đề học sinh giỏi toán lớp 6 (có đáp án lời giải chi tiết)

Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC5cm.Tính độ dài đoạn thẳng AC b.. Gọi T là tổng các lập phương của tất cả các số đó... Biết rằng khi chuyển chữ số 4 đó lên đầu còn các chữ số

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN TRỰC NINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020-2021

MÔN TOÁN LỚP 6

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1 (5,0 điểm) Tính hợp lý

2

) 2018 2017.2018

) 1 1 1 1 1 1

)

12 14 16 186

a A

b B

c C

    



Bài 2 (5,0 điểm)

a Tìm x y, ��biết 2y 1 x  4 10

b Cho x y, �� thỏa mãn 3x 5y x   4yM 7 Chứng tỏ rằng 3x 5y x   4yM 49

c Tìm số tự nhiên n trong khoảng 290 đến 360 để phân số 52n 27 n 

n

gọn được

Bài 3 (4,0 điểm)

a Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n1; 2n1;5n1đều là số chính

phương?

b Cho A 2017 2017  2 20173 2017  18

Chứng tỏ rằng AM 2018 Tìm chữ số tận cùng của A

Bài 4 (4,0 điểm)

a Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC5cm.Tính độ dài đoạn thẳng AC

b Cho �xOy1600 Vẽ tia phân giác Ox1của �xOy Tính số đo góc xOx1

Giả sử Ox2là tia phân giác của xOx� 1, Ox3là tia phân giác của xOx� 2,……Ox42

là tia phân giác của xOx41 Tính số đo góc xOx42

Bài 5 (2,0 điểm)

a Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có n3 Mn 6

b Viết số 43211234dưới dạng tổng của một số số nguyên dương Gọi T là tổng

các lập phương của tất cả các số đó Tìm số dư của T trong phép chia cho 6

hết -WORD=>ZALO_0946 513 000

ĐÁP ÁN HSG 6 TRỰC NINH_2020-2021 Bài 1.

b) B    1 1 1 1 1 1    (Có 50 thừa số 1) nên B= 1

)

10

c C

C

C

�  � �   � �   �    � �



 

Bài 2.

(2 1) 8 4 14 4

2 1 4(2 1) 10

a xy x y

  

    

Vì x y, ��nên 2y1��,x4��, suy ra 2y1,x4 là ước nguyên của 10 và 2y1lẻ Lập bảng

4

Vậy

�  �   �  �  

b) Phải chứng minh 3x5 7yM � x4 7yM

Đặt A3x5 ,y B x 4 y Xét tổng A 4B 7x M 21 7

Nếu AM7�4 7,BM mà  4,7  � M 1 B 7

WORD=>ZALO_0946 513 000

Nếu BM7�4 7BM�AM7.Chứng tỏ 3x5 7yM �x4 7yM

Vì 3 5   4  7 3 5 7

4 7

x y

x y x y

x y



�

  M � �� M

M

Nếu 3x 5yM 7 �x 4yM 7 �3x 5y x   4yM 49

Nếu x 4yM 7 �3x 5yM 7 �3x 5y x   4yM 49

c) Gọi d là ước nguyên tố chung của 5n 2và 2n 7

Ta có:

2 5 2

5 2

10 35 10 4

2 7 5.(2 7)



�



M M

M

Vì d nguyên tố nên d  31

Khi đó

5 2 31 5 2 62 31 5 60 31 5( 12) 31

2 7 31 2 7 31 31 2 24 31 2( 12) 31

Mà 5,31  1; 2;31   1 suy ra n 12 31 M �n 31k 12k� �

Do 290 ��� �n  360 290 31k 12 360 9 k 11, mà k là số tự nhiên nên

9;10;11

k�

Từ đó tìm được n�291;322;353

Bài 3

a) Do n 1là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

Nếu n M 1 3thì n chia cho 3 dư 2 � 2n 1chia cho 3 dư 2, vô lý

Do đó n 1chia cho 3 sẽ dư 1� Mn 3

Do 2n 1là số chính phương lẻ nên 2n 1chia cho 8 dư 1, suy ra 2 8nM, từ đó 4

nM

Do đó n 1 là số chính phương lẻ nên n 1chia cho 8 dư 1, suy ra nM 8

Ta thấy nM M3, 8n mà  3,8  1 nên nM24mà n là số nguyên dương

Với n 24thì n  1 25 5 ; 2  2 n  1 49 7 ; 5  2 n  1 121 11  2

Vậy n 24là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài

b) Ta có A 2017 2017  2  2017 3  2017  2018(tổng A có 2018 số hạng, 2018 2) M

WORD=>ZALO_0946 513 000

     

2017 2017 2017 2017 2017 2017

2017.(1 2017) 2017 (1 2017) 2017 (1 2017)

2018 2017 2017 2017 2018

A

A

A

2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 6 2017 0 2017 0 6

A

A

Bài 4.

a) Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA

Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra

điểm B nằm giữa hai điểm A và C

Ta có: AB BC AC thay số tính được AC 7cm

Trường hợp điểm C thuộc tia BA

Trên tia BA, BA BC 2cm 5cmnên điểm A nằm giữa hai điểm B và C

Ta có: AB AC BC  Thay số tính đượcAC 3cm

WORD=>ZALO_0946 513 000

Tia Ox1là tia phân giác của �xOynên

1

160

80

xOy

Tia Ox2là tia phân giác của �xOx1nên

160

xOx xOx  

Tương tự như trên, tia Ox42 là tia phân giác của �xOx41 nên

160

xOx

Bài 5

a) Ta có n3  n n n2   1 n n2    n n 1 n n n��    1 n 1��n n  1 n 1

Với mọi số nguyên dương n thì n 1 n n 1 là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ

chia hết cho 2 và 3 mà  2,3  1 nên n n  1 n M 1 6

b) Ta có

1234

1 2 3

1 2 3

n n

T  a a  a a  a a   a a

Theo câu a ta có a13a1 M 6,a23a2 M 6,a33a3 M 6, a n3a nM 6, nên T  43211234M 6

WORD=>ZALO_0946 513 000

Suy ra T và 43211234cùng dư khi chia cho 6

Mặt khác 4321 chi 6 dư 1 nên 43211234 chia cho 6 cũng dư 1 Vậy T chia 6 dư 1

WORD=>ZALO_0946 513 000

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI

TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

MÔN TOÁN LỚP 6 NĂM HỌC 2020-2021

Bài 1 (3 điểm)

Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1;2;3với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần

2

2 3 2 2

x

x

x

a

b

c 





a) Tính M

b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3

Bài 4.(3 điểm) Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4 Biết rằng khi

chuyển chữ số 4 đó lên đầu còn các chữ số khác giữ nguyên thì ta được số mới gấp

4 lần số cũ

Bài 5 (6 điểm)

a) Cho 40 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta

vẽ được một đường thẳng Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng ?

b) Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng

c) Cho n điểm n�� Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta được 1 đường thẳng Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng Tìm n ?

WORD=>ZALO_0946 513 000

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 6 GIA LAI 2020-2021 Bài 1.

Trường hợp không dùng lũy thừa, số lớn nhất có thể viết được là 321

*Trường hợp dùng lũy thừa: (Ta bỏ qua lũy thừa có cơ số và số mũ là 1)

- Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 13 ;31 ;12 ; 212 2 3 3

So sánh 21 à 313v 2ta có 213  312(vì 21 3  9261; 31 2  961)

- Xét các lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 2 ; 2 ;3 ;313 31 12 21

So sánh 3 21với 2 31ta có

 

 

10

10

3 3.3 3 3 3.9

2 2.2 2 2 2.8

Từ đó suy ra 321 231 So sánh 3 21với 21 3ta có : 21 9  3 3 3 3

3   3 3  27  21 Vậy số lớn nhất là : 3 21

Bài 2.

3

2

2 4

)5 125

5 5

3

)3 81

3 3

x

x

x

x

a

x

b







�





2 3 2 2

2 3 3

3

x x x

c

x x









 



�

Bài 3.

a) Ta có 2M  2 2    2 3 2 4 2  2018  2 2019

Lấy 2M M  2 2019  2 Vậy M  2 2019  2

b)

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 1 2 2 (1 2) 2 1 2

3 2 2 2 2

M

M

M

Vậy MM 3

Bài 4.

Gọi số cần tìm là abcde4, ta có: abcde4.4 4  abcde

Đặt abcde x �abcde4x4

WORD=>ZALO_0946 513 000

Ta có:

4.4 400000

10 4 4 400000

40 16 400000

39 399984 10256

x x



 Vậy số cần tìm là 10256

Bài 5.

a) Kẻ từ 1 điểm bất kỳ với các điểm còn lại được : 39 đường thẳng

Làm như vậy với 40 điểm ta được 39.40 1560  (đường thẳng)

Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần

Do vậy số đường thẳng thực sự là : 1560 : 2 780  (đường thẳng)

b) Nếu 40 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được 780 đường thẳng

*Với 10 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được:

10.9 : 2 45  (đường thẳng)

Số đường thẳng cần tìm là : 780 44 736   (đường thẳng)

c) Ta có:

( 1) 15.14

n n

n n

n n

 

 

Vậy n = 15

WORD=>ZALO_0946 513 000