Về một tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ

Phan trọng hồngVề một tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ Chuyên ngành: giải tích Mã số: 60.46.01 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS... Nói một

Phan trọng hồng

Về một tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ

Chuyên ngành: giải tích

Mã số: 60.46.01

luận văn thạc sĩ toán học

Ngời hớng dẫn khoa học:

TS Phan lê na

Vinh - 2009

Mục lục

Trang

lời nói đầu 3

Chơng I Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định 5

1.1 Tính ổn định của phơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov 5

1.2 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính 7

1.3 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân phi tuyến … ……….……….… … ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….… … ……….……….…… ……….……….…… ……….……….… … ……….……….… 15

1.4 Ma trận Hermite 17

1.5 Phổ của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất 19

Chơng II Về một tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….…… ……….……….… … ……….……….…… ……….……….… … ……….……….…… ……….……….…… ……….……….… .20

2.1.Tính ổn định của hệ sai phân 20

2.2 Các kí hiệu và bổ đề 22

2.3 Điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận 24

kết luận 32

tài liệu tham khảo. 33

Lời nói đầu

Lý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng thực tiễn, với lí do trên lý thuyết ổn định đã và đang đợc quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ và

đ-ợc áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, nhất là trong lĩnh vực kinh tế và khoa học kỹ thuật, trong lĩnh vực sinh thái học và môi trờng Nói một cách hình tợng, một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với hệ thống cân bằng đó Bài toán ổn định hệ thống đợc nhiều

nhà toán học nghiên cứu, ngời đầu tiên đặt nền móng cho lĩnh vực này làV.lyapunov và đến nay đã trở thành một hớng nghiên cứu trong lý thuyết phơngtrình vi phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ

XX, ngời ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định, ổn định hóa của hệ điều khiển

Trong thực tế, cỏc hệ động lực phần lớn được mụ tả bởi cỏc phương trỡnh toỏnhọc phi tuyến Để giải bài toỏn ổn định cỏc hệ phi tuyến Lyapunov đó đưa ra haiphương phỏp:

- Phương phỏp thứ nhất: nghiờn cứu tớnh ổn định thụng qua số mũ Lyapunovhoặc dựa trờn hệ xấp xỉ tuyến tớnh Nếu vế phải đủ tốt, để cú thể xấp xỉ hệ đó chobằng hệ tuyến tớnh tương ứng, thỡ tớnh ổn định khi đú sẽ được rỳt ra từ tớnh ổn định

hệ xấp xỉ tuyến tớnh

- Phương phỏp thứ hai (phương phỏp trực tiếp): dựa vào sự tồn tại của một

lớp hàm trơn đặc biệt gọi là hàm Lyanpunov mà tớnh ổn định của hệ được thử trựctiếp qua dấu của đạo hàm theo hàm vế phải của hệ đó cho

Nội dung của đề tài là dựa vào bài báo của hai tác giả Sreten B.Stojanovic,Dragutin Lj Debeljkovic (2004) về ổn định tiệm cận khi xét ph ơng trình sai phân

có thời gian trễ

k x A n

x

1

) 1 (

để tìm hiểu và nghiên cứu một số điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận của hệ saiphân có thời gian trễ

Luận văn gồm hai chơng:

Chơng 1 Trình bày Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định phơng

trình vi phân theo nghĩa Lyapunov, gồm các nội dung sau:

1.1 Tính ổn định của phơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov

1.2 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính

1.3 tính ổn định của hệ phơng trình vi phân phi tuyến

1.4 Ma trận Hermite

1.5 Phổ của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Chơng 2 Về một tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ.

Đây là nội dung chính của luận văn gồm các nội dung sau:

2.1 Các kí hiệu và bổ đề

2.2 Tính ổn định của hệ sai phân

2.3 Điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận

Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của côgiáo TS Phan Lê Na Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo đãdành cho tác giả những sự quan tâm và giúp đỡ tận tình trong quá trình hoàn thànhluận văn.

Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong khoaToán và khoa Sau Đại học trờng Đại học Vinh, đặc biệt là các Thầy cô giáo trong tổGiải tích cùng các bạn học viên cao học 15 – Toán, những ngời đã quan tâm, giúp

đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận vănnày

Rất mong đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và bạn bè

Vinh, tháng 11 năm 2009

Tác giả

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA Lí THUYẾT ỔN ĐỊNH

PHƯƠNG trình vi phân theo nghĩa liapunov

Chương này trỡnh bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định Ví dụcỏc khỏi niệm về tớnh ổn định, ổn định tiệm cận, ma trận Hermite, phổ của hệphơng trình vi phân tuyến tính và tớnh chất cơ bản đối với cỏc hệ vi phõn (xem[1],[2],[3][4])

1.1 Tớnh ổn định của hệ phương trỡnh vi phõn theo nghĩa Liapunov

Xột một hệ thống mụ tả bởi phương trỡnh vi phõn

x = f(t, x) , t  0

(1.1) trong đú x(t)  Rn là vectơ trạng thỏi hệ, f: R+  Rn  Rn là hàm vectơ chotrước Giả thiết f(t,x) là hàm thoả món cỏc điều kiện sao cho nghiệm của bàitoỏn Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0  0 luụn cú nghiệm.Khi đú nghiệm được cho bởi cụng thức

1.1.1 Định nghĩa ([3]) Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi số

Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiÖm khác của hệ có giá

trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần nó trong suốt thờigian t  t0

1.1.2 Định nghĩa ([3]) Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó

là ổn định và có một số   0 sao cho với y0  x0 < thì

lim ( ) ( ) 0

Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm y(t) khác

có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 sẽ tiến tới gần x(t) khi t  

1.1.3 Định nghĩa Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0,  > 0 saocho mọi nghiệm của hệ (1.1) với x(t0) = x0 thoả mãn

( )

x t  Me (t t 0), t  t0

tức l nghià nghi ệm 0 của hệ kh«ng những ổn định tiệm cận m mà nghi ọi nghiệm của nãtiến tới 0 nhanh với tốc độ theo h m sà nghi ố mũ.

1.1.4 Ví dụ Xét phương trình vi phân

x(t) = a(t)x, t  0trong đó a(t): R+  R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầux(t0) = x0 cho bởi

x(t) = 0 ( ) .

0



t t

d a

e x





Do đó kiểm tra được hệ là ổn định nếu

0( )

     thì hệ phương trình đã cho ổn định tiệm cận

1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyÕn tÝnh

XÐt hệ tuyến tính

x(t) = Ax(t) t  0, (1.3)trong đó ma trận A cì (n  n) Nghiệm của hệ (1.3) xuất phát từ trạng thái banđầu x(t0) cho bởi x(t) =eA (t t0)

, ,

33 32 31

23 22 21

13 12 11 3 22 21

12 11 2

11

a a a

a a a

a a a D a a

a a D a

Bổ để 1 ([4]) Giả sử A, B là các ma trận vuông cì (n  n) Khi đó nếu I + AB

Bổ đề 3 ([4]) Giả sử F, G là hai ma trận bất kì có cùng số chiều, với  là một số

dương nào đó ta luôn có bất đẳng thức sau

(F + G)' (F + G)  (1 + ) F'F + (1 +  -1 ) G'G

Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn về tính ổn định của hệ (1.3) thường gọi

là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov

1.2.2 Định lý Hệ (1.3) là ổn định tiÖm cËn khi và chỉ khi phần thực của tất cả

các giá trị riêng của A là âm, tức là

, 0

Re   với mọi   (A).

Chứng minh Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester (Định lý

1.2.1) áp dụng cho f(  ) e , ta có

, )

(

1

1

2 1

k t

k t e z

z z e

q

k

k k k

Vì Re k  0 nên x  0 khi t  +  Ngược lại nếu hệ là ổn định mũ, khi đó t

mọi nghiệm x(t), x(t0) = x0 của hệ (1.3) thoả mãn điều kiện

( )x t  

0

x e  (t t 0 ), t  t0 (1.4)với   0 ,   0 nào đó Bây giờ ta giả sử phản chứng rằng có một  0  (A)saocho Re 0  0 Khi đó với vectơ riêng x0 ứng với  0 này ta có

2 1 1

25 4

1 2

x x x

x x x

1.2.4 Định lý Giả sử đa thức đặc trưng mà phương trình vi phân (1.4) đã cho là

f(z) = z n + a 1 z n-1 + … + a n , khi đó nếu định thức tất cả các ma trận con D k , k = 1,2, …, n là dương thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) là âm, tức là, hệ đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó

det D 1 = a 1 , det D 2 = det 1 3

1

2 2 4

2

1 2 5

3 1

a

a a

a

a a

a

a a

a a

1 3 1

0 2 1

= 1 > 0; det D4 =

1 0 0 0

0 2 1 0

0 1 3 1

0 0 2 1

= 1 > 0

Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận

Tính ổn định hệ tuyến tính dừng (1.3) có quan hệ tương đương với sự tồn tạinghiệm của một phương trình ma trận, thường gọi là phương trình Lyapunovhay phương trình Sylvester dạng:

'

trong đó X, Y là các ma trận (n  n) và gọi là cặp nghiệm của (LE) Xét hệ(1.3), từ bây giờ ta sẽ nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trịriêng của A là âm Theo Định lý 1.2.2, điều này tương đương hệ (1.3) là ổn địnhtiệm cận

Định lý sau đây cho phép chúng ta tìm được điều kiện để hệ (1.3) ổn địnhtiệm cận

1.2.6 Định lý Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối

xứng xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác

định dương X.

Chứng minh Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X > 0 với Y > 0 Với x(t) là

một nghiệm tuỳ ý của (1.3) với x(t0 ) x0 , t0  R+, ta xét hàm số

, ) ( ), ( ))

( (x t Xx t x t 

x V t x V

0

) ( ), ( ))

( ( )) (

0 0

t d t x

t

t t



Vì Re   0 , m©u thuÈn với điều kiện (1.5)

Ngược lại, giả sử A là ma trận ổn định (tức là Re   0 với mọi   ( A)) Với bất

kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận sau đây

0

( ) ' ( ) ( ) ,( )

0

) (

Vì A là ma trận ổn định nên kiểm tra được tích phân

  

0

, )

(s ds Z

là xác định và do Y là đối xứng nên X cũng là đối xứng Mặt khác, lấy tích phânhai vế phương trình (1.6) từ t đến t0 ta có

Z(t) - Y = A'X(t) + X(t)A t  t0.Cho t  +  để ý rằng Z(t)  0 khi t  +  và vì A là ổn định, nên ta được

-Y = A'X + XA,hay là, các ma trận đối xứng X và Y thoả mãn (LE) Ta chỉ còn chứng minh A là

x (t) = (t, t0) x0,trong đó (t,s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ Nếu A là hằng số, hiển nhiên

Chứng minh Viết phương trình (1.7) dưới dạng

t A

 





vì A là ma trận ổn định, theo Định lý 1.2.2, hệ x Ax  là ổn định mũ, do đó theođịnh nghĩa sẽ có một số   0 ,   0 > 0, sao cho

e t

x

t

t

t s t

0 ) ( ) [ ( ) ( )] ( ), (t x t A t A t x t t t A

Nghiệm x(t) với x(t0) = x0 cho bởi

x t K x e    

trong đó     2K  0.

Do đó hệ là ổn định tiệm cận, định lý được chứng minh

1.2.10 Định lý ([3]) Giả sử tồn tại giới hạn 



lim và A là ma trận ổn định, khi đó hệ

( ) ( ( )) ( )

là ổn định tiệm cận nếu lim ( ) t  B t  0

1.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân

( )x t f t x t ,t  0,( , ( ))

(1.8)

trong đó f(t, x): R+  Rn  Rn là hàm phi tuyến cho trước, f(t, 0) = 0, với mọi

t  R+ Cũng như ở các phần trên ta luôn giả thiết các điều kiện đặt cho hàm fsao cho hệ (1.8) có nghiệm x(t) thỏa mãn điều kiện đầu

x(t0) = x0 , t0  0

Định lý sau đây cho điều kiện đủ để hệ (1.8) là ổn định tiệm cận khi hàm vếphải f(t,x) được phân tích thành tổng của một ma trận hằng và một nhiễu phi

tuyến đủ nhỏ Ví dụ trường hợp hàm f(t, x) khả vi liên tục tại x = 0 (không phụthuộc vào x) thì theo khai triển Taylor bậc một tại x = 0 ta có

f(x) = Ax + g(x)trong đó

(0), ( ) 0( )

, ( , )

sin2

Chứng minh Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 1.3.1 ta

( 0

Hệ (1.9) là ổn định tiệm cận Định lý được chứng minh

1.4 Ma trận Hermite (Ma trận tự liên hợp)

Cho không gian véc tơ thực Rn (tương ứng không gian véc tơ phức Cn), saukhi trang bị tích vô hướng nó sẽ trở thành không gian véc tơ Unita (tương ứngkhông gian véc tơ Euclid) Hai véc tơ trong không gian véc tơ Unita (không gian

véc tơ Euclid) được gọi là trực giao (hay vuông góc với nhau) nếu tích vô

hướng của chúng bằng 0 Một cơ sở của không gian véc tơ Unita (không gian

véc tơ Euclid) được gọi là cơ sở trực chuẩn nếu chúng đôi một trực giao với

nhau và mỗi véc tơ có chuẩn bằng 1

1.4.1.Khái niệm ([1]) Ánh xạ tuyến tính f : Cn  C n được gọi là phép biến

đổi tự liên hợp (hay phép biến đổi Hermite) nếu ma trận của f đối với cơ sở trực

chuẩn nào đó là ma trận tự liên hợp (hay ma trận Hermite) : A = A *

Ánh xạ tuyến tính f : Cn  C n là phép biến đổi tự liên hợp khi và chỉ

khi ma trận của f đối với một cơ sở trực chuẩn bất kỳ của Cn là ma trận tự liênhợp

1

2 4 0 3

1 0 2 2 1

1 3 2 1 1

i i

i i

i i

i i

1

2 4 0

3

1 0 2

2 1

1 3 2 1 1

i i

i i

i i

i i A

i i

i i

i i

i i A

1

2 4 0 3

1 0 2 2 1

1 3 2 1 1

1.5.1 Định nghĩa ([1]) Tập hợp tất cả các số mũ đặc trưng riêng (tức là

khác +  và - ) của nghiệm của hệ vi phân được gọi là phổ của nó.

1.5.2 Định lý ([1]) Phổ của một hệ vi phõn tuyến tớnh thuần nhất với ma trận

liờn tục, bị chặn bao gồm một số hữu hạn phần tử  1 <  2 < <  m (m  n ).

Chỳ ý Hệ vi phõn phi tuyến cú thể cú tập phổ tuỳ ý, chẳng hạn chứa một

tập vụ hạn cỏc phần tử

1.5.3 Định lý ([1]) (Liapunov) Nếu ma trận A(t) bị chặn A (t)  c <  thỡ mỗi nghiệm khụng tầm thường thực hay phức X = X(t) 0 t0 t  của nú cú số mũ đặc trưng hữu hạn.

Trong chơng này chúng ta đa ra một điều kiện đủ để hệ sai phân có thời giantrễ là ổn định và thiết lập mối quan hệ, so sánh các điều kiện đó

2.1 Tớnh ổn định của hệ sai phõn theo nghĩa Liapunov

Xột hệ phương trỡnh

x(k+1) = f(k,x(k)), k  Z+ (2.1)trong đú f: Z+  X  X là hàm cho trước

2.1.1 Định nghĩa Hệ rời rạc (2.1) gọi là ổn định nếu với mọi e > 0, k0  Z+, tồntại số d > 0 (phụ thuộc vào k0, e) sao cho mọi nghiệm x(k) của hệ với (0)x < d

x( 1 ) ( ), (2.2)với x( 0 ) x0 thỡ nghiệm của (2.2) sẽ cho bởi

)

A t Z t Z A t Z

) (

, ) ( ) ( )

(

0



t  t0 (2.3)Khi đó ta có định lý sau

2.1.3 Định lý([4]) Hệ rời rạc (2.3) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong

hai điều kiện sau thoả món:

i) tồn tại 0 q 1, sao cho A q 1

ii)   1 ,với mọi  ( A)

2.1.4 Thớ dụ 3.5 Xột tớnh ổn định hệ

Ta cú: ,

3

1 4 1

0 2 1

1

(

, ),

( 2 1 )

1

(

2 1

2

1 1

k x k

x k

x

Z k k x k

x

Cỏc giỏ trị riờng của A là ,31

ii) Nếu A(k) AC(k) trong đú A là một ma trận ổn định và C(k) a

khi đú hệ sẽ ổn định tiệm cận với một số a 0đủ nhỏ nào đú

Cho x(.) là chuẩn của vectơ x ( (.)=1,2,) và (.) là chuẩn của ma trận

sinh bởi vectơ này.ở đây chúng ta sử dụng T 12

2

x (x x) và

1

* 2 max 2

(.)  (A A).Dấu * và T ở trên là chỉ ma trận liên hợp và ma trận chuyển vị Giá trị tuyệt đốicủa ma trận A ký hiệu A ; ( )A và det(A) đợc hiểu là bán kính phổ và địnhthức của ma trận A

M là lớp các ma trận vuông, thực với các phần tử không thuộc đờng chéo

k x A k

trong đó x  R n, A j R nn

 và 0 h 0 h1h2   hN là các số tự nhiên biểuhiện hệ thống có thời gian trễ

, , 1 , 0 ,

N j

j j

N j

h i

N j

h i A

2.2.2 Bổ đề ([5]) Với bất kỳ ma trận vuông X R nxn và bất kỳ v  R n \ 0}, thì

miền giá trị của: