b Tìm giá trị của x để biểu thức P=2 Câu 5:3 điểm Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AK chia cạnh huyền BC thành hai đoạn KB=2cm và KC=6cm... Chứng minh rằng BH.BM=BK.BC..[r]
Trang 1ĐỀ 1 ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I
MÔN TOÁN 9
Thời gian: 60 phút
Phần I Trắc nghiệm(5 điểm)
1 Giá trị lớn nhất của biểu thức 2019 x2 x bằng:
2 Với x, y là số đo các góc nhọn Chọn nội dung sai trong các câu sau:
A. sin y
tan y
cos y
sin x cos y 1 C. cos x
cot x
sin x
tan y.cot y 1
3 Cho ABC vuông tại A ,đường cao AH, ta có:
A.AC2 AB BC. B.AB2 AC HB. C.AH2 HB HC. D.AB AH AC BC.
4 Giá trị của biểu thức ( 11) 2 bằng:
5. Căn bậc hai số học của 4 là
6 Chọn khẳng định đúng:
A.cot720 = cot180 B.cos250 = sin650 C.sin670 = sin230 D.tan310 = cot310
7 Trong một tam giác vuông Biết cosx = 2
3 Tính sinx.
A.5
5
5
5 2
8 Điều kiện để 3 x có nghĩa là: 5
9 Trục căn thức ở mẫu 6
2 ta được:
A.
3 2 2
10 Cho tam giác DEG vuông tại E, cosG bằng:
11. Căn bậc ba của -27 là:
12 Nếu sin α = 3
5 thì cot α bằng:
A.5
3
4
4 3
13 Cho (3x 1)2 bằng:
A.3x 1 B. (3x 1). C.1 3x D.3x 1.
14 Nếu cos x = sin 350 thì x bằng:
15 Tìm điều kiện để 2 3x có nghĩa, ta có:
Trang 2A. 2
3
3
3
3
x
16 Tìm điều kiện để 2 3 1
x
x
có nghĩa, ta có:
A. 3
2
2
2
2
x
17 Biểu thức liên hợp của biểu thức x 1 là:
18. Căn bậc hai của 16 là:
19 Rút gọn biểu thức 3, 6 10 + 4 bằng:
20 Nếu α = 250 18' thì cot α khoảng:
21 Cho tam giác ABC vuông ở A, BC = 25 ; AC = 20 , số đo của góc C bằng:
22 Cho tam giác BDC vuông tại D, sinC bằng:
A.BD
CD
BD
BC BD
23 Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc bằng 400 và bóng của tháp trên mặt đất dài 20 m
Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)
24 Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH Biết NH = 5 cm, HP = 9 cm Độ dài MH bằng:
25 Giá trị của biểu thức ( 8 18 20) 2 2 10 bằng:
A.4 10 B.2 5 C.10 D.5 2
Phần II Tự luận(5 điểm)
Câu 26(2,5 điểm)
a)So sánh: 2 3 1 và 2 2 5 b) Tìm điều kiện để 2x 3 có nghĩa.
c)Khử căn ở mẫu
2 6
3 d)Tính giá trị biểu thức
2 2
x x P
tại x 1 22
Câu 27(2 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3(cm), AC = 4(cm), đường
cao AH Kẻ HK vuông góc với AC tại K, kẻ HG vuông góc với AB tại G.
a)Chứng tỏ rằng: BH2 AB BG. b)Tìm tanC
c)Chứng minh rằng:
AC HB
HC AK d)Tính CK
Câu 28(0,5 điểm): Giải phương trình 2x 5 3x 5 2
Trang 3ĐÁP ÁN
I Phần trắc nghiệm
Đ.á
Câu 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Đ.á
II Phần tự luận
26
(2,5đ
)
a)So sánh: 2 3 1 và 2 2 5
Có: (2 3 1) 2 12 4 3 1 13 4 3
(2 2 5)2 8 4 10 5 13 4 10
Mà: 13 4 3 13 4 10
Nên: 2 3 1 < 2 2 5
Vậy: 2 3 1 < 2 2 5
0,25 0.25
b) Tìm điều kiện để 2x 3 có nghĩa
2x 3 có nghĩa khi
3
2
Vậy: 2x 3 có nghĩa khi
3 2
x
0,5
c) Khử căn ở mẫu
2 6
3
Có:
0,5
d) Tính giá trị biểu thức
2 2
x x P
tại x 1 22 ĐKXĐ: x 0
Có:
2
x
Với x 1 22
ta có P (1 2)2 2 2 1 21
Vậy: P = -1 khi x 1 22
0,25 0,5 0,25
Trang 4(2đ)
G
K
H
B
a) Chứng tỏ rằng: BH2 AB BG.
Xét HAB AHB: 90 (gt), HG0 AB {G}(gt)
2
.
BH AB BG (hệ thức về cạnh góc vuông-hình chiếu)
Vậy: BH2 AB BG. (đpcm)
0,25 0,25
b) Tìm tanC
Xét ABC BAC: 90 (gt)0 Ta có:
3 tan
4
AB C AC
Hoặc: Xét HAC AHC: 90 (gt)0 Ta có: tan
AH C CH
Hoặc: Xét HCK KHC: 90 (gt)0 Ta có: tan
KH C KC
0,5
c) Chứng minh rằng:
AC HB
HC AK +)Xét ABC BAC: 90 (gt), AH0 BC {H}(gt)
Có: AH2 HB.HC (hệ thức về đường cao-hình chiếu)
+) Xét HAC AHC: 90 (gt), HK0 AC {K}(gt)
Có: AH2 AK A C (hệ thức về cạnh góc vuông-hình chiếu)
+) Do đó: AK A C HB.HC( AH2)
AC HB
HC AK
Vậy:
AC HB
HC AK (đpcm)
0,125 0,125 0,125 0,125
d) Tính CK
+)Xét ABC BAC: 90 (gt), AH0 BC {H}(gt)
Có: BC2 AB2AC2 (Pytago) BC AB2AC2 25 5
Lại có: AC2 HC.BC (hệ thức về cạnh góc vuông-hình chiếu)
2 4 2 16
AC HC
BC
(cm) +) Xét HAC AHC: 90 (gt), HK0 AC {K}(gt)
Có: HC2 CK A C (hệ thức về cạnh góc vuông-hình chiếu)
2
HC CK
AC
Vậy: CK = 12,8 (cm)
0,125 0,125
0,125 0,125
28
(0,5đ √ 2x+5− √ 3 x−5=5 (*)
0.125
Trang 5ĐKXĐ: { 2x+5≥0 ¿¿¿¿
(*) 2x 5 3x 5 2 (1)
Với
5 3
x
thì 2 vế của (1) đều dương, ta bình phương 2 vế của (1)
Ta được: 2x + 5 = 3x – 5 + 4 3x 54
4 √ 3 x−5=6−x (2)
0.125
Phương trình (2) có nghiệm khi: 6 - x ≥ 0 x ≤ 6
Khi đó: 2 vế của (2) không âm
Ta bình phương 2 vế của (2) được 16(3x – 5) = 36 - 12x + x2
x2 - 60x + 116 = 0
(x – 2)(x – 58) = 0
[ x=2 ( TM§K)
[ x=58 > 6 (lo¹i) [
0.125
MÔN TOÁN 9
Thời gian: 60 phút
Câu 1:(2 điểm) thực hiện tính:
a) √ 16.36 b) √259 :
16
36 c) √ 2. √ 8 d)
√ 75
√ 3
Câu 2:(1 điểm) Rút gọn
a) √ ( √ 2−1 )2+ √ 2+1 b) 2 √ 20−3 √ 45+2 √ 125
Câu 3:(2 điểm) Tìm x, biết:
a) x2 -1=3 b) √ 16x−2 √ 36 x+3 √ 9x=2
Câu 4:(2 điểm) Cho biểu thức: P= ( √ √ x−1 x+1 −
√ x−1
√ x+1 ) ( √ 1 x +1 ) (với x ¿ 0 ¿ , x≠1 )
a) Hãy rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức P=2
Câu 5:(3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AK chia cạnh huyền BC thành hai
đoạn KB=2cm và KC=6cm
a) Tính độ dài các đoạn thẳng: AK, AB, AC
b) Trên cạnh AC lấy điểm M ( M khác A và C) Gọi H là hình chiếu của A trên
BM Chứng minh rằng BH.BM=BK.BC
c) Chứng minh rằng: SBKH= 1
4 SBMC.Cos2∠ ABH
Trang 6ĐÁP ÁN
Câu 1:
(2 điểm) a) √ 16.36= √ 16 √ 36=4.6=24
b) √259 :
16
36=√259 .√1636=
3
5.
4
6=
2
5 c) √ 2. √ 8= √ 2.8= √ 16=4
d)
√75
√3 =√753 =√25=5
0.5 0,5 0,5 0,5
Câu 2: (1,0
điểm) a)
√ ( √ 2−1 )2+ √ 2+1=| √ 2−1|+ √ 2+1= √ 2−1+ √ 2+1=2 √ 2
b)
2 √ 20−3 √ 45+2 √ 125=2 √ 4.5−3 √ 9.5+2 √ 25.5
=2.2 √ 5−3.3 √ 5+2.5 √ 5=4 √ 5−9 √ 5+10 √ 5=5 √ 5
0,5
0,5
Câu 3: a) Tìm x, biết x2 -1=3
⇔x2= 4
⇒x=−2 hoặc x=2 Vậy x=−2 hoặc x=2
b) Tìm x, biết: √ 16x−2 √ 36 x+3 √ 9x=2
ĐKXĐ: x≥0
√ 16 x −2 √ 36 x+3 √ 9 x=2
4 √ x−2 6 √ x +3 3 √ x=2
√ x=2
x=4 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x=4
0,25 0.5 0,25
0,25 0,25
0.25 0.25
Câu 4: Cho biểu thức:
P= ( √ √ x−1 x+1 −
√ x−1
√ x+1 ) ( √ 1 x + 1 ) (với x¿ 0 ¿ , x≠1 ) a) Hãy rút gọn biểu thức A.
Trang 7M H
E I
P=( √ √x+1 x−1−
√x−1
√x+1 ).(1√x+1)
=((√x+1)(√x+1 )
(√x−1)(√x+1)−
(√x−1)(√x−1 )
(√x−1)(√x+1) ).(1+√x√x)
=((√x+1)2
(√x−1)(√x+1)−
(√x−1)2
(√x−1)(√x+1)).(1+√x√x )
¿((x+2√x−1)(√x+1√x+1 )−
x−2√x+1
(√x−1 )(√x+1 )).(1+√x√x)
¿.(4√x
(√x−1)(√x+1)).(1+√x
√x )=4
√x−1
Vậy với x ¿ 0 ¿ , x≠1 ta có: P=
4
√x−1
b) Tìm giá trị của x để biểu thức P=2
với x ¿ 0 ¿ , x≠1 ta có: P=
4
√x−1
Giã sử P=2 hay
4
√x−1=2
4
mãn ĐKXĐ)
Vậy với x=9 thì P=2
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 5:
a/ BC=KB+KC=2+6=8 cm
Δ ABC vuông tại A, đường cao AK:
AB2=BH.BC=2.8=16 ⇒ AB=4cm
● BC2 AB2AC2 (định lý Pyt go)a
2 2 82 42 4 3
● AK2=HB.HC=2.6=12 ⇒ AK= √ 12 = 2 √ cm
b/ Δ ABM vuông tại A, đường cao AH ⇒ AB2=BH.BM
(1)
0.25
0,25 0,25
0,25 0.25 0,25 0,25 0,25
Trang 8Δ ABC vuông tại A, đường cao AK ⇒ AB2=BK.BC (2)
Từ (1)(2) BH.BM=BK.BC
c/ Kẻ HI ⊥BC ; ME ⊥BC ( I , K ∈BC )
⇒S BKH
S BMC=
1
2HI BK 1
2ME BC
=2 HI
8 ME=
1
4.
HI ME
(3)
Δ BHI ∞ Δ BME ⇒ HI
ME=
BH
BM (4)
Δ ABM vuông tại A có:
CosABH= AB
BM⇒Cos
2 ABH = AB 2
BM 2=
BH BM
BM 2 =
BH
BM (5)
Từ (3)(4)(5) ⇒
S BKH
S BMC=
1
4 Cos
2 ABH ⇒ S BKH=1
4 S BMC Cos 2 ABH
0,25 0,25
0,25 0,25 0.25
MÔN TOÁN 9
Thời gian: 60 phút
Bài 1: (1,0 đ) : Tìm điều kiện của x để các căn thức sau có nghĩa
a) x 2 b)
1 2x 1 Bài 2 : (2,0 đ) Tính :
a) 4.36 b) 8 3 2 2
c)
14 7
2
2
Bài 3 : (1,0 đ) Cho biểu thức A = 4x20 2 x 5 9x45 với x -5
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 6
Bài 4 : (2,0 đ): Cho biểu thức M = 2
4 4
x x
x
với x > 0 , x 4 a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của M khi x = 3 2 2
c) Tìm giá trị của x để M > 0
Bài 5 (3,0 đ): Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn : BH = 4 cm và HC = 6 cm
a) Tính độ dài các đoạn AH, AB, AC
b) Gọi M là trung điểm của AC Tính số đo góc AMB (làm tròn đến độ)
Trang 9c) Kẻ AK vuông góc với BM (K thuộc BM) Chứng minh : BK.BM = BH.BC
Bài 6 (1,0đ): Giải phương trình sau.
√ x−2000+ √ y−2001+ √ z−2002= 1 2 ( x + y +z ) −3000
Trang 10ĐÁP ÁN
1
(1,0 đ) 1a x 2 có nghĩa khi x – 2 ≥ 0 Û x ≥ 2. 0.5
2x 1 có nghĩa khi 2x 1 0 Û x >
1 2
0,5
2
(2,0 đ)
2b 8 3 2 2
= 2 2 3 2 2 2 21 0,5 2c
2 1
7 14
2 1
1 2 2
2d
2 5
2
2
= 5 2 22
4 5 2 4 5 2
= 4 5
0,5
3
(1,0 đ)
x
0,5
5 4 1
x x
0,5
4
(2,0 đ) 4a
M = 2
4 4
x x
x x
= x
x 2
0,5 0,5
4b) x = 3 2 2 (Thỏa mãn ĐK) x 1 2
Khi đó M =
3 2 2
4c)
Với ĐK x > 0 , x 4 thì M = x
x 2
Do đó M > 0 x
x 2
>0
Vì x 0 nên x 2 0 x4 Kết hợp với ĐKXĐ ta có M > 0 khi x > 4
0,5
5
(3,0 đ)
K
H
M
5a DABC vuông tại A : nên
0,5
Trang 11AH2 = HB.HC = 4.6 = 24 Þ AH = 2 6(cm)
AB2 = BC.HB = 10.4 = 40 Þ AB = 2 10(cm)
AC2 = BC HC = 10.6 = 60 Þ AC = 2 15(cm)
0,75 5b D ABM vuông tại A
2 10 2 6 tanA
3 15 59
AB MB AM AMB
0,5 0,25
5c DABM vuông tại A có AK ^ BM => AB2 = BK.BM
DABC vuông tại A có AH ^ BC => AB2 = BH.BC
Þ BK BM = BH.BC
0,25 0,25 0,25 6
(1,0 đ)
Phương trình đã cho tương đương với
2000 2 2000 1 2001 2 2001 1
2002 2 2002 1 0
⇔ ( √ x−2000−1 )2+ ( √ y−2001−1 )2+ ( √ z−2002−1 )2= 0
⇔ ¿ { √ x−2000−1=0 ¿ { √ y−2001−1=0 ¿¿¿
KL: Phương trình có nghiệm: x=2001; y=2002 ;z=2003
0,25
0,25
0,25
0,25
MÔN TOÁN 9
Thời gian: 60 phút
Bài 1 (2,0 điểm)
1 Thực hiện phép tính
a) 81 80 0,2
b)
2 1
2
2 Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa:
1
x x Bài 2 (2,0 điểm)
1 Phân tích đa thức thành nhân tử
Trang 12a) ab b a a 1
(với a 0) b) 4 a 1 (với a 0)
2 Giải phương trình: 9 x 9 x 1 20
Bài 3 (2,0 điểm)
Cho biểu thức
(với x > 0; x 1) a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để
5
A = 3 Bài 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết BC = 8cm, BH = 2cm
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AH
b) Trên cạnh AC lấy điểm K (K A, K C), gọi D là hình chiếu của A trên BK Chứng minh rằng: BD.BK = BH.BC
c) Chứng minh rằng:
2
1
cos 4
BHD BKC
S S ABD
Bài 5 (0,5 điểm)
Cho biểu thức P x 3 y3 3( x y ) 1993 Tính giá trị biểu thức P với:
39 4 5 39 4 5
x và y 33 2 2 33 2 2
Hết
ĐÁP ÁN Bài 1
1.a
0.5đ
2
9 16 9 4 5 0.25 1.b
0.5đ
5 2 5 2 0.25 2.a
0.5đ Biểu thức
1
x
x 1 0.25
2.b
0.5đ Biểu thức
2
1
x x
có nghĩa
2 2
1
2
Bài 2 (2,0 điểm)
1.a
Với a 0 ta có: ab b a a 1 b a ( a 1) ( a 1) 0.25
Trang 13 ( a 1)( b a 1) 0.25
1.b
0.5đ
Với a 0 a 0
ta có:
4 a 4.( ) a (2 a ) 1 4 a 1 (2 a ) 0.25 (1 2 a )(1 2 a ) 0.25
2
1.0đ
9 x 9 x 1 20 9( x 1) x 1 20 3 x 1 x 1 20
0.25 4 x 1 20 x 1 5
x 1 25 x 24 (T/m ĐKXĐ) 0.25 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 24 0.25 Bài 3 (2,0 điểm)
a
1.25đ
2
x
0.25
2
2
x
0.25
Vậy A
2
x
b
0.75đ
x A
x
(ĐK: x > 0 ; x 1) 0.25 3( x 2) 5 x
2 x 6 x 3 x 9(TMĐK) 0.25 Vậy với x = 9 thì
5 3
A
Bài 4 (3,5 điểm)
Trang 141.5đ
B
A
C H
K D
+ ABC vuông tại A, đường cao AH AB2 BH BC 2.8 16 0.25 AB 4 cm (Vì AB > 0) 0.25
+ BC2 AB2 AC2 (Định lý Pitago trong tam giác vuông ABC) 0.25
+ Có HB + HC = BC HC = BC – HB = 8 – 2 = 6 cm
12 2 3
b
1.0đ
+ ABKvuông tại A có đường cao AD AB2 BD BK
(1) 0.5 + MàAB2 BH BC (Chứng minh câu a ) (2) 0.25
c
1.0đ
+ Kẻ DI BC KE, BC I K BC( , )
2
BHD BKC
BH DI
(3)
0.25
+
DI BD BDI BKE
KE BK
(4)
0.25 + ABK vuông tại A có:
cosABD AB cos ABD AB BD BK BD
(5)
0.25
Từ (3), (4), (5)
2
1 os 4
BHD BKC
S
c ABD S
4
BHD BKC
Bài 5 (0,5 điểm)
0.5đ
Ta có: x3 18 3 x x3 3x18
y3 6 3 y y3 3 y 6 0.25
Vậy P = 2017
với
39 4 5 39 4 5
và
33 2 2 33 2 2
y
0.25
Trang 15Lưu ý:
- Trên đây là các bước giải cơ bản cho từng bài, từng ý và biểu điểm tương ứng, học sinh phải có lời giải chặt chẽ chính xác mới công nhận cho điểm
- Học sinh có cách giải khác đúng đến đâu cho điểm thành phần đến đó
MÔN TOÁN 9
Thời gian: 60 phút
Bài 1 (2,0 điểm) Thực hiện phép tính.
a) 3 2x 5 8 x 7 18x b)
3 5 3 5
Bài 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) 9 x 9 x 1 20 b) x 8 2 x 3.
Bài 3 (2,0 điểm). Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định của A?
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm x để A =
5
3.
Bài 4 (3,0 điểm) Cho ABC vuông tại A., đường cao AH Biết BH = 1.8 cm; HC = 3,2 cm
a Tính độ dài AH ; AB; AC
b Tính số đo góc B và góc C
c Tia phân giác của góc B cắt AC tại D Tính độ dài BD
d Chứng mimh rằng:
AC tan ABD
AB BC (số đo góc làm tròn đến độ, độ dài đoạn thẳng làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
Bài 5 (1,0 điểm) Chứng minh đẳng thức sau:
a a b b
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Bài 1:
(2,0 điểm)
3 2x 5 8 7 18x 3 2x 10 2x 21 2x
3 10 21 2x 14 2x
x
9 5 4 2
3 5 3 5 3 5 3 5
Bài 2:
(2,0 điểm) a) ĐK:
1
x
9 x 9 x 1 20 9( x 1) x 1 20 3 x 1 x 1 20
1,0đ
Trang 16 4 x 1 20 x 1 5 x 1 25 x 24 (T/m ĐKXĐ) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 24
b) x 8 2 x 3
8 0
2 3 0
8 2 3
x x
8 0
2 3 0
8 2 3
x x
8 3 2 5(loai)
x x x
Vậy không tìm được x thỏa điều kiện đề bài cho
1,0đ
Bài 3:
(2,0 điểm)
2
x
2
2
= x
x
Vậy A
2
= x
x
(với x > 0; x 1)
0,25đ 0,25đ 0,25đ
x A
x
(ĐK: x > 0 ; x 1) 3( x 2) 5 x
2 x 6 x 3 x (TMĐK) 9 Vậy với x = 9 thì
5 3
A
.
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 4:
(3,0 điểm) a Tính độ dài AH ; AB; AC 0,25đ
ABC có: A 90 o , AH BC (gt ) Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
AH2 = BH HC = 1,8 3.2 = 5,76 AH = 5,76 2, 4( cm)
AHB vuông tại H theo định lí py ta go :
AB = AH2BH2 1,822, 42 3(cm)
AHC vuông tại H theo định lí py ta go:
AC = AH2CH2 2, 423, 22 4 (cm)
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b Tính góc B, C
Trang 17Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có : tan B =
4 3
AC
AB B 53 o nên C 90 o B 90 53 o o 37o = 900
0,25đ 0,25đ
c Tính BD
ABD (A 90 o) ,
o
o
Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
.cos
3
3,352( ) cos 26,5
cos
AB BD ABD
AB
ABD
0,25đ
0,25đ
d ABD vuông tại A ta có : tan ABD =
AD
AB (1)( định nghĩa tỉ số lượng giác
Ta lại có: BD là phân giác trong của ABC Nên
AD AB
DC BC (Tính chất đường phân giác)
AD DC
AB BC =
AD DC
AB BC
AC
AB BC (2)
Từ (1) và (2) tan ABD=
AC
AB BC
0,25đ 0,25đ
0,25đ
Bài 5:
(1,0 điểm)
Ta có:
a a b b
0,5đ
0,5đ
MÔN TOÁN 9
Thời gian: 60 phút
Bài 1: (1 đ) : Tìm điều kiện của x để các căn thức sau có nghĩa
a) x 2 b) 2 3x
Bài 2 : Tính : (2 đ)