1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ QUANG HUY VỀ ĐỊNH LÝ LAME, ĐỊNH LÝ KRONECKER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2011 MỞ ĐẦU Trong Số học có nhiều Định lý tiếng, với ứng dụng sâu sắc lĩnh vực khác khoa học, đặc biệt ứng dụng thực tế lĩnh vực – Công nghệ thông tin Các định lý quan tâm giới Toán học mà người làm việc lĩnh vực Tin học kỹ thuật Bởi vậy, việc nghiên cứu Định lý số học cần thiết Gauss - nhà Toán học tiếng lịch sử - nói (xem [9, pp 2]): Mathematics is the Queen of all Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics "Toán học Vua khoa học, Số học Nữ hồng Tốn học" Với mục đích tìm hiểu sâu thêm định lý Số học, luận văn giới thiệu Định lý Lame Định lý Kronecker với ứng dụng chúng Một thuật toán lâu đời toán học thuật toán Euclid Thuật toán cho phép xác định ước chung lớn hai số nguyên Cho đến nay, thuật toán Euclid thuật tốn tốt để tìm ước chung lớn của hai số nguyên cho trước (xem [4]) Định lý Lame vừa cho ta chứng minh tính đắn thuật toán Euclid, vừa cho ước lượng độ phức tạp thuật tốn Nói rõ hơn, Định lý Lame khẳng định rằng, số phép chia cần thiết để tìm ước chung lớn hai số ngun thuật tốn Euclid khơng vượt q lần chữ số thập phân số bé hai số cho Cũng từ thu số phép tính bit cần thiết để thực thuật tốn Euclid O((log2a)3) Vì vậy, nói Định lý Lame cho đánh giá cực tốt thuật toán Euclid Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày định lý tính chia hết số nguyên; số vấn đề biểu diễn số nguyên hệ số; thuật toán Euclid (EA) thuật toán tối tiểu (MA) Chương 2: Trình bày hai Định lý Lame Định lý Kronecker với chứng minh chi tiết; số ứng dụng hai Định lý Toán học Tin học Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thành Quang tận tình hướng dẫn bảo, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy cô Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học Trung tâm thông tin thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh - giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu chương trình đào tạo sau đại học Xin cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ tơi suốt thời gian học tập vừa qua Tuy cố gắng trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, song chắn cịn có nhiều thiếu sót, mong góp ý, bảo thầy cô bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG ĐỊNH LÝ VỀ PHÉP CHIA CÓ DƯ VÀ ỨNG DỤNG 1.1 TÍNH CHIA HẾT 1.1.1 Định nghĩa Cho a q hai số nguyên Khi số aq gọi bội a Số nguyên a gọi chia hết cho số nguyên b (b 0) a = bq với q số nguyên Nếu b chia hết a - b chia hết a a = bq dẫn đến a = (-b)(-q) Điều đủ để phát biểu ước nguyên dương thay cho ước nguyên 1.1.2 Định lý 1) Nếu b chia hết a ước b chia hết a 2) Cho a số nguyên dương Nếu số nguyên b chia hết a giá trị tuyệt đối b lớn a 3) Nếu b chia hết a a chia hết b a = b a = - b Chứng minh 1) Vì b chia hết a a = bq1 Cho c ước b b = cq2 Điều dẫn đến a = bq1 = c(q1q2) 2) Vì b chia hết a nên a = bq |q| 1 Do đó: a = |a| = |b||q|  |b| 3) Ta có a = bq1 b = aq2 Từ a = aq1q2 Dẫn đến q1 q2 hai + - ■ 1.1.3 Định lý 1) Nếu b chia hết a1 a2, b chia hết c1a1 + c2a2 c1 c2 hai số nguyên tùy ý 2) Nếu b chia hết a 1, ,ak, b chia hết c1a1 + c2a2 + + ckak c1 , ck số nguyên tùy ý Chứng minh Ta có a1 = bq1 a2 = bq2 Như vậy, ta có: c1a1 + c2a2 = c1bq1 + c2bq2 = b(c1q1 + c2q2) ■ 1.1.4 Định lý Cho a b hai số nguyên bất kỳ, b > Khi đó, tồn số nguyên q r cho a = bq + r;  r < b Chứng minh Xét dãy bội b: , - b, 0, b, , bq, Hiển nhiên a bội b (giả sử bq) nằm hai bội (giả sử bq b(q+1)) Từ dẫn đến bq  a < b(q+1) Suy  a - bq < b Ta đặt a - bq = r, a = bq + (a - bq) = bq + r ;  r < b Ta tồn q r Bây ta chứng minh tính nhất: Giả sử ngược lại, chúng không Khi đó: a = bq + r;  r < b a = bq1 + r1;  r1 < b, với số nguyên q, q1 , r, r1 Hai đẳng thức dẫn đến r1 - r = b(q - q1) Từ suy b ước r1 - r Điều vơ lý r r1 hai số ngun dương bé b ■ Chúng ta chứng minh Định lý 1.1.4 cách khác [8], mà chúng tơi chưa tìm thấy cách chứng minh tài liệu số học tiếng Việt Giả sử S tập hợp số nguyên xác định sau: S  a  bt / t  Z  Số nguyên a thuộc S âm khơng âm Nếu a số nguyên âm a – ba = a(1 – b) số nguyên không âm Do đó, S có số ngun khơng âm bé (sử dụng tính thứ tự tốt tập hợp số tự nhiên) Giả sử số a – bq với q số nguyên Ta có: (a  bq ) Ta nhận xét rằng, phần tử thuộc S nhỏ (a – bq) số nguyên âm Đặc biệt số a – b(q + 1) thoả mãn: a  b(q  1)  hay (a  bq)  b Từ ta thu được: a  bq  b Đặt r a  bq , ta có a bq  (a  bq) bq  r , r  b ■ 1.1.5 Định lý Cho a b hai số nguyên bất kỳ, b > Khi tồn số nguyên Q R cho a = bQ + eR,  R < b , e = +1 -1 Chứng minh Theo Định lý 1.1.4 ta có: a = bq + r ;  r < b (1) Trường hợp 1: r < b Nếu ta cho Q = q; R = r e = 1, (1) trở thành a = bQ + eR;  R < Trường hợp 2: r > b b b Khi đó, ta có < b - r < Nếu ta chọn Q = q + 1; 2 R = b - r e = - (1) trở thành a = b(q + 1) - (b - r) = bQ + eR;  R < Trường hợp 3: r = b b Trong trường hợp ta đặt Q = q; R = r e = 1, (1) trở thành a = bQ + eR; R = b/2 Tương tự Q = q + 1; R = b - r; e = -1 ta nhận a = b(q + 1) - (b - r) = bQ + eR; R = b ■ 1.1.6 Chú ý Do q r nhất, điều dẫn đến Q R trừ trường hợp R = b Số R gọi số dư bé (hay số dư có trị tuyệt đối bé nhất) a b Ta thấy rằng: (i) Nếu r < b , số dư bé r (ii) Nếu r > (iii) Nếu r = b , số dư bé - (b - r) b , số dư bé r - r tùy theo cách chọn 1.1.7 Hệ Bất số nguyên có dạng sau: (i) 3q, (3q 1); (ii) 4q, (4q 1), (4q 2); (iii) 5q, (5q 1), (5q 2) Chứng minh Cho a số nguyên (i) Cho b = Theo Định lý 1.1.5 ta có a = 3Q + eR;  R  , e = 1 Do đó, R = (ii) Cho b = Theo Định lý 1.1.5 ta có a = 4Q + eR;  R  Do đó, R = 0; (iii) Cho b = Theo Định lý 1.1.5 ta có a = 5Q + eR;  R  Do đó, R = 0; ■ 1.1.8 Định lý Cho a b hai số nguyên lẻ Khi đó, hai số a b lẻ số chẵn Chứng minh Cho a = 2h + b = 2k + Khi đó: a b a b = (h + k) + 1; = (h - k) 2 Từ hai kết ta suy diễn sau: (i) Nếu h k chẵn (hoặc lẻ) (ii) Nếu h k chẵn số lẻ a b a b lẻ cịn chẵn 2 a b a b chẵn lẻ ■ 2 a b 1.2 BÀI TOÁN BACHET VỀ KHỐI LƯỢNG 1.2.1 Định lý Giả sử b số nguyên lớn Khi đó, số nguyên dương N có biểu diễn dạng sau: N = akbk + ak-1bk-1 + + a1b + a0 ,  a0, a1, , ak  b - ak  Chứng minh Chia N cho b, theo Định lý phép chia có dư ta có: N = q1b + a0, < a0 k Trừ vế theo vế ta có: rngn + rn-1gn-1 +….+ (rk - sk)gk + +(r1 – s1)g + (r0 – s0) = Suy (r0  s0 )g  r0 s0 (vì 0 r0, s0  g - 1) Từ ta có: rngn + rn-1gn-1 + + r1g = rngn + rn-1gn-1 + + r1g Lý luận tương tự ta có: r1= s1, r2 = s2, , rk = sk Khi đó: rngn-k + rn-1gn-k-1 + +rk+1 = Điều mâu thuẫn với rn  0, suy n = k Ta có điều phải chứng minh ■ 1.2.2 Định nghĩa Giả sử b số nguyên lớn Khi đó, theo Định lý 1.2.1 số nguyên dương N có biểu diễn dạng sau: N = akbk + ak-1bk-1 + + a1b + a0 ,  a0, a1, , ak  b – 1, ak  Ta ký hiệu: N =(ak ak-1 a1a0)b gọi (ak ak-1 a1a0)b cách viết số nguyên dương N hệ số b Các ký hiệu gọi chữ số số b Ví dụ Biểu diễn 4385 với số Giải: Chia liên tiếp cho thu thương số dư sau: 4385 = 487  + 487 = 54  + 54 =  + Thương cuối nhỏ Do 4385 = ( 6012)9 = 6.93 + 0.92 + 1.91 + Ví dụ Biểu diễn 5163 thành kí hiệu với số 12 Giải: Chúng ta chọn số 12, kí hiệu cho số từ đến 11 Chúng ta biết kí hiệu số từ đến Bây cần kí hiệu cho số 10 11 Giả sử t = 10 e = 11 Khi đó: 5163 = 430  12 + 430 = 35  12 +t 35 =  12 + e Do đó: 5163 = ( 2et3 )12 Ví dụ Biểu diễn hệ nhị phân b = Nếu số số kí hiệu biết đến nhị phân Chẳng hạn, 39 = ( 100111 ) Trong kí hiệu nhị phân gồm chữ số (gọi bit) Do đó, máy tính chữ số định có mạch điện hay khơng có mạch điện Đây lợi lớn 10 tính tốn liên quan đến số lượng lớn Kí hiệu nhị phân sở số trị chơi số học trị giải trí, số trình bày sau 1.2.3 Định lý Mỗi số nguyên dương có dạng 2n - biểu diễn dạng tổng nhiều số nguyên sau: 1, 2, 22, , 2n-1 Chứng minh Nếu ta đặt b = ta nhận được: N = ak2k + ak-12k-1 + + a12 + a0 ,  a0, a1, , ak  1, ak =1 Do đó, số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số nguyên 1, 2, 22, Ta nhận thấy, tổng n số nguyên 1, 2, 22, , 2n-1 2n- Định lý 1.2.3 chứng minh ■ Định lí có số ứng dụng thú vị Một ứng dụng ma trận số Lấy thẻ A B C D E F với số viết chúng sau: A 11 B 10 11 13 15 17 19 21 23 14 15 18 29 22 23 25 27 29 31 33 35 26 27 30 31 34 35 37 39 41 43 45 47 38 39 42 43 46 47 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 10 11 14 15 24 25 42 43 44 45 56 57 58 59 62 63 C D 28 29 30 31 49 61 51 63 53 55 57 59 50 62 51 63 54 55 58 59 20 r1 = r2a3 + r3 ; < r3 < r2 rn-4 = rn-3an-2 + rn-2 ; < rn-2 < rn-3 rn-3 = rn-2an-1 + rn-1 ; < rn-1 < rn-2 rn-2 = rn-1an + rn ; = rn (3) (n - 2) (n - 1) (n) an  Ta thấy a > b > r1 > r2 > r3 > Do dãy giảm số nguyên không âm, đến lúc rn phải 0, thuật toán kết thúc Tập hợp đẳng thức từ (1) đến (n) gọi Thuật toán Euclid (EA) a b 1.3.4 Định lý Cho a > b, hai dương, cho rn = EA a b Khi rn-1 g.c.d a b (rn-1 số dư cuối khác EA) Chứng minh Ta quay lại đẳng thức từ (1) đến (n): rn-2 = rn-1an + Do đó: rn-1 | rn-2 (1) rn-3 = rn-2an-1 + rn-1 (2) rn-1 | rn-3 (3) rn-4 = rn-3an-2 + rn-2 (4) Tiếp theo ta có: Từ (1) (2) ta có: Tiếp theo: Từ (1) ; (2) ; (3) ta có: rn-1 | rn-4 Cứ tiếp tục , cuối ta nhận được: rn-1 chia hết a b Như rn-1 thỏa mãn điều kiện (A) g.c.d Giả sử c chia hết a b Xuất phát từ a = ba1 + r1 suy c chia hết b r (5) Tiếp theo b = r1a2 + r2 (6) Từ (5);(6) suy c chia hết r1 r2 Cứ tiếp tục vậy, cuối suy c chia hết r n-1 Vậy rn-1 thỏa mãn tính chất (B) g.c.d Vậy (a, b) = rn-1 Ví dụ: Tìm g.c.d 117 45 Lời giải EA hai số nguyên là: 117 = 45  + 27 45 = 27  + 18 27 = 18  + 18 =  + Vậy g.c.d 117 45 ... Mathematics "Toán học Vua khoa học, Số học Nữ hồng Tốn học" Với mục đích tìm hiểu sâu thêm định lý Số học, luận văn giới thiệu Định lý Lame Định lý Kronecker với ứng dụng chúng Một thuật toán lâu đời toán. .. thuật tốn tối tiểu (MA) 3 Chương 2: Trình bày hai Định lý Lame Định lý Kronecker với chứng minh chi tiết; số ứng dụng hai Định lý Toán học Tin học Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thành... ĐẦU Trong Số học có nhiều Định lý tiếng, với ứng dụng sâu sắc lĩnh vực khác khoa học, đặc biệt ứng dụng thực tế lĩnh vực – Công nghệ thông tin Các định lý quan tâm khơng giới Tốn học mà người