, X) = F(t, X +Z) - F(t, Z) Khi đó hệ (1.3) đợc gọi là hệ qui đổi.

Rõ ràng G(t, 0)  0 và hệ (1.3) cho nghiệm tầm thờng X  0 (tơng ứng với nghiệm Z(t) của hệ (1.1)).

Định nghĩa 1.1.6:

Nghiệm tầm thờng (trạng thái cân bằng) X  0 (a < t < ) ổn định nếu

  > 0 và t 0  (a, ),   > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) mà Y(t0) <  thìthoả mãn Y (t) < ,  t > t0

Định nghĩa 1.1.7:

Nghiệm tầm thờng X(t) = 0 (a < t < ) không ổn định nếu   > 0 và t 0

 (a, ) sao cho   > 0 tồn tại nghiệm Y(t) và thời điểm t 1 > t 0 thoả mãn

Nghiệm X  0 đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu   > 0 và t 0  (a, ),

  = (, t0) > 0 sao cho đối với tất các các nghiệm Y(t) thoả mãn Y(t0) < 

~

trong đó ma trận A(t) và vectơ F(t) liên tục trên (a, ).

Định nghĩa 1.2.1:

Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định (hoặc không ổn định)

nếu tất cả các nghiệm Y(t) của nó tơng ứng ổn định (hoặc không ổn định)

Nhận xét 1.2.2:

Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồng thời cùng ổn định

hoặc cùng đồng thời không ổn định

Chứng minh:

Giả sử Z = Z(t) (t0 < t < ) là một nghiệm ổn định nào đó của hệ vi phân

tuyến tính, ta cần chứng minh nghiệm Y = Y(t) bất kỳ của hệ cũng ổn định.

Do nghiệm Z = Z(t) ổn định nên   > 0, t 0  (a, ),   > 0 sao cho

mọi nghiệm X = X(t) mà thoả mãn:

) ( ) (t0 Z t0

Nh vậy nghiệm Y = Y(t) ổn định

Do đó nếu hệ vi phân tuyến tính có một nghiệm ổn định thì các nghiệmkhác cũng ổn định

Giả sử hệ vi phân tuyến tính có 1 nghiệm Z = Z(t) không ổn định khi

đó các nghiệm khác của hệ cũng không ổn định Vì nếu ngợc lại có 1 nghiệmnào đó ổn định thì theo trên tất cả các nghiệm của hệ ổn định Điều này mâu

thuẫn với nghiệm Z = Z(t) không ổn định.

Định nghĩa 1.2.3: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu

tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận

Định lí 1.2.4: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định với số hạng tự do bất kỳ F(t) khi

và chỉ khi nghiệm tầm thờng Y~  0 của hệ thuần nhất (2.2) ổn định

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.1) ổn định Khi đó Z(t) (a < t < ) là

nghiệm bất kỳ của hệ thì nó cũng ổn định

Nghĩa là   > 0,   > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) của hệ mà có

) (

Do đó nếu Z(t) là một nghiệm nào đó của hệ (2.1) và Y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ đó thì Y(t) - Z(t) là một nghiệm của hệ (2.2) Vì thế nếu

) (

)

(t0 Z t0

Y  < ,  t > t0 thì Y(t)  Z(t) < ,  t  t0

Nh vậy nghiệm Z(t) của hệ (2.1) ổn định

Vì Z(t) là một nghiệm bất kỳ nên suy ra hệ (2.1) ổn định

Định lí 1.2.5: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định tiệm

cận là nghiệm tầm thờng Y~0  0 của hệ thuần nhất (2.2) ổn định tiệm cận

Hệ quả 1.2.6: Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần

nhất tơng ứng ổn định

Hệ quả 1.2.7: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) với số lợng tự do F(t) bất kỳ ổn định

tiệm cận khi và chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng ổn định tiệmcận

3 tính ổn định và tính giới nội của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất: A t Y

Khái niệm 1.3.1: Ma trận (t) = [x jk (t)]nxn với det (t)  0, gồm n nghiệm độclập tuyến tính của hệ (3.1) với:

X i (t) = [x 1i (t), x 2i (t), …, y , x ni (t)]T, i = 1 ,n

gọi là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (3.1)

Khi (t0) = E (ma trận đơn vị) thì ma trận nghiệm cơ bản (t) là ma trậnchuẩn hoá

Nhận xét: Nếu hệ (3.1) có nghiệm Y(t) thoả mãn điều kiện ban đầu Y(t 0 ) = Y 0 thì khi đó ta viết: Y(t) = (t) -1(t0) Y(t 0 )

Khi X(t) là ma trận chuẩn hoá thì Y(t) = (t) Y(t0)

Định lí 1.3.2:

Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân thuyến tính thuần nhất ổn định (theo

Liapunov) là mỗi nghiệm Y = Y (t) của hệ bị chặn trên [t 0, )

t Z

Rõ ràng   

2 ) (t0

Y và do Z(t) không bị chặn nên Y(t) không bị chặn

trên [t 0 , ) Do đó với  cố định,  t 1 > t 0 sao cho Y t1  .

Từ đó suy ra nghiệm tầm thờng Y 0 = 0 không ổn định Điều này mẫu

thuẫn với giả thiết hệ ổn định

Nh vậy mỗi nghiệm Y = Y(t) của hệ bị chặn trên [t 0, )

Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của hệ bị chặn trên [t 0, ) Khi đó

ma trận cơ bản chuẩn hoá (t) = [xik(t)] bao gồm các hàm giới nội nên giới nội

Do đó  M hằng số dơng để X (t) < M,  t  [t 0, )

Mặt khác với mỗi nghiệm Y(t) của hệ ta có Y(t) = (t) Y(t 0 )

 Y(t)   (t).Y(t0)   (t) Y(t0) M.Y(t0)   khi     

M t

Y 0

(chọn

M



  )

Nh vậy nghiệm tầm thờng Y 0  0 ổn định Do đó hệ (3.1) ổn định

Hệ quả 1.3.3: Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả

các nghiệm của nó hoặc đồng thời giới nội hoặc đồng thời không giới nội

Chú ý 1.3.4: Đối với hệ vi phân phi tuyến từ tính giới nội của các nghiệm của

nó nói chung không suy ra tính ổn định của chúng

k x

x khi k

t x g g arc x

0

0 0

,

) 0 ( )

(cot cot

(k = 0, +1, 2, …) bao giờ cũng làm việc)

Rõ ràng các nghiệm của hệ này đều giới nội trên [0, ) nhng nghiệm x 0

= 0 không ổn định

Định lí 1.3.5: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1)

ổn định tiệm cận là tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó thoả mãn: limt Y(t) = 0

t Y

thì Z(t) cũng là nghiệm của hệ và thoả

mãn (*)

Do đó: limt Y(t) = . ( ) 0

2

) ( lim 0



 Y t Z t

Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm Y(t) bất kỳ của hệ thoả mãn limt Y(t) = 0

Suy ra với T đủ lớn (T > t0) thì nghiệm Y(t) bị chặn trên (T, )

Mặt khác hàm vectơ Y(t) liên tục trên [t0, T] nên bị chặn trên đoạn đó

Nh vậy nghiệm Y(t) bị chặn trên [t0, ) Do đó hệ ổn định Suy ra

nghiệm tầm thờng Z  0 ổn định

Kết hợp với giả thiết limt Y(t) = 0 ta suy ra đợc nghiệm tầm thờng Z  0 ổn

định tiệm cận

Do đó theo định lí (1.2.5) hệ ổn định tiệm cận

Chú ý 1.3.6: Đối với hệ vi phân phi tuyến điều kiện tất cả các nghiệm dần tới

không nói chung không phải là điều kiện đủ để nghiệm tầm thờng ổn địnhtiệm cận

dy

xy t t x dt

c t c

2

1

2

.

Đặt t 0 = 1 ta có: 



t y t

y

e t x t

) 1 ( )

(

) 1 ( )

4 ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất: A X

dt

 (4.1)

trong đó A = [ajk]nxn là ma trận hằng

Định lí 1.4.1: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) ổn định khi và chỉ khi tất

cả các nghiệm đặc trng j của A đều có phần thực không dơng và các nghiệm

0

1

X T e

e

t t

trong đó T là ma trận không suy biến

Thật vậy, nếu phơng trình đặc trng của A có n nghiệm phân biệt thì  T

- ma trận không suy biến sao cho B = T -1 AT có dạng chéo

.

0

1

X T e

e

t t

Định lí 1.4.2: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng A ổn định

tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm j của phơng trình đặc trng của A

đều có phần thực âm

Chứng minh:

Theo định lí (1.3.5) hệ thuần nhất ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất

các nghiệm X = X(t) của nó đều thoả mãn limt X(t) = 0

1 0

.

0

1

X T e

e

t t

Tiêu chuẩn Hurwitz 1.5.2: Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn f(z) là đa

thức Hurwitz là tất cả các định thức chéo chính của ma trận Hurwitz của nó

đều dơng, tức là:

1 = a1 > 0

2 = 0

2 3

2 1



a a

a a

…) bao giờ cũng làm việc…) bao giờ cũng làm việc…) bao giờ cũng làm việc…) bao giờ cũng làm việc

0

0

0 0

4 2 3 2 2 2 1

2

0 1

2 3

0 1

trong đó quy ớc: a s = 0 với s < 0 và s > n

và hệ này đợc gọi là hệ phơng trình xấp xỉ thứ nhất đối với hệ (6.1)

Định nghĩa 1.6.1: Hệ vi phân (6.3) đợc gọi là dừng theo xấp xỉ thứ nhất nếu

ma trận A là ma trận các hằng số

Định lí 1.6.2: Nếu hệ vi phân (6.3) dừng theo xấp xỉ thứ nhất và R bị chặn theo t,

đồng thời tất cả các nghiệm của phơng trình đặc trng A - E = 0 đều có phần

thực âm thì nghiệm tầm thờng X  0 của hệ (6.2) và (6.3) ổn định tiệm cận

Định lí 1.6.3: Nếu hệ (6.3) dừng theo xấp xỉ thứ nhất và R bị chặn theo t nhng

tồn tại nghiệm của phơng trình đặc trng A - E = 0 có phần thực dơng thì nghiệm X  0 không ổn định

Hàm V(t, X) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X  0 nếu

với t0  (a, ),   > 0,   = () > 0 sao cho khi X <  thì V(t, X) <  , t

> t 0

Lu ý 1.7.3:

Khi V = V(X) là hàm có dấu xác định nếu (-1) V(X) > 0 nếu X 

0 và X(0) = 0 Trong đó đối với hàm xác định dơng thì  = 0, còn hàm xác

trong đó: G(t, X) liên tục theo t, có đạo hàm riêng liên tục theo x1, x2 …) bao giờ cũng làm việc xn

trong miền D = (a, ) x {X < H } Giả sử hàm V = V(t, X) khả vi liên tụctheo t, x1, …) bao giờ cũng làm việc, xn trong miền D0 = (a, ) x {X < h < H} Khi đó hàm số

j

x x

V t

Với 0 <  < h ta có mặt cầu S = {X = } là tập compact trong Rn Do

đó (S) là tập compact trong R Suy ra (S) là tập bị chặn

Mặt khác V(t, X) liên tục theo X và V(t, 0) = 0 nên với t0  (a, ),   < 

sao cho 0 < V(t 0 , X (t 0 )) <  khi X(t0) < 

Giả sử nghiệm tầm thờng X  0 không ổn định Khi đó với nghiệm X(t)

bất kỳ mà có X(t 0) <  thì tồn tại thời điểm t1 > t0 để X(t 1) = 

Từ đó suy ra  > V(t 0 , X(t 0 )) > V(t 1 , X(t 1 )) > (X(t 1 )) > , điều này vô lý

Nh vậy nghiệm tầm thờng X  0 ổn định

Hệ quả 1.7.6: Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất A t X

định âm thì nghiệm tầm thờng X  0 ổn định tiệm cận

Chú ý 1.7.8: Trong hai định lí trên ta có thể thay điều kiện xác định dơng của

hàm V(t, X) bằng điều kiện xác định âm, đồng thời

dt

dV

có dấu không âm đốivới định lí (1.7.5), còn có dấu xác định dơng đối với định lí (1.7.7)

chơng ii

tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình

vi phân và sai phân ngẫu nhiên

1 vi phân itô và sai phân của hàm liapunov

Định nghĩa 2.1.1:

Quá trình W = (Wt, t > 0) xác định trên không gian xác suất (, F, P)

đợc gọi là quá trình Wiener nếu:

trong đó (Wt) là quá trình Wiener một chiều

Giả sử y = g(t, x) là hàm một lần khả vi liên tục theo biến t > 0, hai lầnkhả vi liên tục theo x  R

Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g (t, Xt) có vi phân đợc tính theo côngthức sau đây đợc gọi là quy tắc vi phân Itô :

.B dt

x

g 2

1 dX x

g dt t

g

2

2 t

Khi đó quy tắc vi phân Itô của hàm V = xTx là

Ta có: Hx =

T n

j

n j

j nj n

j

j j j

n j

n j

j nj n j

j j

h x

2 2 1

n j

n

j ij i j j

i ij i j

x x h

1 , do đó xT Hx = (x, Hx)

dx Hx x dt

d dt

dV

, ,

, = (Ax, Hx) + (x, HAx) = (Ax)THx + xT.HAx

= xT (ATH + HA) x

 dV = xT (AT H + HA) x

Mệnh đề 2.1.5: Cho x có vi phân ngẫu nhiên: dx = Axdt + BxdW

trong đó A và B  Rnxn là các ma trận hằng Khi đó vi phân của hàm V = xT Hx

Từ đó suy ra EdV = xT(ATH + HA + BTHB) x dt (vì EdW = 0) 

Mệnh đề 2.1.6: Cho hệ sai phân tất định :

Dx(k +1) = Ax(k), k = 0, 1, 2, …) bao giờ cũng làm việc.; x(0) = x0

trong đó D là ma trận không suy biến Khi đó hàm Liapunov

V = xT(k).DTHD.x(k) có sai phân cấp 1 là V = xT(k)(ATHA - DTHD)x(k)

Mệnh đề 2.1.7: Cho hệ sai phân ngẫu nhiên:

Dx(k+1) = Ax(k) + Bx(k) (k) = [A + B (k)] x(k) , k = 0, 1, 2, …) bao giờ cũng làm việc

trong đó (k) = W(k+1) - W(k) là quá trình “ồn trắng” ngẫu nhiên, D là ma trậnkhông suy biến Khi đó sai phân bậc nhất của hàm Liapunov V = xT(k) DTHDx(k)

Hơn nữa E (k) = E [W(k+1) - W(k)] = 0, suy ra E2(k) = 1

Từ đó suy ra EV = xT(k)(ATHA- DTHD + BTHB)x(k)

2 tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

Ta giả thiết hệ (1) ổn định tiệm cận theo Liapunov (tức Re (A) < 0)

Ma trận A đợc gọi là Hurwitz (hay ổn định) nếu phần thực của tất cả

các giá trị riêng của nó đều là âm

Mệnh đề 2.2.4:

Nếu ma trận A Hurwitz thì tồn tại ma trận xác định dơng đối xứng H0

cỡ nxn thoả mãn phơng trình ma trận Sylvester: ATH0 + H0A = - G (3)trong đó G là ma trận xác định dơng, đối xứng chọn tuỳ ý, cỡ nxn

) (e A T t x T G e At x dt

Do đó H0 xác định dơng

Nh vậy tồn tại ma trận H0 thoả mãn mệnh đề

Hơn nữa H0 là ma trận duy nhất thoả mãn là nghiệm của (3) Thật vậy,giả sử  H1 cũng là ma trận xác định dơng và đối xứng thoả mãn là nghiệmcủa phơng trình (3)

0 e dt

e A T t At

 H0 = H1

Mệnh đề 2.2.5: Điều kiện cần và đủ để ma trận A Hurwitz là tồn tại ma trận H xác

định dơng, đối xứng thoả mãn phơng trình ma trận Sylvester : ATH + HA = - I (4)

Chứng minh:

* Điều kiện cần: đợc suy ra từ mệnh đề 2.2.4

* Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại ma trận H xác định dơng, đối xứng cỡ

Do đó V có giới hạn vô cùng

bé bậc cao khi x  0