Nhân đơn thức với đa thức Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.. Nhân đa thức với đa thức Quy tắc:
Trang 1WORD=>ZALO_0946 513 000
Chương I
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC CHỦ ĐỀ 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
A LÝ THUYẾT:
1 Nhân đơn thức với đa thức
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của
đa thức rồi cộng các tích với nhau
2 Nhân đa thức với đa thức
Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với
từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau
A B C D AC BC AD BD
B CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Thực hiện phép tính
Phương pháp:
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức để thực hiện phép tính.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
2
b)
x
c)
3
Giải
a) Ta có: 2x2 x2 2x3 2x x2 2 2x22x 2x23
2x 4x 6x
b) Ta có:
x
x
3x y 3x y 3x y 6xy
Trang 2WORD=>ZALO_0946 513 000
c) Ta có:
2
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) x x 21 3x 2x2 3x
b) xy2 x xy x x y yx 2x2 2xy2
c) x 2x2 x2 x1
d)
xy
x y x y
Giải
a) Ta có: x x 21 3x 2x2 3x x x 2x.1 3 3 x x2 3x2 x
b) Ta có: xy2 x xy x x y yx 2x2 2xy2
c) Ta có: x 2x2 x2 x1 x.2x x2 x2 x1
2x2 2x x 2 x 1 2x x2 2 x 1 2x x 2 x 1
2x x2 2 2x x2 2x2 2 x x2 2 x x 2x
2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x
Trang 3WORD=>ZALO_0946 513 000
d) Ta có:
xy
x y x y
xy
2
2
2
x
Bài 3: Tìm giá trị biểu thức
a) A2 3x x 25 x x x3 2 x2
tại x 2.
b) Bx y x 2 xy x x 22y2
tại x 2; y 3.
c) C6x2 x x24x 24x x 2 2x3
tại x 4.
d) D x x 2xy y 2 y x 2xy y 2
tại x 5; y 1.
Giải
a) Ta có:
6x 10x 3x x x 7x 4x 10x
Tại x 2 thay vào ta được: A 7.23 4.2210.2 56 16 20 60
Vậy A 60.
b) Ta có: Bx y x 2 xy x x 22y2
Trang 4WORD=>ZALO_0946 513 000
Tại x 2; y 3 thay vào ta được: B 2.2 32 2 3 2 24 18 6
Vậy B 6.
c) Ta có: C6x2 x x24x 24x x 2 2x3
6x 6x 4x 2x 4x 8x 12x
6x 6x 4x 2x 4x 8x 12x 12x 6x 6x
Tại x 4 thay vào ta được: C 6 4 24
Vậy C 24.
d) Ta có: D x x 2xy y 2 y x 2xy y 2
Tại x 5; y 1 thay vào ta được: D 53 13 125 1 126
Vậy D 126.
Dạng 2: Tìm x với điều kiện cho trước
Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 2x x 3x x2 1 10
x
Giải
a) Ta có: 2x x 3x x2 1 10 2x26x2x2 x10
5x 10 x 2
x
x
Trang 5WORD=>ZALO_0946 513 000
Bài 2: Tìm x, biết:
a) 1 2 x x 3 x1 2 x1 14
b) 3x2 x 2 2x1 2 x x4 x 55
Giải
a) Ta có: 1 2 x x 3 x1 2 x114
1 x 3 2x x 3 x 2x 1 1 2x 1 14
Vậy x 3.
b) Ta có: 3x2 x 2 2x1 2 x x4 x 5 5
3x2 x 2 2x 2 x 1 2 x x x 5 4x 5 5
3x 20 5 x 5
Vậy x 5.
Bài 3: Tìm x, biết:
a) 3x24x1 x1 7x x 1 x 12
b) 2x3 x4 x 5 x 2 3x 5 x 4
c) x3ny3n x3n y3n x6n y6n
(với n 0)
d) 2x2n2x y n n y2n y n4x n y n y2n
(với n 0)
Giải
a) Ta có: 3x24x1 x1 7x x 1 x 12
3x 4 x x x 1 7x 7x x 12
3x 4x 4x 4x 4 7x 7x x 12
16
6
Vậy
16
6
x
Trang 6WORD=>ZALO_0946 513 000
b) Ta có: 2x3 x4 x 5 x 2 3x 5 x 4
2x 3x 8x 12 x 5x 2x 10 3x 5x 12x 20
3x 4x 22 3x 17x 20
3x 4x 22 3x 17x 20 0
2
21
Vậy
2
21
x
c) Ta có: x3ny3n x3n y3n x6n y6n
x6n y x3n 3n x y3n 3n y6n x6n y6n
2x n 0 x n 0 x0
Vậy x 0.
d) Ta có: 2x2n2x y n n y2n y n4x n y n y2n
2x n 4x y n n 2y n 4y x n n y n y n
2x n y n y n 2x n 0 x 0
Vậy x 0
C.PHIẾU BÀI TẬP CƠ BẢN
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1
1 NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC CẦN NHỚ
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của
đa thức rồi cộng các tích của chúng lại với nhau
VÍ DỤ
Khi thành thạo:
4 2
4 2 5 2 4 2 2 2 5.2
Trang 7WORD=>ZALO_0946 513 000
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau: [CB - Rèn kỹ năng nhân]
a) - 2xy x y2.( 3 - 2x y2 2+5xy3)
b) (- 2x x).( 3– 3 –x2 x+1)
c) 3x2(2 –x3 x +5)
d)
3
x y xy+ x æççç- xyö÷÷÷÷
çè ø f) (4xy+3 –y 5x x y) 2
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau: [Rèn kỹ năng nhân và cộng trừ đa thức]
a) 5x2- 3x x( +2)
c) 3x y x2 2 – – 2( 2 y) x2 2( x y2 – y2)
b) 3x x( - 5)- 5x x( +7)
d) 3x2.(2 – 1 – 2y ) éêëx2.(5 – 3 – 2 y ) x x( – 1)ùúû
e) 4x(x3- 4x2) +2x x(2 3- x2+7x)
f) 25x- 4 3( x- 1) +7 5 2x( - x2)
Bài 3: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức [Rèn kỹ năng tính và thay số]
a) A =7x x( - 5)+3(x- 2)
tại x =0
b) B =4 2x x( - 3)- 5x x( - 2)
tại x =2
c) C =a a b2( + -) b a( 2- b2) +2013
, với a=1; b= - 1;
d) D =m m n( - + -1) n n( + -1 m)
, với
2; 1.
-Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: [Rèn kỹ năng tính toán]
a) A =x x(2 + -1) x x2( +2)+(x3- x+3)
b) B =x x( 3+2x2- 3x+2 –) (x2+2x x) 2+3x x( – 1) + -x 12
c) C =3xy2(4 – 2 – 6 2x2 y) y x y( 3 + +1) 6(xy3+ -y 3)
d) D =3x x( – 5y) (+ y- 5x)(- 3y)- 1 3- (x2–y2)
Bài 5: Tìm x, biết:
a)
2
xæçççç x- ö÷÷÷÷+ æçççç - x ö÷÷÷÷=
è ø è ø b) 7x x( - 2)- 5(x- 1) =7x2+3
c) 2 5( x- 8)- 3 4( x- 5) =4 3( x- 4)+11
d) 5x- 3 4{ x- 2 4éêëx- 3 5( x- 2)ùúû} =182
Trang 8WORD=>ZALO_0946 513 000
Bài 6: Chứng minh đẳng thức
a) a b c( – ) (–b a c+ +) c a b( – ) = - 2bc
b) a(1–b) +a a( 2– 1) =a a( 2 –b)
Bài tập tương tự
Bài 7: Cho các đơn thức:A = - x y2 3; 2
2 9
; C = - 3y+2x
B
Bài 8: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị của biểu thức:
a) A =x x y( + )- x y x( - )
với x = - 3; y =2.
b) B =4 2x x( +y) +2 2y x( +y)- y y( +2x)
với
1 2
x =
;
3 4
y =
- c) C =3 3x( - x)- 5x x( + +1) 8(x2- x- 2)
với x = - 1.
Bài 9: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến:
A = x x + x +x x + x x
Bài 10: Tìm x
a) 3 4x x( - 3)- 2 5 6x( - x) =0
b) 5 2( x- 3) +4x x( - 2)+2 3 2x( - x) =0
c) 3 2x( - x)+2x x( - 1) =5x x( +3)
d) 3x x( + -1) 5 3x( - x) +6(x2+2x+3) =0
PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
2 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC CẦN NHỚ
Quy tắc: Muốn nhân một đathức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với
từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau
MINH HỌA
( A + B C )( + D ) = A C + A D + B C + B D
3
3
3
5
x
-+
+
Trang 9WORD=>ZALO_0946 513 000
BÀI LUYỆN
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau: [CB - Rèn kỹ năng nhân]
a) ( –1)(x2 x22 )x b) (2x1)(3x2)(3 – )x
c) (x3)(x23 –5)x
d) (x1)( –x2 x1) e) (2x3 3x 1).(5x2) f) (x2 2x3).(x 4)
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau: [Rèn kỹ năng nhân và cộng trừ đa thức]
a) A =(4x- 1).(3x+ -1) 5 (x x- 3) (- x- 4).(x- 3)
b) B =(5x- 2).(x+ -1) 3 x x( 2- x- 3)- 2 (x x- 5).(x- 4)
Bài 3: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức [Rèn kỹ năng tính và thay số]
a) A(x 2)(x42x34x28x16) với x 3
b) B(x1)(x7 x6x5 x4x3 x2 x 1) với x 2
c) C (x1)(x6 x5x4 x3x2 x1) với x 2
d) D2 (10x x2 5x 2) 5 (4 x x2 2x 1) với x5
Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: [Rèn kỹ năng tính toán]
a) A(5x 2)(x1) ( x 3)(5x1) 17( x3)
b) B(6x 5)(x8) (3 x1)(2x3) 9(4 x 3
c) C x x ( 3x2 3x 2) ( x2 2)(x2 x 1)
d) D x x (2 1) x x2( 2)x3 x3
e) E(x1)(x2 x1) ( x1)(x2 x 1)
Bài 5: Tìm x, biết:
a) 3 1– 4( x x)( – 1) +4 3( x+2)(x+3) =38
b) 5 2( x+3)(x+2 – 2 5 – 4) ( x )(x– 1) =75
c) 2x2+3 – 1(x ) (x+ =1) 5x x( +1)
d) (8 – 5x x)( +2) +4 – 2(x )(x+ +1) 2 – 2(x )(x+2) =0
Trang 10WORD=>ZALO_0946 513 000
Bài 6: Chứng minh đẳng thức
c) (x y x– ) ( 3+x y xy2 + 2+y3) =x4–y4
d) (x y x+ ) ( 4–x y x y3 + 2 2–xy3+y4) =x5+y5
Bài 7: a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì A(2 n n). 2 3n1n n 2128
chia hết cho 5
b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab bc ca abc và a b c 1 Chứng minh rằng: (a- 1).(b- 1).(c- 1)=0
Bài 8: Tìm x
a) (x– 2) (x– 1) =x x(2 + +1) 2
b) (x+2)(x+2 –) (x– 2)(x– 2) =8x
c) (2x- 1) (x2–x+ =1) 2 – 3x3 x2+2
d) (x+1) (x2+2x+4 –) x3– 3x2+16=0
e) (x+1)(x+2)(x+5 –) x3– 8x2=27
Bài 9: Tính giá trị biểu thức :
a) A x 6 2021x52021x4 2021x32021x2 2021x2021tại x2020
b)
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 2 Bài 1: a) x42x3 x2 2x b) 6x317x25x 6
e) 10x44x315x211x 2 f) x3 6x211 12x
Bài 2: a)A=6x2+23x- 13 b) B = - 5x3+26x2- 28x 2
-Bài 3: a) A x 5 32 Với x 3 thì A 3 5 32 211
b) B x 8 1 Với x 2 thì B 2 81 256 1 255
Trang 11WORD=>ZALO_0946 513 000
c) C x 71 Với x 2 thì C 2 7 1 128 1 129
d) D x Với x5thì D5
Bài 4: a) A = - 50; b) B = - 13; c) C 1; d) D 3; e) E 2
Bài 5: a)
7 59
x
3 5
x
d)
3 0;
2
Bài 6: HS tự biến đổi VT = VP.
Bài 7: Biến đổi: A =5n2+5n+ M10 5 (t/c chia hết của một tổng)
b)=(a- 1)(bc b c- - +1)=abc ab ac a bc b c- - + - + + - 1=abc ab bc ca a b c- - - + + + - 1
abc ab bc ca a b c
-1 -1 0
abc abc
Bài 8: a)
0 4
x
x
; b) x RÎ ; c) x = 1 ; d)
10 3
x
e) x = 1
Bài 9: a) Với x2020nên ta thay 2021 x 1vào biểu thức, ta có:
A =x - x+ x + x+ x - x+ x + x+ x - x+ x+ +x
A =x - x - x +x +x - x - x +x - x - x x+ + =
b) Tượng tự ta cũng tính được B =1
PHIẾU HỌC TỰ LUYỆN SỐ 3
a)
a 7a a
4
b) (5xy x+ -2 y x y3) 2 3
c) 2x3 1y 4yz ( 7xy2)
4
A= 5x y m n
2. Tính giá trị của biểu thức
x x - y - x x y+ +y x - x
tại
1
x
2
và y 2=
Trang 12WORD=>ZALO_0946 513 000
3. Tìm x, biết:
a) x 5 3,5x( - )+3,5x x 1( - )=15
b) 0,6x x 50( - )- 0,3x 2x 80( - ) =0,12
a) x x( 3+x2+ + -x 1) (x3+ + +x2 x 1)
; b) x x yn( + -) y x( n+yn)
5. Nhân các đa thức và rút gọn kết quả:
a) (6x2+5y 2x2)( 2- 3y2)
; b) (a b c a+ + ) ( 2+b2+ -c2 ab bc ca- - )
; c) (x3+3x 2x- 2+1 x)( 2- 4 3x+ )
;
d) (x4- 6x y 4x y3 + 2 2- 9xy3- y x y4) ( - )2
6 Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào giá trị của biến: a) (3x 5 2x 11- ) ( + ) (- 2x 3 3x 7+ )( + )
b) x3- y3- (x2+xy y x y+ 2) ( - )
c) x x( 3+ -x2 3x 2+ -) (x2- 2 x)( 2+ + +x 3) (4 x2- -x 2)
7. Tính giá trị của biểu thức
a) (x 2 x 3+ )( + -) (x 2 x 5- )( + )
tại x=- 5.
b) (x2- 5 x 3) ( + + +) (x 4 x x) ( - 2)
tại x=- 30.
8. Tìm x, biết (6x 4 2x 7- )( - ) (+ 3x 5 1 4x- )( - )=- 31
9. Nếu (- +2 x2)(- +2 x2)(- +2 x2)(- +2 x2)(- +2 x2)=1
thì x bằng bao nhiêu?
LỜI GIẢI PHIẾU BÀU TẬP SỐ 3
1.a)
b) 5xy x 2 y x y3 2 3 5x y3 4x y4 3 x y2 6
Trang 13
WORD=>ZALO_0946 513 000
d) A5x y m n2 2 3 4 625x y m n8 8 12 4
2.x x 3 y x x y3 y x 3 x
4 yx x x y yx3 yx 2yx
Giá trị của biểu thức tại
1 x 2
và y 2 là
1
2 .2 2 2
3.a) x 5 3,5x 3,5x x 1 15
5x 3,5x 3,5x 3,5x 15
1,5x 15
x 15 :1,5 10
b) 0,6x x 50 0,3x 2x 80 0,12
0,6x 30x 0,6x 24x 0,12
6x 0,12
x 0,12 : 6 0,02
Chú ý Thay cho cách sử dụng dấu tương đương, các em có thể trình bày lời giải như sau:
b) Biến đổi vế trái, ta có
0,6x x 50 0,3x 2x 80
0,6x 30x 0,6x 24x 6x
Vậy x 0,12 : 6 0,02
4.a) x x 3x2 x 1 x3x2 x 1x41;
x x y y x y
x yx yx y x y
5.a) 6x25y2 2x2 3y2 12x4 8x y2 215y ;4
a b c a b c ab bc ca ;
a b c 3abc;
Trang 14WORD=>ZALO_0946 513 000
c) x33x 2x 21 x 2 4 3x
d) Trước hết, tính
x y 2 x y x y x2 2xy y , 2
sau đó, tiếp tục, ta được
3x4 6x y 4x y3 2 2 9xy3 y4 x y 2
3x 12x y 19x y 2x y 21x y 7xy y
6.a) 3x 5 2x 11 2x 3 3x 7
6x 23x 55 6x 23x 21 76;
b) x3 y3 x2xy y 2 x y 0
c) x x 3x2 3x 2 x2 2 x 2 x 34 x 2 x 2
2
7.a) 6.
Đối với bài này, thay x5 vào trực tiếp hoặc khai triển rồi rút gọn mới thay vào, hai phương pháp này đều thuận lợi như nhau
b) Ta có
x 5 x 3 x 4 x x x 15
Giá trị của biểu thức tại x30 là 15
8.6x 4 2x 7 3x 5 1 4x
12x 42x 8x 28 3x 12x 5 20x
27x 23
Do đó 27x 23 31, hay 27x 54 , suy ra x 2
9.Theo đề bài
2 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 x25 1
Tuy nhiên, một số mà có lũy thừa 5 bằng 1 thì số đó phải bằng 1 Do đó ta có: 2 x21
, hay
2
x 3
Trang 15WORD=>ZALO_0946 513 000
Vậy x 3 hoặc x 3
D.MỘT SỐ BÀI NÂNG CAO
1 Rút gọn các biểu thức sau:
b B x x x x x x x x
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có:
A x x x x x x x x
2
6x 23x 13
b) Ta có:
5 2 1 3 2 3 2 5 4
5x 5x 2x 2 3x 3x 9x 2x x 5x 4x 20
3x 8x 12x 2 2x 18x 40x
5x 26x 28x 2
2 Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng lũy thừa giảm dần của biến x:
a x x x b x) 2 3x1 2 4 x
c x x x x
Hướng dẫn giải – đáp số
2x 6x 2 4x 12x 4x 4x 14x 10x 2
3x 9x 6 x 3x 2x x 11x 6
3 Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
Hướng dẫn giải – đáp số
Trang 16WORD=>ZALO_0946 513 000
a) Ta có :
C x x x x x x x
50
C
Vậy biểu thức C 50 không phụ thuộc vào x.
13
D
Vậy giá trị biểu thức D 13 không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
4 Tìm x, biết :
Hướng dẫn giải – đáp số
41x 107 25
41x 82
2
x
5x 103 13
5x 90
18
x
5 Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
tại x 2
tại
;
x y
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có :
A x x x x x x
2
17x 29x 14
Với x 2, thay vào biểu thức ta có :
2
68 58 14
140
Trang 17WORD=>ZALO_0946 513 000
b) Ta có :
5x 20xy 4y 20xy
5x 4y
Thay
;
x y
vào biểu thức ta có ;
6 Tính giá trị biểu thức:
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Với x 2020 nên ta thay 2021 x 1 vào biểu thức , ta có :
x x x x x x x x x x x x
b) Với x 19 nên ta thay 20x1 vào biểu thức, ta có :
1
7 Tìm các hệ số a, b, c biết:
a x ax bx c x x x
đúng với mọi x;
đúng với mọi x
Hướng dẫn giải – đáp số
a x ax bx c x x x
2ax 4bx 8cx 6x 20x 8x 1
Trang 18WORD=>ZALO_0946 513 000
ax bx acx bcx b ax x x
1 1
1 1
1
1 1 1 1
2
a a
a b
b
b c
b ac
c c
a bc
8 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:
2 2 3 1 2 12 8
chia hết cho 5
Hướng dẫn giải – đáp số
Biến đổi đa thức, ta có :
A n n n n n
2n n 6n 3n n 2 n 12n 8
2
5n 5n 10 5