Về vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ luận văn thạc sỹ toán học

Chúng ta biết rằng đối với một vành R bất kỳ, theo định lý về đồng cấu vành chúng ta có Rla @ Ra,∀a ∈ R trong đó la là linh hóa tử trái của phần tử a.. Mục đích của luận văn này là dựa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Lª §¨ng B¶n

VÒ vµnh cÊu x¹ vµ vµnh tùa cÊu x¹

Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1 Danh mục các ký hiệu 2

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết vành là một trong những lý thuyết phát triển mạnh mẽ trong giai đoạn hiện nay Trong lý thuyết vành, vấn đề đặc trưng các lớp vành được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả sâu sắc

Chúng ta biết rằng đối với một vành R bất kỳ, theo định lý về đồng cấu vành chúng ta có Rl(a) @ Ra,∀a ∈ R (trong đó l(a) là linh hóa tử trái của phần tử

a) Tuy nhiên tính đối ngẫu RRa @ l(a) không phải bao giờ cũng đúng Năm

1976, G.Erlich đã đưa ra một số lớp vành thỏa mãn điều kiện RRa @ l(a),

lớp vành đó được gọi là vành cấu xạ Năm 2004, Nicholson và Campos đã đưa ra các điều kiện tương đương của vành cấu xạ với tính chất về linh hóa tử của các phần tử [8] Nhờ sử dụng điều kiện mới này việc nghiên cứu vành tựa cấu xạ tỏ ra hiệu quả và đạt được nhiều kết quả Vào năm 2007, V.Camillo và Nicholson đã mở rộng điều kiện trên và đưa ra lớp vành tựa cấu xạ [3]

Mục đích của luận văn này là dựa trên hai bài báo [3], [8] hệ thống lại một số tính chất của vành cấu xạ và tựa cấu xạ và tính chất về các phần tử của hai lớp vành này

Luận văn được chia thành 2 chương:

Chương I: Trình bày một số khái niệm cơ sở

Chương II: Trình bày về phần tử cấu xạ, vành cấu xạ; phần tử tựa cấu

xạ, vành tựa cấu xạ; một số đặc trưng QF – vành bởi các lớp vành cấu xạ và

tựa cấu xạ

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, tác giả đã nhận được sự động viên, khuyến khích và tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình của các cấp lãnh đạo, của các thầy giáo, cô giáo, anh chị em, bạn bè đồng nghiệp

và gia đình

Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới:

- Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Thường Xuân 2

- Các thầy, cô giáo Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh

Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Ngô Sỹ Tùng và nhiều thầy cô, giáo đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ, góp ý để Luận văn này được hoàn thành

Mặc dù đã cố gắng trong quá trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu cũng như tiếp thu các ý kiến đóng góp nhưng luận văn khó tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong được sự góp ý của thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 10 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày các định nghĩa, các tính chất liên quan đến luận văn

Các vành được giả thiết là vành có đơn vị và các môđun trên một vành được hiểu là môđun trái unita

Cho vành R, phần tử a trong vành R được gọi là phần tử chính quy khả

nghịch nếu tồn tại phần tử khả nghịch b trong R sao cho aba = a

1.1.4 Nhận xét: Phần tử chính quy khả nghịch là phần tử chính quy

nhưng điều ngược lại không đúng (đã có ví dụ trong [4])

1.2 Định lý cơ bản về sự phân tích vành Giả sử R là một vành có đơn vị 1

(i) Nếu R có sự phân tích trái R R= ⊕I A i ( A i <R R thì:)

+ Tập I hữu hạn (tức là I = =I0 {1, ,n )}

+ Tồn tại e ,e , ,e1 2 k ∈R là các luỹ đẳng mà: 1 2

i

11

n j

1.3.2 Vành chính quy Vành R được gọi là vành chính quy (regular

ring) quy nếu mọi phần tử của R đều là phần tử chính quy.

1.3.3 Định lý (Đặc trưng của vành chính quy) Cho vành R, các khẳng

định sau đây là tương đương:

(i) R là vành chính quy

(ii) Mọi iđêan chính trái sinh bởi phần tử lũy đẳng.

(iii) Mọi iđêan chính trái là hạng tử trực tiếp trong R.

(iv) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp trong R

1.3.4 Vành chính quy khả nghịch Vành R được gọi là vành chính quy

khả nghịch (unit regular ring) nếu mọi phần tử của R đều là phần tử chính

quy khả nghịch

Nhận xét: Vành chính quy khả nghịch là vành chính quy nhưng điều

ngược lại không đúng

1.3.5 Vành nửa đơn Vành R được gọi là vành nửa đơn (semisimple

ring) nếu = ⊕∈ i

i I

R R với R i là iđêan trái tối tiểu của R.

1.3.6 Định lý (Đặc trưng của vành nửa đơn) Cho vành R, các khẳng

định sau đây là tương đương:

(i) R là vành nửa đơn.

(ii) R là tổng hữu hạn các iđêan trái tối tiểu.

(iii) Mọi iđêan trái là hạng tử trực tiếp của R.

(iv) Mọi iđêan trái của R sinh bởi phần tử lũy đẳng.

1.4 Linh hóa tử

a) l A( ) = ∈{r R ra= ∀ ∈0, a A} được gọi là linh hóa tử trái (left

annihilator) của A trong vành R.

b) r A( ) = ∈{r R ar = ∀ ∈0, a A} được gọi là linh hóa tử phải (right

annihilator) của A trong vành R.

c) Nếu A={ }a thì chúng ta viết l(a) hoặc r(a) tương ứng.

Dẫn đến: Ra ≅ R/l(a) Tuy nhiên R/Ra ≅ l(a) không phải bao giờ cũng

đúng Chẳng hạn: Xét vành số nguyên Z và iđêan chính Z.2 của nó Ta có:

Trong chương sau chúng ta sẽ xét đến lớp vành có tính chất R/Ra ≅ l(a)

và lớp vành mở rộng lớp vành này Các lớp vành đó được gọi là vành cấu xạ

(morphic ring) và tựa cấu xạ (quasi – morphic ring).

1.5 Vành P – nội xạ

1.5.1 Môđun nội xạ Cho vành R và A, M là các R – môđun phải

Môđun M được gọi là A - nội xạ (A-injective) nếu với mọi môđun X của A,

mỗi đồng cấu ϕ: X →M đều có thể mở rộng tới đồng cấu ψ : A→M

Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu M là A – nội xạ với mọi môđun A.

1.5.2 Định lý (Tiêu chuẩn Baer) Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi M là

R – nội xạ.

1.5.3 Môđun P – nội xạ Cho vành R và M là một R – môđun phải

Môđun M được gọi là nội xạ chính phải (viết tắt P-nội xạ phải) nếu mọi R-

đồng cấu ϕ : Ra→M với bất kỳ a ∈ R đều có thể mở rộng tới đồng cấu

→

ψ : R M

1.5.4 Nhận xét: Từ định nghĩa của môđun P – nội xạ và tiêu chuẩn

Baer chúng ta thấy mọi môđun nội xạ là môđun P – nội xạ Trong đề tài này

chúng tôi còn sử dụng định nghĩa tương đương định nghĩa trên như sau:

Cho vành R và M là một R- môđun phải Môđun M được gọi là nội xạ

chính phải (viết tắt P – nội xạ phải) nếu mọi R – đồng cấu ϕ: aR→M là phép

nhân với một phần tử m ∈ M (kí hiệu ϕ = m).

1.5.5 Vành P – nội xạ Vành R được gọi là nội xạ chính phải (P – nội

xạ phải) nếu R R là môđun P – nội xạ, nghĩa là mọi iđêan chính phải aR đều mở

rộng được

1.5.6 Định lý (đặc trưng vành P – nội xạ) Cho vành R Các điều kiện

sau là tương đương:

(i) R là vành P – nội xạ phải.

(ii) l(r(a)) = Ra, ∀a ∈ R.

(iii) Nếu r(a) ⊆ r(b) với a, b ∈ R thì Rb ⊆ Ra.

(iv) l(bR ∩ r(a)) = l(b) + Ra, ∀a, b ∈ R.

(v) Nếu ϕ : aR→R trong đó a ∈ R là R – tuyến tính thì ϕ(a) ∈ Ra.

1.6 Điều kiện chuỗi trên vành

* Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng nếu với mọi xích (chuỗi)

x ≤ ≤ ≤ ≤x x đều tồn tại *

n∈ ¥ sao cho x n =x n+1=

Ta kí hiệu chuỗi tăng là ACC.

* Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm nếu với mọi xích (chuỗi)

1.6.2 Mệnh đề: Nếu vành R có điều kiện ACC đối với các linh hóa tử

trái thì có điều kiện đối với các linh tử hóa phải và ngược lại.

1.7 Vành tựa Frobenius (QF – vành)

1.7.1 Định nghĩa: Vành R được gọi là QF vành nếu R là vành Artin

phải và trái, tựa nội xạ phải và trái

ứng R R) được phân tích thành tổng trực tiếp các iđêan phải (trái) đều.

CHƯƠNG 2 VÀNH CẤU XẠ VÀ TỰA CẤU XẠ

2.1 VÀNH CẤU XẠ

Chúng ta biết rằng đối với một vành R nào đó và a là một phần tử của

nó thì R/l(a) ≅ Ra, nhưng tính đối ngẫu R/Ra ≅ l(a) không phải bao giờ cũng đúng Trong phần này chúng tôi xét lớp vành thỏa mãn tính chất R/Ra ≅ l(a), lớp vành như vậy được gọi là vành cấu xạ (morphic ring) Chúng tôi trình bày

một số tính chất và điều kiện tương đương của vành cấu xạ; một số kết quả khẳng định các lớp vành cổ điển như vành chính quy khả nghịch, vành nửa

đơn, vành Bun, thể,…là vành cấu xạ; trình bày đặc trưng QF – vành bởi các

lớp vành cấu xạ

a) Phần tử a được gọi là phần tử cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic

element) trong R nếu R/Ra ≅ l(a) (tương ứng R/Ra ≅ r(a)).

b) Vành R được gọi là vành cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic ring)

nếu mọi phần tử của nó đều là phần tử cấu xạ trái (tương ứng phải)

c) Vành R được gọi là vành cấu xạ (morphic ring) nếu nó là vành cấu xạ

trái và phải

Sau đây là một số tính chất của phần tử cấu xạ và vành cấu xạ

2.1.2 Bổ đề Cho vành R Với mỗi phần tử a trong vành R, các khẳng định sau

đây là tương đương:

a) a là phần tử cấu xạ trái.

b) Tồn tại phần tử b ∈ R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rb.

c) Tồn tại phần tử b ∈ R sao cho Ra = l(b) và l(a) ≅ Rb.

Thật vậy với x ∈ Rb thì x = x 1 b = x 1σ(1 + Ra)= σ(x 1 + Ra) ∈ Imσ,

ngược lại, nếu x ∈ Imσ thì tồn tại x 1 ∈ R sao cho x =σ(x 1 + Ra) = x 1σ(1 +

Ra)= x 1 b ∈ Rb Do đó Rb = l(a)

Với x ∈ Ra thì xb = xσ(1 + Ra)= σ(x + Ra)= 0 nên x ∈ l(b), ngược lại

nếu x ∈ l(b) thì 0 = xb = xσ(1 + Ra)= σ(x + Ra) suy ra x ∈ Ra Do đó Ra = l(b) Vậy chúng ta có (b).

(b) ⇒ (c): Hiển nhiên.

(c) ⇒ (a): Ta xét đồng cấu f : R→Rb xác định bởi f(x) = xb Chúng ta có f

là toàn cấu và Kerf = {x ∈ R | xb = 0} = l(b) = Ra Theo định lý đồng cấu

( )

R / Kerf ≅Rb l a≅ Do đó R / Ra l a≅ ( ) Vậy ta có (a)

Trong luận văn này điều kiện b) thường xuyên được sử dụng

i I

R R là tích trực tiếp các vành R i (a i ∈ I) Khi đó:

(a) Phần tử a=( )a i i I∈∈R (với a i ∈ R i ) là phần tử cấu xạ trái trong vành R khi và chỉ khi a i là phần tử cấu xạ trái trong R i với mọi i ∈ I.

(b) R là vành cấu xạ trái khi và chỉ khi R i là vành cấu xạ trái với mọi i∈I Chứng minh.

a) (⇒): Giả sử a=( )a i i I∈ ∈R là phần tử cấu xạ trái trong R, khi đó tồn tại

( )∈

= i i I

b b sao cho Ra l b và = ( ) Rb l a Ta sẽ chứng minh a= ( ) i là phần tử cấu

xạ trái trong R i với mọi i∈I, tức là chứng minh: R a i i =l b và ( )i R b i i =l a ( )i

với mọi i ∈ I.

Với x i∈Ra ( i I ) chúng ta có i ∈ x=( )x i i I∈ ∈Ra l b Vì vậy = ( ) ( ) ∈ ( )0

Từ đó ta có a là phần tử cấu xạ trái trong R i i với mọi i ∈ I.

(⇒): Giả sử a i là phần tử cấu xạ trái trong R i với mọi i ∈ I Khi đó tồn tại phần

tử b i∈R i I i( ∈ ) sao cho R a i i =l b( )i và R b i i =l a( )i với mọi i ∈ I Chúng ta sẽ

chứng minh a=( )a i i I∈ ∈R là phần tử cấu xạ trái trong R Đặt b=( )b i i I∈ ,

l(b) Ngược lại, nếu x =( )x i i I∈ ∈l b( ) thì xb=( ) ( )x i i I∈ b i i I∈ =( )x b i i i I∈ =( )0

Do đó x i b i = 0, tức là x i ∈ l(b i ) = R i a i , ∀i ∈ I Suy ra x ∈ Ra, hay l(b) ⊆ Ra

(a) Phần tử a khả nghịch trong R là phần tử cấu xạ trái và phải.

(b) Phần tử lũy đẳng e của R là phần tử cấu xạ trái và phải.

Chứng minh.

a) Chúng ta chứng minh tồn tại phần tử b và c của R sao cho Ra = l(b),

Rb = l(a) và aR = r(c), cR = r(a) Thật vậy, vì a khả nghịch nên Ra = R = l(0)

và l(a) = {x ∈ R: xa = 0} = {x ∈ R: xaa -1 = 0} = 0 = R0 Đặt b = 0, chúng ta có

Ra = l(b), Rb = l(a) Tương tự ta đặt c = 0, chúng ta có aR = r(c), Rc = r(a)

Vậy a là phần tử cấu xạ trái và phải.

b) Chúng ta chứng minh rằng Re = l(1 – e), l(e) = R(1 – e) và eR = r(1 – e),

r(e) = (1 – e)R.

Thật vậy, nếu x ∈ Re thì x = xe Vì thế x(1 – e) = xe (1 – e) = x(e – e 2) =

0 cho nên x ∈ l( 1– e) Ngược lại, nếu x ∈ l( 1– e) thì x(1 – e) = x – xe = 0 Do

đó x = xe ∈ Re Từ đó Re = l( 1– e).

Nếu x ∈ l(e) thì xe = 0 Vì thế x = x – xe = x(1 – e) ∈ R(1 – e) Ngược lại, nếu x ∈ R(1 – e) thì x = x(1 – e) Bởi vì xe = x(1 – e)e = x(e – e 2 ) = 0 nên x

∈ l(e) Do đó l(e) = R(1 – e)

Tương tự chúng ta có eR = r(1 – e), (1 – e)R = r(e) Vậy e là phần tử cấu xạ

trái và phải

Từ mệnh đề 2.1.4 ta có hệ quả sau:

2.1.5 Hệ quả: Cho vành R.

a) Nếu R là một thể thì R là vành cấu xạ.

b) Nếu R là vành Bun thì R là vành cấu xạ.

2.1.6 Mệnh đề Cho R là một vành và a là phần tử cấu xạ trong vành R, khi

đó các mệnh đề sau đây là tương đương:

a) l(a) = 0;

b) Ra = R;

c) a là phần tử khả nghịch trong R.

Chứng minh.

(a) ⇒ (b): Vì a là phần tử cấu xạ trái trong vành R nên tồn tại phần tử b∈R

sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rb.

Nếu l(a) = 0 thì Rb = 0 Từ đó b = 0 và suy ra Ra = l(0) = R.

Nếu Ra = R = l(b) thì b = 0 Do đó l(a) = Rb = 0.

(b) ⇒ (c): Vì Ra = R nên tồn tại phần tử x ∈ R sao cho xa = 1 Khi đó axa = a suy ra (ax – 1)a = 0 Vì thế ax – 1 ∈ l(a) = 0 cho nên ax = xa = 1 Vậy a khả nghịch trong R.

(c) ⇒ (a): Giả sử a khả nghịch trong R, ta chứng minh l(a) = 0

Xét y ∈ l(a) = 0, ta có ya = 0 Do đó y = yaa-1 = 0 Vậy ta có l(a) = 0

2.1.7 Bổ đề Cho R là vành, nếu a là phần tử cấu xạ trái (hoặc phải) trong

vành R và u là phần tử khả nghịch trong R thì au và ua cũng là phần tử cấu xạ trái (tương ứng cấu xạ phải).

Chứng minh.

Giả sử a ∈ R là phần tử cấu xạ trái Khi đó tồn tại b ∈ R sao cho Ra =

l(b) và Rb = l(a) Do đó ab = ba = 0 Chúng ta sẽ chứng minh: R(au) = l(u-1b); l(au) = R(u-1b) và R(ua) = l(bu-1); l(ua) = R(bu-1)

Thật vậy, nếu x∈ R(au) thì x = x1au Vì thế x(u-1b) = (x1au)(u-1b) = x1ab

= 0, cho nên x ∈ l(u-1b) Do đó R(au) ⊆ l(u-1b) Ngược lại, nếu x ∈ l(u-1b) thì x(u-1b) = 0 Từ đó suy ra xu-1 ∈ l(b) = Ra Vì xu-1 = x1a, suy ra x = x1au ∈

R(au) Vì vậy, l(u-1b) ⊆ R(au) Ta được R(au) = l(u-1b).

Ta lại xét x ∈ R (u-1b), ta có x = x1(u-1b) Vì thế x(au) = x1(u-1b)(au) = 0

cho nên x ∈ l(au), tức là R(u-1b) ⊆ l(au) Ngược lại, nếu x ∈ l(au) thì xau = 0

Từ xa = (xau)u-1 = 0, chúng ta có x ∈ l(a) = Rb Do đó x = x1b = (x1u)( u-1b) ∈

R(u-1b) Vì vậy, l(au) ⊆ R(u-1b) Ta được l(au) = R(u-1b) Từ đó suy ra au là

Xét a ∈ R, ta sẽ chứng minh R là phần tử cấu xạ trái Thật vậy, vì R là

vành chính quy khả nghịch nên tồn tại phần tử khả nghịch b sao cho aba = a

Ta có (ba)2 = baba = ba Do đó ba là phần tử lũy đẳng của vành R Theo Mệnh đề 2.1.4 thì ba là phần tử cấu xạ trái trong vành R Theo Bổ đề 2.1.7 thì

a = b-1ba là phần tử cấu xạ trái trong vành R Vậy R là vành cấu xạ trái.

Chứng minh tương tự chúng ta có R cũng là vành cấu xạ phải

Từ đó suy ra R là vành cấu xạ

Nhận xét: Chiều ngược lại của định lý trên là sai Chẳng hạn ta xét

vành ¢ là vành cấu xạ (có thể kiểm tra trực tiếp) nhưng 4 ¢ không phải là 4

vành chính quy khả nghịch vì phần tử 2∈¢ 4 không phải là phần tử chính quy khả nghịch (ta có 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 0 = = = = ) Điều kiện để phần tử cấu xạ trái là phần tử chính quy khả nghịch được nêu trong định lý sau

a là phần tử chính quy khả nghịch.

Chứng minh

Vì a là phần tử cấu xạ trái nên tồn tại b ∈ R sao cho Ra = l(b) và l(a) =

Rb Nhận xét rằng ab = ba = 0 Vì a là phần tử chính quy nên tồn tại x ∈ R sao cho a = axa Đặt u = xax + b, chúng ta có aua = a(xax + b)a = axaxa + aba =

a Mặt khác, (1 – ax)a = 0 nên 1 – ax ∈ l(a) = Rb Do đó 1 – ax = yb với y ∈

R.

Đặt v = a + y(1 – xa), ta sẽ chứng minh uv = vu = 1 Thật vậy, vu = (a +

y(1 – ax))u = au + yu – yxau = a(xax + b) + y(xax + b) – yxa(xax + b) = axax +

ab + yxax + yb – yxaxax – yxab = ax + yxax + 1 – ax – yxax = 1 Vì vu = 1 nên uvu = u, tức là (1 – uv)u = 0 Do đó 1 – uv ∈ l(u) Chúng ta sẽ chỉ ra rằng l(u)

= 0 Nếu r ∈ l(u) thì ru = r(xax + b)r = rxax + rb = 0 Khi đó rua = (rxax +

rb)a = rxaxa + rba = rxa = 0, suy ra rb = 0 Từ đó ta có r ∈ l(b) = Ra, tức r =

ta Chúng ta có rxa = taxa = ta = r = 0 Vậy l(u) = 0 Vì 1 – uv ∈ l(u) nên uv =

1 Vậy uv = vu = 1, tức v là phần tử nghịch đảo của u Do đó a = aua và u khả nghịch Chúng ta có a là phần tử chính quy khả nghịch

2.1.10 Hệ quả Cho R là vành chính quy Các khẳng định sau đây là tương

đương: