Chuyên đề nâng cao Số tự nhiên, số nguyên - Toán lớp 6

Để dễ dàng nắm vững được các nội dung trọng tâm của bài sSố tự nhiên, số nguyên và biết vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập đi kèm mời các em tham khảo Chuyên đề nâng cao Số tự nhiên, số nguyên - Toán lớp 6.

Chương I ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN

3 Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A là tập hợp con của

tập hợp B Ký hiệu A⊂B

Nâng cao :

1 Mọi tập hợp đều là tập hợp con của chính nó

2 Quy ước ∅ ⊂ A với mọi A

3 Nếu A⊂B và B⊂ A thì A=B

Thí d ụ 1: Cho hai tập hợp :

{6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}

a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó

b) Điền kí hiệu ∈ ∉; vào các ô trống để có cách viết đúng :

Gi ải : A⊂M nên với mọi x∈A thì x∈N (1)

M ⊂N nên với mọi x∈M thì x∈N (2)

Từ (1) và (2) suy ra với mọi x∈A thì x∈N, do đó A⊂N

Nh ận xét : Quan hệ ⊂ giữa hai tập hợp có tính chất bắc cầu

BÀI T ẬP

1 Các tập hợp A và B được cho bởi sơ đồ ở hình bên

a) Viết các tập hợp A và B bằng cách liệt kê các phần tử của nó

b) Điền chữ A hoặc B vào ô trống để có cách viết đúng

c) Viết tập hợp H những phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó

2 Cho dãy số 1 ; 5 ; 9 ; 13 ;

a) Nêu quy luật của dãy số trên

b) Viết các tập hợp B các phần tử là 8 số hạng đầu tiên của dãy đó

3 a) Viết tập hợp M các chữ cái của chữ “GANG”

b) Với tất cả các phần tử của tập hợp M hãy viết thành một chữ thuộc loại danh từ

6 Cho H là tập hợp 3 số lẻ đầu tiên ; K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên

a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H

b) Chứng tỏ rằng H ⊂K

c) Tập hợp M sao cho H ⊂M ; M ⊂K

- Hỏi tập M có ít nhất mấy phần tử ? Có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?

- Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn các điều kiện trên ?

7 Dùng dấu ⊂ =; để thể hiện mối quan hệ giữa các tập sau

9 Tập hợp M có 4 tập hợp con có 1 phần tử Hỏi tập M có mấy tập hợp con có 3 phần tử ?

§ 2 Tập hợp các số tự nhiên Ghi số tự nhiên

Có 4 chữ số abcd = 1000 a +100 b +10 c + d

(chữ số (a≠ 0)

Thí d ụ 3: Phố Hàng Ngang là một trong những phố cổ của Hà Nội Các nhà được đánh số

liên tục, dãy lẻ 1 ; 3 ; 5 ; tới 61 ; dãy chẵn 2 ; 4 ; 6 ; tới 64

a) Bên só nhà chẵn, trong một phòng gác nhỏ, chủ tịch Hồ Chí Minh đã khởi thảo bản quyền tuyên ngôn độc lập khai sinh ra nước Việt Nam dân chủ cộng hòa Ngôi nhà có căn phòng đó là nhà thứ 24 kể từ đầu phố (số 2) Hỏi ngôi nhà này có số nào ?

b) Bên số nhà lẻ, chữ số nào chưa được dùng ? chữ số nào được dùng nhiều nhất ?

c) Phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để viết số nhà của phố này ?

Gi ải:

a) Ngôi nhà đó có số 2 24= 48

b) Bên số nhà lẻ, chữ số 0 không dùng ở hàng đơn vị cũng như hàng chục

Chữ số 8 không dùng ở hàng đơn vị, còn ở hàng chục thì chưa dùng tới

Vậy chữ số 0 và chữ số 8 chưa được dùng đến Chữ số 1 dùng tới 7 lần ở hàng đơn vị (nhiều

nhất so với các chữ số khác), dùng tới 5 lần ở hàng chục (không kém so với các chữ số khác) Vậy chữ số 1 được dùng nhiều nhất (12 lần)

c) Tạm chưa tính nhà 64 thì dãy phố này có 62 nhà từ 1 ; 3 ; 5 ; tới 62 Trong dãy số này

10 Viết tập hợp 4 chữ số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 94 nhưng không quá 100

11 Viết tập hợp các chữ số tự nhiên có 2 chữ số sao cho trong mỗi số:

a) Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục

b) Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4

c) Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục

12 a) Có bao nhiêu s ố tự nhiên nhỏ hơn 20 ?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn n ? (n∈ )

c) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn n ? (n∈ )

13.a) Có bao nhiêu s ố có 4 chữ số mà cả 4 chữ số đều giống nhau ?

b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số ?

c) Có bao nhiêu số có n chữ số ( *)

n∈ 

14 Bảng hiện số của đồng hồ điện tử có 3 nhóm số chỉ giờ, phút, giây (mỗi nhóm có 2 chữ

số) Nếu chỉ nhìn vào phần hiện số của nhóm chỉ giây thì trong một phút có :

a) Bao nhiêu lần thay đổi các số ?

b) Bao nhiêu lần thay đổi các chữ số ?

15 Hãy chia các số trên bề mặt đồng hồ làm 2 nhóm : Nhóm I gồm các số tự nhiên liên tiếp và nhóm II gồm các số còn lại sao cho :

a) Tổng các số của nhóm I bằng tổng các số của nhóm II

b) Tổng các chữ số của nhóm I bằng tổng các chữ số của nhóm II

c) Tổng các chữ số của nhóm I bằng một nữa tổng các chữ số của nhóm II

16 Cho một số có 3 chữ số là abc (a b c, , khác nhau và khác 0) Nếu đổi chỗ các chữ số cho nhau thì ta được một số mới Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy ? (Kể cả số ban đầu)

17 Cho 4 chữ số a b c, , và số 0 (a b c, , khác nhau và khác 0) với cùng cả 4 chữ số này, có thể

lập được bao nhiêu số có 4 chữ số ?

18 Cho 5 chữ số khác nhau Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ

số ?

19 Quyển sách giáo khoa Toán lớp 6 có 132 trang Hai trang đầu không đánh số Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này ?

20 Dùng từ 1 đến 4 que diêm có thể ghi được bao nhiêu số trong hệ La Mã ?

21 Với 9 que diêm hãy sắp xếp thành một số La Mã :

a) Có giá trị lớn nhất

b) Có giá trị nhỏ nhất

22 Có 13 que diêm sắp xếp như sau :

XII – V = VII

a) Đẳng thức trên đúng hay sai ?

b) Hãy đổi chỗ chỉ một que diêm để được 1 đằng thức khác

Suy ra a=41

Thí d ụ 5 : Một học sinh khi nhân một số với 31 đã đặt các tích riêng thẳng hành như trong

phép cộng nên tích đã giảm đi 540 đơn vị so với tích đúng

24 Cho a c+ =9 Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abc+cba là một số có 3 chữ số

25 Từ 10 chữ số 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 9 hãy gép lại thành 5 số có 2 chữ số rồi cộng chúng lại

a) Tìm giá trị lớn nhất của tổng

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

26 Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0

a) Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau

b) Có thể lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho

27 Có 5 sô tự nhiên nào mà tích của chúng bằng 2003 và tổng có tận cùng bằng 8 không ?

28 Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất :

30 Không tính giá trị cụ thể, hãy so sánh hai biểu thức :

1 Điều kiện để phép trừ a b− thực hiện được là a≥b

2 Điều kiện để phép chia a b: không có dư (hay a chia hết cho b, kí hiệu a b ) là

a=b q (với a b q, , ∈;b≠0)

3 Trong phép chia có dư :

Số bị chia = Số chia * Thương + Số dư

3 Biểu diễn một số tự nhiên

a) Biểu diễn qua phép chia một số cho 2

a là số chẵn ⇔ =a 2q (q∈ )

a là số lẻ ⇔ =a 2q+ 1 (q∈ )

b) Biểu diễn qua phép chia một số cho 3

a chia hết cho 3 ⇔ =a 3q (q∈ )

a chia cho 3 dư 1 ⇔ =a 3q+ 1 (q∈ )

a chia cho 3 dư 2 ⇔ =a 3q+ 2 (q∈ )

c) Biểu diễn qua phép chia một số cho 4

a chia hết cho 4 ⇔ =a 4q (q∈ )

a chia cho 4 dư 1 ⇔ =a 4q+ 1 (q∈ )

a chia cho 4 dư 2 ⇔ =a 4q+ 2 (q∈ )

a chia cho 4 dư 3 ⇔ =a 4q+ 3 (q∈ )

Kí hiệu ⇔ là kí hiệu “tương đương”, đọc là “khi và chỉ khi” có nghĩa là mệnh đề trước suy ra được mệnh đề sau và ngược lại, mệnh đề sau suy ra được mệnh đề trước

4 Nếu phép chia không còn dư thì phép chia cũng có tính chất phân phối đối với phép

cộng và phép trừ

5 Quan hệ chia hết có tính chất bắc cầu nghĩa là a b ; b c ⇒a c

Thí d ụ 6 : Một số cs 3 chữ số là 3 số tự nhiên liên tiếp Nếu viết số đó theo thứ tự ngược

lại thì được một số mới hơn số cũ bao nhiêu ?

Gi ải :

Gọi số có 3 chữ số đó là abc trong đó a, b, c là 3 số tự nhiên liên tiếp Vậy c a− =2 Số

viết theo thứ tự ngược lại là cba Ta có :

(100 100 ) (100 100 )

=100c+10b a+ −100a−10b c−

= 99c− 99a= 99(c−a)= 99.2 = 198

Thí d ụ 7 : Hai số không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được những số dư khác nhau

Chứng tỏ rằng tổng của hai số đó chia hết cho 3

39 Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số dư, a≥b Chứng tỏ rằng (a b− )m

40 Trong một phép chia có số bị chia là 155 ; số dư là 12 Tìm số chia và thương

41 Viết tập hợp C các số tự nhiên x biết rằng lấy x chia cho 12 ta được thương bằng số dư

42 Chia 129 cho một số ta được số dư là 10 Chia 61 cho số đó ta cũng được số dư là 10 Tìm

Nâng cao :

1 Lũy thừa của một tích (a b )n =a n.b n

2 Lũy thừa của một lũy thừa ( )m n m n.

Như vậy trong một lũy thừa tầng ta thực hiện phép nâng lên lũy thừa từ trên xuống dưới

4 Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên

47 Tìm một số chính phương có 2 chữ số sao cho mỗi chữ số đều là một số chính phương

48 Trong các số sau, những số nào bằng nhau ? Số nào nhỏ nhất ? Số nào lớn nhất ?

52 Viết số 729 dưới dạng một lũy thừa với 3 cơ số khác nhau và số mũ lớn hơn 1

53 Viết các tích hoặc thương sau dưới dạng lũy thừa của một số

11 3 3 9

2 3

=

§ 6 Chuyên đề 1 : So sánh hai lũy thừa

1 Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số

2 Ngoài hai cách trên, để so sánh hai lũy thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân (a<b thì a c <b c với c>0)

Hãy so sánh m với 8

10.9

65* Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1 , 2 , 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một

lần và chỉ một lần

§ 7 Chuyên đề 2 Chữ số tận cùng của một tích, một lũy thừa

1 Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó Chẳng hạn, khi so xổ số muốn biết có trúng những giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2, 4, 8

hoặ chia hết cho 5, 15, 125 hay không ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó (xem Bài 10)

2 Tìm ch ữ số tận cùng của tích

- Tích các số lẻ là một số lẻ

Đặc biệt, tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số tận cùng

là 5

- Tích của một số chẵn với với bất kì số tự nhiên nào cũng là một số chẵn

Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có chữ số

tận cùng là 0

3 Tìm ch ữ số tận cùng của một luỹ thừa

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó

- Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3,7,9 khi nâng lân luỹ thừ 4n đều có chữ

Thí d ụ 11: Ta đã biết ngoài Dương lịch, Âm lịch người ta còn ghi lịch theo hệ đếm CAN

CHI, chẳng hạn Nhâm Ngọ, Quý Mùi, Giáp Thân, … Chữ thứ nhất chỉ hàng CAN của năm

(Nếu chữ số tận cùng của năm dương lịch nhỏ hơn 3 thì ta mượn thêm 10)

Bây giờ bạn hãy tìm hàng CAN của các năm Ngọ quan trọng trong lịch sử giành độc lập

của nhân dân ta trong thế kỉ XX đó là năm 1930 năm Đảng CVN ra đời và nằm 1945 chiến

thắng Điện Biên Phủ

4 – 3 = 1 ⇒ GIÁP; 1945 là năm GIÁP NGỌ

70 Chứng tỏ rằng các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10

1 Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức không có dấu ngoặc:

Luỹ thừa → Nhân chia → Cộng trừ

2 Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức có các loại dấu ngoặc:

Dùng một chữ số 1 và dấu ngoặc của các phép tính kể cả dấu ngoặc để viết thành một

biểu thức có giá trị bằng 100 sao cho dùng ít chữ số 1 nhất

78 Một xà lan chở hàng từ bến A đến bến B cách nhau 60km rồi lại trở về bến cũ với vận

tốc riêng không đổi là 25km/h Vận tốc dòng nước là 5km/h Tính vận tốc trung bình cảu xà lan trong cả thời gian đi và về

79 Hiện nay tổng số tuổi của bố mẹ và con là 66 Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của hai

mẹ con hơn tuổi của bố là 8 và tuổi mẹ băng ba lần tuổi con Tính số tuổi của mỗi người hiện nay

80 Có một bình 4 lít và một bình 5 lít Làm thế nào để lấy được đúng 3 lít nước từ một bể nước

81 Một thùng có 16 lít nước hãy dùng một bình 7 lít và một bình 3 lít để chia 16 lít làm hai

Người thứ hai: Có số tờ trả lại ít nhất nhưng có đủ các loại tiền nhỏ hơn

Người thứ ba: có số tờ trả lại là trung bình cộng số tờ của hai người kia nhưng không có các loại tờ 100 đồng, 1000 đồng, 10.000 đồng

Người bán hàng đã trả lại tiền thừa đúng yêu cầu của mỗi người Hỏi người bán đã trả như thế nào?

a) Giải sử c m/ ta có a m b m ;  nên a+ + b c m/ (tính chất 2) Điều này trái với đề bài

a+ + b c m Vậy điều giải sử là sai, suy ra c m

b) Giải sử c m ta có a m b m ;  nên a+ + b c m (tính chất 1) Điều này trái với đề bài

a+ + b c m/ Vậy điều giải sử là sai, suy ra c m/

Nh ận xét:

Phương pháp giải thí dụ 14 là phương pháp phản chứng Nó có ba bước:

- Giải sử có điều trái với điều chứng minh

- Từ đó suy ra (nhờ các tính chất đã biết) một kết quả mâu thuẫn với điều đã cho, đã biết

- Kết luận: Vậy điều giả sử là sai, điều phải chứng minh là đúng

86 Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 còn tổng của bốn số

tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

87 Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng của 5 số lẻ liên

tiếp chia cho 10 dư 5

89 Cho C = 1 3 3+ + + + +2 33 311 Chứng minh rằng:

a) C  13

b) C  40

90 Chứng minh rằng:

a) Tích của hai số tự nhiên tiên tiếp thì chia hết cho 2

b) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3

91 Tìm n ∈N để:

a) n + 4  n

b) 3n + 7  n

1 a  4 (hoặc 25) ⇔ 2 chữ số tận cùng của a tạo thành một số chia hết cho 4 (hoặc 25)

2 a  8 (hoặc 125) ⇔ 3 chữ số tận cùng của a tạo thành một số chia hết cho 8 (hoặc 125)

96 Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:

a) Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho 125

b) Số 9xy4 chia hết cho 2; cho 4; cho 8

97 Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất cả các số

a) Chia hết cho 4 ; b) Chia hết cho 8 ;

c) Chia hết cho 25 ; d) Chia hết cho 125

98 Chứng minh rằng:

a) 60 37

942 −351 chia hết cho 5

b) 995−984+973−962 chia hết cho 2 và 5

99 Có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng 3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ không?

100 Cho a, b ∈N Hỏi số ab(a + b) có tận cùng bàng 9 không?

101 Cho n ∈N, chứng minh rằng 5n− 1 4

102 Cho n ∈N, chứng minh rằng 2

1

n + +n không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5

§11 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

Ki ến thức cơ bản:

1 Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)

a  3 (hoặc 9) ⇔Tổng các chữ số của a chia hết cho 3 (hoặc 9)

2 Số dư trong phép chia số a cho 3 (hoặc 9) bằng số dư trong phép chia tổng các chữ số

của a cho 3 (hoặc 9)

Nâng cao:

Dấu hiệu chia hết cho 11

a  11 ⇔Tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn (hoặc ngược lại) chia

a) Số 35*8 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

b) số 468* chia hết cho 9 nhưng không chia hết cho 5

104 Hãy tìm:

a) Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 2 và 3

b) Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 5 và 9

c) Số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 9 và 11

105 Tìm các chữ số a, b sao cho số b851a chia hết cho 3 và 4

106 Một số tự nhiên có chữ số đầu tiên lớn hơn chữ số hàng đơn vị Khi viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới kém số cũ là một trong ba số 2002, 2003, 2004 Hiệu của chúng là

111 Chứng minh rằng hiệu của một số và tổng các chữ số của nó chia hết cho 9

a  b ⇔a là bội của b ⇔ b là ước của a

2 Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó

3 Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước

1 Cách xác định số lượng các ước của một số:

Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = ax

by … cz thì số lượng các ước của

M là (x + 1)(y + 1)…(z + 1)

2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố

mũ chẵn Từ đó suy ra

- Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22

- Số chính phương chia hết cho 23

thì phải chia hết cho 24

- Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52

3 Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:

Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a  p hoặc b  p

Đặc biệt nếu an  p thì a  p

Thí d ụ 17:

Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng là 601

Gi ải:

Tổng của hai số nguyên tố là 601, là một số lẻ nên một trong hai số phải là số nguyên tố

chẵn, đó là số 2 Số thứ hai là 601 – 2 = 599 (Tra bảng ta thấy 599 là số nguyên tố)

Số ước của 54 là (1 + 1) (3 + 1) = 8 (ước)

Để liệt kê tất cả các ước của 54 ta viết như sau:

- Trong cách giải trên, để viết tất cả các ước của 54 ta dùng phương pháp phân tích số 54

ra thừa số nguyên tố Mỗi thừa số nguyên tố là một ước nguyên tố Ngoài 1 ra còn có các ước

gọi là ước hợp Cách trình bày như trên giúp ta không bỏ sót một ước nào

- Còn một phương pháp khác là đem 54 chia lần lượt cho 1, 2, 3,…, 54 ; mỗi lần chia hết thì số chia chính là một ước của 54

BÀI T ẬP

S ố nguyên tố Hợp số:

114 Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30

115 Các số sau là số nguyên tố hay hợp số:

119* a) Cho n là một số không chia hết cho 3 Chứng minh rằng n2 chia hết cho 3 dư 1

b) Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số?

120 Cho n > 2 và không chia hết cho 3 Chứng minh rằng hai số n2 – 1 và n2 + 1 không thể đồng thời là số nguyên tố

121* Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3

a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5

b) Biết 8p + 1 cũng là số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số

122 Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p > 3) Hỏi p + 100 là số nguyên tố hay hợp số

Phân tích m ột số ra thừa số nguyên tố

123 Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng cách hợp lí nhất:

124 Mỗi số sau có bao nhiêu ước:

1 Giao c ủa hai tập hợp

Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp tạo thành bởi các phần tử chung của hai tập

hợp đó, kí hiệu A ∩ B

2 Ước chung và ước chung lớn nhất

a) ƯC(a,b) = Ư(a) ∩ Ư(b)

b) Ước chung lớn nhất của a và b là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a và b,

kí hiệu ƯCLN(a,b) hoặc gọn hơn (a,b)

3 Cách tìm ước chung lớn nhất của một nhóm số

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó Tích đó

là ƯCLN phải tim

4 Chú ý

a) Nếu a  b thì (a,b) = b

b) a và b nguyên tố cùng nhau ⇔ (a,b) = 1

c) Muốn tìm ước chung của số đã cho, ta tìm các ước của ƯCLN của các số đó

Nâng cao:

1 Ba số a, b, c nguyên tố cùng nhau đôi một nếu (a,b) = 1; (b, c) = 1; (c, a) = 1

2 Tính chất chia hết liên quan đến ƯCLN:

a) Cho (a,b) = d Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau

b) Nếu ab  m mà (a,m) = 1 thì b  m

Thí d ụ 20: Tìm số tự nhiên b biết rằng chia 326 cho b thì dư 11; còn chia 553 cho b thì

dư 13

Gi ải:

326 chia cho b dư 11 ⇒ 326 – 11 = 315  b ; b > 11

553 chia cho b dư 13 ⇒ 553 – 13 = 540  b ; b > 13

Vậy b là ƯC(315,540) với b > 13

Muốn tìm ƯC(315,540) trước tiên tìm ƯCLN(315,540)

315 = 32 5 7

540 = 22 33 5 ƯCLN(315,540) = 32

5 = 45 ƯC(315,540) = Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Vì b > 13 nên bài toán có hai đáp số b = 15 và b = 45

Thí d ụ 21: Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

Nh ận xét: Phương pháp chung để giải loại toán chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

là đặt ƯCLN của chúng là d, thế thì mỗi số đều chia hết cho d, sau đó tìm cách chứng minh d

132 Tìm ƯCLN và ƯC của ba số 432; 504; 720

133 Một căn phòng hình chữ nhật kích thước 630×480 (cm) được lát loại gạch hình vuông

Muốn cho hai hàng gạch cuối cùng sát hai bức tường liên tiếp không bị cắt xén thì kích thước

lớn nhất của viên gạch là bao nhiêu? Để lát căn phòng đó cần bao nhiêu viên gạch?

134 Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:

a) Hai số lẻ liên tiếp

137 ƯCLN của hai số là 45 Số lớn là 270, tìm số nhỏ

138 Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng bằng 18

139 Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của chúng là 15

140 Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27

141* Cho a+  5 7b ( ,a b∈N) Chứng minh rằng 10a b+  7 Mệnh đề đảo lại có đúng không?

142 Một số tự nhiên a và 5 lần số đó có tổng các chữ số như nhau Chứng minh rằng a 9

143* Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe: Loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi, hỏi mỗi loại

có mấy chiếc xe?

§14 B ội chung và bội chung nhỏ nhất

Ki ến thức cơ bản

1.Bội chung và bội chung nhỏ nhất

a)BC a b( , )=B a( )∩B b( )

b) Bội chung nhỏ nhất của a và b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a

và b, kí hiệu BCNN(a, b) hoặc gọn hơn [a, b]

2 Cách tìm bội chung nhỏ nhất của một nhóm số

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra thừa số nguyên tố chung và riêng

Bước 3: Lập tích các thừa số nguyên tố chung và riêng, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất

2 Nếu lấy BCNN(a, b) chia cho từng số a, b thì các thương là các số nguyên tố cùng nhau

3 Nếu a m  và a n  thì a chia hết cho BCNN(m, n) Từ đó suy ra:

- Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng

- Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia hết cho tích của chúng

Thí d ụ 22: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số chia cho 18; 30; 45có số dư lần lượt là 8;

Trong cách giải của thí dụ này, ta thấy a + 10 là bội chung của ba số 18; 30; 45 Muốn tìm các

bội chung của chúng, trước tiên ta tìm BCNN của ba số đó rồi nhân kết quả với số tự nhiên k

Lần lượt cho k = 1; 2; 3; …ta được các bội chung từ nhỏ đến lớn Ta lấy gí trị nhỏ nhất có ba

chữ số của a

BÀI T ẬP

144 Một xe lăn dành cho người tần tật có chu vi bánh trước là 63 cm, chu vi bánh sau là 186

cm người ta đánh dấu hai điểm tiếp đất của hai bánh xe này Hỏi bánh trước và bánh sau phải lăn ít nhất bao nhiêu vòng thì hai điểm được đánh dấu lại cùng tiếp đất một lúc?

145 Ba học sinh, mỗi học sinh mua một loại bút Giá ba loại bút lần lượt là 1200 đồng, 1500 đồng, 2000 đồng Biết tiền phải trả là như nhau, hỏi mỗi học sinh mua ít nhất bao nhiêu bút

146 Tìm các bội chung lớn hơn 5000 nhưng nhỏ hơn 10000 của các số 126; 140; 180

147 Một số tự nhiên chia cho 12; 18; 21 đều dư 5 Tìm số đó biết rằng nó xấp xỉ 1000

148 Khối 6 của một trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15 đêu dư 3 nhưng

nếu xếp hàng 11 thì không dư Tính số học sinh khối 6

149 Tìm hai số tự nhiên a và b biết:

BCNN(a, b) = 300; ƯCLN(a,b) = 15

150 Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng bằng 2940 và BCNN của chúng là 210

151* Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15

152* Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có ba chữ số sao cho chia cho 11 thì dư 5, chia cho 13 thì dư

8

153 Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì 2

a − 1 6

154 Chứng minh rằng tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

§15 Chuyên đề 3 Nguyên lý Điriclê và bài toán chia hết

1 Có một số thìa để trong một số cốc Nếu số thìa nhiều hơn số cốc thì ít nhất cũng có

một chiếc cốc chứa không ít hơn hai chiếc thìa

Như vậy, nếu có n + 1 thìa để trong n cốc thì ít nhất cũng có một cốc đựng không ít hơn hai thìa Từ đẳng thức 7 = 3 2 + 1 ta thấy nếu nhốt 7 con thỏ vào ba chiếc lồng thì ít nhất cũng có

một chiếc lồng có chứa nhiều hơn hai con thỏ Đó chính là nguyên lý Điriclê được phát biểu dưới dạng đơn giản

T ổng quát: Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b q + r (0 < r < b) thì ít nhất cũng

có một lồng nhốt từ q + 1 con thỏ trở lên

2 Chú ý: Khi giải các bài toán vận dụng nguyên lý Điriclê ta cần suy nghĩ để làm xuất

hiện khái niệm “thỏ” và “lồng”, khái niệm “nhốt thỏ vào lồng” nhưng khi trình bày lời giải ta

cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thường

Thí d ụ 23: cho 7 số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra hai số

mà hiệu của chúng chia hết cho 6

Phân tích: Coi 7 là 7 con thỏ Bảy con thỏ này được nhốt trong mấy lồng? Ta biết rằng khi chia một số cho 6 thì số dư chỉ là một trong sáu số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 Có 7 số tự nhiên khi chia cho 6 mà chỉ có 6 so dư nên theo nguyên lý Điriclê thì ít nhất cũng có 2 số có cùng số dư

Hiệu hai số này chia hết cho 6 (xem bài 39)

Trình bày l ời giải :

Khi chia một số cho 6 thi số dư r chỉ có thể lấy một trong 6 giá trị là 0, 1, 2, 3, 4, 5 Có 7 số

tự nhiên chia cho 6 mà chỉ có 6 số dư nên theo nguyên lý Điriclê thì ít nhất cũng có hai số chia cho 6 có cùng số dư Hiệu hai số này chia hết cho 6 (xem bài 39)

Nh ận xét: Từ cách giải của thí dụ này ta có thể nói trong n + 1 số tự nhiên, bao giờ cũng

có thể chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia het cho n (n ∈ N*)

Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư 1

158* Chứng minh rằng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19

159 Cho 3 số lẻ Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8

160 Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia

165* Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của con súc sắc Chứng minh rằng khi ta gieo súc sắc

xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một hay nhiều mặt

để tổng các số trên đó chia hết cho 5

§16 Ôn tập chương I Thí d ụ 24 : Để tìm hàng chi của một năm ta dùng công thức :

CANnăm = 10 – 3 = 7 => Canh ( Xem thí dụ 11)

CHInăm = Dư của 2010 4

Vậy năm 2010 là năm Canh Dần

Thí d ụ 25 : Chứng minh rằng tích các ước của 50 là 3

a) Tính giá trị của biểu thức đó

b) Nếu dùng thêm dấu ngoặc thì có thể được những giá trị nào khác ?

c) 555…5 (2n chữ số 5) chia hết cho 11 nhưng không chia hết cho 125

171 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 17 thì dư 5, chia nó cho 19 thì dư 12

172 Ngày 1 tháng 2 năm 2003 là thứ bẩy

a) Hỏi ngày 1 tháng 3; ngày 1 tháng 4 của năm này là ngày thứ mấy?

b) Ngày 1 tháng 2 năm 2004 là ngày thứ mấy?

173 Cho A= + + + +4 43 43 423+4 24 Chứng minh rằng A 20;A 21;A 420  

174 Cho n = 29k với k ∈ N Với giá trị nào của k thì n là:

P Biết a3 có tất cả 40 ước hỏi a2có bao nhiêu ước?

177 Tìm a ∈N biết 355 chia a dư 13 và 836 chia a hì dư 8

178* Một số tự nhiên chia 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 Nếu đem số đó chia 91 thì dư bao nhiêu?

179 Cho các số 12; 18; 27

a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó

b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều dư 1

c) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia 12 dư 10, chia 18 dư 16, chia 27 dư 25

C hương II SỐ NGUYÊN

§1 Tập hợp Z các số nguyên Thứ tự trong Z

Ki ến thức cơ bản

1 Tập hợp { ; 3; 2; 1;0;1; 2;3; − − − } gồm có số 0, các số 1; 2; 3 …(số nguyên dương) và các số -1; -2; -3; … (số nguyên âm) được gọi là tập hợp các số nguyên, kí hiệu Z

2 Biểu diễn trên trục số

Trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b thì a < b hay b > a Từ đó suy ra:

Số nguyên âm < 0 < số nguyên dương

5 Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a, kí hiệu là a

2 Với a, b, c ∈ Z nếu a < b; b < c thì a > c (tính chất bắc cầu)

3 Kí hiệu “hoặc”; kí hiệu “và”

AB





 nghĩa là A hoặc B

AB

Nh ận xét: Để chứng tỏ một mệnh đề nào đó là sai ta chỉ cần đưa ra một thí dụ cụ thể mà mệnh

đề sai Một thí dụ cụ thể được gọi là một phần thí dụ

181 Các suy luận sau đúng hay sai ?

a) a∈ ⇒ ∈N a Z b) a∈ ⇒ ∈Z a N c) a∉Z+⇒ ∈a Z−

182 Trên trục số, điểm A cách gốc 2 đơn vị về bên trái; điểm B cách điểm A là 3 đơn vị Hỏi :

a) Điểm A biểu diễn số nguyên nào ?

b) Điểm B biểu diễn số nguyên nào ?

183 Cho A={x∈Z x/ > − 9}

B={x∈Z x/ < − 4}

C={x∈Z x/ ≥ − 2}

Tìm A∩B; B∩C; C∩A

184 Viết tập hợp 3 số nguyên liên tiếp trong đó có số 0

185 Số nguyên âm lớn nhất có 3 chữ số và số nguyên âm nhỏ nhất có hai chữ số có phải là hai

số nguyên liền nhau không ?

2 Cộng hai số nguyên khác dấu:

- Cộng hai số nguyên đối nhau : Tổng bằng 0

- Cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau : Ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối và đặt trước kết quả dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn

3 Tính chất của phép cộng các số nguyên

- Tính chất giao hoán : Với mọi a, b ∈ Z thì a + b = b + a

- Tính chất kết hợp : Với mọi a, b, c ∈ Z thì a + (b + c) = (a + b) + c

- Cộng với số 0 : Với mọi a ∈ Z thì a + 0 = a

- Cộng với số đối : Nếu a và b đối nhau thì a + b = 0

Ngược lại , nếu a + b = 0 thì a = -b; b = -a

Chú ý: Phép cộng nhiều số nguyên có các tính chất giao hoán , kết hợp tổng quát

Nâng cao

1 Người ta thường viết ( 0)

( 0)

a a a

2 Ta chứng minh được rằng giá trị tuyệt đối của một tổng hai số nguyên thì nhỏ hơn hoăc

bằng tổng các giá trị tuyệt đối của chúng :

- Trong cách giải thứ nhất để cộng nhiều số ta cộng số âm với số âm, số dương với số dương rồi cộng hai kết quả lại Cách này có ưu điểm là đỡ nhầm dấu

- Trong cách giải thứ hai, ta kết hợp từng nhóm có tổng là một số tròn trăm Cách giải này có ưu điểm là có thể nhẩm ra kết quả