đề học sinh giỏi toán lớp 8 (có đáp án lời giải chi tiết)

Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.. Xét tổng các số theo từ

PHÒNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC: 2020 - 2021 Môn: Toán lớp 8 – Vòng 1

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (4,0 điểm)

A

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: (x25 x 1) 22x210x1

b) Chứng minh rằng: Nếu

1 1 1

2

a b c  

và a b c abc   thì ta có 2 2 2

2

a b c 

Bài 3. (4,0 điểm)

a) Cho x, y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn

1

2 2

M=x + -y xy là bình phương của một số hữu tỷ.

b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 x x )+ + 2 =4y(y 1)

-Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC   Vẽ đường cao AH H �BC Trên tia đối của tia BC

lấy điểm K sao cho KH HA Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng

AC tại P

a) Chứng minh rằng �KAC PBC � .

b) Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh rằng  BHQ∽ BPC.

c) Tia AQ cắt BC tại I Chứng minh rằng 1

AH BC

BH  BI 

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho a b c� � > Tìm GTNN của biểu thức:0

L

a b b c c a

HẾT

WORD=>ZALO_0946 513 000

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN 8 (2020 – 2021) Câu 1. (4,0 điểm)

A

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên

Lời giải

a) Rút gọn A

(x 2)(x 3)



2 2 8 (x 2)(x 3)

A  

A

x

b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên

1

x A



Để A nguyên thì

7 3

x là số nguyên

Đặt

7

x 

 (1) với k Z k , 0

(1)

7 3

x

k

 

�

Lại có:

7

2

7

k x

k

� �

�

�



�۹

Vậy với

7 3

x

k

 

với k z k, 0; 7 thì A có giá trị là một số nguyên.

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: (x25 x 1) 22x210x1

b) Chứng minh rằng: Nếu

1 1 1

2

a b c  

và a b c abc   thì ta có 2 2 2

2

a b c 

WORD=>ZALO_0946 513 000

Lời giải

a) Giải phương trình: (x25 x 1) 22x210x1

 2  2 2 

�

 2 2

�

5

x

x x

x



�

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  0;5

b) Ta có:

1 1 1

2

a b c   12 12 12 2 2 2 4

a b c ab ac bc  

�

2 2 2

4

 

a b c  abc 

�

2

a b c 

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Cho x, y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn

1

2 2

M=x + -y xy là bình phương của một số hữu tỷ.

b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 x x )+ + 2 =4y(y 1)

-Lời giải

a) Ta có :

-3xy 1

2

+

2

Vì x, y�� nên

3xy 1 2

là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ b) Ta có :

2

2 2

d= x +1, x 1+

Do ( )2

2y 1

là số lẻ � là số lẻ.d

Ta có: x 1 d+ M�(x 1 x 1 d+ )( - )M�(x2- 1 d)M

Lại có: x2+1 dM�2 dM mà d là số lẻ nên d 1=

WORD=>ZALO_0946 513 000

Do đó: x2+1 và x 1+ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Với x, y là các số tự nhiên thì ( )2

2y 1- là số chính phương nên x2+1 là số chính phương.

Lại có x2+1va x là hai số chính phương liên tiếp 2 �x2= � =0 x 0

Thay x= vào phương trình (1) ta tìm được 0 y=0hoặc y 1=

Vậy các cặp số tự nhiên (x, y)là (0;0 ; 0;1) ( )

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC   Vẽ đường cao AH H �BC Trên tia đối của tia BC

lấy điểm K sao cho KH HA Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng

AC tại P

a) Chứng minh rằng �KAC PBC � .

b) Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh rằng  BHQ∽ BPC.

c) Tia AQ cắt BC tại I Chứng minh rằng 1

AH BC

BH  BI 

Lời giải

a) Chứng minh rằng KAC PBC� � .

Hai tam giác CKP và CAB có CKP CAB�  �  � và �90 ACB chung nên CKP∽ CAB

Do đó suy ra

CK CA

CP CB

Đến đây ta lại có CAK∽ CBP nên KAC PBC� � .

b) Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh rằng  BHQ∽ BPC.

Ta có AKH vuông cân tại H nên �AKH  � Do đó từ 90 CAK∽ CBP ta được

AKH CPB  � Suy ra BAP vuông cân tại A nên BP AB 2.

Ta có BHA∽ BAC nên

BH AB

BA  AC

Suy ra

Do vậy BHQ∽ BPC

WORD=>ZALO_0946 513 000

c) Tia AQ cắt BC tại I Chứng minh rằng 1

AH BC

BH  BI 

Ta có BAP vuông cân tại A với AQ là đường trung tuyến nên AQ cũng là phân giác Do

đó AI là phân giác ngoài của ABC

Suy ra

IB AB

IC  AC

Lại có BHA∽ BAC nên

AB HB

AC  HA

Kết hợp các kết quả lại ta được



Câu 5. (2 điểm)

Cho a b c� � > Tìm GTNN của biểu thức:0

L

a b b c c a

Lời giải

Ta có

A

- =�� - ��+�� - ��+�� - ��

b a a c

2

a b a c

�

2

a b a c b c

b c b c c a

Vậy GTNN của

3 2

A=

khi a= =b c

HẾT

WORD=>ZALO_0946 513 000

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHUYỆN LẬP THẠCH

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút

a) Chứng minh rằng: 3 2 2

A���n n   n���M  �n �

b) Cho P n 44 Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố

a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a thỏa mãn 202020201

chia hết a32021a

b) Cho đa thức   3

F x  x ax b với a b R, �  Biết đa thức F x  chia cho x2 thì dư 12,

 

F x

chia cho x1 dư 6 Tính giá trị của biểu thức:

B a b  a b

Câu 3: (1.5 điểm) Cho các số a b c d, , , nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:

6

a b b c c d d a

a b b c c d d a

Chứng minh A abcd là số chính phương.

a b c b c a   c a b a b c   b a c a c b   .

Cho x y 1,xy�0 Tính

2

x y

P



2 2 4 4 8 8

2020

x y x y x y x y 

x

y ?.

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo

chu vi

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B xy x ( 2)(y 6) 12x224x3y28y2050.

Cho hình vuông ABCD , M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD Kẻ MEAB MF,  AD

a) Chứng minh DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE BF CM, , đồng quy

c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Câu 10: (1 điểm) Cho 1 lưới ô vuông có kích thước 5x5 Người ta điền vào mỗiô của lưới 1 trong các số

-1, 0, 1 Xét tổng các số theo từng cột, theo từng hàng và theo từng hàng chéo Chứng minh rằng trong tất cả các tổng luôn tồn tại 2 tổng có giá trị bằng nhau

HẾT

WORD=>ZALO_0946 513 000

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 8HUYỆN LẬP THẠCH

Năm học: 2020-2021

a) Chứng minh rằng: 3 2 2

A���n n   n���M  �n �

b) Cho P n 44 Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố

Lời giải

A���n n   n� �� �� �n n n   � �� �� �n n  n  ���

 3   3             

A n n  n n  n n n n n n n n

Tích của 7 số liên tiếp nên AM7

b) Cho P n 44 Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố

Nếu n1�P  1 4 5 là số nguyên tố ( thỏa mãn)

4

n �P   không phải là số nguyên tố ( loại)

Nếu n�5,n1 thì n có dạng:

n k k �  4  3  2  

n k �P k  k  k  k  

4 4 5 1 4 5 4 5 6 5 4.5 5

P n   k   k  k  k  k

�

P không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5

n k �P k  k  k  k  

không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5

n k  4  3  2 2   3 4

�

P n   k   k  k  k  k 

�

P không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5

n k �P k  k  k  k  

�

P không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5

Vậy n1

a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a thỏa mãn  2020 

2020 1

chia hết  3 

2021

a  a

WORD=>ZALO_0946 513 000

b) Cho đa thức F x   x3 ax b với a b R, � 

Biết đa thức F x 

chia cho x2 thì dư 12,

 

F x chia cho x1 dư 6 Tính giá trị của biểu thức:

B a b  a b

Lời giải

a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a thỏa mãn 202020201

chia hết a32021a

Nếu a chẵn:

a  a a a 

202020201 a

Mà 202020201

là số lẻ� vô lý.

+Nếu a lẻ

Có a32021a a a22021

202020201 a22021

Mà a22021

là số chẵn� vô lý.

Vậy không tồn tại số nguyên a

b) Cho đa thức F x   x3 ax b với a b R, � 

Biết đa thức F x 

chia cho x2 thì dư 12.F x 

chia cho x1 dư 6 Tính giá trị của biểu thức: B6a 3b 11 26 5   a5b

x    ax b x x  x a   b a

x    ax b x x      x a b a

b a

�

�

B a b  a b       .

Vậy B1.

Câu 12: (1.5 điểm) Cho các số a b c d, , , nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:

6

a b b c c d d a

a b b c c d d a

Chứng minh A abcd là số chính phương.

Lời giải

6

2

a b b c c d d a

a b b c c d d a

a b b c c d d a

a b b c c d d a

�

�

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

WORD=>ZALO_0946 513 000

 

 

2 2

2

0

0

0 (do ) 0

0

a b b c c d d a

b c a c d d a d c a a b b c

b c d d a d a b b c a c

bca bd db adc

b d ac bd

ac bd abcd bd

�

�

�

�

Vậy A abcd là số chính phương.

a b c b c a   c a b a b c   b a c a c b   .

Lời giải

a b c b c a   c a b a b c   b a c a c b  

ab b c a ac b c a ac a b c bc a b c ab a c b bc a c b

ab b c a a c b ac a b c b c a bc a c b a b c abc b a abc a c abc c b

Cho x y 1,xy�0 Tính

2

x y

P



Lời giải

Từ giả thiết ta có y 1 x x;  1 y Khi đó

1



1



Hơn nữa, kết hợp giả thiết x y 1 ta có

 y2 y 1 x2  x 1 x y2 2xy2y2x y xy y x2     2 x 1

x y �xy x y x y xy�x y

x y x y x y

2 2 3

x y

Khi đó

2

x y P







                   

2 2

0

0

y x y x x y

Vậy P0

Câu 15: (1,5 điểm) Cho x�� và y

2 2 4 4 8 8

2020

x y x y x y x y 

x

y ?

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

WORD=>ZALO_0946 513 000

Lời giải

Xét y0 không thoả mãn giả thiết Vậy y�0

Ta có

2 2 4 4 8 8

2020

x y x y  x y x y 

2020

   

4 4 4 8 2

2

2020

�

   

4 4 4 2

2 2 4 4 4 4

4 2

2020

y x y

x y x y x y x y



�

2 2 4 4

2020

x yx y  x y 

�

2 2 4 4

2020

   

2 2 2 4

2 2 2 2

2020

y

�

2

2 2

2

2020

x yx y 

�

2 2 2020

y x y y

x y x y

 



�

2

2020

xy y

x y x y

�

2020

y

x y

�



2020

x y

y

 

�

1 2020

x

y 

�

1

x

y   

�

Vậy

2021

2020

x

y 

.

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo

chu vi

Lời giải

Gọi các cạnh của tam giác vuông là x y z, , trong đó cạnh huyền là z(x y z, , là các số nguyên dương).

Ta có xy2x y z    1 và x2y2 z2  2

Từ  2

2

z  x y  xy , thay  1

vào ta có

WORD=>ZALO_0946 513 000

   

2 2

2 2

2 2

4

�

�

�

4

ta được

xy x y x y

xy x y

�

�

Từ đó tìm được các giá trị của x y z, , là

x5,y12,z13 ; x12,y5,z13 ; x6,y8,z10 ; x8;y6;z10.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B xy x ( 2)(y 6) 12x224x3y218y2050.

Lời giải

Ta có:

2

�

�

�

2



�

Vì

2

2

2

x

y

y

�

�

�

Dấu ‘=” xảy ra khi x1; y 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2020 khi x1; y 3

Cho hình vuông ABCD , M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD Kẻ MEAB MF,  AD

a) Chứng minh DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE BF CM, , đồng quy

c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Lời giải

WORD=>ZALO_0946 513 000

a) Chứng minh DE CF

Ta có ADE DCF(c.g.c) �DE CF

b) Chứng minh ba đường thẳng DE BF CM, , đồng quy

Gọi giao điểm của ME MF CM, , với DC CB EF, , lần lượt là K I H, ,

Có EMF  CMK (c.g.c) �MEF� MCK�

MEF HME MCK HME MCK KMC     

CM EF

�

Có ADE DCF��ADE DCF �

ADE DFC DCF DFC    DECF

Chứng minh tương tự ta có BFCE

Vậy DE BF CM, , đồng quy.

c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Gọi độ dài cạnh hình vuông là avà độ dài MElà x

x a x a

Vậy diện tích AEMF lớn nhất là

2 4

a

a

x

hay M là trung điểm của BD.

Câu 19: (1 điểm) Cho 1 lưới ô vuông có kích thước 5x5 Người ta điền vào mỗiô của lưới 1 trong các số

-1, 0, 1 Xét tổng các số theo từng cột, theo từng hàng và theo từng hàng chéo Chứng minh rằng trong tất cả các tổng luôn tồn tại 2 tổng có giá trị bằng nhau

Lời giải

Có tất cả 12 tổng gồm 5 tổng theo cột, 5 tổng theo hàng và 2 tổng theo đường chéo Mỗi tổng gồm 5 số hạng mà

mỗi số hạng nhận 1 trong 3 số là 1, -1, 0 Nên mỗi tổng là 1 số nguyên Gọi các tổng là S i với

1, 2,3, ,12

i

S sẽ nhận 11 giá trị từ -5, -4, -3, , 3, 4, 5.

Mà ta lại có 12 S i nên sẽ luôn tồn tại 2 tổng có giấ trị bằng nhau.

HẾT

WORD=>ZALO_0946 513 000