Về tính ổn định bình phương trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên itô có trễ

Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên ITô tuyến tính có trễ Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình của PGS -TS.. Chơng I

Một quá trình bị nhiễu dới tác động của các kích động mà vãn duy trì đợc

sự phát triển bình thờng nh không có nhiễu đợc gọi là quá trình ổn định

Một quá trình bị kích động mà phát triển khác xa bình thờng đợc gọi làquá trình không ổn định

Trong quá trình tồn tại, phát triển và tiến hoá của các hệ thống sinh họchay kinh tế xã hội thì vấn đề ổn định của hệ thống đó luôn luôn có ý nghĩa thựctiễn và lý luận sâu sắc

Khoá luận này nghiên cứu tính ổn định bình thờng trung bình theo nghĩaLiapunov của hệ vi phân ngẫu nhiên ITô tuyến tính có trễ

Khoá luận gồm 2 chơng

Chơng I: Trình bày những khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định của hệ

vi phân tuyến tính theo nghĩa Liapunov

Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình của hệ

vi phân ngẫu nhiên ITô tuyến tính có trễ

Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình của PGS -TS Phan

Đức Thành Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy -Ngời đãdành cho tôi sự hớng dẫn nhiệt tình trong suốt khoá học và nghiên cứu

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu và bổ íchcủa các thầy: PGS -TS Nguyễn Văn Quảng, TS Trần Xuân Sinh, TS NguyễnTrung Hoà cùng các thầy cô ở tổ Điều khiển -khoa Toán-Trờng Đại học Vinh

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đã tạomọi điều kiện thuận lợi cho bản thân trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

để tôi hoàn thành tốt khoá luận này

Ngời thực hiện

Lê Công Phơng

Chơng I

Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính

Đ1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định

Trong quá trình tồn tại, phát triển và tiến hoá của các hệ thống sinh họchay kinh tế xã hội thì vấn đề ổn định của hệ thống đó luôn luôn có ý nghĩa thựctiễn và lý luận sâu sắc Nh chúng ta đã biết hệ phơng trình vi phân là phơng tiệncơ bản để mô tả hệ thống

(1 2)

Định nghĩa1.1.1 Nghiệm z = z(t) (a < t < ) của hệ (1.2) đợc gọi là ổn định

theo Liapunov khi t   , nếu  > 0 và t0  (a, ),  = (, t0) > 0 sao cho :

i) Tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ (1.2) thoả mãn điều kiện:

xác định trong khoảng t0 < t <  tức là Y(t)  DY khi t  [tt0, )

ii) Đối với nghiệm này bất dẳng thức sau đợc thoả mãn:

||Y(t) -z(t)|| <  khi to  t <  (1 4)Trờng hợp đặc biệt, khi F(t, 0)  0 nghiệm tầm thờng z(t)  0 (0 < t < )

ổn định nếu   > 0 và t0  (a, )   = (, t0) sao cho: ||Y(t0)|| <  kéo theo

đẳng thức : ||Y(t)|| <  khi t0 < t < 

Định nghĩa 1.1.2 Nếu số  > 0 có thể chọn không phụ thuộc trờng hợp ban

đầu t0  G, tức là  = () thì ổn định đó gọi là ổn định đều trong miền G

Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) đợc gọi là không ổn định

theo Liapunov, nếu   > 0, t0  (a, ) nào đó và   > 0 tồn tại nghiệm Y (t)vàthời điểm t1 = t1() > t0 sao cho:

ii) t0  (a, ),  = (t0) > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) (t0  t < ) thoảmãn điều kiện || Y(t0) -z(t0) || <  sẽ có tính chất:

0 ) t ( z ) t ( Y lim



Định nghĩa 1.1.5 Giả sử hệ (1.2) xác định trong nửa không gian  = {tt0 < t

< }x{t||Y|| < } nếu nghiệm z = z(t) (a < t < ) ổn định tiệm cận khi t   vàtất cả các nghiệm Y = Y(t) (t0  t < , t0 > a) đều có tính chất (1 5) tức là  =

 thì z(t) đợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cục

Cùng với hệ (1 2) ta xét hệ có nhiễu sau:

 ( , ) ,

Định nghĩa 1.1.6 Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) của hệ (1 2) đợc gọi là ổn

định dới tác động của nhiễu  ( , Y~) nếu  > 0 và t0  (a, ),  = (, t0) > 0sao cho khi  (t,Y~)   tất cả các nghiệm Y~( t ) của hệ (1 6) thoả mãn điềukiện Y~( t0)   sẽ xác định trong khoảng [tt0, ) và Y~( t0)  z ( t )   với t0  t <



) t ( f y ) t ( a dt

dy

(j = 1, 2, …, n), n) (2.1)Dới dạng ma trận véctơ (2 1) có thể viết:

) t ( F Y ) t ( A dt

Y~d

Định nghĩa 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính (2 2) đợc gọi là ổn định (hoặc

không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ tơng ứng ổn định (hoặckhông ổn định) theo Liapunov khi a  

Định nghĩa 1.2.2 Hệ vi phân tuyến tính (2 2) đợc gọi là ổn định đều nếu tất

cả các nghiệm Y(t) của hệ ổn định đềukhi t   đối với thời điểm ban đầu khi t0

 (a, )

Định nghĩa 1.2.3 Hệ vi phân tuyến tính (2 2) đợc gọi là ổn định tiệm cận

nếu tất cả các nghiệm của hệ ổn định tiệm cận khi t  

Định lý 1.2.4 Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2 2) ổn định với

số hạng tự do bất kỳ F(t) là nghiệm tầm thờng: Y~0  0 (t 0 < t < , t 0  (a, ))

của hệ thuần nhất tơng ứng (2 4) ổn định.

Chứng minh 1) Điều kiện cần: Giả sử z = z(t) (t0 < t < ) là một nghiệm ổn

định của hệ (2 2), có nghĩa là  > 0 tồn tại  > 0 sao cho nghiệm bất kỳ Y =Y(t) của hệ (2 2)khi t  (t0, ) ta có:

2) Điều kiện đủ: Giả sử Y~0  0của hệ (2 4) ổn định theo Liapunov Khi

đó, nếu Y~  Y~( t ) (t0  t < ) là một nghiệm bất kỳ của hệ vi phân tuyến tínhthuần nhất sao cho:

) t ( ) t (

Y~ 0    0 thì Y~( t )   khi t0  t < 

Nh vậy, nếu z(t) là một nghiệm không thuần nhất (2 2) và Y(t) là nghiệmbất kỳ của hệ (2 2) thì từ || Y(t0) -z(t0) || <  suy ra:

|| Y(t) -z(t) || <  khi t  [tt0, )

Điều đó có nghĩa là nghiệm z(t) ổn định khi t   (Điều phải chứng minh )

Định lý 1.2.5 Hệ vi phân tuyến tính (2 2) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm

tầm thờng Y~0  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2 4) ồn định

đều khi t  .

Định lý 1.2.6 Hệ vi phân tuyến tính (2 2) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi

nghiệm tầm thờng Y~0 0của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2 4) ổn

định tiệm cận khi t  .

Hệ quả 1 Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi ít ra một nghiệm của nó ổn

định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nó không ổn định

Hệ quả 2 Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần nhất

t-ơng ứng ổn định

Hệ quả 3 Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2 2) với số hạng

tự do F(t) bất kỳ ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng(2 4) ổn định

Đ3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:

Y ) t ( A dt

dY

trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, )

Định lý 1.3.1 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3 1) ổn định theo Liapunov

khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y = Y(t) (t 0  t < ) của hệ đó bị chặn trên nửa trục

Mặt khác mỗi nghiệm Y = Y(t) của hệ (3 1) đều có thể biểu diễn dớidạng: Y(t) = X(t)Y(t0)

Từ đó ta có ||Y(t)||  ||X(t)|| ||Y(t0)||  M||Y(t0)|| <  khi    

M

||

) t ( Y

Nh vậy nghiệm tầm thờng Y0  0 và nghiệm bất kỳ của hệ (3 1) ổn địnhtheo Liapunov khi t  

Nh vậy (3 1) là ổn định

2) Điều kiện cần: Giả sử hệ (3 1) có một nghiệm không giới nội trên

[tt0, ) z(t), dĩ nhiên ở đây z(t0)  0 với  > 0,  > 0 cố định

||

||

) t ( z

||

||

) t ( Y

Hệ quả 1.3.2 Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả

các nghiệm của hệ hoặc giới nội hoặc không giới nội khi t  +

Định lý 1.3.3 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3 1) ổn định tiệm cận khi

và chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ dần tới không khi t  +, tức là:

0 ) t ( Y lim



Chứng minh 1) Điều kiện cần: Giả sử hệ (3 1) ổn định tiệm cận khi t  +.

Suy ra với z(t) là nghiệm bất kỳ của hệ (3 1) ta có:

0 ) t ( Y lim





khi ||z(t0)|| <  trong đó t0  (a, ) tuỳ ý

Xét Y(t) tuỳ ý với Y(t0) = Y0  0 Giả sử





2 1

||

) t ( Y

||

).

t ( z ) t (

||

) t ( Y ) t (

Vì Y(t) bị chẵn trên đoạn [tt0, T) nên suy ra hệ (3 1) ổn định tiệm cận.

Hệ quả 1.3.4 Hệ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận sẽ ổn định toàn cục.

Định lý 1.4.1 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4 1) với [A] n x n ổn định khi

và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j (A) của A đều có phần thực không

d-ơng, tc là Rej (A)  0 (  j 1 , n ) và các nghiệm đặc trng có các phần thực bằng không đều có ớc cơ bản đơn.

Định lý 1.4.2 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4 1) với ma trận hằng ổn

định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j (A) thoả mãn:

Rej (A) < 0 (  j 1 , n )

Chứng minh 1) Điều kiện đủ: Giả sử 1, …, n) , m (m  n) là tất cả các nghiệm

đặc trng của A và Rej(A) < 0 (  j 1 , m ) Khi đó nghiệm của (4 1) có dạng:

t

) t ( p e ) t (

Vậy theo định lý 2 Đ3 ta có điều phải chứng minh

2) Điều kiện cần: Giả sử hệ (4 1) ổn định tiệm cận Khi đó hệ này ổn định

theo Liapunov khi t  +  nên ta có:

Rej  0 (  j 1 , m ) (4 3)Giả sử tồn tại ít nhất một nghiệm đặc trng s = i/us (1  s  m)

Sao cho: Res = 0 Khi đó nghiệm của hệ (4 1) có dạng:

C ) u / iSin t u / Cos ( C e

trong đó C là véctơ cột khác không Vì vậy: ||z|| = ||C||  0

Tức là: z ↛ 0 khi t   điều này mâu thuẫn với tính ổn định tiệm cận của

hệ (4 1) Do đó: Rej < 0 (  j 1 , m )

Định lý hoàn toàn đợc chứng minh

Đ5 Tiêu chuẩn Hurwitz.

5.1 Một số khái niệm.

Xét đa thức: f(z) = a0 + a1z + + anzn (n  1) (5 1)Trong đó z = x + iy là số phức và a0, a1, , an có thể là các hệ số thực hoặc phức

a) Định nghĩa Đa thức f(z) bậc n  1 đợc gọi là đa thức Hurwitz nếu tất

cả các nghiệm z1, z2, …, n), zn của nó đều có phần thực âm:

Rezj < 0 (  j 1 , n ) (5 2)Khi đó (5 1) đợc gọi là đa thức chuẩn bậc n

b) Định lý Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số của nó đều dơng.

5.2 Tiêu chuẩn Hurwitz.

Xét đa thức chuẩn: f(z) = a0 + a1z + …, n) + anzn (5 3)trong đó a0 > 0, an  0

5.3 Định lý Hurwitz Điều kiện cần và đủ để đa thức (5 3) là đa thức

Hurwitz là tất cả các định thức chéo chính của ma trân Hurwitz của nó đều

0 a a a a 0 a

1 n n n

2 3 0 1 2 1 1

Đ6 Phơng pháp thứ 2 Liapunov

Phơng pháp thứ 2 của Liapunov là phơng pháp nghiên cứu tính ổn địnhcủa hệ bằng việc đánh giá gián tiếp thông qua hàm số V(t, x) đợc gọi là hàmLiapunov

Định nghĩa1.6.1.2 Hàm V(t, X) đợc gọi là hàm xác định dơng trong z0

nếu tồn tại hàm W(X)  C(||X|| < h) sao cho:

V(t, X)  W(X) > 0 với ||X||  0 (6 1)Ngợc lại, hàm V(t, X) đợc gọi là xác định âm trong z0, nếu tồn tại hàm W(X)

 C (||X|| < h) sao cho:

V(t, X) = W(X) < 0 với ||X||  0

Và V(t, X) = W(0) = 0.

Hàm xác định dơng hoặc âm đợc gọi là hàm có dấu xác định

Định nghĩa1.6.1.3 Hàm V(t, X) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cùng bébậc cao khi X  0 nếu với t0 > a nào đó ta có V(t,X)   r 0 trên [tt0, ) khi X  0,tức là với mọi  > 0  = () > 0 sao cho: |V(t, X)| <  Khi ||X|| <  và t  [tt0,

j j

X t G x

V t

V X

t V

1

) , ( )

,

đợc gọi là đạo hàm theo t của hàm V(t, X) theo nghĩa của hệ (7 1)

Nếu X = X(t) là một nghiệm của hệ (7 1) thì: V ( t , X ( t ))

dt

d ) X , t (

dX

 (A(t)  C[tt0, ))tồn tại hàm xác định dơng V(t, X) có đạo hàm trong nghĩa của hệ V(t, X)  0 thì tấtcả các nghiệm X(t) của hệ đó đợc xác định và bị chặn trên nửa trục [tt0, )

7.4 Định lý thứ hai Liapunov Giả sử đối với hệ qui đổi (7 1) tồn tại

một hàm xác định dơng V ( t , X )  C1(1X,1)( T0) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X

 0 và có đạo hàm theo t xác định âm V(t, X) trong nghĩa của hệ đó Khi đó

nghiệm tầm thờng X  0 của hệ ổn định tiệm cận khi t  +.

7.5 Hệ quả Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất A ( t ) X

dt

dX

 tồn tạihàm xác định dơng V(t, X) thoả mãn các điều kiện trong định lý 2 thì mọinghiệm của hệ đó đều ổn định toàn cục

Chơng II Tính ổn định bình phơng trung bình của hệ vi phân ngẫu

nhiên Itô có trễ

Chơng này trình bày một số điều kiện đủ để nghiệm tầm thờng x = 0 của

hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính có trễ ổn định bình phơng trungbình theo nghĩa Liapunov

Trớc hết ta cần đến một số kiến thức cơ bản về vi phân Itô đợc xây dựngtheo các qui trình Wiener

Đ1 Vi phân Itô của hàm Liapunov

I Quá trình Wiener (chuyển động Brown).

Định nghĩa 2.1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt, t  0) xác định trênkhông gian xác suất (, ℱ, p) đợc gọi là quá trình Wiener nếu:

i) W0 = 0

ii) (Wt) có gia số độc lập

iii) Wt -Ws  N(0, t - s)

Từ tính chất iii) ta suy ra EdWt = 0, E(dWt)2 = dt

Định lý sau đợc gọi là qui tắc vi phân Itô

Định lý2.1.1.2 Cho X = X(t) là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô:

dx(t) = A(t, x t )dt + B(t, x t )dW t Giả sử y = g(t, x) là hàm một lần khả vi liên tục theo biến t, hai lần khả vi liên tục theo biến x Khi đó quá trình ngẫu nhiên y t = g(t, X t ) có vi phân Itô đợc tính theo công thức:

dt B x

g 2

1 dX x

g dt t

g

2 t

dx

 hay dx = Axdttrong đó A  Rn x n là ma trận hằng, x  Rn

Ta lấy hàm Liapunov là dạng toàn phơng:

dx dt

dx = Axdt + BxdW(t) hay dx = [tAdt + BdW(t)]x (2)trong đó A, B  Rn x n là các ma trận hằng.

Ta lấy hàm Liapunov của hệ (2) là dạng toàn phơng V = xTHx

Theo công thức vi phân Itô ta có:

dV = d(xTHx) = dxTHx + xTHdx + (Bx)THBxdt = xTH(xATdt + xBT dW) + xT(AHxdt + HBxdW) + (Bx)THBxdt = xT(ATH + HA + BTHB)xdt + xT(BTH + HB)xdW

Từ đó suy ra: EdV = xT(ATH + HA + BTHB)xdt

2.1.2.3 Xét hệ sai phân ngẫu nhiên.

) t ( dx

1  



trong đó: 0  t0 < t, x() = x0  0 với  = t0, x() = 0, t0 -    < t0

 = Const  0, t0 -    t0, t0 là thời điểm gốc

Định nghĩa 2.2.1.1 Nghiệm x = 0 của hệ (2 1) ổn định theo Liapunov nếu

 > 0 bé tuỳ ý,  > 0 sao cho từ điều kiện: ||x0|| <  suy ra ||x(t, t0, x0)|| < 

Ngợc lại nếu không tồn tại  thì ta nói x = 0 không ổn định

Định nghĩa 2.2.1.2 Nghiệm x = 0 của hệ (2 1) ổn định tiệm cận theo

Liapunov nếu nó ổn định theo Định nghĩa 1 và thoả mãn:

0

||

) x , t t ( x

Định nghĩa 2.2.1.3 Nghiệm x = 0 của hệ (2 1) ổn định mũ theo Liapunov

với số mũ  > 0 nếu nó ổn định tiệm cận và thoả mãn:

||x(t, t0, x0)|| < k||x0||e   ( t  t0) (2.2)trong đó k > 0,  > 0 là các hằng số không phụ thuộc t0, x0.

Định nghĩa2.2.1.4 Nghiệm x(t, t0, x0) của hệ (2 1) bị chẵn tuyệt đối nếu C

> 0 sao cho ||x0|| <   ||x(t, t0, x0)|| < C

II Một số kết quả đã biết.

Gọi i(A) (  i 1 , n ) là các giá trị riêng của ma trận A, E là ma trận đơn vị,

Số  đợc gọi là chỉ số ổn định mũ của hệ (2 1) hay của ma trận A

Mệnh đề 2.2.2.2 (Liapunov) Nếu ma trận A ổn định thì tồn tại ma trận xác

định dơng đối xứng duy nhất H0 là nghiệm của phơng trình ma trận

ATH0 + H0A = - G (2.3)trong đó G là ma trận xác định dơng đối xứng, chọn tuỳ ý

Mệnh đề 2.2.2.3 (Kalman - Bestram) Ma trận A ổn định mũ khi và chỉ

khi tồn tại nghiệm xác định dơng H đối xứng của phơng trình ma trận:

trong đó G > 0, đối xứng tuỳ ý chọn

Định lý 2.2.2.4 (Liapunov - Krasovski) Muốn nghiệm x = 0 của phơng trình vi phân có trễ (2 1) ổn định tiệm cận điều kiện đủ là tồn tại phiếm hàm toàn phơng xác định dơng Liapunov -Krasovski V(x(t)) sao cho đạo hàm toàn

phần lấy theo nghiệm của hệ 0

Ta có:

dt

)) , t ( x

1 A H H E 2

0 H -

H

H

T

1

1 A

A G

 0 2n x 2n Trong đó: H 0 là nghiệm xác định dơng của phơng trình (2 9).

G ma trận xác định dơng đối xứng tuỳ ý chọn.

G = G T > 0,  > 0, 0 <  < 2,   2.

trong đó x, x là các véctơ n -chiều của các biến pha của các hệ không nhiễu vàcác hệ có nhiễu tơng ứng với các giá trị ban đầu của chúng trùng nhau x(t0)

||

x

||

|, x

| Sup

Trong đó H là ma trận toàn phơng xác định dơng đợc gọi là ma trận trọng lợng

Định nghĩa2.3.1.1 Nghiệm tầm thờng (x = 0) của hệ (1) đợc gọi là ổn địnhbình phơng trung bình tuyệt đối nếu  > 0 tuỳ ý bé  > 0 sao cho từ ||x0|| < .Suy ra: E{t||x (t, t0, x0)||2/ ||x0|| < } <    0

Định nghĩa 2.3.1.2 Nghiệm tầm thờng (x = 0) của hệ (3 1) đợc gọi là ổn

định bình phơng trung bình tuyệt đối nếu nó ổn định theo Định nghĩa 1 và:

0 }

E  0 0 2 0   t 

Định nghĩa 2.3.1.3 Nghiệm x (t, t0, x0) của hệ (3 1) bị chẵn bình phơngtrung bình tuyệt đối nếu C > 0 sao cho từ ||x0|| <  suy ra: