đề học sinh giỏi toán lớp 9 (có đáp án lời giải chi tiết)

6 điểm Cho tam giác ABC nhọn, có các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H .Gọi I K, lần lượt là hình chiếu của điểm D trên các đường thẳng BE CF,... c Trong các tam giác AEF BDF CDE, ,

Trang 1

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 4 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. (4 điểm)

a) Chứng minh

A

là số nguyên

b) Giả sử pvà

2 2

p +

đều là các số nguyên tố Chứng minh

3 2

p +

cũng là một số nguyên tố

Câu 2. (6 điểm) Giải các phương trình sau:

a) x+4 x+ +3 2 3 2− x =11

b)

2

3x− +5 7 3− x=5x −20x+22

c) (4x−1) x2+ =1 2x2− +2x 2

Câu 3. (4 điểm)

a Cho

+ +

Chứng minh rằng:

2021 2021 2021 2021 2021 2021

b Choba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

2

1 +1 +1 =

.Tìm giá trị lớn nhất của Q a b c= .

Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H

.Gọi I K, lần lượt là hình chiếu của điểm D trên các đường thẳng BE CF, Chứng minh rằng

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 2

a)

2

BH BE CH CF BC+ =

b) IK EF//

c) Trong các tam giác AEF BDF CDE, ,

có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn

hoặc bằng

1 4

diện tích tam giác ABC

Câu 5. (1 điểm)

Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn 1 thì diện tích

tam giác nhỏ hơn

3 4

HẾT

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHỌN HSG TOÁN 9 CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 4

Năm học: 2020-2021

Câu 6. (4 điểm)

a) Chứng minh

A

là số nguyên

b) Giả sử

p

và

2 2

p +

3 2

p +

Lời giải

a) Chứng minh

A

là số nguyên

A

81

3 2

A = −A

(A−1) (A2+ + =A 2) 0

1 0

A− =

(vì

2

2 0

)

A=1

Vậy A nguyên

b) Giả sử pvà

2 2

p +

3 2

p +

Với p=2

:

2 2 6

p + =

(ktm) Với p=3

:

2 2 11

p + =

,

3 2 29

p + =

(TM) Với

2

p> ⇒ p = k+

: p2 + =2 (3t+3 3)M

(KTM) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 4

Câu 7. (6 điểm) Giải các phương trình sau:

a) x+4 x+ +3 2 3 2− x =11

b)

2

3x− +5 7 3− x=5x −20x+22

c) (4x−1) x2+ =1 2x2− +2x 2

Lời giải

a) x+4 x+ +3 2 3 2− x =11

11 x 4 x 3 2 3 2x 0

x

b)

2

3x− +5 7 3− x =5x −20x 22+

5x −20x 22 5+ = x −4x 4+ + =2 5 x−2 + ≥2 2

2 2

3x− +5 7 3− x ≤ 1 1+ 3x− + −5 7 3x =4

3x− +5 7 3− x≤2

Vậy

2

3x− +5 7 3− x =5x −20x 22 2+ =

2

5x −20x 20 0+ = ⇔ =x 2

c) (4x−1) x2+ =1 2x2−2x+2

Đặt a x= +2 1(a≥1)

, phương trình trở thành:

2

2a − 4x−1 a−2x=0

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 5

( x )

a= ±2x

⇒ x2+ =1 2x

⇔x2+ =1 4x2

⇔3x2− =1 0

( )



=



⇔



= −





x

1 3 1 3

Vậy pt có tập nghiệm

S  

=  

1 3

Câu 8. (4 điểm)

a Cho

+ +

2021 2021 2021 2021 2021 2021

b Choba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

2

1 +1 +1 =

Tìm giá trị lớn nhất của Q a b c= .

Lời giải

a) Cho

1 1 1+ + = 1

+ +

2021 2021 2021 2021 2021 2021

Ta có:

+ + =

+ +

1

+ +

ab bc ca

⇔ + +a b c ab bc ca+ + −abc=

⇔ +a b ab bc ca+ + +abc bc+ +ac −abc=

( ) ( ) 2.( ) 0

⇔ a b+ ab bc ca+ + +c a b+ =

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 6

( ).( 2) 0

( ) .( ) ( ) 0

⇔ a b+ b a c+ +c a c+ =

( ) ( ) ( ) 0

0 0 0

+ =





 + =



a b

b c

c a

= −





 = −



a b

b c

c a

Với a= −b

:

2021 2021 2021 2021 2021 2021

2021 2021

(luôn đúng) Tương tự:

Với b= −c 2021 2021

(luôn đúng) Với c= −a 2021 2021

(luôn đúng) b)

2

1 +1 +1 =

( ) ( )

1

2

Tương tự: 11 ≥2 (1 ) ( 1 )

ca

b c a ( )2

( ) ( )

1

2

ab

c a b ( )3

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 7

Từ ( )1

, ( )2

và ( )3 ⇒11 .11 .11 ≥8.(1 ) ( 1 ) ( 1 )

abc

1 8

8

Dấu “=” xảy ra khi

1 2

= = =

a b c

Vậy

1 8

max

khi

1 2

= = =

a b c

Câu 9. (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H

.Gọi I K, lần lượt là hình chiếu của điểm D trên các đường thẳng BE CF, Chứng minh rằng

a)

2

BH BE CH CF+ =BC

b) IK EF//

c) Trong các tam giác AEF BDF CDE, , có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn

hoặc bằng

1 4

diện tích tam giác ABC

Lời giải

a) Tam giác vuông AEB và tam giác vuông HFB có góc B chung nên đồng dạng với nhau

(1) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 8

Tam giác vuông AFC và tam giác vuông HEC có góc C chung nên đồng dạng với nhau

(1) Từ(1) và (2) suy ra: BH BE CH CF. + . = AB BF. +AC CE.

(3) Mặt khác dễ thấy tam giác vuông ADB và tam giác vuông BFC đồng dạng (góc B chung)

(4) Chứng minh tương tự ta có tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC

AC CE BC CD

(5)

Từ (4) và (5) suy ra: AB BF AC CE BC BD CD + = ( + ) =BC2

(6)

Từ (3) và (6) suy ra

2

BH BE CH CF+ =BC

(đpcm)

b) Ta có

//

AB FC

AB DK FAH HDK

DK FC

⊥



(hai góc so le trong) (1)

Tứ giác AFHE có

AFH AEH

mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp⇒ ∠FAH = ∠FEH

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung

FH

)(2)

Chứng minh tương tự ta có tứ giác IDKH là tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung HK)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠FEH = ∠HIK

mà 2 góc này ở vị trí so le trong Suy ra

//

IK EF

(đpcm)

c) Đặt BC a=

, CA b=

, AB c=

, AE x=

, AF= y

, BD z=

,0<x y z a, , <

;

0<x y z b, , <

; 0<x y z c, , <

Khi đó: BF c y= −

, EC b x= −

, CD a z= −

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 9

Giả sử không có tam giác nào có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng

1 4 diện tích tam giác ABC

Nghĩa là

AEF ABC BFD ABC CED ABC

Suy ra

3

64

AEF BFD CED ABC

Ta có

;

AEF ABC

( )

BFD

ABC

c y z

S BF BD

S BA BC ca

−

( ) ( )

CED

ABC

b x a z

S CE CD

Do đó

( ) ( ) ( )

AEF BFD CED ABC

xyz a z b x c y

S S S

=

Theo bđt Cauchy ta có:

( ) (x b x4 )2 b42

x b x + −

( ) ( y c y4 )2 c42

y c y + −

và

( ) (z a z4 )2 a42

z a z + −

Do đó

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 64

xyz a z b x c y

a b c

hay

3

64

AEF BFD CED ABC

(mâu thuẫn gt) Suy ra đpcm

Câu 10. (1 điểm)

Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn 1 thì diện tích

tam giác nhỏ hơn

3 4

Lời giải

Kẻ AH ⊥ BC

Ta có AB<1

, AC<1

, BC<1

1 1

<







AH BC BH

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 10

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH

Ta có:

2+ 2 = 2

AH BH AB

Mà

2 <1

AB ⇒ AH2+BH2 <1

2 1 2

1

4 4

3

2

⇒AH <

∆ABC = < =

Vậy tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác nhỏ hơn

3 4

HẾT

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 11

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 14/11/2020

Câu 1. (5 điểm)

1 Tìm tất cả các số tự nhiên n để

( 1)( 2)

1 6

n n n

p= + + +

là số nguyên tố

2 Giải phương trình

x− + − −x x− −x =

Câu 2. (5 điểm)

1 Cho ba số thực khác không a b c, , thỏa mãn điều kiện:

0

a b c+ + ≠

và

a b c+ + =a b c

+ +

Tính giá trị của biểu thức:

2021 2021 2021

2 Tìm tất cả các bộ số nguyên (x y z; ; )

thỏa mãn (x y x y+ ) ( − ) = +8z 10

Câu 3. (2 điểm)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc=1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A

Câu 4. (7 điểm)

Cho đoạn thẳng AB 8= cm

và một điểm M

nằm bất kỳ trên đoạn thẳng AB

, một nửa mặt phẳng bờ AB

, dựng hai hình vuông AMCD và BMEF

Gọi giao điểm của đường thẳng

AE

và BC là điểm N , giao điểm của đường thẳng AC và BE

là P

a) Chứng minh bốn điểm A N P B, , , cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh rằng

2

DN FN MN=

và 3 điểm N P F, , thẳng hàng

c) Tìm vị trí các điểm M

trên đoạn thẳng AB

để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất

Câu 5. (1 điểm)

Một hình hộp chữ nhật có các kích thước

là các số nguyên dương tính theo đơn vị cm,

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 12

có thể tích

3

a cm

Biết khi đạt hình hộp chữ nhật đó đặt lên mặt bàn

thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là

2

a cm

(minh họa bằng hình vẽ bên) Tìm giá trị nhỏ nhất của a

HẾT

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 13

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN ĐỐNG ĐA

Năm học: 2020-2021

Câu 1. (5 điểm)

( 1)( 2)

1 6

n n n

p= + + +

2 Giải phương trình

x− + − −x x− −x =

Lời giải

( 1)( 2)

1 6

n n n

p= + + +

Ta có

2

( 1)( 2)

1 6

6

n n n p

P

⇒ =

Với n 0= ⇒ =P 1

không phải số nguyên tố Với n 1= ⇒ =P 2

là số nguyên tố Với n 2= ⇒ =P 5

Với n 3= ⇒ =P 11

Với n 4≥

thì (n+ >3) 6

và

2 (n + >2) 17

(n+3)

và

2 (n +2)

thì luôn tồn tại một số số chẵn nên khi đó P là hợp số

Vậy P là số nguyên tố thì n∈{1;2;3}

2 Giải phương trình

x− + − −x x− −x =

(*)

Điều kiện xác định: 1≤ ≤x 6

Đặt

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 14

2

1 2 ( 1)(6 ) 6

5 2 ( 1)(6 )

5 ( 1)(6 )

2

t

−

Thay vào (*) ta được

2

5

2

1

3

t

t t

t

−

= −





Với t=3

2

( 1)(6 )

2

( 1)(6 ) 4

−

2

x

⇒ =

hoặc x=5

Câu 2. (5 điểm)

1 Cho ba số thực khác không a b c, , thỏa mãn điều kiện:

0

a b c+ + ≠

và

a b c+ + =a b c

+ +

Tính giá trị của biểu thức:

2021 2021 2021

2 Tìm tất cả các bộ số nguyên (x y z; ; )

thỏa mãn (x y x y+ ) ( − ) = +8z 10

Lời giải

1. Ta có

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 15

( )

0

( )(b c)(c a) 0

0

b c 0

c a 0

a b c a b c a b c a b c

a b a b

ab c a b c

c a b c ab

a b

abc a b c

a b

b c

c a

+ + + + +

+ +

Khi đó ta có

2021 2021 2021

2021

1 ( )

( )

1

a

= −

−

=

2.

z

không là số nguyên, (x y x y+ ) ( − ∈) z ⇒(*)

không thể xảy ra

- Nếu z= ⇒0 (x y x y+ ) ( − ) =11

Trường hợp 1

Trường hợp 2

Trường hợp 3

Trường hợp 4

- Nếu z≥ ⇒1 8z+10

là số chẵn và chia 4 dư 2 ⇒(x y x y+ ) ( − )

là số chẵn TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 16

Mà (x y x y+ ) ( − ) =2x

là số chẵn ⇒ +(x y)

và (x y− )

là số chẵn

(x y x y) ( )

chia hết cho 4, mà 8 10

z+ không chia hết cho 4 Nên z≥1

không thể xảy ra

Vậy bộ số nguyên (x, y, z)

là (6,5,0 ; 6, 5,0 ; 12, 1,0 ;) ( − ) (− − ) (−12,11,0)

Câu 3. (2 điểm)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc=1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A

Lời giải

A

Ta có:

2a + + = + + + + ≥b 3 a b a 1 2 2ab+2a+2abc

2 2

1

Tương tự

2 2

1

b

c

≤

A

b bc c ac a ab b bc b bc abc bc abc ab bc

A

b bc b bc bc b

Dấu “ =” xảy ra khi a b c= = =1

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là

1 2 khi a b c= = =1

Câu 4. (7 điểm)

Cho đoạn thẳng AB 8= cm

và một điểm M

nằm bất kỳ trên đoạn thẳng AB

, một nửa mặt phẳng bờ AB

, dựng hai hình vuông AMCD và BMEF

Gọi giao điểm của đường thẳng

AE

và BC là điểm N , giao điểm của đường thẳng AC và BE

là P

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 17

a) Chứng minh bốn điểm A N P B, , , cùng thuộc một đường tròn.

2

DN FN MN=

và 3 điểm

, ,

N P F

thẳng hàng

c) Tìm vị trí các điểm M

trên đoạn thẳng AB

để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

a) Chứng minh bốn điểm

, , ,

A N P B

cùng thuộc một đường tròn

Hình vuông AMCD có đường chéo AC, suy ra

CAM =

hay

PAB=

Hình vuông BMEF

có đường chéo BE

, suy ra

EBM =

hay

PBA=

Suy ra tam giác PAB

vuông cân ở P

, suy ra AP⊥BE.

Xét tam giác EAB

có AP EM, là các đường cao và cắt nhau tại C, suy ra C là trực tâm tam giác EAB

, suy ra BC⊥ AE

hay BN ⊥AE

Tứ giác ANPB có

ANB= APB=

nên là tứ giác nội tiếp Suy ra minh bốn điểm A N P B, , , cùng thuộc một đường tròn

2

DN FN =MN

và 3 điểm N P F, , thẳng hàng

Xét tứ giác ADNC, có

·ADC=·ANC=90o

nên nội tiếp, suy ra

DNA DCA= =

(1) Tương tự

ENF =EBF=

(2)

Từ (1) và (2), suy ra

DNA ENF= =

Vì E N A, , thẳng hàng nên D N F, , Suy ra

MNF=MEF=

hay MN ⊥DF

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 18

Xét tam giác DMF

có

DMF=DMC EMF+ =

, từ đó theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

2

DN FN =MN

Ta có tứ giác ENCP nội tiếp vì

ENC EPC+ =

, suy ra

CEN =NPC

hay

·APD NEM= ·

Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy ra

MFN =NEM

, suy ra

APD MFN=

hay

·APD DFM=·

mà AP MF// , suy ra D P F, , thẳng hàng, lại có D P N, ,

Do đó bốn điểm D N P F, , , thẳng hàng (đpcm)

Cách 2

Xét tứ giác ADNC, có

ADC =ANC=

nên nội tiếp, suy ra

DNA DCA= =

(1) Tương tự

ENF =EBF =

(2)

Từ (1) và (2), suy ra

DNA ENF= =

Vì E N A, , thẳng hàng nên D N F, , Suy ra

MNF =MEF =

hay MN ⊥DF

Xét tam giác DMF

có

DMF =DMC EMF+ =

, từ đó theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

2

DN FN MN=

Ta có tứ giác ENCP nội tiếp vì

ENC EPC+ =

, suy ra

CEN =NPC

hay

APD NEM=

Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy ra

MFN =NEM

, suy ra

·APD MFN= ·

hay

APD DFM=

mà AP MF// , suy ra D P F, , thẳng hàng, lại có D P N, ,

Do đó bốn điểm

, , ,

D N P F

thẳng hàng (đpcm)

c) Tìm vị trí các điểm M trên đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất

Ta có

2

4 MA MB MA MB AB 16

Suy ra

MN ≤ ⇔MN≤

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là trung điểm AB.

Câu 5. (1 điểm)

WORD=>ZALO_0946 513 000

Trang 19

là các số nguyên dương tính theo đơn vị cm,

có thể tích

3

a cm

Biết khi đặt hình hộp chữ nhật đó lên mặt bàn

thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là

2

a cm

(minh họa bằng hình vẽ bên) Tìm giá trị nhỏ nhất của a

Lời giải

Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật đó là x y z, ,

Từ giả thiết, ta có a xyz= =2z x y( + +) xy⇔xy z( − =1) 2z x y( + )⇒ ≥z 2

Ta có xy z( − =1) 2z x y( + ≥) 4z xy ( )

3 2

2 3

16

z

3 2

16

108

1

z xyz

z

−

Dấu “=” xảy ra tại x=3;y z= =6.

Vậy mina=108

HẾT

WORD=>ZALO_0946 513 000

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	610,15 KB