Về tính ổn định của mômen nghiệm các hệ vi phân ngẫu nhiên

Khoá luận này đề cập đến một số vấn đề về tính ổn định củacác mômen nghiệm của các hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên.. Các khái niệm cơ bản Xét hệ vi phân tuyến tính đợc viết dới dạng ma

Trêng §¹i häc Vinh

Mở đầu

ổn định là một trong những tiêu chí đầu tiên cần phải có đối với các hệthống dù cho hệ thống đó là hệ thống kỹ thuật, hệ sinh thái hay hệ kinh tế -xã hội

Bởi vì một hệ thống muốn tồn tại và phát triển thì hệ thống đó phải ổn

định

Tính ổn định là một trong những tính chất chủ yếu của lý thuyết các hệ

động lực đợc bắt đầu từ các công trình xuất sắc của nhà toán học NgaA.M.Liapunov Khoá luận này đề cập đến một số vấn đề về tính ổn định củacác mômen nghiệm của các hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên

Khoá luận này gồm có hai chơng:

Chơng I và II : Trình bày tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính tất địnhChơng III là nội dung chủ yếu của khoá luận trình bày tính ổn định củacác mômen nghiệm của các hệ vi phân ngẫu nhiên

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh Nhân dịpnày tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Phan Đức Thành, ngời đã

đặt vấn đề và trực tiếp hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn

Cuối cùng xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, các thầycô giáo trong Khoa và tổ điều khiển đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Vinh, ngày 20 tháng 04 năm 2006

Tác giả.

Chơng I: Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính

Xét hệ vi phân thờng đợc viết dới dạng ma trận-vectơ:

) ,

( Y t F dt

1

n n

y y colon y

dy dt

dy colon dt

, ,

1

Định nghĩa 1: Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) của hệ (1.1) đợc gọi là ổn

định theo Liapunop khi t →∞ (hay ngắn gọn là ổn định) nếu với ∀ε > 0 và t 0

∈(a, ∞) tồn tại δ = δ (ε, t 0 ) sao cho:

1 Tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ (1.1) (bao gồm cả nghiệm Z(t)

thoả mãn điều kiện

Xác định trong khoảng t 0 <t < + ∞ tức là

Y(t) ∈ DY khi t ∈ [t 0 , ∞);

Trong đó Dy là một miền mở thuộc Rn

2 Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thoả mãn:

||Y(t) - Z(t) || < ε khi t 0≤ t < ∞ (1.3)

Trờng hợp đặc biệt, khi F(t, 0 ) ≡ 0 nghiệm tầm thờng (còn gọi là trạngthái cân bằng) Z(t) ≡ 0 (a<t< ∞ ) ổn định nếu với ∀ε > 0 và t 0∈(a,∞) tồn tại δ =

δ (ε, t 0) sao cho bất đẳng thức ||Y(t 0 )|| < δ kéo theo bất đẳng thức ||Y(t)|| < ε

khi t 0 < t < ∞.

Định nghĩa 2: Nếu số δ > 0 thì có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiệnban đầu t 0∈ G, tức là δ = δ(ε) thì ổn định đợc gọi là ổn định đều trong miền G

Định nghĩa 3: Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) đợc gọi là không ổn định theo

Liapunop nếu với ε > 0, t 0 ∈ (a, ∞) nào đó và với ∀δ > 0 tồn tại nghiệm Yδ(t) (ítnhất là một) và thời điểm t 1 = t 1 (δ) > t 0 sao cho

||Yδ(t 0 ) - Z(t 0 )|| < δ và || Yδ(t 1 ) - Z(t 1 ) || ≥ε

Tơng tự nghiệm tầm thờng Z ≡ 0 không ổn định nếu với ε > 0, t 0 ∈ (a, ∞)

nào đó ∀δ > 0 tồn tại nghiệm Yδ(t) và thời điểm t 1 > t 0 sao cho:

|| Yδ(t 0 ) || < δ ; || Yδ(t 1 ) || ≥ε

Trờng hợp này đợc mô tả nh hình vẽ sau:

Định nghĩa 4: Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) đợc gọi là ổn định tiệm

cận khi t → + ∞ nếu:

1 Nó ổn định theo Liapunop và

2 Với ∀ t 0 (a, ∞) tồn tại ∆ = ∆ (t 0) > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) (t 0≤ t < ∞)

thoả mãn điều kiện || Yt 0 ) -Z(t 0 ) || < ∆ sẽ có tính chất limt→∞|| Y(t) - Z(t) || = 0 (1.4)

Nh vậy ổn định tiệm cận là “ổn định có tải” tức là ổn định kèm thêm

điều kiện Đặc biệt nghiệm tầm thờng Z(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận nếu nó ổn

định và limt→∞Y(t) = 0 khi || Y(t 0 ) || < ∆

Hình cầu ||Y|| < ∆(t 0) với t 0 cố định là miền hút của trạng thái cân bằng 0.

Định nghĩa 5: Giả sử hệ (1.1) xác định trong nửa không gian Ω ={t 0 <t <∞} x {||

Y|| < ∞} Nếu nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) ổn định tiệm cận khi t →∞ và tất

cả các nghiệm Y = Y(t) (t 0≤ t < ∞ , t 0 > a) đều có tính chất (1.4) tức là ∆ =

∞ thì Z(t) đợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cục.

1.2 tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Xét hệ vi phân tuyến tính đợc viết dới dạng ma trận-vectơ:

) ( )

A dt

Định nghĩa 1: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định (hoặc

không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó tơng ứng ổn định (hoặc

không ổn định) theo Liapunop khi t → + ∞.

Ta sẽ thấy rằng các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồng thờicùng ổn định hoặc đồng thời cùng không ổn định Đối với các hệ vi phân phituyến thì khác, một số có thể ổn định còn một số nghiệm khác có thể lạikhông ổn định

Định nghĩa 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định đều nếu tất

cả các nghiệm Y(t) của nó ổn định đều khi t → + ∞ đối với thời điểm ban đầu t 0

∈ (a, ∞).

Định nghĩa 3: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận

nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t → + ∞

1.2.3 Các định lý tổng quát về sự ổn định của các hệ vi phân tuyến tính

Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định với số

hạng tự do bất kỳ F(t) là nghiệm tầm thờng Y~0 ≡ 0 (t0 <t< ∞ ,t0∈ (a, ∞ )) của hệthuần nhất (2.3) tơng ứng ổn định

Định lý 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định đều khi và chỉ khi

nghiệm tầm thờng Y~0 ≡ 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.3)

ổn định đều khi t →∞

Định lý 3: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi

nghiệm tầm thờng Y~0 ≡ 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.3)

ổn định tiệm cận khi t →∞

1.2.4 Hệ quả

Hệ quả 1: Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi ít ra một nghiệm của nó ổn

định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nó không ổn định

Hệ quả 2: Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần

nhất tơng ứng ổn định

Hệ quả 3: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.1) với số

hạng tự do F(t) bất kỳ ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

t-ơng ứng (2.3) ổn định

1.3 tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Y t A dt

dY

) (

Trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, ∞) Định lý sau sẽ cho ta thấyrằng tính ổn định của hệ (3.1) tơng đơng với tính giới nội của tất cả cácnghiệm của nó

Định lý 1: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định theo Liapunop

khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y = Y(t) (t 0 ≤ t < ∞) của hệ đó bị chặn trên nửa

trục t 0≤ t < ∞.

Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả các

nghiệm của nó hoặc giới nội hoặc không giới nội khi t → + ∞.

Định lý 2: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định tiệm cận khi và

chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó dần tới không khi t → + ∞ tức là

1.4 ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng

Xét hệ

AY dt

dY

Trong đó A = [a jk] là ma trận hằng (nxn)

Định lý 1.4.1.: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng

A ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng λj = λj (A) của A đều có

phần thực không dơng Reλj (A) ≤ 0 (j = 1, 2,…n).

Và các nghiệm đặc trng có các phần thực bằng không đều có ớc cơ bản

đơn

Định lý 1.4.2: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng

A ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng λj = λj (A) của A

đều có các phần thực âm, tức là Reλj (A) < 0 (j = 1,…n).

Thí dụ: Xét tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng x = 0; y = 0 đối với

hệ

y x

x = − +

y x

y = − 3

Phơng trình đặc trng

0 3

1

1 1

Có các nghiệm λ1,2 = − 2 ± 2 < 0

1.5 Tiêu chuẩn húc vít

Theo định lý 1.4.2muốn chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ tuyếntính thuần nhất (4.1) ta chỉ cần khẳng định rằng tất cả các nghiệm λ1 , λ2 ,…,

λn của phơng trình đặc trng det(A-λE) = 0 có các phần thực âm sau đây ta sẽ

chỉ ra các điều kiện cần và đủ để cho phơng trình đại số với các hệ số thực cócác nghiệm với các phần thực chỉ mang dấu âm

1.5.1 Một số khái niệm cần thiết

Xét đa thứcf(Z) = a 0+ a 1Z + …+ a nZn (n ≥1) (5.1)

Trong đó Z = x + iy là số phức và a 0 , a 1 ,…, a n có thể là các số thực hoặcphức

Định nghĩa: Đa thức f(Z) bậc n ≥ 1 đợc gọi là đa thức Hucvit nếu tất cảcác nghiệm (không điểm) Z1, Z2,…, Zn của nó đều có các phần thực âm ReZj

< 0 (j = 1,…, n)

Giả thiết các hệ số a 0 , a 1 ,…,a n của đa thức (5.1) f(Z) là thực và a 0 > 0,

Đa thức nh vậy rõ ràng là không có nghiệm không và để ngắn gọn ta gọi

đa thức đó là đa thức chuẩn bậc n (n ≥ 1)

Định lý: Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hucvit thì tất cả các hệ số của nó

đều dơng

Chú ý: Đối với đa thức chuẩn bậc hai

f(Z) = a 0 + a 1Z + a 2Z2 (5.4)

Điều kiện trong định lý cũng là điều kiện đủ, tức là nếu a 0 > 0, a 1 > 0,

a 2 > 0 thì đa thức (5.4) là đa thức Hucvit.

Đối với đa thức chuẩn bậc lớn hơn hai từ tính dơng của các hệ số của nónói chung không thể suy ra đa thức đó là đa thức Hucvit

Ví dụ: Đa thức f(Z) = 30+4Z+Z2+Z3 có các hệ số là dơng nhng khôngphải là đa thức Hucvit vì ∃ nghiệm Z = 1+3i với ReZ = 1 > 0

1.5.2 Tiêu chuẩn Hucvit

Ta xét đa thức chuẩn

f(Z) = a 0 + a 1Z+…+a nZn (5.5)Trong đó a 0 > 0, a n≠ 0 (n ≥ 1)

a

a a

a a

a

.

0

0

0

.

.

0

4 2

0

3 2 2 2 1

2

1 2

0 3

1

Trong đó quy ớc a s = 0 với s < 0 và s > n

Định lý Hucvit: Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn (5.5) là đa thức

Hucvit là: tất cả các định thức chéo chính của ma trận Hucvit của nó đều

0 1 2

0 1 1

n n

n a

a a

a a

a a

(5.7)

Điều kiện (5.7) còn gọi là điều kiện Hucvit

> 0

> 0

Chơng II: phơng pháp thứ hai liapunop

Đây là phơng pháp nghiên cứu tính ổn định đối với các hệ trong khônggian thực, một phơng pháp cũng đợc áp dụng nhiều trong việc nghiên cứu

định tính các hệ vi phân, nhất là các hệ phi tuyến mà ở đó khó có thể áp dụngphơng pháp số mũ đặc trng

2.1 Hệ quy đổi: Giả sử cho một hệ vi phân phi tuyến thực

) ,

( Y t F dt

dt

dy dt

dy dt

dy colon dt

F(t,Y) = colon(f 1 (t,y 1 ,…,y n ), f 2 (t,y 1 ,…,y n ),…f n (t,y 1 ,…y n ))

Thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất Y(t) = (y 1 (t), y 2 (t),…,y n (t)) của (1.1)

với điều kiện ban đầu thuộc Ω = {a < t <∞ , (y 1 ,…,y n ) ∈ K} (a là một số

hoặc - ∞, K là tập mở của không gian Rn) Ta sẽ chỉ giới hạn xét các nghiệmthực của (1.1)

Giả sử Z = Z(t) (t 0 ≤ t < ∞ , t 0 > a) là một nghiệm của hệ (1.1) (chuyển

động không có nhiễu) mà ta phải xét tính ổn định của nó và H là lân cận củanghiệm này sao cho UH (Z(t)) ⊂ K với t ∈ (t 0 , ∞) trong đó

UH(Z(t)) = {t 0≤ t < ∞ , || Y-Z(t) || < H < ∞ }Giả sử ta đặt

Nh vậy hệ (1.3) có nghiệm tầm thờng X ≡ 0 Nghiệm này trong khônggian n

y

R tơng ứng với nghiệm Z = Z(t) đã cho.

Hệ (1.3) đợc gọi là hệ quy đổi (Liapunop gọi hệ đó là hệ phơng trìnhchuyển động có nhiễu)

Nh vậy việc nghiên cứu tính ổn định của một nghiệm Z = Z(t) trong

không gian n

Y

R (không gian n chiều của biến Y) có thể đa về việc nghiên cứu

tính ổn định của nghiệm tầm thờng (vị trí cân bằng) X = 0 trong không gian n

X

R (không gian n chiều của biến X).

2.1.2 Hàm có dấu xác định

Xét hàm số V = V(t, X)

Liên tục theo t và theo x 1 ,…,x n trong miền Z 0, trong đó Z 0 = {a < t < ∞, || X || < h}

Ta sẽ đa ra các định nghĩa cơ bản về các hàm có dấu xác định và có dấukhông đổi

Định nghĩa 1: Hàm thực hiện liên tục V(t, X) đợc gọi là có dấu không

đổi (dấu dơng hoặc dấu âm) trong Z 0 nếu

Đặc biệt V = V(X) là hàm có dấu xác định nếu (-1)αV(X) > 0 với || X || ≠ 0 vàV(0) = 0, trong đó đối với hàm xác định dơng α = 0, còn đối với hàm xác

định âm α = 1

Ví dụ: Trong không gian thực Rn = 0xy hàm số

V = x2 + y2 - 2αxycostVới | α | < 1 là xác định dơng vì

V(t,x,y) ≥ x2 + y2 - 2 |α| |x| |y| ≥ (1- |α|) (x2 + y2)

= w(x,y) > 0 với x2+y2 > 0

V = 0 khi x = y = 0

Với |α| = 1 hàm V chỉ là hàm có dấu dơng.

Định nghĩa 3: Hàm V(t,X) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc

cao Khi X → 0 nếu với t 0 > a nào đó ta có V(t,X) 0 trên [t 0 , ∞) khi X → 0tức là với ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho |V(t,X)| < ε (1.5)

Khi || X || < δ và t ∈ [t 0 , ∞)

Từ (1.5) có thể kết luận rằng hàm V(t,X) có giới hạn vô cùng bé bậc cao

khi X→ 0 sẽ bị chặn trong một bán trụ nào đó

t 0≤ t < ∞ , || X || < h

Cần lu ý rằng nếu hàm V(X) liên tục, không phụ thuộc vào thời gian t và V(0) = 0 thì V(X) sẽ có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X → 0

→

2.2. tính ổn định và ổn định tiệm cận nghiệm

Giả sử G(t, X) liên tục theo t và có các đạo hàm riêng liên tục theo

x 1 , x 2 ,…,x n trong một miền T (T = {a < t < ∞ , || X || < H}) và

) ,

( X t G dt

X t G x

v t

v X t V

1

) , ( )

,

đợc gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V(t,X) trong nghĩa của hệ

(2.1)

Nếu X = X(t) là một nghiệm của hệ (2.1) thì V(t,X) chính là đạo hàm

toàn phần theo t của hàm hợp V(t,X(t)) tức là

)) ( , ( )

,

dt

d X t

V =

2.2.2 Định lý thứ nhất Liapunop: Nếu đối với hệ quy đổi (2.1) tồn tại

một hàm xác định dơng

Tồn tại hàm xác định dơng V(t,X) có đạo hàm trong nghĩa của hệ V(t,X) ≤ 0khi tất cả các nghiệm X(t) của hệ đó xác định và bị chặn trên nửa trục [t 0 , ∞).

2.2.3 Định lý thứ hai Liapunop: Giả sử đối với hệ quy đổi (2.1) tồn tại

một hàm xác định dơng V(t,X) ∈ C tX( 1 1 ) (T0) có giới hạn vô cùng bé bậc caokhi X → 0 và có đạo hàm theo t xác định âm V (t,X) trong nghĩa của hệ đó.

Khi đó nghiệm tầm thờng X≡ 0 của hệ ổn định tiệm cận khi t →∞.

Hệ quả: Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:

X t A dt

dX

) (

=

Tồn tại hàm xác định dơng V(t,X) thoả mãn các điều kiện trong định lý

thứ hai của Liapunop thì mọi nghiệm của hệ đó đều ổn định tiệm cận toàncục

Thí dụ 1: Xét tính ổn định của trạng thái cân bằng đối với hệ:

y x y

x y x

2

y x y

x y x

y x y x y

x

= − ( 6x4 + 16y4 ) < 0 với (x, y) ≠ (0, 0) Vậy (0, 0) ổn định tiệm cận

Chơng III: về tính ổn định các mômen nghiệm

của hệ vi phân ngẫu nhiên

Trớc khi đi vào nghiên cứu tính ổn định của các mômen nghiệm của hệ

vi phân ngẫu nhiên Ito tuyến tính chúng ta cần một số khái niệm của quátrình ngẫu nhiên Wiener

3.1 Quá trình Wiener (hay chuyển động Brown)

Định lý:

Cho X là một quá trình Itô với

dX t = A(t,W)dt + B(t,W)dW t

Và g(t,x) là hàm khả vi liên tục theo t, hai lần khả vi liên tục theo x.

Khi đó qúa trình ngẫu nhiên Y t = g(t,X t ) có vi phân Itô cho bởi:

dt B x

g dX

x

g dt t

∂

∂ +

Gọi φ(t) = φ(t, t 0 ) là nghiệm của phơng trình thuần nhất:

dX t = A(t) X t dt với điều kiện X t0 = x0

(t Y t =a t

) ( ) (

0

0

1 ( ) ( ) φ

) ) ( ) ( )(

Ví dụ: Giả sử A(t) ≡A (ma trận hằng)

) ( 0)

t A

t

t

s t A t

t A

0

0 ) (

dt

s t

dU = φ  φ − = φ φ − =

Nh vậy U(t,s) thoả mãn phơng trình cơ bản

t

t A t X

X = ( ) Với điều kiện U(t 0 ,t 0 ) = I

Các tính chất cơ bản của toán tử U(t,s)

Từ định nghĩa của U(t,s) ta có các tính chất sau:

t

U( , ) exp ( ) (u ≤ t)

( )

) ( ) ( )

( ) ( )

t A t

t A

HÖ qu¶: Khi d = 1, m bÊt kú

A(t) - Hµm sè liªn tôc theo t

0 ) ( exp )

∫

0

0 0

) ( 0

) (

s t

t

du u A ds

s A

X

t t t

t

3.4 Các momen bậc 1 và bậc 2 của nghiệm hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

Ta sẽ chứng minh định lý sau với giả thiết E |X 0|2 < ∞

3.4.1 Định lý: Đối với nghiệm X t của phơng trình vi phân ngẫu nhiên

=

t t

t EX t Ex s a s ds m

0

) ( ) ( )

0 φ φ

Trong đó mt là nghiệm của phơng trình vi phân tất định

) ( )

1 1

1 0

0 0 0

0

) ( ) )) ( )(

( ) ( ) ( )

)(

( )(

(

t s

t

T T

Ex x Ex x E

t m

t t A t a m t A

=

) ( )

s s

X

0 0

1 0

1 1 1

1 0

1 1

1 1

1 1

= ∫ −

0 1

1

1 0

0

1 ) ( ) ( )

=

0

1 0

0

) ( ) ( )

EX X

t

t

s t

0

1 0

x EX

T t

t

s T

T t

(

0 0

1

1 0

0 0 1

1 1

t

s T

s

s

φ φ

) , min(

1 1

0 0 0 0

0

t du u B u B u Ex

x Ex x E

t s

(áp dụng công thức EdW t = 0 , E(dW t)2 = dt)

t t t

x E t t k t

k( ) = ( , ) = ( − ( − )

) ( ))

( )(

( ) ( ) ( )

1 0

0 0

3.5 ổn định của các mômen nghiệm

Xét phơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

t E X

Khi P = 0 ta nói nghiệm không ổn định trung bình Khi p = 2 ta nói