Phân tích: Các bài bất đẳng thức năm 2013 nhìn vào là các em Giỏi Toán đoán được hướng làm, năm nay thì khác một chút vì phải chọn điểm rơi trước mới định hướng được cách giải... Huỳnh[r]
Trang 1Phân Tích Và Bình Luận Câu 8 và 9 Trong Đề Thi Đại Học Khối A Năm 2014
Câu 8. Giải hệ phương trình:
2 3
12 (12 ) 12 (1)
Lời giải Điều kiện: 2 3 2 3
2
x y
Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có:
Phương trình (1) Dấu bằng ở (*) xảy ra
2
2
0 12
12 12
x
Thay y12x2 vào phương trình (2), ta có: x3 8x1 2 10x2 (3) Điều kiện: 0x2 3
Cách 1:
Phương trình (3)
2
2
9
1 10
x
x
2
2
3
1 10
x
x
2
2
3 0
3
1 10
x
x
x
x3 y3
Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm 3
3
x y
Trung tâm Thăng Long TP.HCM
Địa chỉ: 766/36 -766/38 CMT8, P5, Q Tân Bình
Giáo viên: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu – Nguyễn Thị Duy An
ĐT: 0907415107
Trang 2 Nhận xét: Nếu chúng ta không để ý đến điều kiện phát sinh là x 0 thì việc giải phương trình (3)
có thể dẫn đến bế tắc, vì khi dò nghiệm ta thấy (3) có 2 nghiệm x 1;x3 Về mặt nguyên tắc
ta phải làm xuất hiện nhân tử chung x22x3 chứ không đơn giản là x 3, nếu không phương trình phát sinh 2
2
3
1 10
x
x
còn khó hơn phương trình (3) vì vẫn còn nghiệm
1
x Và việc làm xuất hiện nhân tử x22x3 thì tôi khẳng định là không thể Kì thi Đại học khối A vừa qua nhiều bạn không hoàn chỉnh bài Toán cũng vì không chú ý điều kiện x 0
Cách 2:
Từ phương trình (3), ta có: x38x 12 10x2 x x( 28)0 x2 8 x2 2
Viết lại phương trình (3) về dạng: x3 8x12 10 x2 0 (4)
Xét hàm số f x( ) x3 8x12 10x2 liên tục trên 2 2 ; 2 3
2
2
10
x
x
nên f x( ) đồng biến trên 2 2 ; 2 3
Do đó: (4) f x( ) 4 f x( ) f(3) x 3 y 3
Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm 3
3
x y
Nhận xét: Nếu chúng ta không lôi được điều kiện ẩn sâu bên trong phương trình (3) là
2 2 x2 3 thì ta phải xét hàm số f x( ) trên miền 0; 2 3
, do đó phải tiến hành tính
3 2
20
10
x
và khẳng định phương trình f x ( ) 0 có tối đa 2
nghiệm thuộc 0; 2 3
Đến đây một số bạn cho rằng f( 1) f(2) 0 thì phương trình (3) có đúng 2 nghiệm x 1;x2 và loại nghiệm x 1 vì x 0 thì nên xem lại Tôi thấy do các bạn hay dùng Casio đoán trước được đáp số nên dễ mắc sai lầm trên Nếu ta xét f x( ) trên miền
2 3; 2 3
thì mắc kẹt trong việc chứng minh f''( )x vô nghiệm trên 2 3; 2 3
Câu 9 Cho x y z, , là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2 2 Tính giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2 2
1
1
P
Trang 3
Phân tích:
Các bài bất đẳng thức năm 2013 nhìn vào là các em Giỏi Toán đoán được hướng làm, năm nay thì khác một chút vì phải chọn điểm rơi trước mới định hướng được cách giải
Dễ dàng nhận thấy các bộ ( , , )x y z (1,1, 0); (1, 0,1); (0,1,1) thỏa điều kiện x2 y2 z2 2, khi thế vào biểu thức P thì thấy ngay 5
9 là giá trị lớn nhất, do đó ta đoán điểm rời là ( , , )x y z (1,1, 0); (1, 0,1).Xét
điểm rơi, ta nhận thấy đối với bộ ( , , )x y z (1,1, 0) thì x y, trong khi bộ ( , , )x y z (1, 0,1) thì x z
nhưng có một cái bất biến là x yz 1, do đó mọi đánh giá phải đảm bảo x yz1
Cách 1:
Viết lại
2 2
(1 )
(1 )
P
Từ giả thiết phải làm xuất hiện y z và 1yz, ta có:
2 x y z 22yz x (yz)
Áp dụng các bất đẳng thức phụ 2 2 1 2
2
a b ab ab, ta có:
2
Suy ra:
2
1
4
Khi đó:
2
( )
P
Đặt t xyz 3(x2y2z2) 6, điều kiện: 0t 6 Khi đó:
2
( )
1 36
t
với t0; 6
Xét hàm số
2
( )
1 36
f t t
liên tục trên đoạn 0; 6
Trang 4
2 3 2
'( )
18
f t
Cho f t'( ) 0 t32t2 t 18 (2t t)( 2 4t9) 0 t 2
Bảng biến thiên:
t 0 2 6
'( )
f t 0
( )
f t
5
9
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ( ) 5 0; 6
9
Ta thấy 5
9
P khi ( , , )x y z (1,1, 0); (1, 0,1)
Vậy GTLN của biểu thức P là 5
9, đạt được khi ( , , )x y z (1,1, 0); (1, 0,1).
Cách 2:
Ta có:
2 2 2 2 2
Khi đó:
2 2
1
( )
P
yz
Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có: x y z 2x2(y z)2 2x2 y2 z2 2yz 2 1 yz
Trang 5Do đó: 1 1
1
9
yz P
yz
Đặt t 1 yz, điều kiện: t 1
Suy ra
2
1
2 1 9
t
t
2
2 2 2 9 (2 1)
9 9
f t
Cho f'(t) 0 4t3 4t2t90 t 1
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ( ) 5 1;
9
P f t t
Ta thấy 5
9
P khi x y1;z 0 hoặc khi xz1;y0
Vậy GTLN của biểu thức P là 5
9, đạt được khi x y1;z0 hoặc khi xz 1;y0
t 1
'( )
f t
( )
9