Về thuật toán tìm miềm ổn định tiệm cận với xác suất một của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên

Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên --- 28 1.. Các điều kiện đủ để nghiệm của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ổn định tiệm cận v

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

====    ====

Bùi đình thắng

Về Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận

với xác suất một của nghiệm

Mục lục

Danh mục các ký hiệu - 3

Mở đầu - 4

Chơng 1 một số kiến thức cơ bản về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân - 7

1 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân với hệ số là ma trận hằng 7

2 Tiêu chuẩn Hurwitz - 10

2.1 Tiêu chuẩn Hurwitz - 10

2.2 ứng dụng của định lý Hurwitz đối với hệ phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số là hằng số - 12

3 Tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất - 14

4 Tính ổn định theo phơng pháp hàm Liapunov - 17

4.1 Hàm có dấu xác định - 17

4.2 Vi phân Itô của hàm Liapunov - 18

4.3 Phơng pháp hàm Liapunov - 20

5 Hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên - 25

Chơng 2. Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên - 28

1 Các điều kiện đủ để nghiệm của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ổn định tiệm cận với xác suất một - 28

2 Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận với xác suất một - 32

2.1 Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận trong trờng hợp ma trận nhiễu không suy biến - 32

2.2 Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận trong trờng hợp ma trận nhiễu bất kỳ - 34

3 Ví dụ và kết quả số - 36

Kết luận - 42

Tài liệu tham khảo - 43

DANH MôC C¸c kÝ hiÖu

Trong b¶n luËn v¨n nµy chóng t«i sö dông c¸c ký hiÖu

Rn lµ kh«ng gian Euclidean cã chiÒu h÷u h¹n n víi chuÈn .

E lµ kú väng trong kh«ng gian x¸c suÊt (, (Ft)t  0, P)

D1 là miền tham số tìm đợc của Thuật toán 1.

D2 là miền tham số tìm đợc của Thuật toán 2.

Mở đầu

Trong lý thuyết phơng trình vi phân nói chung và hệ phơng trình vi phânngẫu nhiên nói riêng thì bài toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm là một bàitoán lớn Vấn đề này đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm, trong đó có R Z.Has’minskij ([9]), H Kushner ([13]) và D G Korenevskij ([11]) Bản luậnvăn trình bày một số vấn đề về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân ngẫunhiên

Ddx ε(t) Ax ε(t)dtB(ε)x ε(t)dω(t), (t  0 ;x ε(0) x0ε) (*)

trong đó x(t)  Rn , D, A, B() là các ma trận vuông cấp n, B() phụ thuộc vào

, ma trận D không suy biến, ω (t) là quá trình Wiener chuẩn một chiều

trong không gian xác suất (, (Ft)t  0, P),  là tham số và B(0) = 0 (xem [9],[11] và [12])

Với giả thiết hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng

Ddx(t) = Ax(t)dt

ổn định tiệm cận theo Liapunov

Trong [11], D G Korenevskij đã đa ra điều kiện của các ma trận A, D và

B() để nghiệm không của hệ phơng trình (*) ổn định tiệm cận với xác suất

một, bằng phơng pháp hàm Liapunov nhờ vào việc xét phơng trình đại sốSylvester

ATHD + DTHA + BTHB =  G

Trong [12], D G Korenevskij và Yu A Mitropolskij đã đa ra các điều kiện đủ đại số để nghiệm không của hệ (*) ổn định tiện cận với xác suất một Trong [11], với các điều kiện đại số đã thỏa mãn D G Korenevskij cũng đãtìm đợc miền  để nghiệm không của hệ (*) ổn định tiệm cận với xác suấtmột, tuy nhiên các tính toán của D G Korenevskij chỉ mới dừng lại ở trờng

hợp D là ma trận đơn vị I và miền  tìm đợc chỉ là khoảng đơn Trong [2], Ngô

Quốc Chung đã viết thuật toán tìm miền ổn định của hệ (*) trong trờng hợp

B() không suy biến, D không suy biến và khác ma trận đơn vị, kết quả miền

2 Tiêu chuẩn Hurwitz

3 Tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất

4 Tính ổn định theo phơng pháp hàm Liapunov

5 Hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên

Chơng 2 trình bày các kết quả chính của luận văn, gồm các nội dung:

1 Các điều kiện đủ để nghiệm của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ổn

định tiệm cận với xác suất một

2 Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận với xác suất một (trờng hợp B()

có thể suy biến)

3 Ví dụ và kết quả số

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn trực tiếp tận tình của TS.Phan Lê Na Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giáo viên hớng dẫn đãdành cho tác giả những giúp đỡ tận tình và tâm huyết trong suốt quá trình họctập cũng nh trong thời kỳ hình thành và hoàn thành luận văn Tác giả đặc biệtcảm ơn TS Phan Thành An ngời đã hớng dẫn tác giả viết chơng trình bằngngôn ngữ lập trình Fortran và những ý kiến quý báu trong thời gian thực hiện

đề tài Tác giả cũng chân thành cảm ơn anh Ngô Quốc Chung đã giúp đỡ tậntình trong quá trình thực hiện đề tài

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và khoa

Đào tạo Sau Đại học, đặc biệt là PGS.TS Đinh Huy Hoàng, PGS TS TạQuang Hải, PGS TS Trần Văn Ân, PGS TS Nguyễn Nhụy, TS Tạ Khắc C,

TS Phạm Ngọc Bội và các thầy cô giáo trong tổ Giải Tích, các anh chị họcviên Cao học 11Toán, những ngời đã giúp đỡ, động viên chỉ bảo trong suốtthời gian học Cao học

Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy cô giáo,các bạn đồng nghiệp trờng Cao Đẳng Kinh Tế – Kỹ Thuật Nghệ An đã dànhcho tác giả sự giúp đỡ vô cùng quý báu trong thời gian qua

Vinh, tháng 12 năm 2005

Bùi Đình Thắng

Chơng 1 một số kiến thức cơ bản

về tính ổn định của hệ phơng trình

vi phân

Trong chơng này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tính ổn

định của hệ phơng trình tuyến tính với ma trận hằng, ổn định của hệ xấp xỉ thứnhất, phơng pháp hàm Liapunov Các khái niệm của chơng này đợc trình bàytheo tài liệu [5], [6], [7], [2], [3] và [17] Ngoài ra chúng tôi còn đ a ra một số

ví dụ để minh họa

1 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân với hệ số là ma trận hằng

trong đó A là ma trận hằng cấp n ìn, Y(t) = (y 1 (t), y 2 (t), ,y n (t)).

Định nghĩa 1.1 ([3], [17]) Ma trận vuông A đợc gọi là ma trận ổn định (hay

ma trận Hurwitz) nếu tất cả các giá trị riêng j =  j (A) của nó đều có phần thực

0

0 3 1

1 0

1

i

Khi đó ma trận A có các giá trị riêng là 1 = 1, 2 = i – 3, 3 =  2i  1.

Vì Re(1) =  1 < 0, Re(2) = – 3 < 0, Re(3) = – 1 < 0 nên ma trận A là ma

i

2 3 6 2

2 4

2 1

1 3 1

Khi đó ma trận A có các giá trị riêng 1 =  1  2i , 2 = 1, vì Re(2) = 1 > 0

nên A không phải là ma trận Hurwitz.

Định lý 1.1 ([3], [17]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1) (với ma trận

hằng A) ổn định Liapunov khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng  j =  j (A) của

A đều có phần thực không dơng, tức là

Rej (A)  0, (j = 1 ,n)

và các giá trị riêng có các phần thực bằng không đều có ớc cơ bản đơn.

Chứng minh Chứng minh điều kiện cần phải sử dụng một số kiến thức phụ về

lý thuyết ma trận Sau đây chúng tôi chỉ trình bày chứng minh điều kiện đủcủa định lý

Giả sử j =  j  i j (j = 1, 2, , p; p  n) là tất cả các giá trị riêng của ma trận

A với các phần thực âm Re j (A) =  j < 0, j = 1, p và k = i k (k =1,2, , q; q

 n) là tất cả các nghiệm đặc trng của A với phần thực Re k (A) = 0 Khi đó mỗi nghiệm Y(t) bất kỳ của hệ phơng trình (1.1) đều có thể viết đợc dới dạng

Y(t) = 



p j

Định lý 1.2 ([2], [17]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1) (với ma trận

hằng A) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng  j = j (A)

của A đều có phần thực âm, tức là

Rej (A) < 0, (j = 1 ,n)

Chứng minh Điều kiện đủ Giả sử 1, 2, , m (m  n) là tất cả các nghiệm

đặc trng của ma trận A và Re j (A) < 0, j = 1, 2, , m

Giả sử Y(t) là nghiệm bất kỳ của hệ (1.1), khi đó Y(t) có dạng

lý 2 (Xem [2], Tr.297) ta suy ra hệ (1.1) ổn định tiệm cận.

Điều kiện cần Giả sử hệ (1.1) ổn định tiệm cận Khi đó hệ sẽ ổn định theo

Liapunov khi t  + và do đó theo Định lý 1.1 ta có

Rej (A)  0, (j = 1 ,n).(1.3) Giả sử tồn tại ít nhất một nghiệm đặc trng s = i s (1  s  n) sao cho

2 Tiêu chuẩn Hurwitz

Sau đây chúng tôi sẽ trình bày các điều kiện cần và đủ để cho phơng

trình đại số với các hệ số thực có nghiệm với các phần thực chỉ mang dấu âm

2.1 Tiêu chuẩn Hurwitz

Xét đa thức

f n (z) = a0 + a1z + a2z2 + .+ a n z n (n  1)

(2.1)

trong đó z = x + iy là số phức; a0, a1, a2, , a n có thể là các số thực hoặc phức

Định nghĩa 2.1 ([3]) Đa thức f n (z) có bậc n  1 đợc gọi là đa thức Hurwitz nếu tất cả các nghiệm (không điểm) z1, z2, , z n của nó đều có phần thực âm,tức là

Rez j < 0 (j = 1,n)

Định nghĩa 2.2 ([3]) Đa thức f n (z) có bậc n  1 đợc gọi là đa thức chuẩn bậc

n nếu tất cả các nghiệm của phơng trình f n (z) = 0 đều khác không.

a a

a a

a a

a a

2 3

4 5

0 1

2 3

0 1

00

00

0

đợc gọi là ma trận Hurwitz , ở đây ta quy ớc a k = 0 với k < 0 và k > n.

Định lý 2.3 ([3]) (Tiêu chuẩn Hurwitz) Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn

f n (z) là đa thức Hurwitz là tất cả các định thức chéo chính của ma trận

Hurwitz H của nó đều dơng, tức là

1 = a1 > 0

2 =

2 3

0 1

a a

a a

> 0

n = a n n-1 > 0.

Ví dụ 2.1 Cho đa thức f5(z) = 1  z  7z2  4z3  10z4  3z5

Khi đó ta có ma trận Hurwitz tơng ứng của nó là

4 10 3 0 0

1 7 4 10 3

0 1 1 7 4

0 0 0 1 1

Các định thức chéo chính của ma trận Hurwitz là

1 = 1 > 0

2 =

7 4

1 1

= 3 > 0

3 =

4 10 3

1 7 4

0 1 1

1 4 10 3

0 1 7 4

0 0 1 1

= 8 > 0

5 = H = 24 > 0

Vậy f5(z) là đa thức Hurwitz.

2.2 ứng dụng của định lý Hurwitz đối với hệ vi phân tuyến tính

có hệ số là ma trận hằng

Theo Định lý 1.2 để chứng minh hệ (1.1) ổn định tiệm cận ta chỉ cần chỉ

ra rằng tất cả các nghiệm 1, 2, , n của phơng trình đặc trng det(A  I) = 0 có

các phần thực âm, trong đó I là ma trận đơn vị Sau đây dựa vào Định lý 2.3 ta

đa ra điều kiện cần và đủ để hệ (1.1) ổn định tiệm cận

a a

a a

An = detA.

Định lý 2.4 hệ (1.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đa thức f n (z) là đa thức

Hurwitz, nghĩa là thỏa mãn các điều kiện

1 =  A1 > 0

2 =

2 2

1 A A

1 A

x dt

dz

z y

x dt

dy

z y

x dt

dx

2 3

2 2

3 2

(2.2)

Khi đó A = .

1 2 3

2 1 2

3 2

3

2 1 2

3 2

20 3 1

0 18 20

18 20

= 42 > 0

3 = 1.2 = 42 > 0.

Vậy f3() là ma trận Hurwitz nên tất cả các nghiệm của nó đều có phần thực

âm Hay ma trận A là ma trận Hurwitz, suy ra hệ phơng trình vi phân tuyến

tính thuần nhất (2.2) ổn định tiệm cận

x dt

dz

z y

x

d t dy

z

y x

dt dx

6 2

4

3 2

(2.3)

Khi đó

A = .

6 2 1

1 4 1

3 2 1

5 2 1

0 6 5

3 tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất

Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tính ổn định của hệphơng trình xấp xỉ thứ nhất Các kết quả này đợc trình bày theo [3], [17].Xét hệ phơng trình vi phân

( , , , , ),

2

1 n j

j f t y y y dt

dy2, , dt

dy n

)T.Khi đó hệ (3.1) đợc viết dới dạng ma trận

Thay vì nghiên cứu tính ổn

định của nghiệm không của hệ (3.1) ta nghiên cứu tính ổn định nghiệm không

đối với hệ tuyến tính

,

1

) (

ta gọi hệ này là hệ phơng trình xấp xỉ thứ nhất đối với hệ (3.1) Để đơn giản ta

giả thiết A = [a ij (t)] nn trong (3.3) là ma trận hằng số Trong trờng hợp này ta

nói hệ (3.2) á dừng theo xấp xỉ thứ nhất

Định lý 3.1 [17] Nếu

1) Hệ (3.2) á dừng theo xấp xỉ thứ nhất;

2) Tất cả các số hạng R j bị chặn theo t và khai triển đợc thành chuỗi lũy

thừa đối với y 1 , y2, , y n trong một miền 

 H và tất cả các khai triển

bắt đầu từ các số hạng không thấp hơn bậc hai;

3) Tất cả các nghiệm của phơng trình đặc trng

det(A  I) = 0

(3.4)

đều có phần thực âm;

thì nghiệm y j = 0 (j = 1, 2, , n) của hệ (3.2) và hệ (3.3) ổn định tiệm cận.

Ví dụ 3.1 Xét tính ổn định của nghiệm không của hệ

sin

2 4

4

y ax

dt dy

e y dt

) , ( 2

2

1

y x y

ax dt

dy

y x y

x dt

2

y ax

dt dy

y x dt

có các nghiệm 1,2 =  3  1  a

Với a > 1, các nghiệm phức có Re1,2 =  3 < 0, còn với – 8 < a  1 các

nghiệm thực âm Do đó trong trờng hợp này nghiệm không ổn định tiệm cận

Với a <  8, phơng trình đặc trng có một nghiệm dơng, do đó nghiệm không là

Xét hàm số V = V(X, t) liên tục theo biến t và theo từng biến x1, x2, , x n

trong miền Z0, trong đó

Z0 = {a < t < }{X(x1, x2, , x n)  Rn  X < h}.

Định nghĩa 4.1 ([3]) Hàm thực V(X) đợc gọi là xác định dơng nếu

i) V(0) = 0;

ii) V(X) > 0 , với mọi X thuộc lân cận Ut 0 = { X < h1}{t  t0}

nào đó của Z0

Định nghĩa 4.2 Hàm V(t, X) đợc gọi là xác định dơng theo nghĩa Liapunov

(hay là hàm Liapunov) nếu thỏa mãn các điều kiện sau

i) V(t, 0) = 0;

ii) Tồn tại hàm W(X) xác định dơng theo Định nghĩa 4.1 và V(t, X) 

W(X), với mọi X thuộc lân cận Ut 0 = { X < h1}{t  t0} nào đó của Z0

Định nghĩa 4.3 ([3]) Hàm V(t, X) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X dần

tới 0 nếu mọi  > 0 tồn tại  = () > 0 sao cho

g dx

x

g dt t

i h x

x = (x, Hx) trong đó H = ( h ij )nn là ma trận đối xứng xác định dơng, x = Colon(x1,x2, ,xn), xT là ma trận chuyển vị của ma trận x.

Khi đó vi phân của hàm Liapunov đợc xác định bởi công thức sau

( ) ( )

dt

dx H x, Hx , dt

dx dt

Do  là quá trình Wiener nên Ed = 0.

Từ đó ta suy ra

E(dV) = xT(AT H + HA + BTHB)xdt.

c) Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính không giải ra đợc đối với đạohàm

 (Bx, HBx)dt

= (x, ATHDx)dt  (x, DTHAx)dt  (x, BTHDx)d 

 (x, DTHBx)d  (x, BTHBx)dt

= (x, (ATHD + DTHA+BTHB)x)dt  (x, (BTHD + DTHB)x)d

và F(t, 0) = 0 với mọi t Rõ ràng hệ có nghiệm Y  0.

Định nghĩa 4.4 ([17]) Giả sử hàm V = V(t, Y) khả vi liên tục theo các biến t,

y1, y2, , y n trong miền  Khi đó hàm

t

V dt

Y t dV





 ) , (

V

1

) , (

đợc gọi là đạo hàm theo t của hàm V(t, Y) trong nghĩa của hệ (4.1).

Định lý 4.2 ([3], [17]) Nếu đối với hệ (4.1) tồn tại hàm xác định dơng (hàm

Liapunov) V(t,Y) sao cho

dt

dV  0 thì nghiệm không của hệ (4.1) ổn định.

Chứng minh Theo điều kiện của định lý thì tồn tại hàm liên tục xác định dơng

(Y) sao cho

V(t, Y)  (Y) > 0 với Y  0

và V(t, 0) = (0) = 0.

Trong không gian Rn xét mặt cầu

S = X  Rn  X =    .(4.2)

Vì S là tập compact và hàm (Y) liên tục xác định dơng trên S cho nên theo định lý Weierstrass cận dới của hàm đó sẽ đạt đợc tại một điểm nào

Y )

( inf

= (Y*) =  > 0

(4.3)

Lấy tùy ý t0  [a, ), khi đó hàm V(t0, Y) liên tục theo Y và V(t0, 0) = 0 Do

đó tồn tại lân cận Y <  <  sao cho 0  V(t0, Y) <  với Y <  (4.4)

Xét nghiệm nghiệm bất kỳ Y = Y(t)  0 thỏa mãn điều kiện đầu

Y(t0) < 

Bây giờ ta chứng minh quỹ đạo của nghiệm này hoàn toàn nằm trong mặt cầu

S, tức là

Y (t) <  với t0  t < .(4.5)

Thật vậy, khi t = t0 ta có

Y(t0) <  < .

Giả sử (4.5) thỏa mãn không phải với mọi t  [t0, ) và t1 là điểm đầu tiên

nghiệm Y(t) gặp biên S, tức là Y (t) <  với t0  t < t1 và Y(t1) =  Từ

điều kiện của định lý

tồn tại hàm xác định dơng V(t, Y) sao cho dt dV  0 thì tất cả các nghiệm Y(t)

của hệ đều bị chặn trên nửa trục [t0, )

Ví dụ 4.2 Xét tính ổn định của nghiệm không của hệ

)(

(

) 3 1

)(

2 (

2 2

2 2

y x

y x dt

dy

y x

y x dt

V dt

dx x

V dt dV

với x, y đủ bé

Vậy nghiệm không của hệ đã cho ổn định

Định lý 4.3 ([3], [17]) Nếu đối với hệ (4.1) tồn tại hàm xác định dơng V(t,Y)

sao cho

dt

dV < 0 thì nghiệm không của hệ (4.1) ổn định tiệm cận.

Chứng minh Theo Định lý 4.2 thì nghiệm không của hệ (4.1) ổn định và

trong chứng minh trên ta thấy tồn tại số , 0 <  < h sao cho

Y(t0) < 

thì Y (t) < h với t0  t < .

Bây giờ ta giả sử rằng V là hàm xác định dơng và chứng minh dọc theo quỹ

đạo Y(t) thì V(t, Y(t))  0 khi t  .

Thật vậy, giả sử ngợc lại khi đó tồn tại  > 0 sao cho V(t, Y(t))   > 0 với