Về một vài cấu trúc đa tuyến tính luận văn thạc sỹ toán học

Về sau, để có thể mô tả được cấu trúc của tập hợp nghiệm và điềukiện để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, cần xây dựng những kháiniệm trừu tượng hơn như không gian vectơ và ánh x

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN 2011

MỞ ĐẦU

Đại số tuyến tính khởi đầu từ việc giải và biện luận hệ phương trìnhtuyến tính Về sau, để có thể mô tả được cấu trúc của tập hợp nghiệm và điềukiện để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, cần xây dựng những kháiniệm trừu tượng hơn như không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính Chúng tacũng có nhu cầu khảo sát các không gian với nhiều thuộc tính hình học hơn,trong đó có thể đo độ dài vectơ và góc giữa hai vectơ Xa hơn, hướng nghiêncứu này dẫn đến bài toán phân loại các dạng toàn phương và tổng quát hơnphân loại các tenxơ, dưới tác động của một nhóm cấu trúc nào đó

Với mục đích tìm hiểu sâu hơn những vấn đề nâng cao của Đại số tuyếntính, trong luận văn này này, chúng tôi giới thiệu các cấu trúc đa tuyến tính:Tích tenxơ, Đại số tenxơ, Đại số đối xứng, Đại số ngoài Nền tảng của các cấutrúc đa tuyến tính là khái niệm tích tenxơ của các không gian vectơ

Vượt ra xa ngoài khuôn khổ của Đại số tuyến tính, các cấu trúc đatuyến tính nói trên có nhiếu ứng dụng sâu sắc trong cơ học và vật lý, hình học

vi phân, giải tích trên đa tạp và lý thuyết biểu diễn nhóm (xem [5])

Luận văn gồm hai chương, với các nội dung chủ yếu sau:

- Trình bày việc xây dựng các cấu trúc đa tuyến tính: Tích tenxơ, Đại

số tenxơ, Đại số đối xứng, Đại số ngoài;

- Trình bày chi tiết các chứng minh về: tính phổ dụng và các tính chất

cơ bản khác của tích tenxơ (Định lý 1.1.5);

- Giới thiệu một số đẳng cấu chính tắc liên quan đến tích ten xơ

- Giải quyết một số bài tập có liên quan đến các cấu trúc đa tuyến tính.Nhân dịp hoàn thành bản luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang – người thầy giáo đã đặt vấn đề nghiêncứu và tận tình chỉ dẫn, để tác giả hoàn thành bản luận văn này.

ơ Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Đại số,Khoa Toán học và Khoa Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh đãđộng viên, cổ vũ, có những góp ý quý báu và tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu theo chương trình đào tạo sauđại học

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do nhiều nguyên nhân, luận văn chắcchắn còn có nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý củacác quý thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp

CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC TÍCH TENXƠ VÀ ĐẠI SỐ TENXƠ

1.1 Tích tenxơ

1.1.1 Đại số trên một trường Một đại số trên trường K là một K-không gian

vectơ A với phép nhân: AA A, ( , )     thỏa mãn những điều kiện sau:

(b) Các phép nhân với vô hướng và phép nhân của A liên hệ vớinhau bởi hệ thức (a  )   (a ) a(  ), với mọi aK,    , A

Tập con khác rỗng B A được gọi là một đại số con của đại số A nếu nó

vừa là một không gian véc tơ con vừa là một vành con của A

Cho các đại số A và A ’ Ánh xạ : A  A ’ được gọi là một đồng cấu đại

số nếu nó vừa là đồng cấu không gian véc tơ con vừa là một đồng cấu vành.

Ví dụ 1 K- không gian vectơ các ma trận vuông M(n  n, K) với phép ma

trận là một đại số trên trường K

1.1.2 Iđêan của đại số Giả sử A là một đại số trên trường K Không gian

vectơ con B của A được gọi là một iđêan của đại số A nếu có tính chất hấp

thụ, nghĩa là:

B

  ,  B, với mọi A B.Tập các ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo bằng 0 là

một iđêan của đại số con gồm các ma trận tam giác trên của đại số M(n  n, K).

Dễ thấy rằng, nếu B là một iđêian của đại số A thì không gian thương A/

B trở thành một đại số, gọi là đại số thương, với phép nhân định nghĩa như

sau:

(  B)( '  B) (   ') B

1.1.3 Ánh xạ song tuyến tính Giả sử L M N, , là không gian vectơ trêntrường K Ánh xạ : L M  N được gọi là song tuyến tính nếu:

  ( 1    2 , )     ( , ) 1     ( 2, ),

   (a , ) a   ( , ),

   ( , 1   2 )     ( , ) 1     ( , 2 )

  ( ,a ) a  ( ),

với mọi    , , 1 2 L, , ,    1 2 M a, K Nói cách khác, ánh xạ song tuyến tính

là một ánh xạ tuyến tính với mỗi biến, khi cố định biến kia

1.1.4 Tích tenxơ của hai không gian vectơ Giả sử L M, là các không gianvectơ trên trường K Gọi F(L M ) là tập hợp tất cả các hàm có giá hữu hạn từ

L M vào trường K, tức là các hàm chỉ khác 0 tại một số hữu hạn điểm nào đócủa L M Tập hợp này lập nên một K- không gian vectơ đối với các phép toáncộng và nhân vô hướng được định nghĩa theo giá trị của hàm, cụ thể như sau:

 f g   ,  f   , g  ,  ,

  af   ,  af   , ,với mọi f g F L M a K,    ,  ,  ,  L M Mỗi phần tử( , ) L M    được đặt tương ứng với một hàm, cũng ký hiệu là

   ,  F L M  được định nghĩa như sau:

( , ) : L M    K, ( , )    1, ( ', ')    0,  ( ', ') ( , )      Giả sử f F L M(  ) là hàm chỉ khác 0 trên tập hữu hạn{( , )  i i i I } với

Như vậy, một cách trực giác, ta có thể hiểu F L M(  )là tập hợp các tổng

Gọi H là không gian vectơ con của F L M(  ) sinh bởi các phần tử códạng sau:

Ta gọi không gian vectơ thương F L M(  ) /H là tích tenxơ của các không

gianL và M Nó được ký hiệu bởi LM, hoặc chi tiết hơn L K M.

Ảnh của phần tử ( , )   bởi phép chiếu chính tắc F L M(  )  LM được

ký hiệu là    Như vậy

1.1.5 Định lí về tính phổ dụng của tích tenxơ Với mọi ánh xạ song tuyến

biểu đồ sau đây giao hoán:

Tiếp theo, ta chứng minh tính duy nhất của h Giả sử h L M' :   N

cũng là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn hệ thức  h t h t  '  Như thế h h '

trên Im(t)

Không gian F L M(  )được sinh ra bởi các phần tử có dạng ( , )   Do

đó, L M F L M(  ) /H được sinh ra bởi các phần tử có dạng

( , )  H    t( , ) 

Nói cách khác, Im(t) sinh ra không gian L M Các ánh xạ tuyến tính

f g được gọi là tích ten xơ của f và g.

1.1.8 Các tính chất cơ bản của tích ten xơ Trong các mệnh đề sau đây, giả

sử rằng L, M, N là không gian vectơ trên trường K Ta có:

1) Tính kết hợp: Tồn tại duy nhất một đẳng cấu tuyến tính

sao cho (    )      (    ), với mọi  L,  M,  N

Chứng minh Chúng ta xét ánh xạ  : (L M ) N L (M N) xác định bởi

           Dễ dàng kiểm tra lại rằng đó là một ánh xạ song tínhđối với các biến    và  Theo Định lý 1.1.5, tồn tại duy nhất một ánh xạtuyến tính

h: (L M ) N L (M N)

sao cho h ((   )   )    (    ), với mọi  L,  M,  N

Tương tự, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính

Nói cách khác, kh trùng với ánh xạ đồng nhất id trên tập vectơ có dạng

(    )   đó là một tập sinh của không gian (L M ) N Do đó kh=id, bởi

vì cả hai đều là các ánh xạ tuyến tính

Lập luận tương tự, ta có hk = id Hai đẳng thức kh =id và hk= id chứng

tỏ h là một đẳng cấu tuyến tính □

Mệnh đề này cho phép chúng ta định nghĩa tích ten xơ

1 2 3 n

L L L  L của n không gian vectơ L 1 , L 2 , L 3 , …, L n

2) Tính giao hoán Tồn tại duy nhất một đẳng cấu tuyến tính L M  M L

3) Tính “có đơn vị”: Tồn tại duy nhất một đẳng cấu tuyến tính

K L L K L,

4) Tính phân phối:

Chứng minh Theo định nghĩa của cơ sở, ta có các đẳng cấu của tuyến tính

Bằng phép quy nạp, ta chỉ cần kiểm chứng ví dụ này cho n=2

Giả sử f L1 : 1  K f, 2 :L2  K là các ánh xạ tuyến tính Xét hợp thành của ánh xạ f1  f2 :L1 L2  KK với đẳng cấu tuyến tuyến tính

 f f1 , 2    f1  f2hiển nhiên là một ánh xạ song tuyến tính Theo Định lí 1.1.5 có duy nhất một

1.2 Đại số tenxơ

Với mỗi K- không gian vectơ L, ta xét tích tenxơ:

 

q p

T L được gọi là một tenxơ

kiểu (p,q) hay là một tenxơ p lần thuận biến và q lần phản biến trên không

Định lý sau đây được kiểm nghiệm bằng cách thử các điều kiện của đại số.

1.2.2 Định lý T(L) là một đại số trên trường K.

1.2.3 Đại số tenxơ Đại số T(L) được gọi là đại số tenxơ của không gian

 Hạn chế của tích  của T(L) trên các đại số con này đơn

giản chỉ là việc “viết liền” các tenxơ với nhau Vì thế, tích của các đại số connày được kí hiệu đơn giản bởi 

Tiếp theo, ta xét biểu thức toạ độ của một tenxơ

Giả sử e1 , ,e n là một cơ sở của không gian vectơ L Trong lí thuyết

tenxơ, để cho gọn người ta thường kí hiệu cơ sở đố ngẫu với e1 , ,e nlà

e1 , ,e n Đó là cơ sở của L* được xác định bởi điều kiên sau đây :

e  e e  e i i j j n Như vậy, mỗi tenxơ q( )

T   là toạ độ của T trong cơ sở nói trên.

Dấu tổng trong công thức trên quá cồng kềnh Để đơn giản hóa, người

ta đặt ra quy ước sau đây:

1.2.4 Qui ước Trong các phép tính với tenxơ, ta sẽ không viết (mà hiểu

ngầm) dấu tổng trong trường hợp tổng được lấy theo một cặp chỉ số giống nhau, trong đó có một chỉ số trên và một chỉ số dưới.

Theo qui ước này thì công thức ở trên có thể viết lại như sau:

, , , , q p ,

Sau đây là các ví dụ về một vài tenxơ quan trọng.

Ví dụ 5 (a) Ma trận và ánh xạ tuyến tính Theo ví dụ 3, không gian các ánh

xạ tuyến tính ( , )L L được đồng nhất với tích tenxơ * 1

j

A a với phần tử i

j

a nằm ở hàng i cột j chính là ma trận của ánh xạ f trong cơ sở ( , , )e1 e n

(b) Tenxơ mêtric.Theo Hệ quả 1.1.6 và Ví dụ 2, tích tenxơ 0 *

2 ( )

T L L L

  đượcđồng nhất với không gian (LL) *  (L,L;K) các ánh xạ song tuyến tính từ

L L vào K Mỗi phần tử của nó i j

ij

g g e e được đồng nhất với dạng songtuyến tính g L L:   K xác định bởig e e( , )i j g ij

Hàm g là đối xứng nếu và chỉ nếu gij gji với mọi i,j Giả sử K=R, hàm

g đối xứng và ma trận Gram-Shmidt G g ij có các định thức con chính đều

dương Khi đó, tenxơ g là một tích vô hướng trên L Nó được gọi là một tenxơ

mêtric

(c) Tenxơ cấu trúc đại số Theo Hệ quả 1.1.6 cùng các Ví dụ 3 và Ví dụ 4,

tích tenxơ 1 * *

2 ( )

T L L L L được đồng nhất với không gian các ánh xạ 

1.3 Một số bài tập về đại số tenxơ

Bài tập 1 Chứng minh rằng mọi phần tử của UV đều có thể viết dưới dạng

phụ thuộc tuyến tính Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết u i ,…,u p độc

lập tuyến tính cực đại với p< r Biểu diễn u j = i p1 jiui , ta được

Ta gặp sự vô lí.Tương tự cho đối với v i □

Bài tập 2 Chứng minh rằng tồn tại đẳng cấu  :R nC C n của các không

gian vec tơ trên R sao cho  a1 , ,a n  a1 , , a n

sao cho ảnh của    xét như phần tử của tích: L(U, U / ) L(V V / ) chính là

tích tenxơ của hai ánh xạ  và  với   L(U, U / ) và   L(V, V / ) Hơn nữa,

nếu U, V là các không gian hữu hạn chiều thì F là đẳng cấu.

Giải Ký hiệu    là tích tenxơ của hai ánh xạ  và  với  L(U, U / )

và   L(V, V / ) Ánh xạ song tuyến tính:

L(U, U / )  L(V, V / ) L(UV, U /

V / );   ,     / 

xác định duy nhất ánh xạ tuyến tính F Giả sử 0  r i1i iKerF Ta có

thể giả thiết i và i là hai hệ độc lập tuyến tính Với mọi u U và vV ta có

Theo Bổ đề: “Giả sử u1 , ,u nU là các vectơ độc lập tuyến tính trong U và

Bây giờ ta xét trường hợp dimU, dimV <  Giả sử e 1 ,…,e n là cơ sở mới của

ijk ijk 1

Bài tập 4 Hãy tìm ví dụ chứng tỏ ánh xạ F nêu trong bài 3 không là toàn cấu.

và U / = V / = K Nếu x U , ta ký hiệu (x 1 , x 2 ,…) là tọa độ của nó theo cơ sở đã

cho Chú ý rằng     có cơ sở là 1 1  Xét ánh xạ tuyến tính được xác

Giải Ánh xạ song tuyến tính: *        

U  V L U V  v u   u v xác định mộtánh xạ song tuyến tính F:U* V  L U V ,  Nếu i  i v i KerF, ta có thểchọn sao cho vi độc lập tuyến tính Khi đó với mọi u và i sẽ có i u  0

Nếu e 1 , …,e p là một cơ sở của U và  L U V , , thì ta kí hiệu *

Khi dimV =  điều này không còn đúng Chẳng hạn ta lấy U = V có

chiều vô hạn và xét  = id Nếu  Im(F) thì ta có thể viết id = i i v i

Chọn u sao cho i(u) = 0 với mọi i, ta sẽ được u = id(u) = 0 Vô lí

CHƯƠNG 2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ ĐỐI XỨNG VÀ ĐẠI SỐ NGOÀI

2.1 Đại số đối xứng

Trong các cách định nghĩa khác nhau của khái niệm tenxơ đối xứng và đại

số đối xứng, chúng ta chọn cách không phụ thuộc vào đặc số của trường K.

Ta vẫn giả sử L là một không gian vectơ trên trường K

Gọi A q là không gian vectơ con của T q(L) : T0q(L)

 sinh bởi các vectơ có dạng

) ( )

1 (

1 q   q

trong đó  1 , ,  qL,  S q (nhóm đối xứng trên q phần tử).

2.1.1 Định nghĩa Không gian thương

q q

S ( ) :  ( ) /

được gọi là lũy thừa đối xứng cấp q của L Mỗi phần tử của S q (L) được gọi là

một tenxơ đối xứng trên L.

) , , ( 1 q  (1) (q)

với mọi  1 , ,  qL,  S q

Hợp thành của ánh xạ đa tuyến tính chính tắc

) ( :L( ) T L t

q q

Hơn nữa, cặp (φ, S q (L)) có tính chất phổ dụng sau đây: Với mọi ánh xạ đa

tuyến tính đối xứng L q M



) (

:

 trong đó M là một K- không gian vectơ bất

kỳ, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính h S q L M

 ) ( : làm giao hoán biểu đồ

) ( /

) (

* : )

q q

q q

2.1.3.Định nghĩa S(L) được gọi là đại số đối xứng của không gian vectơ L

Tích của hai phần tử x S q (L) và yS r (L) được ký hiệu bởi x.y, hoặc đơn

trong đó "⊗" là tích đại số T*(L), "." là tích đại số S(L) Như thế

 1 , , q:  1 q

= 1  q , với mọi α1, , α q  L.

Chứng minh Hệ quả được chứng minh bằng quy nạp theo q

Với q = 1, đẳng thức   1 :    1   1 được suy trực tiếp từ định nghĩa của φ.

Giả sử hệ quả đã được chứng minh cho q - 1 Theo mệnh đề trên ta có

với mọi  1 , ,  q, , , 1  r L Theo Mệnh đề 2.1.4 và phần đầu của chứng

minh mệnh đề này, ta có thể tráo đổi thứ tự từng αi với từng β j mà tích không

thay đổi Mệnh đề được chứng minh □

2.1.7.Định lý Giả sử (e 1 ,…,e n ) là một cơ sở của K- không gian vectơ L Khi

đó hệ vectơ sau đây lập nên một cơ sở của không gian vectơ S(L):

là không gian con các đa thức thuần nhất bậc q Ta xét ánh xạ đa tuyến tính

: L( )q  ( [K X1, ,X n])q xác định bởi hệ thức ( , ,e j1 e jq) X j1 X jq Vì đại

số K X[ , , 1 X n] giao hoán, nên  đối xứng Do tính phổ dụng của S (q) , tồn tại

ánh xạ tuyến tính

h q : S (q)  ( [K X1 , ,X n])q

sao cho h q (e ji …e jq ) = X j1 …X iq.

Vì các đại số S (L) và K[X 1 ,…,X n ] đều giao hoán, nên hệ thức trên có thể

viết lại thành

n

n i i

các biến X 1 ,…,X n đều thuộc ảnh của h q Mặt khác, theo Hệ quả 1.2.9 vàMệnh đề 2.1.6, không gian S (q) (L) được sinh bởi hệ vectơ

)

:

(e1i1 e n i n i1 i n q Do đó, dim S (q) (L) ≤ dim (K[X1,…, Xn ])q Vì thế,

toàn cấu h q là một đẳng cấu

Hệ quả là h h q:S(L)  K[X1,…,Xn ] cũng là một đẳng cấu tuyến tính

Từ Mệnh đề 2.1.4 suy ra rằng h(xy) = h(x)h(y) Vậy h là một đẳng cấu

đại số

Mỗi ánh xạ tuyến tính f: L  M cảm sinh một đồng cấu đại số

S(f) : S(L) → S(M) Đó là tổng trực tiếp của các đồng cấu thành phần

S (q) (f) : S (q) (L) → S (q) (M), (0≤ q < ∞), được định nghĩa như sau Xét ánh xạ đa

Do tính phổ dụng của S(q)(L), tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính

S (q) (f) : S (q) (L) → S (q) (M) sao cho Sq( )f S q( )f  , trong đó φ : L (q) →S q (L) là

ánh xạ đa tuyến tính đối xứng chính tắc Ta thu được biểu thức tường minh

Dễ dàng kiểm tra lại rằng S gf  S g S f   , với mọi cặp ánh xạ tuyến tính

2.1.8 Nhận xét Nếu Char(K) = 0, người ta có một cách khác để định nghĩa

lũy thừa đối xứng Sq(L) như sau

Toán tử đối xứng hóa

Vì Char(K) = 0 cho nên q! khả nghịch trong trường K, với mọi qN Dễ dàng

chứng minh rằng S 2 = S Xét không gian của toán tử thay phiên hóa