Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 7: Số đếm nâng cao

Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 7: Số đếm nâng cao cung cấp cho người học những kiến thức như: Số Catalan; Số Stirling loại hai; Số Bell. Mời các bạn cùng tham khảo!

TOÁN HỌC TỔ HỢP

Chương 7

SỐ ĐẾM NÂNG CAO

http://bit.do/toanhoctohopĐại học Khoa Học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh

O2020

Định nghĩa SốCatalan thứ n (ký hiệuCn) là số cách chia một đagiác đều n + 2 đỉnh thành các tam giác bằng cách dùng các đường chéokhông cắt nhau.

Quy ước C0 = C1 = 1

Các số Catalan đầu tiên

n 0 1 2 3 4

Cn 1 1 2 5 14

Tìm công thức truy hồi cho Cn

Xét đa giác đều n + 2 đỉnh

Ta chọn cố định một cạnh của đa giác Khi đó với mộtđỉnh bất

kỳ không trùng với hai đỉnh của cạnh đã chọn ta vẽ được một tamgiác Tam giác này chia đa giác ban đầu thành hai đa giác Ví dụtrong trường hợp lục giác đều (n = 4) ta có

Gọi k + 2 (k ≥ 0) là số đỉnh của đa giác bên trái Khi đó đa giácbên phải có n − k + 1 đỉnh

Đa giác bên trái có Ck cách chia thành các tam giác Đa giác bênphải có Cn−k−1 cách chia thành các tam giác Vậy với mỗi k ta có

Ck× Cn−k−1 cách chia đa giác ban đầu thành các tam giác

O2020

Ví dụ Chúng ta muốn di chuyển tới một điểm cách vị trí chúng tađang đứng n bước về hướng bắc và n bước về hướng đông Có baonhiêu cách để di chuyển đến vị trí mong muốn nếu yêu cầu tại mọi thờiđiểm số bước đã đi về hướng bắc không nhiều hơn số bước đã đi vềhướng đông Lưu ý ở mỗi bước chỉ đi về hướng bắc hoặc hướng đông.Giải.

Dùng N để ký hiệu bước đi về hướng bắc và E là bước đi về hướngđông Sau 2n bước ta có một dãy gồm n ký tự N và n ký tự E.Thay N bằng dấu) và thay E bằng dấu( Khi đó chúng ta có mộtcách sắp xếp n cặp ngoặc đơn

Do tại mọi thời điểm số dấu) luôn không lớn hơn số dấu ( nênđây là một cách sắp xếp đúng n cặp dấu ngoặc đơn

Vậy tổng cộng có Cn cách đi tới điểm mong muốn

Ví dụ.(tự làm) Cây nhị phân có gốc (rooted binary tree) là cây có gốc

mà mỗi đỉnh trong đều có đúng 2 đỉnh con Hỏi có bao nhiêu cây nhịphân có gốc có n đỉnh trong?

Hướng dẫn Với n = 0, 1, 2 ta dễ thấy

Với n ≥ 1, ta bỏ đỉnh gốc ra Khi đó sẽ có hai cây con nhị phân cógốc Số đỉnh trong của cây bên trái là k với 0 ≤ k ≤ n − 1, số đỉnhtrong của cây con phải phải là n − k − 1

Như vậy đáp án của bài toán là Cn

O2020

Hàm sinh của dãy {Cn}n≥0

Gọi G(x) =P

n≥0Cnxn là hàm sinh của dãy {Cn}n≥0 Ta cóG(x) =X

n≥0Cnxn

k=0

Ck× Cn−kxn (thay n − 1 bằng n)

= 1 + x(G(x))2

1 +√1 − 4x2x

Vì G(0) = C0= 1 nên lim

x→0G(x) = 1 Bằng cách tính lim

x→0G(x) cho từngtrường hợp ta có

G(x) = 1 −

√

1 − 4x2x .Định lý Với n là số nguyên không âm, ta có

Cn= 1

n + 1

 2nn



Ví dụ C10= 1

11

 2010



= 16796

O2020

7.2 Số Stirling loại hai

Bài toán chia kẹo

Có bao nhiêu cách chia n viên kẹo khác nhau cho k đứa trẻ sao cho đứatrẻ nào cũng có kẹo?

Lưu ý.Vì k đứa trẻ (trong bài toán chia kẹo) là khác nhau nên số cáchchia kẹo bằng số Stirling loại hai nhân với k! (số hoán vị của k đứatrẻ) Vậy số cách chia kẹo là k!

nk





=

nn



= 1

Ví dụ Hãy tìm công thức của

n

n − 1

với n ≥ 2

Giải.Để sắp xếp n vật vào n − 1 hộp giống nhau ta chỉ cần sắp xếpmột hộp có hai vật và các hộp còn lại có một vật Số cách sắp xếp chohộp có hai vật là

n2

 Như vậy

n

n − 1



=

n2



O2020

Mệnh đề Cho số nguyên n ≥ 2 Khi đó

n2



= 12!(2

n− 2) = 2n−1− 1

Định lý.[Công thức hồi quy Stirling]

nk



n − 1k



Chứng minh.Chúng ta cần xếp n vật phân biệt {o1, o2, , on} vào khộp giống nhau và mỗi hộp đều có vật Giả sử chúng ta đã xếp được

n − 1 vật {o1, o2, , on−1} và cần xếp vật cuối cùng on vào hộp nào

đó Khi đó có hai khả năng xảy ra:

1 Còn một hộp chưa có vật nào, vậy on buộc phải được xếp vào hộpnày Vì trước đó chúng ta đã xếp n − 1 vật vào k − 1 hộp nên có



n − 1k

cách

Như vậy

nk



n − 1k



O2020

+ 3

33

đầu tiên của cột (k) và

cộng với phần tử bên trái

của phần tử đó, ta được

phần tử nằm bên dưới cùng

cột với phần tử được chọn

Ví dụ.90=25×3+15

Định nghĩa Cho S là tập hợp gồm n phần tử Mỗiphân hoạch của

S là tập hợp gồm k tập con S1, S2, , Sk khác rỗng, đôi một khácnhau của S và hợp chúng lại là S Cụ thể

Với mọi 1 ≤ i 6= j ≤ k, Si6= ∅, Si∩ Sj = ∅ và S =

k[i=1Si,

Ví dụ Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Ta có

{ {1, 2, 3}, {3, 4}, {5}, {6} }

là một phân hoạch của S

Nhận xét Số Stirling loại hai

nk

chính là số phân hoạch của tậphợp n phần tử thành k tập con

Ví dụ Hỏi có bao nhiêu cách phân tích 7590 thành tích của ba nhân

tử lớn hơn 1?

O2020

Giải.Ta phân tích 7590 thành tích các số nguyên tố Ta có

k=0

nk

r!

(r − k)!.

Chứng minh.Ta xét bài toán tìm số cách sắp xếp n vật khác nhauvào r hộp khác nhau Để giải bài toán này ta có hai cách sau:

Cách 1 Vì mỗi vật có r cách chọn hộp nên số cách sắp xếp là rn

Cách 2 Với mỗi 0 ≤ k ≤ r, ta xét trường hợp có k hộp không cóvật Khi đó số cách sắp xếp trong trường hợp này là



rk

(r − k)!

n

r − k



=

nk

r!

(r − k)!.Vậy số cách sắp xếp là

rX

k=0

nk

r!

(r − k)!.Dựa vào cách 1 và cách 2 ta có điều phải chứng minh

(4 − k)! = 0 · 1 + 1 · 4 + 31 · 12 + 90 · 24 + 65 · 24

= 4096 = 46

O2020

Ví dụ Hãy viết đa thức x3 thành tổ hợp tuyến tính của các đa thức

1, x, x(x − 1) và x(x − 1)(x − 2)

Giải.Sử dụng công thức của Định lý trên với n = 3 và r = x ta có

x3 =

xX

k=0

3k

x!

7.3 Số Bell

Hỏi.Có bao nhiêu phân hoạch của tập hợp n phần tử?

Ví dụ Tìm số phân hoạch của tập {1, 2, 3}

Giải.Ta có các phân hoạch của {1, 2, 3} như sau:

{{1, 2, 3}}

{{1}, {2, 3}}, {{2}, {1, 3}}, {{3}, {1, 2}}

{{1}, {2}, {3}}

Như vậy có 5 phân hoạch của {1, 2, 3}

Định nghĩa Cho n ≥ 0 SốBell thứ n, ký hiệu Bn, là số phân hoạchcủa tập hợp n phần tử Quy ước B0= 1

Nhận xét Số cách chia n vật thành các nhóm là Bn

O2020

Mệnh đề Cho n ≥ 0 Ta có Bn=

nPk=0

n

k .

Ví dụ B4 =

4Pk=0

4k

Định lý.[Công thức hồi quy của số Bell] Cho n ≥ 0 Ta có



Bk

Chứng minh.Đặt S = {o1, o2, o3, , on, on+1} Khi đó Bn+1 là sốcách phân hoạch của S Vì mỗi phân hoạch của S đều có một tập hợp

A mà chứa on+1 Để tính số phân hoạch của S ta sẽ xem xét tập hợp A

và số phân hoạch của tập hợp S \ A Với 0 ≤ k ≤ n, nếu A có k + 1phần tử thì số cách chọn tập hợp A là

nk

 Số phần tử của tập hợp

S \ A là n − k Do đó số phân hoạch của S \ A là Bn−k

Vì mỗi phân hoạch của S được tạo từ phân hoạch của S \ A và hợp với{A} nên số phần hoạch của S là

Bn+1=

nX

k=0

nk



Bk

O2020

B1+

22



B1+

32



B2+

33

41

B1+

42

B2+

43

B3+

44

B4

= 1 + 4 × 1 + 6 × 2 + 4 × 5 + 15 =52

Tam giác Bell

Việc xây dựng tam giác Bell được thực hiện như sau:

Dòng một chỉ có số 1

Dòng dưới có nhiều hơn một số so với dòng liền trước

Phần tử đầu tiên của dòng bằng phần tử cuối của dòng liền trước.Phần tử khác phần tử đầu tiên của dòng được tính bằng tổng củaphần tử bên trái và phần tử phía trên của phần tử bên trái đó.Khi đó phần tử cuối của mỗi dòng là số Bell tương ứng với dòng đó

O2020

Ví dụ.(tự làm) Tính giá trị B7 và B8 bằng cách dùng tam giác Bell.

Đáp án B7 = 877 và B8 = 4140