Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu học tập và ôn thi môn Toán, mời các bạn cùng tham khảo Chuyên đề Tập hợp số tự nhiên dưới đây. Nội dung tài liệu cung cấp cho các bạn những kiến thức, câu hỏi bài tập về số tự nhiên các phép toán trên tập hợp số tự nhiên.
Trang 1
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019
Trang 2CHUYÊN ĐỀ: TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ VÀ CHỮ SỐ
Thử lại ta thấy abc512
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta được số mới lớn gấp 26 lần số phải tìm
Lời giải
Gọi số cần tìm là : ab ( a ≠ 0 ; a , b < 10 )
Viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta được : 12ab
Trang 3Gọi số phải tìm là : abc(0 a 9;0b c, 9)
Bài 5: Tìm một STN có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó
Bài 7: Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9, hiệu giữa
số đó với số viết theo thứ tự ngược lại = 297
Trang 4Vì : abc 5 c 0;c5
+) c = 0 a = 3, mà abc 93 0 9b b 6 , thử lại : 360 – 63 = 297
+) c = 5 a = 8, 8 5 9b b 5 , thử lại: 855 – 558 = 297
Vậy có hai số cần tìm: 360 và 855
Bài 8: Cho số có hai chữ số Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn
vị của nó thì được thương là 18 và dư 4 Tìm số đã cho?
Tương tự : b = 4 , a = 9 thỏa mãn Vậy số cần tìm là: 94
Bài 9: Tìm abcd , biết : (ab c d d) 1977
Nhưng do 656 không chia hết cho 7 ; 656 không chia hết cho 9 c = 8
Thử lại: ab656 : 882 và ( 82.8 + 3 ) 3 = 1977 Suy ra abcd 8283
Trang 5Bài 11: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào đằng sau số
đó thì được số lớn gấp ba lần số có được bằng cách viết thêm chữ số 2 vào đằng trước số
Gọi số tự nhiên cần tìm là abc3, (a 0)
Theo bài ra ta có: abc3 1992 abc 10.abc 3 1992 abc 9.abc 1989 abc 221
Trang 6Vậy hai thừa số cần tìm là 46,135
Bài 17: Một học sinh nhân một số với 463 Vì bạn đó viết các chữ số tận cùng của các tích riêng ở cùng một cột nên tích bằng 30524 Tìm số bị nhân?
Lời giải
Do đặt sai vị trí các tích riêng nên bạn học sinh đó chỉ nhân số bị nhân với 4 6 3
Vậy số bị nhân bằng: 30524 :13 2348
Bài 18: Tìm thương của một phép chia, biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5
vào số chia thì thương và số dư không đổi?
Trang 7Bài 19: Khi chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ
số khác nhau, ta được thương là 2 và còn dư Nếu xóa một chữ số ở số bị chia và xóa một chữ số ở số chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước là 100 Tìm số bị chia và số chia lúc đầu
Gọi ab7 số tự nhiên có chữ số 7 là hàng đơn vị
7ab số tự nhiên có chữ số 7 là số hàng trăm
Theo đề bài ta có: 7ab ab: 7 2 dư 21
Trang 8Cách 2:
Gọi số phải tìm là ab7, theo đề bài ta có: 7ab 2.ab7 21 => 2.ab7 21 7ab
=> 2(100a 10b 7) 700 10a b => 200a 20b 28 700 10ab => 190a 19b 665
=> 10a b 35
Bài tập 21: Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trước số
đó thì được một số lớn gấp 4 lần so với số có được bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số
đó
Lời giải
Gọi số tiền có năm chữ số là: abcde
Theo đề bài: 7abcde 4.abcde7
Ta có: 7abcde 700000 abcde; 4.abcde7 4.(10.abcde 7)
7abcde 4.abcde7 700000 abcde 4.(10.abcde 7) 700000 abcde 40.abcde 28
700000 28 40.abcde abcde 6999972 39.abcde
Bài 22: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên phải
và một chữ số 2 vào bên trái của nó thì số ấy tăng gấp 36 lần
Lời giải
Gọi số phải tìm là ab Viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và bên phải ta được: 2ab2, số
đo tăng lên gấp 36 lần
Bài 24: Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số của chính số đó, ta được một
số mới có bốn chữ số và bằng 99 lần số đầu tiên Tìm số đó
Lời giải
Trang 9Bài 25 Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số một số có hai chữ số kém số
đó 1 đơn vị thì sẽ được một số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số đầu tiên Hãy tìm số
Bài 26 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ngược lại nhân với
số phải tìm thì được 3154; số nhỏ trong hai số thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27
Trang 10Hay a bcd0 abcd*10 abcd
Hay a bcd0 abcd abcd0
Vì d b có tận cùng bằng 0 suy ra d 0 hoặc 5
* Nếu d 5 ta có c c 1 0 có tận cùng là 5 nên c 2 hoặc 7
- Nếu c 2 thì b b 2 nên b 1, do đó 0 a có tận cùng bằng 1 nên a 1 (loại vì a khác b )
- Nếu c 7 thì b b 1 có tận cùng là 7 nên b bằng 3 hoặc 8
- Nếu b 3 thì 0 a 3 nên a bằng 3 (loại)
- Nếu b 8 thì 0 a 1 8 nên a 7 (loại vì a khác c )
* Nếu d 0 suy ra c khác 0 mà c c có tận cùng là 0 nên c 5 Khi đó b b 1 có tận cùng là 5 nên b 2 hoặc 7
- Nếu b 2 thì 0 a có tận cùng bằng 2 nên a 2 (loại)
- Nếu b 7 thì 0 a 1 có tận cùng là 7 nên a 6
Vậy số cần tìm là 6750
Trang 11Bài 30: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 4 ta được số gồm bốn chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại
Trang 12B hoặc B 1 (vì nếu B 1 thì phép nhân ở hàng nghìn 9.B sẽ nhớ ít nhất 1 sang hàng chục nghìn E không thể là 9 được)
*) Xét trường hợp B 0
10CD9 _ 9
x
9.D 8 có tận cùng là 1 7
D (vì 9.7 8 71, có tận cùng là 1)
11 79C _ 9
Trang 1311079 _ 9
x
97011 KHÔNG ĐÚNG
Thử lại với C 9
11979 _ 9
Số cần tìm là abc, xóa chữ số hàng trăm ta có số bc
Ta có: abc = 9bc => 100a + bc = 9bc => 8bc = 100a ⋮ 8 => a = 4 hoặc a = 8
Số cần tìm là abcd, xóa chữ số hàng trăm ta có số bcd
Ta có: abcd = 9bcd => 1000a + bcd = 9bcd => 8bcd = 1000a ⋮ 8 => a = 4 hoặc a = 8
Số cần tìm là a cd0 , xóa chữ số hàng trăm ta có số acd
Ta có: a cd0 = 9acd => 1000a + cd = 9(100a + cd )
=> 100a = 8cd ⋮ 8 => a = 4 hoặc a = 8
Vì cd có 2 chữ số => a = 4 và cd = 50
=> Số cần tìm là 4050
Trang 14Bài 36: Một số tự nhiên có hai chữ số tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó Tìm số ấy
*) Chú ý: Có thể thay đầu bài bởi số khác
+) Nếu n có không có 3 chữ số thì n ≤ 999 suy ra S(n) ≤ 27 suy ra S(n) + n ≤ 999 + 27 = 1026
Trang 1519 1993
201120
+) Nếu a – d – 1 = 0 suy ra VT = 0 ; VP là số lẻ suy ra vô lý
+) Nếu a – d – 1 ≥ 1 suy ra VT ≥ 111 ; VP ≤ 1 + 10 9 = 91 suy ra vô lý ( đ p c m )
Bài 3: Cho 17 số tự nhiên, biết rằng tổng của bốn số tự nhiên bất kỳ trong 17 STN đã cho
lớn hơn 20 Chứng minh rằng tổng của 17 STN đã cho lớn hơn 85
Lời giải Cách 1: Gọi a1 , a2, < , a17 là các STN đac cho
Giả sử: 0 ≤ a1 , a2, a3 , a4 ≤ 5 suy ra: a1 + a2+ a3 + a4 ≤ 20 Vô lý Tồn tại ít nhất 1 số tự
nhiên lớn hơn 5, giả sử số đó là: a1 S = a1 + ( a2 + a3 + a4 + a5 ) + ( a6 + a7 + a8 + a9 )+<<.+ (a14
Bài 4: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải số
đó thì nó tăng thêm 4106 đơn vị
Lời giải
Gọi số cần tìm là abc (a ≠ 0; a , b và c nhỏ hơn 10)
Viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó, ta được: abc2
Theo đề bài ta có: abc2 = abc+ 4106
abc abc phantichabc theocautaoso
Thử lại: 4562 – 456 = 4106 ( đúng )
Bài 5: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số Biết rằng nếu ta xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị
thì số đó giảm đi 4455 đơn vị
Trang 16Lời giải
Gọi số cần tìm là abcd (a ≠ 0; a , b, c và d nhỏ hơn 10)
Xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó, ta được ab
Theo đề bài ta có: abcd - ab = 4455
ab 100 + cdab = 4455 (phân tích abcd theo cấu tạo số)
9abc26.abc9000abc26abc900025abcabc360
Bài 6: Chia một số tự nhiên có ba chữ số như nhau cho một STN có ba chữ số như nhau ta được thương là 2 và có dư Nếu xóa bớt một số ở số bị chia và xóa bớt một số ở số chia thì thương vẫn bằng 2 và số dư giảm đi 100 Tìm số bị chia và số chia lúc đầu
Từ (1)(2)(3) suy ra : r = 111, thay vào (*) được: a = 2b + 1
+) b = 1 suy ra a = 3 suy ra 333 và 111 ( Loại )
Trang 173 3 3
2
3( / )
Bài 8: Tìm STN có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào đằng sau số đó thì được
số lớn gấp 3 lần số có được bằng cách viết thêm chữ số 2 vào đằng trước số đó
a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số có chứa đúng 1 số 4?
b Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số có chứa đúng 2 chữ số 4? ( các chữ số không nhất thiết phải khác nhau )
Trang 18Bài tập 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 4 gồm bốn chữ số, chữ số tận cùng bằng
- Số đếm có dạng ab5: các số thuộc loại này có: 8.9 72 số
Vậy số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 là 81 72 72 225 số
Bài tập 3: Để đánh số trang của một cuốn sách, người ta viết dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1
và phải dùng tất cả 1998 chữ số
a) Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang? b) Chữ số thứ 1010 là chữ số nào?
Lời giải
a) Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang?
Ta có: Từ trang 1 đến trang 9 phải dùng 9 chữ số (viết tắt c/s)
Từ trang 10 đến trang 99 phải dùng (99 10) 1 90 số có 2c/s 180c/s
Trang 19a) Chứa đúng một chữ số 4? b) Chứa đúng hai chữ số 4?
c) Chia hết cho 5 , có chứa chữ số 5 ? d) Chia hết cho 3 , không chứa chữ
c) Chia hết cho 5 , có chứa chữ số 5 ?
Số có ba chữ số, chia hết cho 5 gồm 180 số, trong đó số không chứa chữ số 5 có dạng abc,
a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 1 cách chọn (là 0 ) gồm 8.9 72 số
Vậy có 180 72 108 số phải đếm
d) Chia hết cho 3 , không chứa chữ số 3 ?
Số phải tìm có dạng abc , a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 3 cách chọn (nếu
Khoảng cách của dãy là 30
=> Số số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là:
(9975 – 1005) : 30 + 1 = 300 số
Bài tập 6: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A
a) Số A có bao nhiêu chữ số? b) Tính tổng các chữ số của số A?
c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần? d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần?
Hướng dẫn
a) Số A có bao nhiêu chữ số?
Trang 20Vậy ở đây (1) chữ số 1 cũng được viết 300 lần
d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần?
Ở dãy (2) chữ số 0 có mặt 300 lần
So với dãy (1) thì ở dãy (2) ta viết thêm các chữ số 0 :
- Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm của các số từ 000 đến 099 );
- Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục của các số từ 000 đến 009 );
- Vào hàng đơn vị 1 lần (chữ số hàng đơn vị của 000 )
Vậy chữ số 0 ở dãy (1) được viết là: 300 111 189 (lần)
Bài tập 7: Từ các chữ số 1, 2,3, 4 , lập tất cả các số tự nhiên mà mỗi chữ số trên đều có mặt đúng một lần tính tổng các số ấy
Trang 21+) Tính tổng
- Phân tích thành tổng có giá trị bằng 0 nếu tổng xuất hiện dấu + và dấu – đan xen
- Phân tích mỗi số hạng thành một hiệu, sao cho số trừ của hiệu trước = số bị trừ của hiệu sau
B Các dạng toán
Dạng 1: Tính tổng các số hạng cách đều
CÂU CHUYỆN VỀ VUA TOÁN HỌC GAUSS
Ba tuổi, thiên tài tính toán đã bộc lộ ở Gauss; Bảy tuổi đến trường và khiến cho các giáo viên phải kinh ngạc trước khả năng toán học của mình Mười chín tuổi, Gauss quyết tâm trở thành nhà toán học Khó
có thể chỉ ra một ngành toán học nào mà ở đó lại không có những đóng góp của ông “Vua toán học” Carl Friedrich Gauss
Gauss sinh ra trong một gia đình người sửa ống nước kiêm nghề làm vườn vào mùa xuân năm 1777 Người ta còn kể mãi một câu chuyện về thời thơ ấu của ông như sau:
Cha của Gauss thường nhận thầu khoán công việc để cải thiện đời sống Ông hay thanh toán tiền nong vào chiều thứ bảy Lần ấy, ông vừa đọc xong bảng thanh toán thì từ phía giường trẻ có tiếng của Gauss gọi:
- Cha ơi, cha tính sai rồi, phải thế này mới đúng<
Mọi người không tin, nhưng khi kiểm tra lại thì quả là Gauss đã tính đúng Khi ấy, Gauss mới tròn 3 tuổi Có thể nói, Gauss đã học tính trước khi học nói
Những ngày đầu đến trường, Gauss không có gì đặc biệt so với các trò khác Nhưng tình hình thay đổi hẳn khi nhà trường bắt đầu dạy môn số học
Một lần, thầy giáo ra cho lớp bài toán tính tổng tất cả các số nguyên từ 1 – 100 Khi thầy vừa đọc và phân tích đầu bài thì Gauss đã lên tiếng:
- Thưa thầy, em giải xong rồi!
Thầy giáo không hề để ý đến Gauss, dạo quanh các bàn và nói chế nhạo:
- Carl, chắc em sai rồi đấy, không thể giải quá nhanh một bài toán khó như vậy đâu!
- Thầy tha lỗi cho em, em giải rất đúng ạ! Em nhận thấy ở dãy số này có các tổng hai số của từng cặp số đứng cách đều phía đầu và phía cuối của dãy số đều bằng nhau: 100 + 1 =
99 + 2 = 98 + 3 =< 50 = 51 = 101 Có 50 tổng như vậy nên kết quả sẽ là 1 = 2 = 3= < = 101 *
50 = 5050
Thầy giáo hết sức ngạc nhiên khi thấy Gauss giải bài toán một cách chính xác tuyệt đối,
mà cách giải lại vô cùng độc đáo Từ đó,Gauss được mọi người biết đến như một thiên tài toán học
Trang 22Ngay trong những năm đầu tiên ở trường Đại học Tổng hợp Gottinghen, Gauss đã đưa ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ và compa Đây là một phát hiện rất quan trọng, nên về sau người ta đã theo di chúc của ơng mà khắc trên mộ ơng đa giác đều 17 cạnh nội tiếp trong một đường trịn
Sau này, nhờ cĩ nghệ thuật tính tốn mà Gauss đã phát hiện một hành tinh mới Vào đầu thế kỷ XIX, một nhà thiên văn học người Italia đã phát hiện ra hành tinh mới gọi là Xexera Ơng quan sát được nĩ khơng lâu, sau đĩ nĩ dịch lại gần mặt trời và bị lẫn vào những tia sáng mặt trời Những thí nghiệm của các nhà thiên văn đều khơng đạt kết quả nữa, họ khơng nhìn thấy được nĩ ở chỗ mà theo dự đốn nĩ phải hành trình đến Các kính viễn vọng đều bất lực Nhưng Gauss, với những số liệu quan sát ban đầu, ơng đã tính được quỹ đạo của hành tinh mới đĩ và chỉ ra vị trí của nĩ với độ chính xác cao Nhờ thế, các nhà thiên văn đã tìm thấy Xexera Về sau, theo cách này, người ta đã tìm ra nhiều hành tinh mới khác Sau cơng trình thiên văn kiệt xuất đĩ, Gauss được xem như một nhà tốn học vĩ đại của thế giới và được tơn là “Ơng hồng tốn học”
C F Gauss thọ 78 tuổi, và cả cuộc đời ơng là những cống hiến vĩ đại cho ngành tốn học của nhân loại Cho đến tận ngày nay, câu chuyện về khả năng tính tốn thiên bẩm của Gauss vẫn cịn được kể như là những huyền thoại
- Ở chủ đề 01: “TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN” cĩ một số bài tốn đưa ra dạng tốn cĩ quy luật
và đan xen vào đĩ là tính tổng của dãy (phần bài tập tự luyện) Ở chủ đề này, mục đầu tiên xin được đưa ra trong các phép tốn trong tập hợp số tự nhiên là dạng tốn cĩ quy luật Các em học sinh cùng nghiên cứu các bước giải và ví dụ tính tốn sau:
Muốn tính tổng của một dãy số cĩ quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:
Số hạngcuối Số hạng đầu
(quy tắc dân gian : dĩ đầu, cộng vĩ , chiết bán, nhân chi)
Với dãy số tăng dần ta cĩ:
Số hạng cuối = số hạng lớn nhất
Số hạng đầu = số hạng bé nhất
Ở các bài tập dưới đây, dãy cộng với số tự nhiên đa phần ta gặp đĩ là dãy tăng dần
Ví dụ 1: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ hai chữ số ? Tính tổng của chúng
Lời giải
Cách 1:
Trang 23Ví dụ 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2019 ?
Phân tích: Với dãy số tăng dần ta có:
Trang 24Số hạngcuối Số hạng đầu
Suy ra: 2.Tổngcủadãy : Sốsố hạngSố hạngcuối Số hạngđầu
Bài tốn cho chúng ta biết số số hạng là15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là
2 và tổng của dãy số trên là 915 Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối Từ đĩ ta hướng dẫn học sinh chuyển bài tốn về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đĩ
Lời giải
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:15 1 2 28
Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 915 2 :15 122
Số nhà đầu tiên trong dãy phố đĩ là:122 28 : 2 47
(bài tốn tổng hiệu quen thuộc)
Trang 27a) Nêu quy luật của dãy số trên
c) Viết tập hợp B gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đó, bắt đầu từ số hạng thứ năm
c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số
Bài 4: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên 123456<
a) Hỏi các chữ số đơn vị của các số 53; 328; 1587 đứng ở hàng thứ bao nhiêu?
b) Chữ số viết ở hang thứ 427 là chữ số nào?
b) Chữ số viết ở hàng thứ 427 là chữ số 1 (chữ số hàng trăm của số 179)
Dạng 2: TÍNH TỔNG CỦA CÁC TÍCH SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT