Toán học là một môn học quan trọng trong việc thực hiện các mục tiêu giáo dục của nhà trường.Những kiến thức,kĩ năng và phương pháp làm việc trong toán giúp học sinh phát triển năng lực [r]
Trang 1A MỞ ĐẦU
I Lý do ch ọ n đề t i à :
Toán học là một môn học quan trọng trong việc thực hiện các mục tiêu giáodục của nhà trường.Những kiến thức,kĩ năng và phương pháp làm việc trongtoán giúp học sinh phát triển năng lực tư duy như phân tích,tổng hợp,trừu tượnghóa,khái quát hóa Rèn luyện những phẩm chất tốt đẹp của người lao động mớinhư tính cẩn thận,chính xác,kỉ luật,phê phán và sáng tạo Qua đó góp phần hìnhthành và phát triển nhân cách cho học sinh
Trong trường phổ thông môn Toán có vị trí quan trọng,nó là cơ sở để bổ trợcho các môn học khác,đặc biệt là các môn học tự nhiên.Nội dung chương trình
và phương pháp dạy học bộ môn là yếu tố quyết định hiệu quả giáo dục đào tạo
ở phổ thông.Vì vậy môn Toán đã dược Bộ giáo dục soạn thảo,sắp xếp từ đơngiản đến phức tạp,từ trực quan đến tư duy trừu tượng để học sinh có thể vậndụng linh hoạt các kiến thức đã biết,dã tiếp thu được trong trường phổthông.Trong chương trình toán nói chung và phân môn Đại số nói riêng thì phântích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản,cần thiết trong giàng dạy toán phổthông.Nó giúp học sinh rèn luyện kĩ năng biến đổi và còn là phương pháp giảicho nhiều loại toán như:tính nhanh giá trị của biểu thức,các dạng toán tìm x,rútgọn phân thức đại số,giải phương trình tích Phần này chiếm một vị trí quantrọng,là một trong nội dung lớn của chương trình Đại số xuyên suốt chươngtrình toán phổ thông
Mặt khác,qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán 8,tôi nhận thấy rất nhiềuhọc sinh lúng túng,thường mắc phải những sai lầm khi thực hiện bài toán phântích đa thức thành nhân tử,đặc biệt đối với những học sinh trung bình,học sinhyếu,từ đó các em cũng gặp không ít khó khăn trong việc giải những bài toánứng dụng có liên quan
Với những lý do khách quan và chủ quan nêu trên, bản thân tôi đã mạnh dạn
chọn đề tài “Một vài biện pháp nhỏ giúp học sinh trung bình,yếu kém học tốt
toán phân tích đa thức thành nhân tử ” để làm đề tài nghiên cứu trong năm học
2014 – 2015 ,nhằm giúp học sinh phần nào tháo gỡ, giải quyết tốt những khókhăn, vướng mắc trong học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học củanhà trường
II Mục đích nghiên cứu:
Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học: Từ mục tiêu “Học để biết, học để
làm, học để cùng nhau chung sống và học để làm người”, trước hết giáo dục nhà
trường phải hình thành và bồi dưỡng cho học sinh năng lực tự học, tự giải quyếtvấn đề Việc trang bị tốt năng lực này là một trong những hoạt động trọng tâmcủa việc đổi mới phương pháp dạy học trong điều kiện đổi mới chương trình phổ
Trang 2thông Vì thế cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học là hướng tới hoạt độnghọc tập tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, chống lại thói quen học tậpthụ động Đổi mới phương pháp dạy học bao gồm đổi mới nội dung và hình thứchoạt động của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức dạy học, đổi mớihình thức tương tác xã hội trong dạy học, đổi mới kĩ thuật dạy học với địnhhướng: Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ thể, phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh, các điều kiện dạy học của nhàtrường, ứng dụng công nghệ thông tin.
Khi vận dụng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, các emvẫn lúng túng Phải chăng điểm xuất phát từ bài đầu tiên là học sinh làm quenvới phân tích đa thức thành nhân tử, các em còn chưa hiểu rõ hết bản chất củavấn đề, chưa nắm rõ các phương pháp phân tích, quy tắc toán học nên dẫn đếnnhầm lẫn khi giải toán Chính vì vậy, ngay từ bài đầu tiên về phân tích đa thứcthành nhân tử giáo viên cần phải nghiên cứu để giúp học sinh hiểu rõ bản chấtcủa việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm thật vững kiến thức để hạn chế sựnhầm lẫn, sai sót sau này
III Đối tượng nghiên cứu:
- Đối tượng: Học sinh trung bình,yếu kém lớp 8
IV Phạm vi nghiên cứu:
Giải pháp tập trung nghiên cứu việc rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân
tử cho học sinh lớp 8 của trường trung học cơ sở Trần Hưng Đạo trong 2 nămhọc 2012-2013 và 2013-2014
V Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu tài liệu: Đọc tạp chí giáo dục; những vấn đề về đổi mới giáo dục
trung học cơ sở; sách giáo khoa toán 8; sách bài tập Toán 8; hướng dẫn thựchiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán THCS làm cơ sở thực hiện giải phápnày
Điều tra: Qua giờ dạy, dự giờ học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi với
học sinh để đưa ra biện pháp thực hiện
Thống kê: Thống kê số liệu học sinh qua theo dõi.
B NỘI DUNG
I Cơ sở lý luận
Bất cứ môn khoa học nào trong trường phổ thông cũng có vai trò và tầmquan trọng của nó Riêng đối với môn Toán có vai trò rất quan trọng vì nó cókhả năng to lớn góp phần thực hiện nhiệm vụ chung của nhà trường Các kiếnthức Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, giúpcác em hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực
Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực vàphẩm chất trí tuệ Thật vậy, do tính trừu tượng cao độ của Toán học, môn Toán
có thể giúp nhiều cho học sinh trong việc rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo
Trang 3Do tính chính xác cao, suy luận logic, chặt chẽ, là môn “Thể thao trí tuệ”, Toánhọc có khả năng phong phú làm cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp vớilogic Việc tìm kiếm, tìm lời giải của một bài toán có tác dụng to lớn trong việccho học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, tronghọc tập và trong việc giải quyết các vấn đề, rèn luyện cho học sinh trí thôngminh, sáng tạo Môn Toán còn có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dụccho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống và trong lao động.
Vì vậy khi dạy Toán là làm thế nào cho học sinh nắm được một cáchchính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng Toán học phổthông cơ bản Có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụthể khác nhau, vào đời sống, vào lao động sản xuất và vào học tập các môn họckhác
Phát triển ở học sinh năng lực phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến nhữngtri thức thu nhận được thành của riêng bản thân mình, thành công cụ để nhậnthức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như học tập hiệnnay và mãi mãi về sau Giáo dục cho học sinh về tư tưởng đạo đức và thẩm mycủa người công dân, phát triển ở mọi học sinh khả năng tiếp thu môn Toán
Các mục đích nói trên không thể tách rời nhau mà có mối quan hệ mậtthiết, hỗ trợ, bổ sung cho nhau, thể hiện sự thống nhất giữa trí dục và đức dục,giữa dạy học và phát triển, giữa nâng cao dân trí và đào tạo nhân lực, bồi dưỡngnhân tài trong quá trình dạy học các bộ môn ở trường phổ thông
II Cơ sở thực tiễn
1 Thực tiễn vấn đề nghiên cứu
Do học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi vàthực hành giải toán nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìmđược hướng giải quyết thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước,phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất Do đó, dẫn đến việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử còn nhầm lẫn Ngoài ra, một vài học sinh còn chưa xác định rõ phân tích
đa thức thành nhân tử là như thế nào? Và làm thế nào để phân tích được đa thức
đã cho thành nhân tử
Mặt khác, phân tích đa thức thành nhân tử còn được ứng dụng rất nhiều trong
các dạng toán sau này như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x,
rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích…
2 Sự cần thiết của đề tài:
Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến thức,
tôi nhận thấy việc giúp học sinh trung bình,yếu kém học tốt toán phân tích đa
thức thành nhân tử là thực sự cần thiết Bởi vì, đây là cách giúp học sinh rèn
được kĩ năng quan sát, nhận xét và vận dụng linh hoạt các phương pháp đã họcvào từng bài tập cụ thể Từ đó, giúp các em tìm tòi, phát hiện và chiếm lĩnh trithức một cách tốt nhất Không những thế, giải pháp này còn giúp các em hứngthú hơn khi được học toán, xem việc giải bài tập như cách giải trí sau khi họccác môn khác
Trang 4III Nội dung vấn đề:
1 Vấn đề đặt ra
Để phân tích được đa thức thành nhân tử thì học sinh cần phải nắm vững cácphương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm cáchạng tử; phối hợp nhiều phương pháp Vì vậy, giáo viên phải thực hiện đượcmột số việc sau:
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
- Củng cố các phương pháp phân tích cơ bản
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.từ dễ đến khó
- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán
- Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử
2 Giải pháp, chứng minh vấn đề được giải quyết
2.1) Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
* Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp chung:
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏ nhất ).
Khi đó, nhân tử chung của đa thức là tích của nhân tử chung bằng số và nhân tử chung của các biến.
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A.(B + C).
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 2x 2 – 6x thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 2, 6 trong các hạng tử trên?
(Học sinh trả lời là 2 vì ƯCLN(2,6 ) = 2).
- Tìm nhân tử chung của các biến x 2 và x ? (Học sinh trả lời là x).
Khi đó nhân tử chung của đa thức là bao nhiêu? (Học sinh trả lời là 2x).
Giải:
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 3(x – y) – 7x(y – x) thành nhân tử
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 3 và 7 ? (Học sinh trả lời là: 1 vì
ƯCLN(3;7)= 1).
- Tìm nhân tử chung của (x – y) và x(y – x) ? (Học sinh trả lời là: không
có).
- Sau đó giáo viên hướng dẫn thực hiện đổi dấu tích 3(x – y) hoặc tích –7x(y
– x) để có nhân tử chung (x – y) hoặc (y – x)?
Cách 1: Nếu đổi dấu tích –7x(y – x)= 7x(x – y) thì nhân tử chung của đa thức là (x – y).
Trang 5Cách 2: Nếu đổi dấu tích 3(x – y)= –3(y – x) thì nhân tử chung của đa thức là (y – x) hoặc –(y – x).
Phương pháp chung: Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng
tổng hoặc hiệu” đưa về “dạng tích”.
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A 2 – 2AB + B 2 = (A – B) 2 với A = x, B= 2)
Giải:
x 2 – 4x + 4 = x 2 – 2.x.2 + 2 2 = (x – 2) 2
b x 2 – 2
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A 2 – B 2 = (A – B)(A + B) với A = x, B = 2)
Giải:
x 2 – 2 = x 2 – 2 2
c 1 – x 3
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A 3 – B 3 = (A – B)(A 2 + AB + B 2 )) với A=1, B=x).
Trang 6Giải:
Lưu ý: Giáo viên cần rèn cho học sinh ky năng vận dụng các hằng đẳng thức
đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử,
số mũ của các hạng tử (Ở các bài về những hằng đẳng thức đáng nhớ) để học
sinh sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp ở dạng này
* Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phương pháp chung
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa
Nhóm các hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung:
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x 2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử.
Gợi ý: - Các hạng tử có nhân tử chung không?
- Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
(Học sinh trả lời: nhóm (x 2 – 3x) và (xy – 3y))
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x 2 – 2x + 1 – 4y 2 thành nhân tử
Gợi ý: x 2 – 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức nào? (Học sinh: A 2 –
Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x 2 + 2xy + y 2 + 4x + 4y thành nhân tử.
Gợi ý: Có thể nhóm ba hạng tử đầu thành một nhóm, hai hạng tử sau thành một nhóm.
Giải
= (x + y)(x + y + 4)
Trang 7Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.
* Phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp chung:
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử,đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức Vì vậy, học sinh cần nhận xét bài toánmột cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp
Thông thường ta có thể xét theo thứ tự các phương pháp: Đặt nhân tử chung;
Sau đây là một ví dụ minh họa về cách tóm tắt các phương pháp phân tích đathức thành nhân tử
Trang 82.3) Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Trong thực tế giảng dạy môn toán, mức độ tiếp nhận kiến thức của học sinhkhông đồng đều, có học sinh tiếp thu kiến thức rất nhanh, ngược lại cũng cónhững học sinh tiếp thu rất chậm Do đó, để học sinh nắm bắt và tiếp thu kiếnthức dễ dàng giáo viên nên sắp xếp các bài toán theo các mức độ khác nhau.Đồng thời, hình thành những dạng toán cơ bản thường gặp để học sinh có thể dễdàng trong việc học tập và giúp các em tiếp thu kiến thức nhanh hơn
* Đối với học sinh yếu, kém: Có thể cho học sinh làm những bài toán có vận
dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức,phương pháp nhóm hạng tử ở mức độ đơn giản học sinh có thể nhận dạng ngayphương pháp cần áp dụng
Ví dụ 8: Phân tích đa thức các đa thức sau thành nhân tử.
(Học sinh thấy được dạng của hằng đẳng thức A 2 – 2AB + B 2 = (A – B) 2)
Xem cách giải ở ví dụ 3a đã nêu ở trên.
Trang 9(Học sinh thấy được hai hạng tử đầu x 2 – xy có nhân tử chung là x; hai hạng tử cuối 2x – 2y có nhân tử chung là 2 thì lập tức nhóm hạng tử).
= x(x – y) + 2(x – y)
= (x – y)(x + 2)
* Đối với học sinh trung bình: Có thể cho học sinh làm những bài tập có vận
dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức,phương pháp nhóm hạng tử ở mức độ cao hơn Đồng thời, vận dụng phối hợpcác phương pháp nêu trên
Ví dụ 9: (Bài tập 48a – Sgk trang 22, Toán 8 tập 1)
Phân tích đa thức đa thức x 2 + 4x – y 2 + 4 thành nhân tử
Gợi ý: - Có thể nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức, sau đó tiếp tục vận dụng hằng đẳng thức.
Giải:
x 2 + 4x – y 2 + 4 = (x 2 + 4x + 4) – y 2
2.4) Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán
Trong tính toán, do học sinh chưa nắm rõ các phương pháp phân tích nên họcsinh thường nhầm lẫn Từ đó, dẫn đến kết quả tính toán sai mà học sinh không
hề phát hiện ra
* Sai lầm 1: Chưa hiểu được phân tích đa thức thành nhân tử là làm gì?
Ví dụ 10: Khi phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(x – y) thành nhân tử học sinh
làm như sau: 3(x – y) – 5x(x – y) = (x – y) + (3 – 5x)
Sai lầm của học sinh ở đây là chưa biết phân tích đa thức thành nhân tử làbiến đổi đa thức đã cho thành tích của những đa thức Khi đặt nhân tử chungxong các em không biết dùng phép tính gì nên đặt đại dấu “+” hoặc dấu “–”
Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi đặt nhân tử chung thì phép tínhtiếp theo là phép nhân
Lời giải đúng: 3(x – y) – 5x(x – y) = (x – y).(3 – 5x)
* Sai lầm 2: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
trang 22 – SGK Toán 8 tập I)
Lời giải sai: x 2 – xy + x – y = (x 2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)x (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì hết, có nghĩa
là còn lại là số 0)
Trang 10Giáo viên nên hướng dẫn học sinh ở trường hợp này nên phân tích (x – y) = 1.(x – y) thì khi đặt nhân tử chung x – y thì học sinh vẫn còn nhìn thấy số còn lại là1.
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
* Sai lầm 3: Thực hiện thiếu dấu ngoặc trong quá trình phân tích:
Ví dụ 12: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT- 28a –
trang 6 – SBT – Toán 8 tập I).
Lời giải sai:
(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
Lời giải sai:
(x + y) 2 – 9x 2 = (x + y) 2 – 3x 2 (kết quả sai vì thiếu dấu ngoặc (3x) 2 )
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc dẫn đến kết quả
nhầm lẫn 9x 2 = 3x 2 mà học sinh không hề hay biết.
Lời giải đúng: (x + y) 2 – 9x 2 = (x + y) 2 – (3x) 2
= (x + y – 3x)(x + y + 3x)
Ở trường hợp này, giáo viên nên rèn cho học sinh cách trình bày ngay từ khihọc về những hằng đẳng thức Nếu A hoặc B có từ hai nhân tử hoặc từ hai hạng
tử trở lên thì khi dùng hằng đẳng thức nên bỏ vào trong dấu ngoặc