Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh lớp 11 trường trung học phổ thông (thể hiện qua dạy học hình học không gian)

bộ giáo dục và đào tạoTrờng Đại học Vinh---  ---nguyễn Thị Tuyết Mai Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh lớp 11 trờng

bộ giáo dục và đào tạoTrờng Đại học Vinh

- 

 -nguyễn Thị Tuyết Mai

Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh

lớp 11 trờng trung học phổ thông

(Thể hiện qua dạy học Hình học không gian)

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Chuyên ngành: Lý luận và PHơNG PHáP DạY HọC bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10

Ngời hớng dẫn khoa học :

GS TS Đào Tam

Vinh, 2005

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay nhằmphát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và độc lập suy nghĩ của học sinh, đòihỏi học sinh chủ động trong quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm

vụ nhận thức dới sự tổ chức, hớng dẫn của giáo viên Vì vậy, việc giáo dụcToán học ở trờng THPT đặt ra yêu cầu đối với ngời học phải có nền tảng trithức cơ bản vững vàng, nâng cao khả năng ứng dụng, vận dụng vào học tập và

đời sống Chúng ta biết rằng, không một tri thức, kiến thức mới hay một côngtrình khoa học mới nào bắt đầu từ chỗ hoàn toàn trống rỗng về kiến thức Mỗitri thức mới hay một công trình khoa học phải thừa kế các kết quả nghiên cứutrong các lĩnh vực khoa học rất xa khác nhau Hầu nh hàng loạt phơng hớngnghiên cứu mới và các bộ môn khoa học mới xuất hiện chính là kết quả kếthừa lẫn nhau giữa các bộ môn khoa học

Liên quan đến tính kế thừa trong dạy học Toán, đã có một số luận án,luận văn, các công trình nghiên cứu khoa học của các tác giả đề cập đến vấn

đề này Chẳng hạn, luận án Tiến sỹ Giáo dục học của Nguyễn Ngọc Anh

(1999): "Khai thác ứng dụng của phép tính vi phân để giải các bài toán cực

trị có nội dung liên môn và thực tế, nhằm chủ động góp phần rèn luyện ý thức

và khả năng ứng dụng Toán học cho học sinh lớp 12 THPT" [1], các công

trình nghiên cứu của GS TS Đào Tam (1998): "Bồi dỡng học sinh khá giỏi ở

THPT: Năng lực huy động kiến thức khi giải các bài toán" [20], "Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ thông qua việc khai thác các phơng pháp khác nhau giải các dạng toán Hình học ở Trờng THPT" [21].

Dù khai thác theo định hớng nào, các tác giả đều có quan điểm chungtrên tinh thần đổi mới phơng pháp giảng dạy theo Lý thuyết kiến tạo, tức là:học sinh phải huy động kiến thức, tập trung suy nghĩ, độc lập sáng tạo để giảiquyết vấn đề dới sự hớng dẫn, gợi động cơ của giáo viên

Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

"Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập Toán nhằm tổ chức hoạt

động nhận thức cho học sinh lớp 11 trờng THPT (Thể hiện qua dạy học Hình học không gian)"

2 Mục đích nghiên cứu

2.1 Xác định vai trò, ý nghĩa của việc "vận dụng tính kế thừa đối với

hoạt động nhận thức cho học sinh thông qua việc giải bài tập Toán".

2.2 Đề ra một số biện pháp thực hiện điều đó.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

3.1 Nghiên cứu một số vấn đề lý luận về tính kế thừa, vận dụng tính kế thừa

trong hoạt động nhận thức.

3.2 Xác định rõ những cơ sở lý luận và thực tiễn để vận dụng tính kế

thừa trong dạy học Toán.

3.3 Xác lập những định hớng cơ bản làm cơ sở cho việc xây dựng thực

hiện các biện pháp s phạm

3.4 Xây dựng một số biện pháp thực hiện vận dụng tính kế thừa trong

dạy học giải bài tập Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh.

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở bám sát vào chơng trình và sách giáo khoa Hình học 11 hiện

hành nếu ngời thầy giáo biết quan tâm, khai thác và vận dụng tính kế thừa

trong dạy học giải bài tập Toán thì sẽ tổ chức tốt hoạt động nhận thức cho học

sinh và từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trờng THPT

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về phơng pháp dạy học Toán, các cơ sở về Tâm

lý học, Giáo dục học, Triết học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách thamkhảo về chơng trình Hình học không gian ở trờng phổ thông

- Nghiên cứu các bài báo về khoa học Toán học phục vụ cho đề tài

- Nghiên cứu các công trình, các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài(luận án, luận văn, khoá luận tốt nghiệp, các chuyên đề, công trình nghiên cứukhoa học )

- Làm rõ các cơ sở khoa học, xác định rõ vai trò và vị trí của việc vận

dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh.

6.2 Về mặt thực tiễn:

- Xây dựng đợc một số biện pháp dạy học để sử dụng tính kế thừa nhằm

tăng cờng hiệu quả hoạt động nhận thức của học sinh.

- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên ở cáctrờng THPT

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3 chơng:

Chơng 1: Một số vấn đề về cơ sở lý luận

1.1 Tính kế thừa

1.1.1 Các khái niệm về tính kế thừa

1.1.2 ích lợi của việc nghiên cứu tính kế thừa

1.1.3 Tính kế thừa trong hoạt động dạy Toán

1.2 Hoạt động nhận thức

1.2.1 Khái niệm

1.2.2 Một số thao tác t duy của hoạt động nhận thức

1.2.3 Vai trò của tính kế thừa với tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh1.3 Các cơ sở khoa học trong việc vận dụng tính kế thừa trong dạy họcToán ở Trờng THPT nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh

2.2 Một số biện pháp s phạm nhằm tổ chức HĐNT Toán học học sinhtrên cơ sở vận dụng tính kế thừa

Chơng 1

Một số vấn đề về cơ sở lý luận

1.1 Tính kế thừa

1.1.1 Khái niệm về tính kế thừa

Nghiên cứu khoa học là một quá trình xâm nhập vào thế giới của những

sự vật, hiện tợng mà con ngời cha biết Vì vậy, quá trình nghiên cứu khoa học

là một quá trình sáng tạo luôn luôn hớng tới những phát hiện mới hoặc sángtạo mới Nhng không có một công trình nghiên cứu khoa học nào lại bắt đầu

từ chỗ trống không hoàn toàn về mặt kiến thức Mỗi công trình nghiên cứuphải kế thừa các kết quả nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học rất khácnhau Chẳng hạn, khi nghiên cứu Kinh tế học, Marx đã kế thừa những kiếnthức về mô hình Hình học để thiết lập mô hình Toán học của quá trình tái sảnxuất xã hội [8, tr 15]

Vậy tính kế thừa là gì?

Theo Từ điển Tiếng Việt, kế thừa có nghĩa là: Thừa hởng, giữ gìn và tiếp

tục phát huy [17, tr 187].

Theo một số tác giả khác: Tính kế thừa hiểu là: "Mối quan hệ giữa các

hiện tợng trong quá trình phát triển khi cái mới thay cho cái cũ, bảo toàn nó một số yếu tố nào của nó" [26].

Ví dụ 1: Khái niệm hình bình hành đợc phát triển thành khái niệm hình

hộp: Khái niệm cạnh đối đợc phát triển thành mặt đối và bảo toàn tính songsong Các cạnh đối là "đoạn" đợc phát triển thành "hình bình hành" và bảotoàn tính bằng nhau

Khái niệm hình chữ nhật: đợc định nghĩa thông qua khái niệm hình bìnhhành bảo toàn hai yếu tố là hai cặp cạnh song song và hai cặp cạnh đối bằngnhau

Tính kế thừa còn hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau:

- Tính kế thừa xem nh là mối liên hệ giữa các phân môn riêng biệt trong

quá trình dạy học Toán, Vật lý và Toán, Toán và Họa hình, Hình học và Đại

số, Toán THCS và Toán THPT [26].

- Đó có thể là sử dụng các kiến thức có trớc khi nghiên cứu các kiến thức

sau trong cùng một môn học [26].

Ví dụ 2: Chơng Véctơ và Chơng Quan hệ vuông góc [4].

Từ khái niệm tích vô hớng ta có: Đờng thẳng a vuông góc với đờng thẳng

b khi và chỉ khi tích vô hớng của hai véctơ chỉ phơng của hai đờng thẳng bằng

0 Hoặc là mặt phẳng () vuông góc với mặt phẳng () khi và chỉ khi tích vôhớng của hai véctơ pháp tuyến m và n tơng ứng của hai mặt phẳng đó bằng0.

- Tính kế thừa cũng có thể xem là yêu cầu nhất quán đối với việc chuyển

kiến thức từ cấp học này đến cấp học khác, lớp này đến lớp khác [26].

Ví dụ 3: ở lớp 9 các em đã đợc học về khảo sát hàm số bậc hai có dạng:

y = ax2 Lên lớp 10, các em đợc khảo sát lại hàm số bậc hai: y = ax2 và trên cơ

sở các bớc khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc hai: y = ax2, ngời ta xâydựng các bớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c

Theo Giáo s, Tiến sỹ khoa học Nguyễn Cảnh Toàn đã đề cập đến tính kế

thừa thông qua sự phân tích quy luật "Phủ định của phủ định" của Triết học duy vật biện chứng Ông cho rằng: "Không bao giờ có cái "mới toanh" theo nghĩa không dính dáng gì tới cái "cũ" Cái "mới" bao giờ cũng từ cái "cũ" mà

ra, các nhà phát minh thế hệ sau bao giờ cũng đứng lên vai những nhà phátminh thế hệ trớc, kế thừa các thành quả của họ" [24, tr 54] và " hữu hạn lắmmới có kết quả mới trớc đó cha ai biết nhng tầm quan trọng thì nhỏ bé và tínhkhái quát của nó thấp " [23, tr 55]

1.1.2 ích lợi của việc nghiên cứu tính kế thừa

- Tính kế thừa đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học nóichung và nghiên cứu phơng pháp dạy học nói riêng Nói nh vậy bởi vì một ng-

ời nghiên cứu chân chính không bao giờ đóng cửa cố thủ trong những "kho

tàng" lý luận "riêng có", "của mình" mà bài xích sự thâm nhập cả về lý luận

và phơng pháp luận từ các lĩnh vực khoa học khác Hàng loạt phơng phápnghiên cứu mới và các bộ môn khoa học mới xuất hiện chính là kết quả kếthừa lẫn nhau giữa các môn khoa học

- Việc nghiên cứu tính kế thừa cũng góp phần quan trọng trong việc pháptriển năng lực trí tuệ chung nh: t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, tduy logic và t duy biện chứng; rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản nh phântích, tổng hợp, tơng tự, khái quát hoá; các phẩm chất t duy nh linh hoạt, độclập, sáng tạo Những điều nói trên đợc thể hiện qua việc giáo viên làm cho họcsinh quen và có ý thức sử dụng những thao tác nh: xét tơng tự, khái quát hoá,quy lạ về quen Mọi kiến thức thu nhận đợc đều phải có căn cứ, dựa trênnhững quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải tự nhiên mà có

- Ngoài ra chúng ta có thể vận dụng tính kế thừa trong các hoạt động ớng đích gợi động cơ, tạo tiền đề xuất phát trong quá trình dạy học Hoạt độnghớng đích, gợi động cơ sẽ có hiệu quả nếu giáo viên làm cho học sinh thấy đ -

h-ợc mối liên hệ giữa mục đích đặt ra với tri thức mà học sinh đã có Còn những

tiền đề xuất phát đề cập ở đây là những kiến thức, kỹ năng đặc thù liên quantrực tiếp đến nội dung sắp học đến.

1.1.3 Tính kế thừa trong trong hoạt động dạy toán

Toán học là môn học có tính trừu tợng cao Nó đợc thể hiện ngay trong

định nghĩa của ănghen về Toán học: Toán học là khoa học nghiên cứu về các“Toán học là khoa học nghiên cứu về các

quan hệ số lợng, hình dạng và logic trong thế giới khách quan” [13, tr 43].

Môn Toán đợc đặc trng bởi tính hệ thống logic chặt chẽ của nó, tuy cónhiều vấn đề còn thừa nhận, có những chứng minh cha thật chặt chẽ do đặc

điểm tâm lý nhận thức của học sinh Nhng nhìn chung các kiến thức trong mônToán từ lớp 1 tới lớp cuối trờng phổ thông đều có tính hệ thống, logic của nó;kiến thức học trớc là cơ sở cho kiến thức học sau; khái niệm học sau là đợcminh họa, định nghĩa thông qua các khái niệm học trớc; từ các mệnh đề nàysuy ra các mệnh đề khác một cách tuần tự Tất cả các kiến thức Toán học ở tr-ờng phổ thông đợc sắp xếp nh những mắt xích liên kết với nhau một cách chặtchẽ tạo thành những những mạch xuyên suốt chơng trình

Tri thức mới với ý nghĩa đúng đắn của nó, chỉ thực sự đợc hoà nhập vớivốn hiểu biết của học sinh khi nó đợc xây dựng trên cơ sở tri thức vốn có củahọc sinh Cũng chính vì vậy mà khi bàn về cách tìm tòi lời giải các bài toán,

G Polya thờng nhấn mạnh câu hỏi “Toán học là khoa học nghiên cứu về cácBạn có biết bài toán nào giống nó

không?” [13, tr 55] Cũng theo G Polya: “Toán học là khoa học nghiên cứu về cácThực tế khó mà đề ra một bài toán hoàn toàn mới, không giống một chút nào với các bài toán khác, hay là không

có một điểm nào chung với một bài toán trớc đây đã giải" [13, tr 55] Nếu nh

có một bài toán nh vậy nó tất yếu đã giải đợc Thực vậy, khi giải một bài toán,

ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả, phơng pháphay là kinh nghiệm có đợc khi giải các bài toán đó Hiển nhiên, những bàitoán ta dùng tới phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có Việc trả lời câuhỏi của G Polya thực chất liên hệ tới tính kế thừa trong giải bài tập Toán Mục

đích của câu hỏi trên đây để học sinh hoạt động huy động kiến thức có từ trớc

và quy lạ về quen

Nhà Toán học A Ia Khinshin lại cho rằng có thể dùng tính kế thừa để ôntập trong quá trình dạy học Bởi vì theo ông ôn tập ở đây nhằm củng cố để dẫntới kiến thức mới, có thể ôn tập theo từng chủ đề, phân mục để củng cố lại cáckiến thức cơ bản là nền tảng cho việc xây dựng kiến thức mới hoặc vận dụngtính kế thừa để xây dựng tính đồng tâm, xoáy trôn ốc trong dạy học

Tất nhiên sự kế thừa trong Toán học đó là theo khuynh hớng chọn lọc,phát triển để đi lên Một lý thuyết mới ra đời khi lý thuyết cũ bất lực trong

việc giải quyết các vấn đề lý luận hay thực tiễn mới đặt ra Lý thuyết mới nàyvừa kế thừa những mặt tích cực của lý thuyết cũ, vừa phủ định những mặt tiêucực của lý thuyết cũ, theo nghĩa là nó giải quyết đợc những yêu cầu mới mà lýthuyết cũ tỏ ra bất lực Nếu có tính kế thừa mà không có tính phủ định nhữngmặt tiêu cực, mặt bất lực thì khoa học Toán học không thể tiến lên đợc vìnhững mặt tiêu cực hạn chế vẫn ở nguyên tại đó, không giải quyết đợc [24, tr.199] Chẳng hạn: Về sự hình thành và phát triển của các tập hợp số.

Sự phát triển các tập hợp số không phải do lý trí chủ quan của các nhàToán học mà do nhu cầu thực tế trong đời sống hay nhu cầu của việc pháttriển kiến thức trong nội bộ Toán học

Tập hợp số đợc đa ra đầu tiên là tập số tự nhiên: N =  0; 1; 2; 3; Tập hợp N các số tự nhiên tồn tại mâu thuẫn, các mâu thuẫn đó thể hiệnbắt nguồn từ thực tế cuộc sống, chẳng hạn sử dụng số tự nhiên cha phản ánh

đợc các hiện tợng thực tế của thế giới khách quan nh: lãi và lỗ, đi tiến và đilùi, nhiệt độ nóng và lạnh v.v Trên tập hợp các số tự nhiên phép trừ khôngluôn luôn thực hiện đợc: 5 - 3 = 2; 3 - 5 = ?

Sự mở rộng tập số tự nhiên N sang tập các số nguyên Z hay nói cáchkhác tập hợp Z các số nguyên ra đời nhằm giải quyết những mâu thuẫn củatập hợp N các số tự nhiên

Tuy nhiên, trong tập hợp Z các số nguyên xuất hiện những mâu thuẫnmới sau đây:

Trớc hết chỉ sử dụng số nguyên cha phản ánh đợc các hiện tợng thực tếcủa thế giới khách quan nh: do lũ lụt phải chia lại đất đai hay chia số cá đánhbắt đợc, chia số con mồi săn bắt đợc, chia quà cho các em nhỏ Từ các phépchia trên dẫn tới thơng không là số nguyên Đây cũng chính là mâu thuẫntrong nội bộ Toán học của số nguyên: phép chia không luôn luôn thực hiện đ -ợc: 8: (- 4) = -2; (-7) : 3 = ?

Đứng trớc yêu cầu đó, tập hợp các số hữu tỷ Q ra đời nhằm giải quyếtnhững mâu thuẫn của tập hợp các số nguyên Z

Nhng tập hợp Q các số hữu tỷ lại xuất hiện những khó khăn mới: không

đáp ứng đợc nhu cầu của phép đo đạc hay tính toán tồn tại những đoạn thẳng

có độ dài không là số hữu tỷ Chẳng hạn đo độ dài đờng chéo hình vuông cócạnh bằng 1, hoặc phép khai căn của một số không âm không luôn luôn thực

hiện đợc: Q

3

2 9

4



 nhng 2  Q

Sự mở rộng từ tập hợp Q sang tập hợp R hay tập hợp R các số thực ra đờinhằm giải quyết các mâu thuẫn của tập hợp Q các số hữu tỷ.

Tuy nhiên tập hợp R các số thực xuất hiện các mâu thuẫn mới: phépkhai căn không luôn luôn thực hiện đợc, chẳng hạn, căn của một số âm nh:

cho học sinh khả năng huy động kiến thức để giải đáp nguồn gốc một khái

niệm, các cách hình thành định lý, hoặc giải các bài tập Toán; tập cho học

sinh biết "quy lạ về quen" trong quá trình giải bài tập Toán Dạy học Toán

luôn phải gắn liền với sự kế thừa và phát triển xây dựng kiến thức mới

Qua tham khảo và phân tích quan điểm của các nhà khoa học, từ nhữngcăn cứ và ý tởng đợc nêu ở trên, chúng tôi quan niệm về tính kế thừa trong dạyhọc Toán nh sau:

- Đó là việc sử dụng kiến thức học trớc để xây dựng, minh họa, chứngminh cho kiến thức học sau

- Mố quan hệ giữa các chơng mục này với chơng mục kia trong mộtgiáo trình

- Kế thừa cũng là sự phát triển từ cái đơn giản đến phức tạp, từ cái cụthể đến cái trừu tợng

- Nó cũng thể hiện qua những bậc thang của sự phát triển t duy học sinh

1.2 Hoạt động nhận thức

1.2.1 Khái niệm

Hoạt động nhận thức (HĐNT) là một trong những hoạt động của conngời, do đó nó cũng tuân theo cấu trúc tổng quát của một hoạt động nóichung, HĐNT là quá trình phản ánh hiện thực khách quan Nhờ có nhận thức

mà con ngời mới có ý thức về thế giới, nhờ đó con ngời có thái độ với thế giớixung quanh, đặt ra mục đích và đa nó vào đó mà hoạt động Nhận thức khôngphải là một hành động tức thời, giản đơn, máy móc, thụ động mà là một quátrình biện chứng, tích cực, sáng tạo Quá trình nhận thức diễn ra theo con đờng

từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng, rồi từ t duy trừu tợng đến thực tiễn

Đó cũng là nhận thức đi từ hiện tợng đến bản chất, tù bản chất kém sâu sắc

đến bản chất sâu sắc hơn

1.2.2 Một số thao tác t duy đặc trng của hoạt động nhận thức

Tơng tự: là một dạng của suy luận qui nạp, là suy luận trong đó từ chỗ

hai đối tợng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận các đối tợng nàygiống nhau ở một số dấu hiệu khác A và B cũng có dấu hiệu a, b, c, d, A códấu hiệu riêng i thì B cũng có dấu hiệu i

Trừu tợng hoá: là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm

không bản chất (đơng nhiên, sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đâymang ý nghĩa tơng đối, nó phụ thuộc vào mục đích hoạt động)

Khái quát hoá: là chuyển thể từ một tập hợp đối tợng sang một tập hợp

lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung củacác phần tử trong tập hợp xuất phát Nh vậy, ta thấy rằng trừu tợng hóa là điềukiện cần của khái quát hoá Chẳng hạn, khi dạy định lý trọng tâm tam giác [7,tr.15], có thể cho các em hiểu khái quát hóa nh sau:

+ Với 2 điểm A, B ta có I duy nhất sao cho: IAIB0

+ Với 3 điểm A, B, C ta có G duy nhất sao cho: GAGBGC0

+ Với 4 điểm A, B, C, D ta có duy nhất điểm G sao cho:

0 GD GC

GB

Điểm I hay điểm G duy nhất nói trên gọi là trọng tâm của đoạn thẳng haycủa tam giác, tứ giác

Tuy nhiên đối với học sinh khá - giỏi có thể mở rộng nh sau: Cho n điểm

A1, A2 , An tồn tại duy nhất điểm G sao cho: GA 1  GA2   GAn  0 G đợcgọi là trọng tâm của hệ n điểm

1.2.3 Vai trò của tính kế thừa đối với việc tổ chức hoạt động nhận

thức cho học sinh

Nh chúng ta đã biết, Toán học là kết quả của sự trừu tợng hóa diễn ra trênnhững bình diện khác nhau Có những khái niệm Toán học là kết quả của sựtrừu tợng hóa những đối tợng vật chất cụ thể, nhng cũng có những khái niệmnảy sinh do sự trừu tợng hóa những cái trừu tợng đã đạt đợc trớc đó

Dạy học giải bài tập Toán là điều kiện quan trọng để thực hiện tốt cácmục tiêu dạy học, là một trong những vấn đề trọng tâm của phơng pháp dạyhọc Toán ở trờng phổ thông Đối với học sinh có thể xem việc giải toán làhình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Các bài toán là phơng tiện khôngthể thay thế trong quá trình giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy,hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giải quyết cácbài toán thực tế Vì vậy, việc tổ chức giải các bài toán có hiệu quả sẽ góp phầnquan trọng đối với chất lợng dạy toán Dạy học giải bài tập Toán không chỉdừng lại ở mức độ hớng dẫn học sinh trình bày đúng đắn, đầy đủ và có căn cứchính xác lời giải, mà phải biết cách hớng dẫn học sinh thực hành giải bài tậptheo yêu cầu của phơng pháp tìm tòi lời giải, tập cho học sinh khả năng độclập giải quyết vấn đề

Việc vận dụng tính kế thừa trong quá trình dạy học Toán học nói chung

và giải bài tập Toán nói riêng nhằm giúp học sinh khắc sâu các định lý, cáckhái niệm Toán học, giúp các em nắm vững hệ thống kiến thức một cách cơbản vững chắc Trên cơ sở đó phát huy đợc khả năng t duy của các em, rènluyện năng lực huy động kiến thức để giải quyết những tình huống có vấn đề

Vận dụng tính kế thừa trong giải bài tập Toán còn góp phần phát triển tduy cho học sinh: các em biết cách phát triển các bài tập trong sách giáo khoaphổ thông, biết tổng quát hoá, đặc biệt hoá, quy lạ về quen một bài toán hoặc

có thể đề xuất một bài toán tơng tự Thông qua dạy học bài giải tập toán rènluyện cho học sinh thói quen cũng nh khả năng độc lập phát hiện và giải quyết

các vấn đề có liên quan Từ đó giúp t duy logic, t duy sáng tạo của các emtừng bớc phát triển, năng lực các em đợc nâng cao.

Trong thực tiễn dạy học, tính kế thừa đối với hoạt động nhận thức đợc thểhiện qua:

* Các hoạt động gợi động cơ hình thành định lý và giải bài tập Toán Từcác khái niệm, định lý cơ bản đã học xây dựng các quy trình giải bài toánHình học không gian điển hình

* Khả năng huy động kiến thức cơ bản là các khái niệm, định lý trongsách giáo khoa để giải toán, từ đó hình thành, hệ thống phơng pháp giải cácdạng toán điển hình, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết trongchừng mực có thể làm cho học sinh nhớ và khắc sâu những lý thuyết đã học.Học sinh có thể phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, phát triển một định lý, tínhchất nào đó Tất cả những thao tác t duy đó sẽ góp phần củng cố, khắc sâu và

mở rộng kiến thức cho học sinh, giúp các em nhìn các khái niệm, định lý Toánhọc một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao hoạt độngnhận thức cho các em

Ví dụ 1: Khái niệm và phơng pháp chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Ba điểm A, B, C thẳng hàng nếu chúng nằm trên một đờng thẳng

Các cách chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng:

- Chứng minh A, B, C cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt

- Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh tạo bởi đờng thẳng qua A, B, Cbằng nhau

- Chứng minh đờng thẳng AB và đờng thẳng AC cùng song song vớimột đờng thẳng nào đó

quan hệ bên trong bên ngoài, giữa cái chung cái riêng, giữa cái cụ thể với cáitrừu tợng Trên cơ sở đó, dùng phép tơng tự hoặc tổng hợp để chuyển cáiriêng thành cái chung, cái cụ thể thành cái trừu tợng… và ng và ngợc lại Từ đó hìnhthành cho các em cái nhìn đầy đủ hơn về lịch sử hình thành cũng nh quá trìnhphát triển của Toán học.

Ví dụ 2: Quá trình hình thành và phát triển của hệ trục tọa độ Đecac

(Descartes) vuông góc ở trờng phổ thông:

Ngời phát minh ra hệ trục tọa độ là Rene' Descartes (1596 - 1650) mộtnhà Triết học kiêm Vật lý và Toán học ngời Pháp

Để thực hiện từng bớc phù hợp với trình độ nhận thức học sinh ở mỗi lớptrong từng bậc học, SGK trình bày theo thứ tự:

- Tia số (Số học lớp 6);

- Trục số hữu tỷ (Đại số lớp 7);

- Trục số thực và mặt phẳng tọa độ (Đại số lớp 9);

- Hệ tọa độ Đecac (Descartes) vuông góc trong mặt phẳng (Hình học lớp 10);

- Hệ tọa độ Đecac (Descartes) vuông góc trong không gian (Hình học lớp 12)

Để xác định vị trí của một điểm hoặc một véctơ trong không gian, ngời tathờng dùng hệ trục tọa độ Đecac vuông góc trong không gian

Đó là một hệ gồm ba đờng thẳng

x'Ox, yOy', z Oz' vuông góc với nhau từng

đôi một, trên đó lần lợt chọn các véctơ đơn

vị: e1  OE1, e2  OE2, e3  OE3

Ba đờng thẳng ấy gọi là ba trục tọa độ

Trục x'Ox gọi là trục hoành, trục y'Oy gọi

là trục tung và trục zOz' gọi là trục cao

Điểm O gọi là gốc tọa độ (hình 1.1)

Nhận xét:

Sự hình thành và phát triển hệ trục tọa độ Đecac vuông góc trong khônggian theo thứ tự xét trên nửa đờng thẳng, trên đờng thẳng, trên mặt phẳng vàtrên không gian Phát triển theo số chiều của không gian, có thể mở rộng saunày ở bậc Đại học đến n chiều Ngoài ra có thể phát triển theo hớng không cầncác véctơ đơn vị đôi một vuông góc và độ dài bằng 1, nh hệ tọa độ afin Pháttriển theo các môn học: Số học, Đại số và Hình học ích lợi của việc phát triển

y'

z

E3

x'

E2E

1

yO

Hình 1.1

này, thể hiện mối quan hệ giữa Số học, Đại số và Hình học: Đại số hóa Hìnhhọc, tạo ra công cụ khá đắc lực để giải các bài toán Hình học nh: phơng phápvéctơ, phơng pháp tọa độ

Ví dụ 3: Tính thể tích của tứ diện ABCD cho biết AB = CD = a;

Những nếu học sinh biết đặt tứ

diện ABCD (nội tiếp) trong hình hộp

a2  2  2 ; y =

2

b c

a2  2  2 ; z =

2

a c

Ví dụ 4: Chứng minh rằng sáu mặt phẳng, đi qua trung điểm một cạnh

của tứ diện ABCD và vuông góc với cạnh đối diện thì đồng quy [20]

Để giải bài tập trên, chúng ta quan tâm giải bài tập Hình học phẳng liên

quan: "Ba đờng cao của tam giác đồng quy", khi giải bài toán này cần xem

các đờng cao qua trung điểm của các đoạn AA, BB, CC và vuông góc vớicạnh đối diện BC, CA, AB; theo cách giải có thể chuyển sang cách giải củabài tập không gian nh sau:

A

F

NC

BM

Hình 1.2

Gọi M, N lần lợt là trung điểm của cạnh BC, CA; O là tâm đờng trònngoại tiếp tam giác ABC; G là trọng tâm của tam giác ABC; H là giao điểmcủa OG và đờng cao AA1 khi đó:

GOM  GHA vì

2

1 GA

GM

 và HAG = OMG; HGA = OGM (hình 1.3)

Từ đó ta có GH = 2GO  H cố định và các đờng cao BB1, CC1 tơng tựcũng đi qua H

Khi đó, học sinh có thể giải bài toán ở ví dụ 4 bằng cách tơng tự Gọi O

là tâm mặt cầu ngoại tiếp, O thuộc mặt phẳng trung trực của cạnh CD quatrung điểm N Mặt phẳng qua trung điểm M của AB vuông góc với CD tại I.Mặt phẳng (OMI) cắt mặt phẳng qua M vuông góc với CD và mặt phẳng trungtrực của CD theo hai giao tuyến song song MI và ON Trọng tâm G của tứdiện ABCD là trung điểm của MN, OG cắt MI tại H GON = GHM  H

là điểm đối xứng của O qua G Có nghĩa là mọi mặt phẳng qua trung điểmmột cạnh và vuông góc với cạnh đối diện qua H (hình 1.4)

1.3 Các cơ sở lý luận và thực tiễn để hình thành các định hớng dạy học vận dụng tính kế thừa để tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh

1.3.1 Cơ sở thực tiễn

Qua thực tế dạy học, chúng tôi thấy:

* Học sinh chỉ có thể lĩnh hội đợc kiến thức mới nếu nh có nền tảngkiến thức cơ sở vững vàng và khả năng huy động kiến thức đó để giải thíchhoặc chứng minh, tìm tòi kiến thức mới

* Học sinh khi giải toán thờng dựa trên sự bắt ch“Toán học là khoa học nghiên cứu về các ớc” hay nói cách khác

theo ngôn ngữ Toán học là xem bài toán đó tơng tự nh một bài toán đã giải

Các em quan sát, thu nhận và bắt chớc giáo viên đã giải bài toán nh thế nào

và thực hành lại một cách có chọn lọc Giáo viên muốn phát triển khả nănggiải các bài tập Toán của học sinh thì phải tạo hứng thú cho học sinh, đảm bảocho học sinh nhiều điều kiện học hỏi (bắt chớc) và thực hành

A

CB

N

M

O G H

Hình 1.4

* Kiến thức Toán học đợc trình bày một cách có logic và hệ thống chặtchẽ từ lớp 1 đến lớp 12 Kiến thức trớc là nền tảng của kiến thức sau Kiếnthức sau là sự mở rộng của kiến thức trớc Nhng đa số các em còn lúng túngtrong việc ứng dụng khai thác, mở rộng, phát triển các kiến thức Điều nàyhạn chế không nhỏ tới việc huy động vốn kiến thức của học sinh, ảnh hởng

đến việc rèn luyện t duy, khả năng thu nhận kiến thức cũng nh sự hiểu biết thếgiới quan khoa học của học sinh

1.3.2 Cơ sở Triết học

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quátrình phát triển Một vấn đề đợc gợi cho học sinh hứng thú học tập, tự giác độclập tìm tòi và khám phá, chính là mâu thuẫn giữa yêu cầu nhận thức mới vớikiến thức và kinh nghiệm sẵn có Tình huống này phản ánh một cách logic vàbiện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức cũ, kỹ năng cũ, kinh nghiệm cũvới yêu cầu tìm hiểu, giải thích sự kiện mới, t duy mới hay đổi mới tình thếhoặc bài toán nào đó Và thế cứ mỗi lần mâu thuẫn xuất hiện rồi đợc giảiquyết thì hiểu biết của học sinh lại tiến thêm một bớc theo một quy luật gọi là

phủ định của phủ định

“Toán học là khoa học nghiên cứu về các ” Nh thế có nghĩa là nói có mâu thuẫn “Toán học là khoa học nghiên cứu về các ” xuất hiện tức

là có một sự bất lực nào đó của kiến thúc hiện có trớc nhiệm vụ giải quyết haygiải thích một sự việc hay hiện tợng nào đó; nh vậy là sự vật hay hiện tợng nàyphủ định kiến thức hiện có Trớc tình hình đó yêu cầu học sinh phải tìm cáchgiải quyết hay giải thích sự vật hiện tợng đó Nghiên cứu khoa học sẽ đa đếnnhững kiến thức mới cho phép giải quyết sự vật hay giải thích hiện tợng.Những kiến thức này, ban đầu tởng nh mâu thuẫn với kiến thức cũ (phủ địnhlần một) nhng sau khi đã hiểu sâu nó, lại thấy thống nhất với kiến thức cũ,trùm lên kiến thức cũ Sự thống nhất này phủ định kết quả của lần phủ định tr-

ớc (cho rằng lý thuyết mới trái với lý thuyết cũ) Qua hai lần phủ định ta đ ợc

ta đợc một lý thuyết mới trùm lên lý thuyết cũ, mở rộng lý thuyết cũ Vì vậykết quả của sự phát minh sáng tạo trong lĩnh vực khoa học cơ bản bao giờcũng là kế thừa có mở rộng của một kiến thức cơ bản nào đó

Ta có thể khẳng định các quy luật của phép biện chứng duy vật đã kếtluận: cái mới bao giờ cũng là kế thừa và mở rộng cái cũ Không có cái mớinào tách rời cái cũ Tuy nhiên kiến thức mới phải kế thừa kiến thức cũ mộtcách có chọn lọc, phát triển thì khoa học mới ngày càng tiến lên và trình độnhận thức của học sinh mới ngày càng nâng cao

1.3.3 Dựa trên các quan điểm đổi mới phơng pháp giảng dạy

Trong những năm gần đây, khối lợng trí thức khoa học tăng lên một cáchnhanh chóng Theo các nhà khoa học cứ tám năm nó lại tăng lên gấp đôi Thờigian học tập ở trờng phổ thông lại có hạn Để hoà nhập và phát triển với xãhội, con ngời phải tự học tập, trau dồi tri thức các kỹ năng kỹ xảo biết ứngdụng các kiến thức tích luỹ trong nhà trờng vào cuộc sống Đứng trớc tìnhtrạng đó, các nhà Tâm lý s phạm, các nhà Giáo dục trên thế giới và trong nớc

đã có những đóng góp tích cực vào công cuộc đổi mới phơng pháp dạy họctheo quan điểm của lý thuyết kiến tạo Lý thuyết kiến tạo (LTKT) là về việchọc và pháp huy tối đa vai trò tích cực và chủ động của ngời học trong quátrình học tập Đối với hoạt động dạy học Toán, LTKT quan niệm quá trìnhhọc toán là: học trong hoạt động, học là vợt qua chứng ngại, học qua sự tơngtác xã hội, học thông qua hoạt động giải quyết vần đề Tơng thích với quan

điểm này về quá trình học tập; LTKT quan điểm về quá trình dạy học là quátrình giáo viên chủ động tạo ra các tình huống học tập giúp học sinh thiết lậpcác tri thức cần thiết; là quá trình giáo viên kiến tạo bầu không khí trí thức vàxã hội tích cực giúp ngời học tự tin vào bản thân và tích cực học tập; là quátrình giáo viên phải luôn giao cho học sinh những bài tập giúp họ tái cấu trúctri thức một cách thích hợp; là quá trình giáo viên giúp học sinh xác nhận tính

đúng đắn của các tri thức vừa kiến tạo [10]

Từ quan điểm trên, có thể thấy rằng không có một phơng pháp dạy học

"kiến tạo", mà LTKT là một lý thuyết mang tính định hớng, dựa vào đó ngờigiáo viên lựa chọn và sử dụng một cách có hiệu qủa các phơng pháp dạy họcmang tính kiến tạo Nhng dù theo phơng pháp dạy học nào, giáo viên cũngphải dựa trên vốn nền tảng kiến thức cơ bản của học sinh, kinh nghiệm dạyhọc của giáo viên, trình độ tiếp nhận tri thức mới của học sinh

1.3.4 Cơ sở Tâm lý - Giáo dục học

Toán học là môn học có tính hệ thống và tuần tự một cách chặt chẽ.Kiến thức Toán học chỉ có thể hiểu kỹ và vững chắc nếu nh học sinh nắmchúng một cách có hệ thống, có thể vận dụng chúng một cách linh hoạt vàcũng từ đó mà có cơ sở để rèn luyện t duy, thế giới quan khoa học, nâng caokhả năng nhận thức của học sinh Vì thế trong quá trình dạy học, giáo viênphải làm cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa những kiến thức của bài toántrớc với các bài toán sau, các bài trong chơng, các chơng trong giáo trình vàgiáo trình này với các giáo trình khác Theo phơng châm t tởng của Chủ tịch

Hồ Chí Minh: Từ gốc đến ngọn, từ gần đến xa, từ dễ đến khó, chớ có tham“Toán học là khoa học nghiên cứu về các

mau, tham nhiều trong cùng một lúc” [12, tr 148].

Xét về mặt Tâm lý học, học sinh chỉ có thể lĩnh hội đợc những kiếnthức mới vừa với sức của các em với sự nỗ lực trí tuệ nhất định, phù hợp vớitrình độ phát triển trí lực, tâm lý và trình độ t duy Các em dễ nhận ra vấn đềmới trong điều quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết,suy đoán các đối tợng có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất

định chứ không phải đoán mò, từ những biểu tợng của những đối tợng đã biết

có thể hình thành sáng tạo ra hình ảnh của những đối tợng cha biết hoặc cha

có trong đời sống

1.4 Kết luận chơng 1

Trong chơng này, luận văn đã phân tích, làm rõ các vấn đề sau:

- Khái niệm tính kế thừa

- ích lợi của việc nghiên cứu tính kế thừa

- Tính kế thừa trong dạy học Toán

- Khái niệm hoạt động nhận thức và các thao tác t duy đặc trng của hoạt

động nhận thức

- Vai trò của tính kế thừa với tổ chức hoạt đông nhận thức cho học sinh

- Các cơ sở lý luận và thực tiễn để hình thành các định hớng dạy học

Chơng 2 Các biện pháp vận dụng tính kế thừa

trong dạy học giải bài tập Toán ở trờng THPT nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh

2.1 Các định hớng - từ cơ sở đó đề ra các biện pháp s phạm nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập Toán

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn phân tích ở chơng 1, t tởng các biện pháp

có điểm tựa trên các định hớng sau:

2.1.1 Định hớng 1: Dạy học Hình học 11 theo định hớng vận dụng tính

kế thừa nhằm tổ chức HĐNT cho HS trớc hết phải đảm bảo các nguyên tắc dạy học toán đặc biệt là nguyên tắc tính hệ thống và tính tuần tự.

Các nguyên tắc dạy học toán là những luận điểm cơ bản làm cơ sở choviệc dạy học môn Toán Các nguyên tắc dạy học Toán liên quan chặt chẽ với

vị trí, nhiệm vụ dạy học Toán, với các quy luật hoạt động nhận thức Toán họccủa học sinh và với đặc điểm môn Toán

Trong dạy học Toán, cần thiết phải đảm bảo nguyên tắc tính hệ thống vàtính tuần tự Các kiến thức muốn đợc hiểu một cách thấu đáo thì phải đợc sắpxếp có thứ tự và tuần tự từng bớc đa vào hoạt động nhận thức của học sinh

Đặc biệt là trong môn Toán - môn học có tính hệ thống chặt chẽ - kiến thựcToán học chỉ có thể hiểu kĩ và vững chắc nếu nh học sinh nắm đợc chúng mộtcách có hệ thống và cũng có kiến thức Toán học mới có cơ sở để rèn luyện tduy, thế giới quan khoa học Vì thế khi dạy học Toán, cần xác định vị trí củabài học trong toàn chơng, trong toàn bộ giáo trình, trong hệ thống chơng trìnhToán để thấy các mối liên hệ giữa những kiến thức của bài đó với nhau, vớinhững kiến thức của bài trớc và của các bài sau [12, tr 147]

2.1.2 Định hớng 2: Dạy học Hình học 11 theo định hớng vận dụng

tính kế thừa nhằm tổ chức HĐNT cho HS phải bám sát, khai thác tiềm năng SGK phổ thông.

SGK Hình học đợc xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiêntiến ở trong nớc và ngoài nớc, theo một hệ thống quan điểm nhất quán về ph-

ơng diện Toán học cũng nh phơng diện s phạm, đã thực hiện thống nhất trong

phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và đợc chỉnh lý nhiều lần cho phù hợp vớithực tiễn giáo dục ở nớc ta.

Vì thế khi dạy học theo định hớng vận dụng tính kế thừa nhằm tổ chứcHĐNT cho HS muốn thực hiện tốt thì phải bám sát khai thác một cách tối uvào nội dung chơng trình SGK Đó có thể là:

- Khai thác các định nghĩa, định lý, các bài tập trong SGK, thông qua đóhọc sinh có thể kiến tạo những bài tập mới, phơng pháp giải toán mới

- Phát huy tối đa hiệu quả, u điểm các phơng pháp giải toán trong SGK,hình thành các kỹ năng giải các dạng bài tập Toán

- Chú ý khai thác các kiến thức ở các lớp dới, các phơng pháp giải chocùng một dạng toán

- Xây dựng các quy trình giải các dạng toán điển hình, từ đó đề ra các bàitập gốc là cơ sở cho việc xây dựng các bài toán nâng cao

Một khi học sinh đã có kiến thức vững chắc, có các kỹ năng giải cácdạng bài tập thì sẽ có niềm tin, hứng thú trong học Toán

Ví dụ 2.1 Khái niệm giao tuyến cả hai mặt phẳng có thể áp dụng để

chứng minh ba điểm thẳng hàng: "Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khichúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt () và ()"

Bài toán 2.1 Cho hình chóp S.ABCD Gọi O là giao điểm hai đờng chéo

của đáy ABCD Một mặt phẳng (P) lần lợt cắt SA, SB, SC, SD tại A', B', C', D'.A'C' cắt C'D' tại I Chứng minh rằng S, I, O thẳng hàng [15, tr 12]

Xây dựng lời giải:

Giáo viên: - Ngoài các cách

chứng minh ba điểm thẳng hàng

trớc đây, còn có cách nào khác?

Học sinh: - S, I, O thuộc giao

tuyến của hai mặt phẳng phân

O

IA'

Hình 2.1

S  mặt phẳng (SAC) và (SBD)

O  AC  mặt phẳng (SAC) và O  BD  mặt phẳng (SBD)

I  A'C'  mặt phẳng (SAC) và I  B'D'  mặt phẳng (SBD)Vậy ba điểm S, I, O thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nênthẳng hàng (hình 2.1)

Ví dụ 2.2 Công thức tính diện tích một hình phẳng S' = S.cos có thể

dùng để tính góc của nhị diện (hoặc góc của hai mặt phẳng)

Bài toán 2.2 Cho tứ diện gần đều

ABCD Tính góc phẳng của nhị diện

(A, CD, B)

Xây dựng lời giải:

Giáo viên: - Hãy xác định dạng

bài toán?

Học sinh: - Là bài toán tính góc

nhị diện của hai mặt phẳng

Giáo viên: - Có bao nhiêu cách tính góc nhị diện?

Học sinh: - Có hai cách: + Gắn vào tam giác nào đó

+ Sử dụng định lý hình chiếu

Giáo viên: - Hãy giải bài toán trên qua hai cách đó

Cách 1: Gọi I là trung điểm của CD, H là chân đờng cao kẻ từ A xuống

(BCD) Do AH = AC = AD nên H là tâm của tam giác đều BCD

Ta có: HI  CD và AI  CD nên góc phẳng của nhị diện (A, CD, B) là

 = AIH Gọi a là cạnh của tứ diện ABCD, ta có:

3 a 3

HI

Cách 2: Gọi H là chân đờng cao kẻ từ A xuống (BCD).

Do AH = AC = AD nên H là tâm của tam giác đều BCD

SHCD = SACD.cos (2)Trong đó  là góc phẳng nhị diện (A, CD, B).

Từ (1) và (2) suy ra: cos =

3

1

2.1.3 Định hớng 3: Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập

nhằm tổ chức HĐNT cho HS phải tạo môi trờng học tập có tính cởi mở và hợp tác.

Lý thuyết kiến tạo đặc biệt quan tâm đến việc tạo lập các môi trờng họctập cho học sinh Theo quan điểm của Lý thuyết kiến tạo là môi trờng học tập

đợc thiết lập để nó chứa đựng các nhiệm vụ học tập nhng không làm cho ngờihọc cảm thấy bị áp lực, giúp học sinh tự tin vào bản thân và thấy đợc quyềnbình đẳng trong học tập, đợc trao đổi thông tin với bạn học và đa ra ý kiến củabản thân họ Kết quả một giờ học không chỉ đợc đánh giá ở việc học sinh thunhận đợc khối lợng tri thức phong phú, sâu sắc mà quan trọng hơn là khả năngvận dụng những tri thức đó vào tình huống cụ thể Chỉ khi nào học sinh biếtbiến hoá, nhào nặn những tri thức đã thu nhận đợc, biết điều khiển sử dụng nó,giải quyết tốt một vấn đề thì khi đó học sinh mới thực sự hiểu thấu đáo vấn đề

và làm chủ tri thức của mình

Ví dụ 3.1 Từ kết quả trong Hình học phẳng "Bình phơng đờng chéo hình chữ nhật bằng tổng bình phơng độ dài hai cạnh bên", ta có thể mở rộng ra nh

sau:

Bài toán 3.1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BB' = b,

CC' = c Chứng minh rằng các đờng chéo của hình hộp đó bằng nhau và bằng

A'

B'

D'C'

Hình 2.3

Ví dụ 3.2 Từ các công thức tính thể tích các hình đã biết nh hình hộp,

lăng trụ, hình chóp để tính thể tích đa diện bất kỳ, ta bổ sung vào đa diện cáckhối để tính thể tích để đợc một khối dễ tính thể tích

Bài toán 3.2 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy a,

cạnh bên l Gọi I, J lần lợt là trung điểm A'B', A"C' Tính thể tích hình đa diệnA'IJ.ABC

Hớng dẫn lời giải:

Kéo dài BI, CJ chúng sẽ cắt nhau tại

E trên AA' Dễ dàng chứng minh đợc EA

1 - l 2 4

3 a 3

=

16

3 a l 3

2.1.4 Định hớng 4: Trong quá trình dạy học theo định hớng vận dụng

tính kế thừa tổ chức HĐNT cho học sinh cần chú ý phát triển t duy Hình học cho các em thông qua các hoạt động kiến tạo tri thức.

T duy Hình học mang những nét đặc trng quan trọng và cơ bản của t duyToán học và còn có những đặc điểm sau: việc phát triển t duy Hình học luôngắn với khả năng phát triển trí tởng tợng không gian, phát triển t duy Hình họcluôn gắn với việc phát triển của phơng pháp suy luận; việc phát triển t duyHình học ở cấp độ cao sẽ kéo theo sự phát triển t duy Đại số Nh vậy, để nângdần các cấp độ t duy trong dạy học Hình học không gian, việc dạy học phải đ-

ợc chú ý vào:

- Phát triển trí tởng tợng không gian bằng cách: giúp học sinh hình thành

và tích luỹ các biểu tợng không gian một cách vững chắc, biết nhìn nhận các

B

IB'

E

Hình 2.4

đối tợng Hình học ở các không gian khác nhau; biết đoán nhận sự thay đổi củacác biểu tợng không gian khi thay đổi một số dữ kiện.

- Phát triển năng lực hình thành và chứng minh các định lý Hình học

đồng thời với việc rèn luyện năng lực suy luận logic của học sinh

2.1.5 Định hớng 5: Khai thác triệt để các kiến thức, kỹ năng đã có của

ngời học liên quan đến vấn đề cần dạy.

Thực hiện định hớng này nhằm vào các mục đích sau:

a) Tạo lập các tình huống học tập:

Lý thuyết kiến tạo (LTKT) cho rằng trong quá trình học tập, học sinh phải

phát huy tối đa vai trò tích cực và chủ động LTKT cho rằng: "Tri thức phải đợc

kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể của nhận thức chứ không phải đợc thu nhận một cách thụ động từ thầy giáo" Đồng thời nó nhấn mạnh tầm quan trọng

của các tri thức đã có, niềm tin và các kỹ năng mang tính cá nhân làm dậy cáckinh nghiệm của việc học Sự kiến tạo tri thức mới nh là sự kết nối những vấn

đề đã học với những thông tin mới và sự hăng hái trong học tập

Giáo viên dạy theo quan điểm kiến tạo luôn có thái độ tích cực đối vớicác kiến thức và kinh nghiệm đã có của ngời học (có thể đó là quan điểm sailầm hoặc không đầy đủ) bởi vì nó là một tiên đề quan trọng giúp HS tạo lậpcác tình huống học tập [10]

Ví dụ: Khi dạy nội dung: Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng trong không gian ta, có thể tạo lập một tình huống dạy học nh sau:

Trong không gian cho hai đờng thẳng bất kỳ a và b, hãy chỉ ra các vị trí

t-ơng đối của hai đờng thẳng đó?

Học sinh sẽ dễ dàng trả lời nh sau: a // b, a cắt b tại O, a  b Đây là cáckiến thức học sinh đã đợc học trong Hình học phẳng Khi đó giáo viên đa ratình huống

Cho hình lập phơng ABCD A'B'C'D' Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa cáccặp đờng thẳng sau: AD và BC; AA' và A'B', AC và BD, A'D' và BB'

Từ việc trả lời đợc các câu hỏi trên

học sinh thấy đợc nhu cầu cần bổ sung

kiến thức cho bản thân và học sinh thấy

đợc: Với hai đờng thẳng bất kỳ trong

không gian thì điều đầu tiên cần phải

xem xét đó là chúng có đồng phẳng hay

không? Và từ đó, giáo viên đa ra khái

niệm hai đờng thẳng chéo nhau và hai

Hình 2.5

đờng thẳng song song trong không

gian

b) Loại bỏ các kiến thức sai lầm của học sinh:

Ngời học sinh đợc trang bị kiến thức mới khi họ có thể loại bỏ hoàn toàncác quan niệm sẵn có không còn phù hợp nữa Có hai nguyên nhân là tri thức

cũ không đủ để loại bỏ những quan niệm sai lầm đó, hoặc giáo viên cha chútrọng đến điều này Ngời giáo viên cần có thái độ tích cực với các quan niệmsẵn có này của ngời học, cần tạo điều kiện để học sinh bộc lộ những quan

điểm sai lầm hoặc không đầy đủ và làm chúng trở thành điểm nhấn khi dạycác kiến thức mới hoặc củng cố bài, từ đó giúp học sinh hoàn thiện nhữngquan niệm cha đầy đủ hoặc loại bỏ quan niệm sai lầm của họ

Ví dụ: Sau khi học xong khái niệm hai đờng thẳng song song trong không

gian, ta xét định lý: Nếu hai đờng thẳng a // c và b // c thì a // b Một học sinh

đã trình bày cách chứng minh định lý đó nh sau:

Nếu a và b không song song thì a phải cắt b tại điểm O nào đó Nh vậy tacó: a, b phân biệt; O  a và a // c, O  b và b // c (vô lý) Vậy a // b

Từ cách chứng minh này của học sinh, ta thấy các em vẫn cha hoàn toànloại bỏ đợc sai lầm: nếu hai đờng thẳng phân biệt không song song thì phải cắtnhau (thực ra chúng còn có thể chéo nhau)

Chính vì vậy, khi dạy học theo định hớng vận dụng tính kế thừa để tổchức HĐNT, giáo viên phải biết kế thừa để đa khoa học Toán học phát triển đilên chứ không phải dậm chân tại chỗ

2.2 Các biện pháp s phạm nhằm tổ chức hoạt động nhận thức Toán học cho học sinh trên cơ sở vận dụng tính kế thừa

Từ các định hớng trên, chúng tôi quan tâm các biện pháp sau:

2.2.1 Biện pháp 1: Gợi động cơ cho việc hình thành định lý và định

h-ớng giải các bài tập Toán

Biện pháp này đợc xây dựng dựa trên quan điểm lý luận về kiến tạo kiếnthức Học sinh phát hiện kiến thức mới dựa trên cơ sở vốn có đó là các kiếnthức cũ, vốn kinh nghiệm đã có Làm cho việc học của học sinh trở nên tựgiác hơn, tích cực hơn và chủ động sáng tạo hơn

a) Gợi động cơ cho việc hình thành định lý:

Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt

động và của đối tợng hoạt động Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu sphạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ là

sự an bài, đặt vấn đề một cách hình thức

ở những lớp dới, thầy giáo thờng dùng những cách nh: cho điểm, khenchê, thông báo kết quả học tập cho gia đình để gợi động cơ Càng lên lớpcao, cùng với sự trởng thành của học sinh, với trình độ nhận thức và giác ngộchính trị ngày càng đợc nâng cao, những cách gợi động cơ xuất phát từ nộidung hớng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách nhiệm

đối với xã hội ngày càng trở nên quan trọng

Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi bắt đầu dạy một trithức nào đó mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì thế có thể phân biệt gợi

động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc

Nhằm phát huy tác dụng kích thích, thúc đẩy hoạt động học tập, cần phảiphối hợp những cách gợi động cơ khác nhau, cách nọ bổ sung cho cách kia[14, tr 142]

Đối với việc dạy học Định lý Toán học, ngời ta phân biệt hai con đờng:con đờng có khâu suy đoán và con đờng suy diễn Hai con đờng này đợc minhhọa bằng sơ đồ sau:

Con đờng có khâu suy đoán Con đờng suy diễn

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lý Suy diễn dẫn tới định lý

Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt ra

Củng cố định lý

Qua sơ đồ trên cho thấy, dù đi theo con đờng nào chúng ta cũng phải chú

ý tới bớc gợi động cơ cho việc hình thành định lý Việc gợi động cơ cho việchình thành định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặctrong nội bộ Toán học [13, tr 383]

Dới đây chúng ta xét cụ thể một số ví dụ thông qua dạy học các định lý

về hai đờng thẳng chéo nhau quan hệ vuông góc:

Ví dụ 1: Gợi động cơ cho việc hình thành Định lý đờng vuông góc chung

của hai đờng thẳng chéo nhau:

"Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một ờng thẳng  cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đờng thẳng ấy Đờng thẳng 

đ-đó đợc gọi là đờng vuông góc chung của a và b" [4, tr 80].

Để dạy học Định lý này, đầu tiên chúng ta có thể gợi động cơ cho họcsinh nh sau:

- Hai đờng thẳng song song luôn luôn

có đờng vuông góc chung

 Xét mô hình hình lập phơng

ABCD.A'B'C'D'

Nếu ta xem a là đờng thẳng đi qua B', C',

b là đờng thẳng đi qua A', A Khi đó đờng

thẳng  đi qua A', B' cắt và vuông góc với cả

hai đờng thẳng a, b tại A' và B' (hình 2.6)

 Xét ba đờng thẳng x, y, z đôi một

vuông góc và cắt nhau tại O Tìm các đờng

thẳng đó lần lợt lấy các điểm A, B, C khác

O Khi đó các đờng thẳng AB và z chéo

nhau Hãy dựng một đờng thẳng cắt và

vuông góc với hai đờng thẳng chéo nhau nói

A

DC

sự tồn tại và duy nhất đờng thẳng cắt và vuông góc với hai đờng thẳng chéonhau.

Ví dụ 2: Xét Định lý mở đầu về đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:

"Nếu đờng thẳng  vuông góc với hai đờng thẳng a và b cắt nhau nằm

trong mặt phẳng (P) thì  vuông góc với mọi đờng thẳng c nằm trong mặt phẳng

(P)" [4, tr 59].

Tạo tình huống: Chúng ta có thể dùng các mô hình (có thể làm bằng tấmbìa nhỏ và các dây thép nhỏ) và gợi ý cho học sinh nh sau:

Vật liệu: Hai thanh thép (hoặc nhôm) mảnh, thẳng đợc hàn kết với nhau

ở giữa và tạo lỗ thủng để có thể cắm vừa vào thanh thép thứ ba vuông góc vớihai thanh nói trên; chúng mô tả các đờng thẳng a, b cắt nhau và đờng thẳngthứ ba vuông góc với hai đờng thẳng kia

xuyên qua hai thanh thép a, b và đồng

thời xuyên qua tấm gỗ đợc giữ

chặt Thanh thép thứ t đợc đặc trng cho đờng thẳng  với a, b đợc cắm xuyênqua tấm ván Khi đó, đờng thẳng thứ ba nói trên mô tả đờng ' song song (hình 2.8)

Khi đó xét đờng thẳng c bất kỳ đặt nằm trên tấm ván và cho học sinhnhận xét độ lớn các góc:

+ Góc giữa c và ', cũng là góc (c, ) khi c // a

+ Góc giữa c và ' khi c // b

+ Góc giữa c và ' khi c không song song với a và b

Trong trờng hợp cuối, học sinh có thể kết luận góc (c, ') bằng baonhiêu, giáo viên hớng dẫn đặt đầu thanh thép sát và vị trí giao của hai thanh a,

b nằm trên mặt phẳng (P) sao cho c' // c Học sinh trực giác phán đoán độ lớngóc (c', ') bằng 90o

a

c

c'bOP

Hình 2.8

Từ việc xem xét trên, giáo viên cho học sinh phán đoán mệnh đề về gócgiữa đờng thẳng c bất kỳ thuộc (P) và đờng thẳng ', có nghĩa là góc giữa c và

: "Nếu đờng thẳng  vuông góc với hai đờng cắt nhau a, b thuộc mặt phẳng

(P) thì  vuông góc với mọi đờng thẳng c thuộc (P)".

Ví dụ 3: Gợi động cơ phát hiện Định lý: "Nếu mặt phẳng () chứa hai ờng thẳng a và b cắt nhau và hai đờng thẳng này cùng song song với mặt phẳng ( ) cho trớc thì mặt phẳng () và () song song với nhau" [4, tr.33].

đ-Tạo tình huống: Hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 (hình 2.9a) làm bằngbìa hoặc gỗ mỏng đợc cắt thành hai nửa ((hình 2.9b) và (hình 2.9c)) và chúng

có thể gắn kết lại bằng những nam châm mỏng

Giáo viên cho học sinh quan sát (hình 2.9a) và nhận xét mặt phẳng(ABCD) song song với mặt phẳng (A1B1C1D1) Cho học sinh nhận xét tiếp cáccặp đờng thẳng (AB, AD); (BA, BC); (CB, CD) đều có tính chất cắt nhau vàsong song với mặt phẳng (A1B1C1D1) Giáo viên đặt câu hỏi cho học sinh:

"Cần bao nhiêu cặp đờng thẳng cắt nhau của mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 D 1 )?".

"Hãy quan sát hai hình đợc cắt ra: ở (hình 2.9b) chỉ có hai đờng BA', BC' cắt nhau song song với mặt phẳng (B 1 C' 1 A' 1 ) và (hình 2.9c) chỉ có cặp đ- ờng thẳng (DA", DC") mỗi đờng song song với mặt phẳng (A" 1 C" 1 D 1 ) Tuy nhiên vẫn giữ nguyên các cặp mặt phẳng (A 1 BC 1 ); (A' 1 B 1 C' 1 ) song song với nhau và (DA"C"), (D 1 A" 1 C" 1 ) song song với nhau".

Từ các tình huống trên đề xuất học sinh phát biểu điều kiện để mặt phẳng(P) song song với mặt phẳng (Q) nhằm phát hiện Định lý

b) Gợi động cơ định hớng giải bài tập:

Trong quá trình dạy học tìm phơng pháp chung giải toán cần có nhữnggợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hớng suy nghĩ tìm ra lời giải.Việc gợi động cơ định hớng giải các bài tập Toán thờng đợc xẩy ra thông qua

a)

D1

D1

việc sử dụng các quy trình giải các dạng toán điển hình hoặc sử dụng các bàitập gốc Thông qua các quy trình hoặc các bài tập gốc, giáo viên hớng dẫn họcsinh giải bài toán theo quy trình hoặc tơng tự bài tập gốc.

Sau đây là một gợi ý, về căn bản dựa theo G Polya đợc tác giả Nguyễn

Bá Kim đề cập trong "Phơng pháp dạy học môn Toán", chúng ta có thể áp

dụng các bớc 1, 2 để gợi động cơ định hớng giải bài tập

Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.

* Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thoả mãn các điềukiện cho trớc hay không? Hay cha đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

* Hãy vẽ hình Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp

* Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điềukiện đó thành công chức hay không?

đợc bài toán đó hay không?

* Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khácnữa? Quay về những định nghĩa

* Nếu bạn cha giải đợc bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán cóliên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trờng hợpriêng? Một bài toán tơng tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không?Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìm đợc xác

định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi nh thế nào? Bạn có thể nghĩ ranhững điều kiện khác có thể giúp bạn xác định đợc cái phải tìm hay không?

Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao chocái phải tìm mới và cái đã cho mới đợc gần nhau hơn không?

* Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay cha? Đã sử dụng hết các điều kiệnhay cha? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán cha?

* Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bớc, thấy mỗi bớc

đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?

* Có thể tìm đợc kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếpngay kết quả không?

* Nếu tìm đợc nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ralời giải ngắn gọn và hợp lý nhất [13, tr 420-422]

Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng cần quan tâm cho học sinhbiết kiến thức nào là cơ sở và kiến thức nào có thể để học sinh tự học hoặc tựsuy luận đợc trên cơ sở kiến thức đã đợc lựa chọn truyền thụ cho học sinh.Hoặc giáo viên cũng có thể hớng dẫn học sinh xây dựng các bài toán gốc đểcủng cố các khái niệm, định lý Hệ thống bài tập gốc đóng vai trò hết sức quantrọng và ngoài chức năng củng cố kiến thức cho học sinh, hệ thống bài tập gốccòn góp phần định hớng tìm tòi lời giải cho các dạng toán, nhất là các dạngtoán có quy trình giải Việc thực hiện quy trình trong dạy học toán khôngnhững hớng cho học sinh tới t tởng thuật toán mà còn tạo điều kiện cho sửdụng mềm mại, uyển chuyển các phơng pháp dạy học khác nhau, dựa vàonhững kiến thức cần truyền đạt để dạy học sinh tởng tợng, phát triển trực giácToán học, giúp học sinh phát triển t duy tích cực, độc lập sáng tạo Chúng tahãy xét các ví dụ sau:

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD thuộc mặt phẳng (P) Gọi S là điểm

không thuộc mặt phẳng (P) Các điểm M, N lần lợt là trung điểm các đoạn AB

và SD Xác định giao tuyến của các mặt phẳng

a) (SMN) và (P)

b) (SMN) và (SAC)

Giáo viên định hớng tìm lời giải bài toán trên bằng các câu hỏi sau:

- Cho hai mặt phẳng () và () tìm giao tuyến hai mặt phẳng đó ta phảilàm nh thế nào?

+ Ta phải tìm ra hai điểm chung A, B của 2 mặt phẳng đó Vì A, B  ()nên theo tiên đề hai của mặt phẳng thì mọi điểm trên đờng thẳng AB đềuthuộc mặt phẳng () Tơng tự với A, B  () Vậy giao tuyến của () và () là

đờng thẳng AB

- Hãy vận dụng quy trình trên để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SMN) và (P)?

a) Hãy tìm hai điểm chung của (SMN) và (P)?

Vậy M là điểm chung thứ 2

Giao tuyến cần tìm là đờng thẳng DM

b) - Hãy tìm giao tuyến của (SMN) và (SAC)?

- Hãy xác định 2 điểm chung của hai mặt phẳng đó?

S là điểm chung thứ nhất Ta tìm điểm chung thứ hai

 D là điểm chung thứ hai cần tìm

Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SMN) và (SAC) là SO (hình 2.10)

Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A'B'C'D' có AB = a, BC = b,

CC' = c Tính khoảng cách giữa hai

đ-ờng thẳng BB' và AC' [5, tr 86]

Giáo viên có thể hớng đích gợi

động cơ cho học sinh giải các bài tập

trên bằng câu hỏi sau: "Để tính khoảng

cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau a và

b ta phải làm nh thế nào?".

 O  cả hai mặt phẳng (SMD) và (SAC)

S

N

DA

A

DH

Hình 2.11

Học sinh có thể dựa vào bài toán khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo

nhau: "Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b Một mặt phẳng (P) chứa b và

song song với a Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đờng thẳng a, b bằng khoảng cách giữa đờng thẳng a và mặt phẳng (P)" để lập quy trình giải bài

toán này nh sau:

Bớc 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a

Bớc 2: Trên a chọn một điểm M sao cho hình chiếu của A xuống mặtphẳng (P) là H dễ dàng xác định đợc

Bớc 3: Gắn MH vào trong một "hình" nào đó để thuận lợi cho việc tính

 Xác định khoảng cách giữa đờng thẳng BB' với mặt phẳng (ACC')?Gọi H là hình chiếu của B lên AC Khi đó, ta dễ dàng chứng minh đợc

BH  (ACC') vậy khoảng cách giữa BB và AC' là độ dài đoạn BH

 Hãy tính độ dài đoạn BH?

Xét tam giác vuông ABC:

AC = a  2 b 2 và 2 2 2

BC

1 BA

1 BH

ab

Đối với các dạng toán cần quan tâm tới trình tự sau:

Khái niệm, Định lý  dạng toán ứng dụng  quy trình giải  xây dựngcác bài tập gốc vận dụng quy trình  các bài toán nâng cao vận dụng lợc đồ

mặt phẳng (ACC') chứa AC' và (ACC') song song với BB'

trên nhằm thực hiện mục đích kép: vừa để khắc sâu khái niệm, định lý; vừabồi dỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh khi giải các bài toán nângcao.

Ví dụ 6: Dạng toán xác định giao điểm

của một đờng thẳng với một mặt phẳng

Trớc tiên giả thiết rằng đờng thẳng a

2 Xác định giao tuyến  của hai mặt phẳng (P) và (Q)

3 Trong mặt phẳng (Q) xác định giao của đờng thẳng a và  Khi đó

I  a và I   nên I  (P)  I là giao điểm cần tìm

b) Bài toán gốc vận dụng quy trình nhằm khắc sâu quy trình và khắc sâu các tính chất của mặt phẳng Chẳng hạn xét bài toán:

Bài toán 1: "Cho tam giác ABC và điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC).

Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC lần lợt lấy các điểm A', B', C' không trùngvới các đầu mút của đoạn thẳng đó Gọi M là một điểm thuộc mặt phẳng(ABC) và nằm trong tam giác ABC Tìm giao điểm của đờng thẳng OM vớimặt phẳng (A', B', C')" [15, tr 25]

A

MB' K'

KI

Hình 2.13

Bài toán 2: Cho tam giác ABC và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC).

Gọi I là trung điểm cạnh BC Các điểm M, N lần lợt thuộc các tia AB, SC

nh-ng khônh-ng thuộc các đoạn AB, SC Hãy xác định giao điểm H của đờnh-ng thẳnh-ng

MN và mặt phẳng (SAI) [15, tr 26]

Lời giải tóm tắt nh sau:

- Mặt phẳng (SMC) chứa M, N vì chứa S và C (theo tiên đề 2)

- AI cắt MC tại K; K là điểm chung của (SMC) và (SAI)

- Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAI) và (SMC) là đoạn thẳng SK.Trong mặt phẳng (SMC), đờng thẳng MN cắt SK tại H - điểm cần tìm

Ví dụ 2: Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) với khối đa diện.

a) Quy trình xác định thiết diện:

Cho khối đa diện (K) và một mặt phẳng (P) Nếu (P) cắt một số cạnhcủa (K) thì hình phẳng tạo bởi các giao điểm ấy gọi là thiết diện của K với (P).Dựng thiết diện của (K) với (P) thực tế là dựng các giao điểm của (P) với cáccạnh có thể có của (K)

b) Nêu bài toán gốc (các bài toán

vận dụng trực tiếp quy trình).

Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD M

là một điểm trên cạnh BC Tìm thiết diện

của tứ diện với mặt phẳng (D) qua M

song song với CD

Từ (1), (2) ta có thiết diện MNRS là hình thang

c) Bài toán nâng cao:

A

CM

N

Hình 2.14

SR

Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của SA, SB và CD Hãy dựng thiết diện củahình chóp khi cắt mặt phẳng (MNP)

- Giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với (ABCD) là NP

Kéo dài NP cắt AD tại J, cắt AB tại I  mặt phẳng (MIJ) trùng với mặtphẳng (MNP)

Vậy thiết diện là ngũ giác MENPF

Ví dụ 3: Bài toán tìm khoảng cách hai đờng thẳng chéo nhau.

Đối với bài toán tìm khoảng cách hai đờng thẳng chéo nhau, ta có thểxây dựng đợc ba quy trình tơng ứng với ba tính chất đợc trình bày trong SGKHình học 11 (Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000), trang 82

Tính chất 1: Cho hai đờng thẳng chéo nhau a, b Một mặt phẳng (P) chứa b song song với a Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đờng thẳng a

và b bằng khoảng cách giữa đờng thẳng a và mặt phẳng (P).

Quy trình:

- Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a

- Trên a chọn một điểm M sao cho hình chiếu của M xuống mặt phẳng(P) là H dễ dàng xác định đợc

- Gắn MH vào một trong hình nào đó để thuận lợi cho việc tính toán

S

F

JP

CN

Tính chất 2: Cho hai đờng thẳng chéo nhau a, b Mặt phẳng (P) chứa

a và song song (Q) chứa b Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đờng thẳng a và b bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Quy trình:

- Xác định hai mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau lần lợt chứa a và b

- Trên (P) hoặc (Q) chọn một điểm M sao cho hình chiếu của M lên (Q)(hoặc (P)) là H dễ dàng thực hiện đợc

- Tính độ dài MH

Tính chất 3: Cho hai đờng thẳng a, b chéo nhau Khoảng cách giữa hai đờng thẳng a và b là độ dài đoạn vuông góc chung của a và b.

Quy trình:

- Xác định mặt phẳng (P) chứa a và song song với b

- Xác định hình chiếu a' của b lên (P), giao điểm M của b với a' trong (P)

- Từ giao điểm M, đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) cắt b tại N

Đoạn vuông góc chung của a và b là MN

- Tính độ dài đoạn MN

Xây dựng bài tập gốc các quy trình này ta có thể chọn các bài tập 2, 3, 7[4, tr 86] Chẳng hạn, bài tập số 7 có thể chọn làm bài tập gốc cho quy trình 3

Bài toán 1: Cho hình chóp SABCD có

ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc

với đáy ABCD và SA = a Xác định và tính

độ dài đoạn vuông góc chung của cặp đờng

thẳng SB và AD [4, tr.86]

Dựa vào quy trình, học sinh có thể

giải bài toán trên nh sau:

SB  mp(SBC)

SB // CD

Từ A kẻ AH  SB Từ H kẻ HE // BC  AH  (SBC)

Vậy hình chiếu của AD lên (SBC) là HE

Ta có: AH  SB, AH  AD nên AH là đoạn vuông góc chung của SB

AE

Hình 2.16

Bài toán nâng cao:

Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD

có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh

OH  SC

OH  BD (do BD  mp (SAC))Vậy OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC

Ta có:

SC

SA OC

OH

 = sin ACS  OH =

2 2

2a h

h

2

2 a SC

SA OC



2.2.2 Biện pháp 2: Đặt bài tập cần giải trong mối quan hệ biện chứng

với các bài tập khác (nhằm bồi dỡng khả năng liên tởng cho học sinh).

Mọi sự vật hiện tợng đều có mối liên hệ với nhau Đó có thể là sự liên hệbên trong hoặc bên ngoài; trực tiếp hoặc gián tiếp trong tổng thể những mốiquan hệ phong phú, phức tạp và muôn màu muôn vẻ của nó đối với các sự vậthiện tợng khác

Mỗi bài tập Toán không phải ngẫu nhiên mà có, nó có thể là kết quả của

sự khái quát, tơng tự của một lý thuyết, bài tập nào đó Có lúc nó đợc diễn

đạt nh thế này có lúc lại đợc diễn đạt nh thế kia tùy vào môi trờng "khônggian" của bài toán Do đó, khi giải một bài toán, giáo viên có thể hớng dẫnhọc sinh nhìn nhận bài tập cần giải trong tổng thể hình dạng không gian khác,

đặt bài toán cần xem xét trong hình biểu diễn khác, thay đổi ngôn ngữ, vừa để

"lợi dụng" đợc những tính chất của hình dạng biểu diễn vừa tìm ra đợc nhữngcách giải hay, ngắn gọn súc tích Học sinh vừa có dịp ôn lại các tính chất củahình biểu diễn lại đợc nâng cao khả năng tởng tợng, tính linh hoạt, sáng tạotrong lời giải, biết nhìn bài toán trong tổng thể các mối liên hệ lại vừa cungcấp thêm một phơng pháp mới để giải toán Thực hiện nhuần nhuyễn những

Hình 2.17