Toán lớp 7 chuyên đề 2 CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ ( Học sinh giỏi lớp 7)(có đáp án lời giải chi tiết)

Các phép toán trong Q cũng có những tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với phép cộng như trong tập hợp Z.. Thực hiện các phép tính: ç Giải  Tìm cách giải.. Khi

Chuyên đề 2 CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA

SỐ HỮU TỈ

A Kiến thức cần nhớ

1 Với x a,y b(a b m, , Z m, 0)

;

2 Với x a;y c

3 Các phép toán trong Q cũng có những tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với

phép cộng như trong tập hợp Z Ngoài ra các quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế cũng như trong tập hợp Z

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Thực hiện các phép tính:

ç

Giải

 Tìm cách giải Khi thực hiện các phép tính chỉ có phép cộng và trừ, ta có thể thực hiện trong

ngoặc trước, thực hiện từ trái qua phải Tuy nhiên nếu có nhiều dấu (-) ta có thể giảm bớt dấu (-) bằng cách bỏ ngoặc Ngoài ra có thể dùng tính chất giao hoán và kết hợp nhằm giải bài toán được nhanh hơn

 Trình bày lời giải.

ç

Ví dụ 2 Thực hiện các phép tính

a) 1 13 :5 2 1 :5

Giải

 Tìm cách giải Vì phép chia là phép nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia nên ta có thể

vận dụng tính chất phân phối:

a m+b m= +a b m

a m- b m= -a b m

Trình bày lời giải

a) 1 13 2 1 :5 10 7 2

b) 3 5 21 8 :2 ( )2 7 7

Ví dụ 3 Tìm x.

x+ +x+ +x+ +x+ +x+

=-;

x+ +x+ +x+ +x+ +x+ =

Giải

 Tìm cách giải Khi tìm x ta có thể vận dụng các tính chất sau:

 ax+bx= +(a b x)

 k k.1

a= a nên k k k k 1 1 1

ç

 A B. =0 thì A=0 hoặc B=0

 Trình bày lời giải.

6

143

x

hoặc 12

7

x=

Vậy 2;12

7

x ìïï üïï

Î íï ýï

x+ + +x+ + +x+ + +x+ + +x+ + =

0

2015+2014+2013+2012+2011> nên x+2020=0

2020

x

Þ

=-d) 2 1 3 1 4 1 5 1 360 4 0

x+ + +x+ + +x+ + +x+ + +x+ - =

0

338+337+336+335+ ¹5 Suy ra x=- 340

Ví dụ 4 Tìm số nguyên x, y biết: 5 1

y

x+ =

Giải

 Tìm cách giải Đối với dạng toán này, chúng ta chú ý ab=k a b( , Î Z b, ¹ 0) thì aÎ Ư(k), bÎ Ư(k)

Do vậy chúng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế còn lại là một số nguyên

 Trình bày lời giải.

y x

Vì x y; Î ZÞ -1 2y là ước lẻ của 40 mà ước lẻ của 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị:

Từ đó suy ra (x y; )Î { (40;0 , 8; 2 ,) ( - ) (- 40;1 ,) (- 8;3) }

Ví dụ 5 Rút gọn biểu thức:

a)

5

11

A

b)

B

=

Giải

 Tìm cách giải Những biểu thức phức tạp, nếu thực hiện theo thứ tự sẽ dài và có thể dẫn đến sai

lầm Quan sát kĩ, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân

phối

k k k

k

ç + + = ççè + + ÷÷ø để rút gọn.

a) Ta có:

5

11

A

1

A

b) Ta có:

B

÷ ç

Ví dụ 6 Cho 2021 số nguyên dương a a1; 2; a2021 thỏa mãn:

1 2 2021

a +a + +a = Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho

bằng nhau

Giải

 Tìm cách giải Dạng toán này chúng ta không chỉ ra được cụ thể tường minh đó là hai giá trị nào,

mà chỉ cần chỉ ra tồn tại ít nhất hai số trong các số đã cho bằng nhau mà thôi Đối với dạng toán này thông thường chúng ta dùng phương pháp phản chứng:

 Bước 1 Phủ định kết luận Tức là giả sử không có hai số nguyên dương nào bằng nhau.

 Bước 2 Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề bài đã cho hoặc một điều hiển nhiên.

 Bước 3 Chứng tỏ giả sử là sai Vậy kết luận của đề bài là đúng.

 Trình bày lời giải.

Giả sử trong 2021 số nguyên dương a a1; 2; a2021 thỏa mãn: không có hai số nào bằng nhau

Khi đó

1 2 2021

Vậy có ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau

 Nhận xét Trong lời giải bài toán trên, sau khi giả sử 2021 số nguyên dương khác nhau chúng ta

đã so sánh chúng với 2021 số nguyên dương nhỏ nhất Từ đó nhận thấy 2021 số nguyên dương nhỏ nhất cũng không thỏa mãn đầu bài Suy ra 2021 số nào đó cũng không thỏa mãn đề bài và dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết

Ví dụ 7 Cho a+ + =b c 2070 và 1 1 1 1

90

a b+b c+c a=

Tính giá trị: S a b c

Giải

 Tìm cách giải Với điều kiện đề bài, chúng ta không thể tính được giá trị của a, b, c Do vậy

chúng ta cần biến đổi S nhằm xuất hiện a + b + c và 1 1 1

a b+b c+c a

+ + + Quan sát kỹ chúng ta thấy

b c+c a+a b

+ + + , mỗi phân số đều có tổng tử và mẫu bằng nhau và bằng a+ +b c.

Do đó chúng ta cộng mỗi phân số với 1, và có lời giải sau:

 Trình bày lời giải.

3

a b c a b c a b c

S

b c c a a b

ç

-1

90

S

Ví dụ 8 Tìm x, biết:

a) (x- 1)(x- 2)>0; b) (2x- 4 9)( - 3x)>0

Giải

 Tìm cách giải Đối với dạng toán này chúng ta chú ý kiến thức sau:

 A B > Û0 A và B cùng dấu.

 A B < Û0 A và B khác dấu.

 Trình bày lời giải

a) (x- 1)(x- 2)> Û -0 x 1 và x- 2 cùng dấu

mà x- 2< -x 1 nên suy ra: x- 2>0 hoặc x- < Û1 0 x>2 hoặc x<1

Vậy với x>2 hoặc x<1 thì (x- 1)(x- 2)>0

b) 2x- 4 và 9- 3x cùng dấu, nên ta có trường hợp sau:

Vậy với 2< <x 3 thì (2x- 4 9)( - 3x)>0

 Nhận xét Ngoài cách giải trên của câu b, chúng ta có thể lập luận theo cách sau:

(2x- 4 9)( - 3x)> Û -0 6(x- 2)(x- 3)> Û0 (x- 2)(x- 3)<0

2

x

Û - và x- 3 khác dấu

Mà x- < -3 x 2 nên suy ra: x- 2>0 và x- < Û3 0 x>2 và x<3

Vậy với 2< <x 3 thì (2x- 4 9)( - 3x)>0

Ví dụ 9 Chứng tỏ rằng:

Giải

Xét vế trái, ta có: 1 1 1 1 1 1

ç

Vế trái bằng vế phải; Điều phải chứng minh

 Nhận xét Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có:

Chứng tỏ rằng:

C Bài tập vận dụng

2.1 Viết số hữu tỉ 14

45

thành:

a) tích của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau

b) thương của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau

2.2 Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể).

ç

c) 5 5 13 1 15 1 3 2

- - -çç ÷÷+ + + -çç ÷÷+ - -çç ÷÷

d) 3: 1 1 3: 1 11

e) 7 5 5 2 5 18

ç

- ççè- ÷÷ø- .

2.3 Thực hiện các phép tính sau:

D éê- æç ö÷- ùú

2.4 Rút gọn: 3 2 1 : 3 2 1

A æç ö æ÷ç ö÷

(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)

2.5 Tìm x, biết:

ç

3

x æç - xö÷

x+ +x+ =x+ +x+

2.6 Tính:

2.7 Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 1 1 1

5

x+ =y

2.8 Tìm số nguyên x y, biết:

a) 1 1

y

x y

x y

2.9 Tính tổng M= + +x y z, biết:

10

x y+y z+z x=y z+z x+x y =

2.10 Tìm các số hữu tỉ x y z, , thỏa mãn: 1; 1; 1

x+ =y y+ =z z+ =x

12< <A 6

2.12 Cho 100 số hữu tỉ, trong đó tích 3 số bất kì là một số âm Chứng minh rằng:

a) Tích của 100 số đó là một số dương.

b) Tất cả 100 số đó đều là số âm

2.13 Cho 20 số nguyên khác 0: a a a1, 2, , ,3 a20 có các tính chất sau:

+ a1 là số dương

+ Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương

+ Tổng của 20 số đó là số âm

Chứng minh rằng: a a1 14+a a14 12<a a1 12

2.14 Đặt 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

So sánh A và B

2.15 Cho 100 số tự nhiên a a1; 2; ;a100 thỏa mãn

1 2 100

2

a +a + +a = .

Chứng minh rằng ít nhất hai trong 100 số tự nhiên trên bằng nhau

(Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013)

2.16 Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0£ £ + £ +a b 1 c 2 và a+ + =b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của c

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

2.1.

-2.2.

3- 4+ +5 64- 9- 36+15

1 3 1 3 2 1 1 1 1

1 1

( )

1 1

0

ç

çè ø

=-÷

2.3.

a) 27 1 27 : 1 : 81

D= -éê - æç ö -÷ ùú

-÷

ç

E éê æç ö÷ ù éú êæç ö÷ ùú

:

:

A æç ö æ÷ç ö÷

2.5

b) 3 5 8 3 5 8 27 15 16 26 13

c) 4x- 9=0 hoặc 2,5 7 0

3

suy ra 4x=9 hoặc 7 2,5

=-9

4

x= hoặc 5: 7 15

x -

Vậy 9 15;

4 14

x ìïï üïï

Î íï ýï

x+ + +x+ + =x+ + +x+ +

0

2015+2014- 2013- 2012< nên x+2020=0 hay x=- 2020

2

n n

+ + + + =

Suy ra: 1 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17

2.7 Vì x và y có vai trò như nhau, không giảm tính tổng quát, giả sử

5

+ Với 7 1 1 1 1 1 1 3

y

y

y

Vậy cặp (x y; ) là (30;6 ; 6;30 ; 10;10) ( ) ( )

2.8.

6

y

x

+

vì x y; Î ZÞ +1 2y là ước lẻ của 6 mà ước lẻ của 6 là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị

Từ đó suy ra (x y; )Î { (6;0 , 2;1 ,) ( ) (- 6; 1 ,- ) (- 2; 2- ) }

3

x

Þ - và y là ước của 6, mà Ư(6)={1;2;3;6; 1; 2; 3; 6- - - - }

Từ đó ta có bảng sau:

3

Từ đó suy ra (x y; )Î { (4;6 , 5;3 , 6;2 , 9;1 , 2; 6 , 1; 3 , 0; 2 ,) ( ) ( ) ( ) ( - ) ( - ) ( - ) (- -3; 1) }

3

x

Þ - và y là ước của 4, mà Ư(4)={1;2;4; 1; 2; 4- - - } nên ta có bảng giá trị:

3

Từ đó suy ra (x y; )Î { (4;4 , 5;2 , 7;1 , 2; 4 , 1; 2 ,) ( ) ( ) ( - ) ( - ) (- -1; 1) }

2.9 Từ đề bài suy ra: 1 1 1 133:19 17

x y+y z+z x= =

10

y z+z x+x y=

19 10

y z z x x y

19

49 10

x y z x y z x y z

10

x y z

ç

2.10 Ta có:

Vậy ( ; ; ) 1 1; ;0

6 3

x y z æç ö÷

=ççè ÷÷ø.

2.11 a) Xét biểu thức ta có:

ç

Vế trái bằng vế phải Điều phải chứng minh

b) Ta có:

      25 ph©n sè        25 ph©n sè 

25 ph©n sè 25 ph©n sè

è14444444244444443ø è1444444442444444443ø

Từ (1) và (2), suy ra: 7 5

12< <A 6 Điều phải chứng minh

2.12 Đặt 100 số hữu tỉ đó là a a a1; 2; ; ;3 a100

a) Theo đề bài ta có: a a a1 .2 3< Þ0 trong ba số a a a1; ;2 3 tồn tại ít nhất một số âm.

Giả sử a1<0

Xét a a a1; 2; ; ;3 a100=a a a a1( 2 .3 4)(a a a5 .6 7) ( a a a98 99 100)

Ta có: a1<0 theo đề bài: a a a2 3 4<0;a a a5 6 7<0; ;a a a98 99 100<0

(có 33 nhóm) nên a a a a1( 2 .3 4)(a a a5 .6 7) ( a a a98 99 100)>0

b) Theo đề bài ta có a a a2 3 4< Þ0 trong ba số a a a2; ;3 4 tồn tại ít nhất một số âm

Giả sử a2<0 Xét a a a1 .2 3<0 mà a a1 2>0 nên a3<0

Xét a a a1 .2 k<0 với k=4,100 mà a a1 2> Þ0 a k<0

Vậy tất cả 100 số đó đều là số âm

2.13 Ta có:

1 2 3 4 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0

a + a + +a a + + a +a +a +a + a +a +a + a +a +a <

Mà a1>0;a2+ + >a3 a4 0; ;a11+a12+a13>0;a15+a16+a17>0;a18+a19+a20> Þ0 a14<0

Cũng như vậy:

(a1+ +a2 a3)+ + (a10+a11+a12) (+ a13+a14) (+ a15+a16+a17) (+ a18+a19+a20)< Þ0 a13+a14<0

Mặt khác a12+a13+a14> Þ0 a12>0

Từ các điều kiện a1>0;a12>0;a14< Þ0 a a1 14+a a14 12<a a1 12 (điều phải chứng minh).

2.14 Đặt 1011 1 1 1 1

1

2

1

1010D <2 (2)

2.15 Giả sử trong 100 số nguyên dương a a1; 2; ;a100 thỏa mãn: Không có hai số nào bằng nhau

Khi đó

1 2 100

1 1 1 1 99 101

Vậy có ít nhất 2 trong số 100 số nguyên dương đã cho bằng nhau

2.16 Vì 0£ £ + £ +a b 1 c 2 nên a+ + £ + + + +b c c 2 c 1 c

1 3c 3

Û £ + (vì a+ + =b c 1) hay 3 2 2

3

-Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: 2

3

- khi đó 4; 1

a= b=