Về định lý điểm bất động banach trên một số không gian có cấu trúc nón luận văn tốt nghiệp đại học

Không gian mêtric chữ nhật nón và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric chữ nhật nón ...19 2.1 Không gian mêtric chữ nhật nón ...19 2.2 Định lí điểm bất động Banach trên kh

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu .2

1 Không gian mêtric nón và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón .4

1.1 Nón trong không gian Banach 4

1.2 Không gian mêtric nón 8

1.3 Định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón 13

2 Không gian mêtric chữ nhật nón và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric chữ nhật nón 19

2.1 Không gian mêtric chữ nhật nón 19

2.2 Định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric chữ nhật nón 21

3 Không gian mêtric nón riêng và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón riêng 25

3.1 Không gian mêtric nón riêng 25

3.2 Định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón riêng 31

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

Mở đầu

Lý thuyết về điểm bất động là một trong những lĩnh vực Toán học đợc nhiều nhà Toán học quan tâm Trong lý thuyết này, ngoài các định lí tồn tại điểm bất

động, ngời ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp các điểm bất động, các phơng pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng Ngời ta đã thấy sự ứng dụng

đa dạng của lý thuyết điểm bất động cả trong toán học lý thuyết và toán học ứng dụng, vật lý, tin học và các nghành khoa học khác Lý thuyết này gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn nh Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Tikhonov,

Ky Fan, Browder,…

Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, trong đóphải nói đến kết quả kinh điển “Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1922) Một trongnhững hớng nghiên cứu của những nhà Toán học trong lĩnh vực này là xây dựngcác không gian mới, sau đó mở rộng kết qủa kinh điển Banach ra cho lớp các ánhxạ Với ý tởng nh vậy, năm 2007, Huang Long- Guang và Zhang Xian [2] đã đa rakhái niệm không gian mêtric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩamêtric bởi một nón định hớng trong không gian Banach Năm 2009, A.zam,M.Arshad và I Beg [3] đa ra khái niệm không gian mêtric chữ nhật nón Năm

2011, A Sonmez [4] xây dựng khái niệm không gian mêtric nón riêng Với mục

đích là tìm hiểu về các không gian có cấu trúc nón, định lí điểm bất động Banachtrên các không gian này; chúng tôi lựa chọn đề tài cho khoá luận tốt nghiệp củamình là

Về định lí điểm bất động Banach trên một số không gian có cấu trúc nón

Ngoài phần Mục lục, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận đợctrình bày trong ba chơng

Chơng 1 Không gian mêtric nón và định lí điểm bất động Banach trên khônggian mêtric nón

Chơng 2 Không gian mêtric chữ nhật nón và định lí điểm bất động Banach trênkhông gian mêtric chữ nhật nón

Chơng 3 Không gian mêtric nón riêng và định lí điểm bất động Banach trênkhông gian mêtric nón riêng

Khoá luận đợc thực hiện tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu

đáo và nghiêm khắc của thầy giáo Th.S Trần Đức Thành, tác giả xin đợc bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, tổ giải tích đãtạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trờng

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song khóa luận không tránh khỏi nhữngthiếu sót, kính mong quý thầy cô và bạn đọc góp ý để khoá luận đợc hoàn thiệnhơn

Vinh, ngày 3 tháng 5 năm 2011

Tác giả

Chơng 1

Không gian mêtric nón và định lí điểm bất động

Banach trên không gian mêtric nón

Trong chơng này, chúng tôi trình bày khái niệm nón, một số tính chất cơ bảncủa nón trong không gian Banach, khái niệm không gian mêtric nón, các tính chất

về dãy hội tụ trong không gian mêtric nón và cuối cùng là phát biểu và chứng minh

định lí điểm bất động Banach đã có trong bài báo “Cone metric spaces and fixedpoint theorems of contractive mappings” của các tác giả Huang Long- Guang vàZhang Xian [2]

Ta bắt đầu giới thiệu về nón trên các không gian Banach và một số tính chất cơbản của nó

1.1 Nón trong không gian Banach

1.1.1 Định nghĩa Cho E là không gian Banach trên trờng số thực R Tập con

iii) Với  x, y   P và  x, y P ta có x, y  0 0 ( , )

1.1.3 Nhận xét Cho P là một nón trong không gian Banach E Trên E ta xét

có tính phản đối xứng

int P là phần trong của P

1.1.4 Định nghĩa Cho P là một nón trong không gian Banach E

Định lí sau nói về mối quan hệ giữa nón chính quy và nón chuẩn tắc

1.1.5 Định lí Mọi nón chính quy là nón chuẩn tắc

Chứng minh Giả sử P là một nón chính quy nhng không phải là nón chuẩn

n

t y t

n n

s x t





1

n

y y n

x n

  2 

1.1.6 Nhận xét Điều ngợc lại của Định lí 1.1.5 là không đúng, tức là có những

nón chuẩn tắc nhng không chính quy Thật vậy, xét không gian Banach

Rõ ràng dãy  f n giảm và bị chặn dới nhng  f n không hội tụ trong E Vởy

1.1.7 Mệnh đề Nếu K là hằng số chuẩn tắc của nón P thì K 1

Chứng minh Giả sử P là một nón với hằng số chuẩn tắc K  1, chọn xP,

x 0 và 0  1 sao cho K   1 Khi đó, 1  x x nhng 1   x K x .

Ta chứng minh K k Thật vậy, nếu lấy f x  kx k P, g x    vàk P

1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là tập khác rỗng ánh xạ d X:  X Eđợc gọi là

một mêtric nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(d1) 0d x y ,  với mọi x, y  và d x y  ,  0 khi và chỉ khi x y;

(d2) d x y ,  d y x ,  với mọi x, yX ;

(d3) d x, y  d x, z  d z, y  với mọi x, y, z 

Tập X cùng với một mêtric nón trên nó đợc gọi là không gian mêtric nón và kí hiệu

là X d, 

mêtric nón trở thành không gian mêtric thông thờng

1.2.2 Ví dụ Giả sử 2

0

P x, y E / x, y R là một nón trên E

của dãy  x n và ta kí hiệu

Chứng minh Giả sử  x n là một dãy trong X ,  x n hội tụ tới xX và mọi số



với mọi nN ta có d x x n,  K c  Điều này chứng tỏ d x , x n   0n  

Điều này nghĩa là d x , x n   với mọi c nN Vậy  x n hội tụ tới x

1.2.5 Bổ đề Cho X ,d là một không gian mêtric nón,  P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Khi đó, nếu cP với c với mọi  P thì c0.

Chứng minh Theo giả thiết và định nghĩa nón ta có: c d

1.2.6 Định lí Giả sử X ,d là một không gian mêtric nón,  P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và  x n là dãy trong X Nếu  x n hội tụ tới x và

 x n hội tụ tới y thì x y Nghĩa là giới hạn của một dãy trong X nếu có là duy

nhất.

Chứng minh Với mọi cE, 0c, vì x n  x x, n  y n   nên tồn tại

*



d x y ,  d x x n, d x y n,  2c với mọi cintP

d x y d x x d x y d y y d x y  c với mọi nN.Suy ra

Tiếp theo, chúng ta trình bày định nghĩa và các tính chất của dãy Cauchy trong

không gian mêtric nón.

1.2.8 Định nghĩa Dãy  x n trong không gian mêtric nón X d đợc gọi là một, 

dãy Cauchy nếu mọi cE, 0c tồn tại *

ta có d x x n, m c

1.2.9 Định lí Giả sử X ,d là một không gian mêtric nón,  P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và  x n là dãy trong X Khi đó,  x n là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu d x , x n m  0 n,m   

Chứng minh Giả sử  x n là dãy Cauchy trong X và mọi số  0, tồn tại

cE, 0c thỏa mãn K c  Khi đó, tồn tại N N* sao cho với mọi,

m nN ta có d x x n, m  Suy ra c

d x x K c  với mọi m n, N.Nghĩa là d x x n, m  0n m,   

Ngợc lại, giả sử d x , x n m 0 n,m  Với mỗi  cE, 0c, tồn tại0

d x x  Suy ra c d x n,x mintP với mọi n m, N Điều này có nghĩa

là d x x n, m với mọi c n m, N Vậy  x n là dãy Cauchy

1.2.10 Mệnh đề Giả sử X ,d là một không gian mêtric nón,   x n là dãy trong X Khi đó, nếu  x n hội tụ tới xX thì  x n là dãy Cauchy trong X

Chứng minh Giả sử  x n là dãy trong X ,  x n hội tụ tới xX Khi đó, với

 n, m  n,   m, 

d x x d x x d x x  với mọi c m n, N

1.2.11 Định nghĩa Không gian mêtric nón X d đợc gọi là đầy đủ nếu mọi, 

1.2.12 Ví dụ Không gian mêtric nón X d , trong đó ,  X R và d x, y  x y

1.2.13 Định nghĩa Cho X ,d là một không gian mêtric nón Nếu mỗi dãy

 x n trong X đều tồn tại dãy con  x n i của  x n sao cho  x n i hội tụ trong X thì

Bây giờ, chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh định lí điểm bất động Banachtrong không gian mêtric nón

1.3 Định lí điểm bất động Banach trong không gian mêtric nón1.3.1 Định lí Cho X ,d là một không gian mêtric nón đầy đủ,  P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Giả sử ánh xạ T : X  X thỏa mãn điều kiện

d Tx Ty d x y với mọi x, yX , trong đó  là một hằng số,  0 1,  Khi đó, T có điểm bất động duy nhất trong

X và với mọi xX , dãy  n 

T x hội tụ tới điểm bất động.

1.3.2 Nhận xét Ta có thể chứng minh Định lí 1.3.1 mà không phải sử dụng giả

d Tx Ty ,  d x y ,  với mọi x y, X ,

T x hội tụ tới điểm bất động.

Suy ra tồn tại N 1 N sao cho

1.3.3 Hệ quả Cho X ,d là một không gian mêtric nón đầy đủ,  P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Với cint P và x0X , đặt

điểm bất động duy nhất trên B x ,c  0 

Chứng minh Ta chứng minh B x c là đầy đủ và  0,  TxB x c 0, với mọi

xB x c

Giả sử xB x c 0, , ta có

 1 ccc

Suy ra TxB x c 0,  với mọi xB x c 0, 

1.3.4 Hệ quả Cho X ,d là một không gian mêtric nón đầy đủ, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Giả sử ánh xạ T : X  X thỏa mãn

 n n   

d T x, T y d x, y với mọi x, yX , mọi n N * , trong đó  là một hằng số,  0 1,  Khi đó, T có một điểm bất động duy nhất Chứng minh Theo Định lí 1.3.1, ta suy ra n

Tx

2

T y T  Ty T  y …Ty y

1.3.5 §Þnh lÝ Gi¶ sö X ,d lµ mét kh«ng gian mªtric nãn compact d·y,  P lµ mét nãn chÝnh quy ¸nh x¹ T : X  X tháa m·n ®iÒu kiÖn

Ta có một điều mâu thuẫn Do đó, * *

2.1 Không gian mêtric chữ nhật nón

2.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng ánh xạ d X:  X E đợc gọi

là một mêtric chữ nhật nón nễu thỏa mãn các điều kiện sau:

(d1) 0d x y ,  với mọi x y, X và d x y  khi và chỉ khi  ,  0 x y;

Vì 3,9 d1,2 d1,3d3,2 1,3  1,3  2,6 nên X d không, 

phải là một không gian mêtric nón

Tiếp theo, chúng ta trình bày một số định nghĩa, mệnh đề về sự hội tụ của dãy trong không gian mêtric chữ nhật nón

2.1.3 Định nghĩa Cho X d là không gian mêtric chữ nhật nón, ,   x n là một

*

của dãy  x n và ta kí hiệu là

tụ tới x khi và chỉ khi d(x , x) n  0 n .

Định lí đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự Định lí 1.2.4

2.1.5 Định nghĩa Dãy   xn trong không gian mêtric chữ nhật nón  X d ,  đợc

mọi , m nN ta có d x x n, m  c

2.1.6 Định lí Giả sử X ,d là một không gian mêtric chữ nhật nón,  P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và   xn là dãy trong X Khi đó,  x n là dãy Cauchy khi và chỉ khi d x , x n m  0 m,n .

Định lí đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự Định lí 1.2.9

2.1.7 Định nghĩa Không gian mêtric chữ nhật nón X d đợc gọi là đầy đủ, 

2.2 Định lí điểm bất động Banach trong không gian mêtric chữ nhật nón

2.2.1 Định lí Cho X ,d là một không gian mêtric chữ nhật nón đầy đủ,  P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Giả sử ánh xạ T : X  X thỏa mãn

điều kiện

d Tx, Ty d x, y với mọi x, yX , trong đó  hằng số, 0 1,  Khi đó, T có điểm bất động duy nhất trong X

V× P lµ mét nãn chuÈn t¾c víi h»ng sè chuÈn t¾c K nªn ta suy ra

Chơng 3

Không gian mêtric nón riêng và định lí điểm bất động

Banach trên không gian mêtric nón riêng

Trong chơng này, chúng tôi trình bày khái niệm về không gian mêtric nón riêng,các tính chất tôpô, các tính chất về dãy hội tụ trong không gian mêtric nón riêng,phát biểu và chứng minh định lí điểm bất động Banach, định lí ánh xạ co kiểuKannan trên không gian mêtric nón riêng đã có trong bài báo “Fixed pointtheorems in partial cone metric spaces” của tác giả Ayse Sonmez [4] Ngoài rachúng tôi còn đề xuất và chứng minh định lí ánh xạ co kiểu Chatterjea và định lí

ánh xạ co kiểu Repazour và Hamlbarani trên các không gian mêtric nón riêng

3.1 Không gian mêtric nón riêng

3.1.1 Định nghĩa Giả sử X là tập khác rỗng ánh xạ p : X  X Eđợc gọi là

một mêtric nón riêng nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(p1) x y khi và chỉ khi p x, x  p x, y  p y, y  với mọi x, yX ;

R và p : X  X E sao cho p x, y  max x, y , max x, y     , trong đó

Vậy p thỏa mãn điều kiện (p1) của Định nghĩa 3.1.1 Bên cạnh đó, với mọi

không phải là không gian mêtric nón Thật vậy, theo cách xác định p thì hiển nhiên

Vậy p thỏa mãn điều kiện (p1) trong định nghĩa 3.1.1 Ta lại có

X , p là không gian mêtric nón riêng 

Vì tồn tại x  x n , y y n X , trong đó     x n  y n  1,0, ,0,  và

( , ) (1,0, ,0, ) (0,0, ,0, )

3.1.3 Định lí Mọi không gian mêtric nón riêng là không gian tôpô.

Chứng minh Lấy cintP, đặt B px,c  yX : p x, y   c p x, x   và

 B p x c, :x X c, intP

    Khi đó, Cp U X : x U, B px,c U là

tại c c1, 2P sao cho B px c, 1 U và B px c, 2V Từ đó suy ra

3.1.4 Định lí Giả sử X , p là một không gian mêtric nón riêng và P là một 

nón với hằng số chuẩn tắc K Khi đó X , p là T 0 - không gian.

Chứng minh Giả sử p : X  X E là một mêtric nón riêng và x, yX , trong

đó x y Từ điều kiện (p1) và (p2) của Định nghĩa 3.1.1 ta suy ra p x x ,  p x y , 

3.1.5 Định nghĩa Cho X , p là một không gian mêtric nón riêng,   x n là một

Chứng minh Giả sử  x n là một dãy trong X ,  x n hội tụ tới xX và mọi số

mọi nN ta có p x , x n   c p x, x  Do đó, p x x n,   p x x ,  K c  vớimọi nN Điều này chứng tỏ p x , x n   p x, x n     

Ngợc lại, giả sử p x , x n   p x, x n     Khi đó, với  cintP tồn tại   0

p x , x  p x, x  Suy ra c p x x n,   p x x , intP, với mọi nN

Điều này nghĩa là p x x n,   c p x x ,  với mọi nN Vậy  x n hội tụ tới x

3.1.7 Mệnh đề Giả sử X , p là không gian mêtric nón riêng, P là một nón với 

hằng số chuẩn tắc K Khi đó, nếu p x , x n   p x, x  n   thì

3.1.8 Định lí Giả sử  x n là dãy trong không gian mêtric nón riêng (X,p) Khi

đó, nếu x là giới hạn của dãy  x n và p y y ,  p y x ,  thì y là điểm giới hạn của

3.1.9 Định nghĩa Dãy  x n trong không gian mêtric nón riêng X d,  đợc gọi

Chứng minh Theo điều kiện (p3) của Định nghĩa 3.1.1 và cách xác định d ta suy

ra d x y ,  d y x ,  với mọi , x y Mặt khác, với mọi , X x y ta cóX

3.1.11 Định lí Giả sử  x n là dãy Cauchy trong không gian mêtric nón riêng

X p,  Khi đó,  x n là dãy Cauchy trong không gian mêtric nón X d , 

Chứng minh Giả sử  x n là dãy Cauchy trong là không gian mêtric nón riêng

3.1.14 Định nghĩa Không gian mêtric nón riêng X p,  đợc gọi là đầy đủ nếu

Bây giờ, chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh định lí điểm bất động Banachtrong không gian mêtric nón riêng

3.2 Định lí điểm bất động Banach trong không gian mêtric nón riêng

3.2.1 Định lí Cho X , p là một không gian mêtric nón riêng đầy đủ,  P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Giả sử ánh xạ T : X  X thỏa mãn điều kiện

p Tx, Ty p x, y với mọi x, yX , trong đó  là một hằng số,  0 1 ,  Khi đó, T có điểm bất động duy nhất trong

X và với mọi xX , dãy  n 

T x hội tụ tới điểm bất động.