Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học không gian lớp 11 THPT

Khi nghiên cứu về vấn đề đó, chúng tôi quan tâm đến việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học Toán cho học sinh, mà nội dung của quan điểm đó đợc thể hiện qua các t tởng chủ đạo sau

Trờng đại học Vinh -o0o -Nguyễn Thị Hồng Nghĩa

Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học

hình học không gian lớp 11 THPT

chuyên ngành: lí luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán

mã số: 60.14.10

luận văn thạc Sĩ giáo dục học

Ngời hớng dẫn khoa học: TS Bùi Gia Quang

Vinh, 2010

Lời cảm ơn

Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của TS Bùi Gia Quang Tác giả xin

đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy

Trong quá trình làm luận văn, tác giả cũng nhận đợc sự giúp đỡ nhiệt tình của

TS Nguyễn Văn Thuận, nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy

Xin cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy trong chuyên ngành Lý luận và phơng phápgiảng dạy bộ môn Toán đã cho tác giả những bài học bổ ích trong quá trình học tập vànghiên cứu

Xin cảm ơn ban giám hiệu, đồng nghiệp trờng THPT Nam Đàn 2 đã tạo điều kiện,giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè - nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lựchoàn thành luận văn

Dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết,tác giả mong nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn

Vinh, tháng 12 năm 2010.

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Nghĩa

Danh môc viÕt t¾t

THPT: Trung häc phæ th«ngPPDH: Ph¬ng ph¸p d¹y häc

SGK: S¸ch gi¸o khoa

HD: Híng dÉn

MôC LôC

Mở đầu……… … 1

Chơng 1 Một số vấn đề về cơ sở lý luận và thực tiễn cho việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học không gian lớp 11 THPT 1.1 Hoạt động của học sinh và những thành tố cơ sở của PPDH……… 6

1.1.1 Hoạt động của học sinh………… ………… ……… 6

1.1.2 Các thành tố cơ sở của hoạt động dạy học Toán… ……… …… 8

i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học;……… ….8

ii) Gợi động cơ học tập và tiến hành hoạt động;……… 15

iii) Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phơng pháp, nh phơng tiện và kết quả của hoạt động;……….29

iv) Phân bậc hoạt động làm chỗ dựa cho việc điều khiển quá trình dạy học……… 33

1.1.3 Mối liên hệ giữa các thành tố cơ sở trong hoạt động dạy học Toán… 39

1.1.4 Vai trò của các thành tố cơ sở trong dạy học Toán………… ……… 40

1.2 Thực trạng của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học Toán hiện nay ở trờng THPT……… ……… 40

1.3.Kết luận chơng 1……… ……… 43

Chơng 2 Vận dụng quan điểm hoạt động của PPDH vào dạy học hình học không gian lớp 11 THPT 2.1 Cơ sở của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học hình học không gian lớp 11 THPT……… ……… 44

2.1.1 Cơ sở triết học……… … ………44

2.1.2 Cơ sở tâm lí học……… … ……….44

2.1.3 Cơ sở s phạm và thực tiễn………… ………45

2.1.4 Cơ sở lý luận dạy học Toán……….……… 46

2.2 Tổng quan về hình học không gian trong chơng trình toán THPT……….46

2.3 Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học không gian lớp 11 THPT qua những tình huống cụ thể……… ……….49

2.3.1 Vận dụng vào dạy học khái niệm……… ……… 50

2.3.2 Vận dụng vào dạy học định lý, quy tắc, phơng pháp……… … 59

2.3.3 Vận dụng vào dạy học giải bài tập toán……… ………….88

2.4 Kết luận chơng 2……… 95

Chơng 3 Thử nghiệm s phạm 3.1 Mục đích thử nghiệm……… 96

3.2 Tổ chức và nội dung thử nghiệm………96

3.3 Đánh giá kết quả thử nghiệm……… 97

Kết luận chơng 3……… 99

Kết luận……… … ……….….100

mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Thực trạng dạy học Toán ở trờng THPT từ trớc tới nay nhìn chung còn thiên về truyền thụ kiến thức một chiều Vì vậy, phơng pháp dạy học đó cha phát huy đợc tính

tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; làm học sinh rơi vào thế bị động khi tiếp nhận kiến thức, đôi khi học thuộc công thức mà không hiểu đợc bản chất của vấn

đề Cơ sở nào và vì sao lại có kiến thức ấy? Dẫn đến sự mơ hồ và thiếu căn cứ khoa học về một kiến thức tiếp nhận nào đó Cũng chính vì lối truyền thụ kiến thức ấy mà ít gây nên sự hứng thú và tập trung khi học bài trên lớp, không phát huy và phát triển đợc các tiềm năng t duy ở học sinh

Nghị quyết trung ơng 2 (khoá 8) chỉ rõ: “Đổi mới mạnh mẽ phơng pháp giáo dục

đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo của

ng-ời học”

Luật giáo dục nớc cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam 2005 đã quy định:

- “Nội dung giáo dục phổ thông phải bồi dỡng tính phổ thông, cơ bản, to n diện,à hớng nghiệp v có hệ thống; gắn với thực tiễn cuộc sống, phù hợp với tâm sinh lý lứaà tuổi của học sinh, đáp ứng mục tiêu giáo dục mỗi cấp học”

( Điều 28 Yêu cầu về nội dung, phơng pháp giáo dục phổ thông)

- “Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sángtạo của ngời học, bồi dỡng cho ngời học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say

mê học tập và ý chí vơn lên” (Điều 5 Yêu cầu về nội dung, phơng pháp giáo dục)

Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ,

từ những đặc điểm nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập, đòi hỏi chúng taphải đổi mới phơng pháp dạy học theo định hớng hoạt động hóa ngời học Tổ chức chohọc sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực chủ động và sángtạo Khi nghiên cứu về vấn đề đó, chúng tôi quan tâm đến việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học Toán cho học sinh, mà nội dung của quan điểm đó đợc thể hiện

qua các t tởng chủ đạo sau (Theo Nguyễn Bá Kim 2004):

- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động

thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học;

- Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động;

- Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phơng pháp, nh phơng

tiện và kết quả của hoạt động;

- Phân bậc hoạt động làm chỗ dựa cho việc điều khiển quá trình dạy

học

Quan điểm hoạt động đã đợc nhiều tác giả bàn tới trong các công trình hay luậnvăn của mình Các tác giả: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thụy trong cuốn “Phơng pháp dạy học môn Toán” đã nghiên cứu lí luận về quan điểm hoạt động, nhng cha đề cập

đến việc vận dụng nó vào kiến thức cụ thể Tác giả Phạm Sỹ Nam - Đại học Vinh –

2001, trong luận văn thạc sỹ của mình đã vận dụng quan điểm hoạt động vào việc thựchiện gợi động cơ với đề tài “Thực hành dạy học giải bài tập biến đổi lợng giác theo h- ớng gợi động cơ cho học sinh khá, giỏi THPT” Riêng trong lĩnh vực hình học, GS.TS.

Đào Tam với giáo trình “Phơng pháp dạy học hình học ở trờng THPT” đã vận dụng

quan điểm hoạt động cho việc hình thành các khái niệm, quy tắc, phát hiện các định lí,chẳng hạn: Khái niệm hai vectơ cùng phơng hay cùng chiều, hai vectơ bằng nhau, quytắc hình bình hành, định lí Côsin trong tam giác (Hình học 10); Định lí về quan hệ songsong, vuông góc trong không gian (Hình học 11); Khái niệm elip, hypebol (Hình học12) Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Hờng - Đại học Vinh – 2001, “Vận dụng quan

điểm hoạt động hóa ngời học thông qua chủ đề hệ thức lợng trong tam giác và đờng tròn lớp 10 THPT ” Tuy nhiên, luận văn này cũng mới chỉ làm sáng tỏ việc vận dụngquan điểm hoạt động trong dạy học hình học 10.

Việc vận dụng quan điểm hoạt động cũng đợc một số tác giả khác quan tâm

nh-ng cha có điều kiện nh-nghiên cứu sâu sắc, chỉ đề cập tới ở cônh-ng trình hay luận văn củamình trong một số phân mục nhỏ Chẳng hạn, luận văn thạc sỹ của Nguyễn DơngHoàng - Đại học Huế – 1999 với tiêu đề: “Hoạt động gợi động cơ hớng đích trong dạy học các định lí hình học không gian lớp 11 THPT”.

Nh vậy, việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học Toán cũng đợc nhiềungời quan tâm nghiên cứu, song cha đề cập nhiều đến các kiến thức Toán học cụ thể,nhất là phần hình học không gian (Chơng 3, sách giáo khoa hình học 11 hiện hành) Vềviệc dạy học chơng này đã có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nhằm nâng cao hiệuquả Song, trong các luận văn này các tác giả chỉ chủ yếu đề cập đến các biện phápgiúp học sinh hoạt động một cách tích cực, nhằm ứng dụng và khai thác các khái niệm,

định lí Thực tiễn dạy học ở lớp 11 cho thấy hình học không gian là một phần kiến thứcquan trọng mà khó lĩnh hội, nó gây cho học sinh tâm lí ngại học phần này Vì vậy, vậndụng quan điểm hoạt động để hình thành khái niệm, công thức, phát hiện định lí, địnhhớng lời giải bài tập là một giải pháp đúng đắn để tạo hứng thú học tập cho học sinh,làm cho học sinh có ý thức tự giác, tích cực khi học phần kiến thức này Đó cũng là tiền

đề quan trọng để học sinh nắm vững kiến thức, kỹ năng tiến tới khai thác tốt các ứngdụng của khái niệm, định lí

Nâng cao hiệu quả dạy và học, làm cho học sinh thấy đợc cái đẹp, gây cho họ hứngthú khi học phần kiến thức hình học không gian, chính là lí do mà chúng tôi chọn đề

tài: “Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học không gian lớp 11

THPT”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là xác định cơ sở lí luận và thực tiễn làm căn

cứ vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học khái niệm, định lý, bài tập hình họckhông gian, trên cơ sở tôn trọng chơng trình và sách giáo khoa hiện hành nhằm nângcao hiệu quả dạy học Toán ở trờng THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

a, Xác định vị trí, vai trò của quan điểm hoạt động trong quá trình dạy học Toán;

b, Thực trạng của việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học Toán ở trờng THPT

nh thế nào?

c, Xác định cơ sở của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học hình học

không gian lớp 11 THPT;

d, Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học không gian lớp 11 qua những

tình huống cụ thể nh thế nào?

4 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học, nếu giáo viên biết tổ chức tốt việc vận dụng quan điểm

hoạt động vào dạy học hình học không gian ở lớp 11 thì không những hớng học sinh

vào việc giải quyết vấn đề Toán học một cách tích cực mà còn hình thành ở học sinhcác phẩm chất trí tuệ, từ đó sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán

5 Phơng pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu lí luận: Sách báo và các tài liệu chuyên môn liên quan đến việc xác địnhnội dung, đặc điểm, bản chất của “Quan điểm hoạt động”;

2 Phân tích SGK Hình học lớp 11 hiện hành để chỉ ra cách thức vận dụng cụ thể quan

điểm hoạt động vào dạy học hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả dạy học.

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn cócấu trúc nh sau:

Chơng 1 Một số vấn đề về cơ sở lý luận và thực tiễn cho việc vận dụng quan

điểm hoạt động vào dạy học hình học không gian lớp 11 THPT

1.1 Hoạt động của học sinh và những thành tố cơ sở của PPDH

1.1.1 Hoạt động của học sinh1.1.2 Các thành tố cơ sở của hoạt động dạy học Toán1.1.3 Mối liên hệ giữa các thành tố cơ sở trong hoạt động dạy học Toán1.1.4 Vai trò của các thành tố cơ sở trong dạy học Toán

1.2 Thực trạng của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học Toán

hiện nay ở trờng THPT1.3 Kết luận chơng 1

Chơng 2 Vận dụng quan điểm hoạt động của PPDH vào việc dạy học hình họckhông gian lớp 11 THPT

2.1 Cơ sở của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học hình học không

gian lớp 11 THPT

2.2 Tổng quan về hình học không gian trong chơng trình Toán THPT

2.3 Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học không gian lớp 11THPT qua những tình huống cụ thể

2.3.1 Vận dụng vào dạy học khái niệm2.3.2 Vận dụng vào dạy học định lý, quy tắc, phơng pháp2.3.3 Vận dụng vào dạy học giải bài tập

2.4 Kết luận chơng 2

Chơng 3 Thử nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thử nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thử nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thử nghiệm

3.4 Kết luận chơng 3

Chơng 1 một số vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn choviệc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học

không gian lớp 11 thpt

1.1 Hoạt động của học sinh và các thành tố cơ sở của phơng pháp dạy học

1.1.1 Hoạt động của học sinh

Công cuộc xây dựng xã hội mới trớc ngỡng cửa của thế kỷ XXI đòi hỏi nhà ờng phổ thông phải đào tạo ra những con ngời không những nắm đợc kiến thức khoahọc mà loài ngời đã tích lũy đợc mà còn phải có năng lực sáng tạo, giải quyết đợcnhững vấn đề mới mẻ của đời sống bản thân mình, của đất nớc, của xã hội

tr-Trong vài thập kỷ gần đây, dựa trên những thành tựu của tâm lý học, lý luận dạyhọc đã chứng tỏ rằng có thể đạt đợc mục đích trên bằng cách đa học sinh vào vị trí chủthể hoạt động trong quá trình dạy học; thông qua hoạt động tự lực, tích cực của bảnthân mà chiếm lĩnh kiến thức đồng thời hình thành và phát triển khả năng t duy

Hoạt động là quy luật chung nhất của tâm lý học Nó là phơng thức tồn tại củacuộc sống chủ thể Hoạt động sinh ra từ nhu cầu nhng lại đợc điều chỉnh bởi mục tiêu

mà chủ thể nhận thức đợc Nh vậy, hoạt động là hệ toàn vẹn gồm hai thành tố cơ bản:chủ thể và đối tợng; chúng tác động lẫn nhau, thâm nhập vào nhau và sinh thành ranhau tạo ra sự phát triển của hoạt động, Hoạt động học là yếu tố quan trọng và có tínhchất quyết định, thông thờng các hoạt động khác hớng làm thay đổi khách thể (đối tợngcủa hoạt động) trong khi đó hoạt động học lại làm cho chính chủ thể hoạt động thay

đổi và phát triển Dĩ nhiên cũng có khi hoạt động học lại làm thay đổi khách thể nhng

đó chỉ là phơng tiện để đạt mục đích làm cho ngời học phát triển năng lực nhận thức(chẳng hạn trong thí nghiệm)

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Đó

là những họat động đã đợc tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung

đó Cho nên, để đảm bảo đợc nội dung dạy học, thu đợc kết quả nh mong muốn chúng

ta cần tổ chức cho chủ thể học sinh tiến hành họat động một cách tự giác và hiệu quả.

Cụ thể là:

Bắt đầu từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện ra những hoạt động liên hệ với

nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một sốtrong những hoạt động đã phát hiện đợc Việc phân tích một hoạt động thành nhữnghoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với mức

độ vừa sức với họ và đây là t tởng chủ đạo để đi đến xu hớng cho học sinh thực hiện vàtập luyện những hoạt động thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học

Hoạt động thúc đẩy sự phát triển là hoạt động mà chủ thể thực hiện một cáchtích cực và tự giác Vì thế, cần gắn liền với gợi động cơ để học sinh ý thức rõ ràng vìsao thực hiện hoạt động này hay hoạt động khác Chính vì vậy, xu hớng gợi động cơ đ-

ợc đa vào quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học và trở thành một trong các

xu hớng hoạt động có ý nghĩa đặc biệt quan trọng

Việc tiến hành những hoạt động đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là trithức phơng pháp Những tri thức nh vậy có khi lại là kết quả của một quá trình hoạt

động Thông qua hoạt động để truyền thụ các kiến thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp

có ý nghĩa quan trọng trong dạy học

Trong hoạt động, kết quả rèn luyện ở một mức độ nào đó của một hoạt động cóthể là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn của các hoạt động tiếp theo Cho nêncần phân bậc hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo, điềukhiển quá trình dạy học

Nói tóm lại, để thực hiện một cách toàn diện mục đích dạy học phải tổ chức thựchiện những hoạt động theo những xu hớng trên

Những t tởng chủ đạo trên hớng vào việc tập luyện cho học sinh những hoạt

động và hoạt động thành phần, gợi động cơ hoạt động, xây dựng tri thức mà đặc biệt làtri thức phơng pháp, phân bậc hoạt động Nên chúng đợc xem là các thành tố cơ sở củaphơng pháp dạy học

1.1.2 Các thành tố cơ sở của hoạt động dạy học Toán

(Các t tởng chủ đạo thể hiện quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy họctoán).

i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tơng thích với nội dung và mục tiêu dạy học

a) Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung

Một hoạt động của ngời học đợc gọi là tơng thích với nội dung dạy học nếu nó

có tác động góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng Những tri thức đợc bao hàmtrong nội dung đó hoặc rèn luyện những kỹ năng, hoặc hình thành những thái độ cóliên quan

Việc phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung căn cứ một phần quantrọng vào sự hiểu biết về những dạng nội dung khác nhau: khái niệm, định lý hay ph-

ơng pháp, về những con đờng khác nhau để dạy học từng nội dung Chẳng hạn: Con ờng quy nạp, suy diễn hay kiến thiết để tiếp cận khái niệm; Con đờng thuần tuý suydiễn hay có cả suy đoán để dạy học định lý

đ-ở mỗi con đờng nói trên ta cần chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhautrên những bình diện khác nhau nh:

- Nhận dạng và thể hiện;

- Những hoạt động Toán học phức hợp;

- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán;

- Những hoạt động trí tuệ chung;

- Những hoạt động ngôn ngữ.

* Hoạt động nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều hớng trái

ngợc nhau liên hệ với một định nghĩa, một định lý hay một phơng pháp

- Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tợng cho trớc có thoã mãn

định nghĩa đó hay không Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tợng thõa mãn địnhnghĩa đó (có thể còn đòi hỏi thoã mãn một số yêu cầu khác nữa)

Chẳng hạn, sau khi dạy khái niệm hai đờng thẳng chéo nhau, hai đờng thẳngsong song để học sinh nhận dạng khái niệm này giáo viên yêu cầu học sinh giải bàitoán sau:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' '

a) Hãy chỉ ra các cặp đờng thẳng chéo nhau?

b) Hãy chỉ ra các cặp đờng thẳng song song?

A' A

C' B'

D'

B

C D

Còn để thể hiện khái niệm này giáo viên yêu cầu học sinh cho ví dụ về hai đờngthẳng song song, hai đờng thẳng chéo nhau có trong lớp học?

- Nhận dạng một định lý là xét xem một tình huống cho trớc có ăn khớp với

định lý đó hay không, còn thể hiện một định lý là xây dựng một tình huống ăn khớp với

D

A B

S

- Chẳng hạn, để thể hiện định lý ba đờng vuông góc, giáo viên cho học sinh làm bài tập sau: Cho tứ diện ABCD có ba mặt chung đỉnh B đều vuông, các cạnh AB = 5cm, BC = 3cm, BD = 4cm Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)?

C

E

- Nhận dạng một phơng pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có phù hợp

với các bớc thực hiện phơng pháp đó hay không, còn thể hịên phơng pháp là tạo mộtdãy tình huống phù hợp với các bớc thực hiện phơng pháp đó

Chẳng hạn, để thể hiện phơng pháp dựng đờng vuông góc chung của hai đờngthẳng chéo nhau giáo viên ra cho học sinh bài tập: Cho hình hộp chữ nhật

C' B'

D'

B

C D

N M

*Những hoạt động Toán học phức hợp nh chứng minh, định nghĩa, giải toán

bằng cách lập phơng trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích,…thờng xuất hiện lặp

đi lặp lại trong sách giáo khoa Toán phổ thông Cho học sinh tập luyện những hoạt

động này sẽ làm cho họ nắm vững những nội dung Toán học và phát triển những kỹnăng và năng lực Toán học tơng ứng

*Hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học: lật ngợc vấn đề, xét tính giải đợc

(có nghiệm, nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm), phân chia trờng hợp…

- Lật ngợc vấn đề: Chẳng hạn, từ tính chất: hai đờng thẳng a và b song song thì

chúng không có điểm chung, giáo viên đặt vấn đề: hai đờng thẳng a và b không có

điểm chung, liệu ta có suy ra a song song b Hay, sau khi học xong định lý:

'

d ⊄ α d dP ⊂ α ⇒dP α Giáo viên đặt câu hỏi: liệu điều ngợc lại của định lý có

đúng không?

- Phân chia trờng hợp: Chẳng hạn, xét bài toán: Cho hình chóp S.ABCD với

đáy là hình thang ABCD có AD BCP và AD = 2BC Gọi E là trung điểm của AD và

O=AC∩BE I là điểm di động trên cạnh AC khác A và C Qua I, ta vẽ mặt phẳng

( ) α song song (SBE) Tìm thiết diện tạo bởi ( ) α và hình chóp S.ABCD?

Để tìm thiết diện ta phải phân chia 2 trờng hợp: I thuộc đoạn AO, khi đó thiếtdiện là ∆JMN và I thuộc đoạn CO, khi đó thiết diện là tứ giác MNPQ (hình dới)

* Hoạt động trí tuệ chung: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tơng tự, trừu tợng

hóa, khái quát hóa,…Chúng đợc gọi là hoạt động trí tuệ chung bởi vì chúng cũng đợcthực hiện ở các môn học khác một cách bình đẳng nh môn Toán

- Xét tơng tự: Chẳng hạn, khi dạy định nghĩa phép cộng hai vectơ, tích vô hớngcủa hai vectơ, khái niệm vectơ chỉ phơng, khái niệm góc giữa hai đờng thẳng, góc giữahai vectơ,… trong không gian; Giáo viên yêu cầu học sinh nêu định nghĩa tơng tự nhtrong mặt phẳng

Hay, từ bài toán phẳng, xét bài toán không gian tơng tự, sau khi học sinh đã biết

sự tơng tự giữa các đối tợng trong hình học phẳng và hình học không gian Chẳng hạn,

từ định lý trong hình học phẳng: Giao của ba đờng trung tuyến đồng quy, giáo viên

yêu cầu học sinh phát biểu bài toán tơng tự trong hình học không gian: Học sinh phântích rằng: Đờng trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác vàtrung điểm cạnh đối diện; tơng tự tam giác của hình học phẳng là tứ diện của hình họckhông gian, tơng tự trung điểm cạnh đối diện của tam giác của hình học phẳng là trọngtâm mặt đối diện của tứ diện của hình học không gian Nh vậy, trong hình học khônggian có định lý tơng tự định lý nêu trên là : Trong tứ diện các đờng thẳng đi qua một

đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện thì đồng quy.

*Hoạt động ngôn ngữ: đợc học sinh thực hiện khi họ đợc yêu cầu phát biểu,

giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình hoặcbiến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ dạng ký hiệu Toán học sangngôn ngữ tự nhiên và ngợc lại

Ví dụ 1 Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu bằng kí hiệu Toán học định lýThales trong không gian, hay yêu cầu học sinh diễn đạt theo cách khác định nghĩa: Ba

đờng thẳng a, b, c đồng quy

Ví dụ 2 Để tìm tòi lời giải bài toán, có khi ta phải diễn đạt kết luận của bài toánsang ngôn ngữ khác Chẳng hạn, đối với bài toán: “Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Xác định hai điểm M, N sao choM∈AC N B D MN A D', ∈ ' ', P ' ”, giáo viên yêu cầu họcsinh diễn đạt kết luận của bài toán theo các cách khác nhau:

+ Cách 1 Yêu cầu học sinh chuyển sang ngôn ngữ vectơ Khi đó, yêu cầu của

bài toán trở thành tìm x, y sao cho

C'

D' B'

D

A

M N

+ Cách 2 Yêu cầu học sinh chuyển sang ngôn ngữ của phép chiếu song song.Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành: Xác định M, N sao cho: M∈AC N B D', ∈ ' ' và M là

ảnh của N qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (A’B’C’D’) theo phơng chiếu A’D

Từ đó, việc xác định M, N quy về việc xác định N (N là giao của hai đờng thẳng B’D’

và đờng thẳng ảnh của đờng thẳng AC’ qua phép chiếu song song nói trên)

A'

C'

D' B'

D A

A"

M N

+ Cách 3 Yêu cầu học sinh phát biểu bài toán tổng quát của bài toán này : Khi

đó, bài toán này là trờng hợp đặc biệt của bài toán: Dựng đờng thẳng cắt hai đờng thẳngchéo nhau và song song với đờng thẳng cho trớc

d a

b' M

có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh hoạt động toàn bộ vừa chú ý cho họ tậpluyện tách riêng những hoạt động thành những hoạt động thành phần khó hoặc quantrọng khi cần thiết Chẳng hạn, nếu học sinh gặp khó khăn khi chứng minh một mệnh

đề Toán học, có thể tách riêng một thành phần của nó là khái quát hóa và cho học sinhtập luyện thành phần này nhờ câu hỏi gợi ý sau: “Tình huống bài toán này phù hợp vớigiả thiết của định lý nào?”

c) Lựa chọn hoạt động dựa vào mục tiêu

Theo Nguyễn Bá Kim 2004: Mỗi nội dung thờng tiềm tàng nhiều hoạt động Tuynhiên nếu khuyến khích tất cả các hoạt động nh thế thì có thể sa vào tình trạng dàn trải,làm cho học sinh thêm rối ren Để khắc phục tình trạng này, cần sàng lọc những hoạt

động đã phát hiện đợc để tập trung vào một số mục tiêu nhất định Việc tập trung vàonhững mục tiêu nào đó căn cứ vào tầm quan trọng của các mục tiêu này đối với việcthực hiện những mục tiêu còn lại

d) Tập trung vào những hoạt động toán học

Theo Nguyễn Bá Kim 2004 thì năm dạng hoạt động ở mục (i) có vai trò khôngngang nhau Ta cần hớng tập trung vào những hoạt động Toán học, tức là những hoạt

động nhận dạng và thể hiện những khái niệm, định lý và phơng pháp toán học, những

hoạt động toán học phức hợp nh định nghĩa, chứng minh,…Các hoạt động còn lại

không hề bị xem nhẹ, nhng đợc tập luyện trong khi và nhằm vào việc thực hiện cáchoạt động toán học nói trên

ii) Gợi động cơ hoạt động trong dạy học Toán

a) Thế nào là gợi động cơ cho hoạt động

Hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực chủthể và khách thể Hoạt động là một cơ cấu có tổ chức, có chuyển hóa và biến đổi bêntrong

Theo A N Lêônchiep 1989: “Hoạt động đợc đặc trng bởi tính đối tợng của nó

Do vậy điều chủ yếu để phân biệt hoạt động này với hoạt động khác là ở chỗ đối tợngcủa chúng khác nhau Quả vậy, chính đối tợng của hoạt động làm cho hoạt động cómột hớng nhất định”

Theo Ông: “Đối tợng của hoạt động là động cơ thực sự của hoạt động”, “Kháiniệm hoạt động gắn liền một cách tất yếu với khái niệm động cơ Không có hoạt độngnào không có động cơ; hoạt động “không động cơ” không phải là hoạt động thiếu độngcơ mà là hoạt động với một động cơ ẩn dấu về mặt chủ quan và về mặt khách quan”

Trong dạy học Toán ở trờng phổ thông đối tợng của hoạt động là một họ các tìnhhuống: Các sự vật, các kiến thức về các đối tợng, các quan hệ , quy luật, phơng pháp…Các tình huống này cần đợc hình dung, t duy làm bộc lộ với t cách là động cơ của hoạt

động, là đối tợng mang tính nhu cầu Khi đối tợng của nhu cầu đợc phát lộ ra thì các

đối tợng đó kích thích và điều chỉnh hoạt động, chúng đợc gọi là động cơ của hoạt

động (Sau động cơ của hoạt động là những nhu cầu của hoạt động)

Dạy học là một quá trình tác động lên đối tợng học sinh, nên để đạt mục đíchdạy học điều cần thiết và quyết định là tất cả học sinh phải học tập tự giác, tích cực,chủ động và sáng tạo Do vậy học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo

đợc động lực bên trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục tiêu đó Điềunày đợc thực hiện trong dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục tiêu màquan trọng hơn còn do gợi động cơ

Chính vì mọi hoạt động đều có động cơ của nó, mặc dầu động cơ có thể đợcnhận biết một cách tờng minh hay ẩn tàng bên trong hoạt động, nên việc gợi động cơ làcần thiết, bởi học sinh do hạn chế về trình độ nhận thức nên không phải khi nào họ

cũng có ý thức về ý nghĩa của hoạt động và của đối tợng hoạt động; tạo cho họ có đợc

sự say mê, hứng thú, ham muốn tìm tòi, suy nghĩ khám phá, tiến hành những hoạt

động

Gợi động cơ đợc hiểu cả ở tầm vi mô lẫn vĩ mô ở tầm vĩ mô (tức là gợi động cơhọc tập nói chung) cần phải có sự tham gia của toàn xã hội, trong cũng nh ngoài ngànhgiáo dục, để tơng hỗ tích cực với gợi động cơ ở tầm vi mô (gợi động cơ trong phạm vidạy học của giáo viên), để cho giáo viên gợi động cơ học tập của học sinh đạt kết quảcao nhất

Có nhiều phơng thức để gợi động cơ cho học sinh: ở lớp dới, giáo viên thờngdùng những cách nh cho điểm, khen, chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình,… đểgợi động cơ Càng lên lớp cao, cùng với sự trởng thành của học sinh với trình độ nhậnthức và giác ngộ chính trị ngày một nâng cao thì những cách gợi động cơ xuất phát từnội dung hớng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu đời sống, trách nhiệm đối với xãhội ngày một trở nên quan trọng

Gợi động cơ không phải là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri thức nào

đó (một bài học…) mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì vậy có thể phân biệt gợi

động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc

b) Các cách thờng dùng để gợi động cơ

i) Gợi động cơ mở đầu

Ta thờng vận dụng gợi động cơ mở đầu khi bắt đầu nội dung, có thể là một phânmôn, một chơng, một bài hoặc một phần nào đó của bài Chẳng hạn, khi bắt đầu họcphân môn hình học không gian, giáo viên có thể gợi động cơ nh sau: Trớc đây, chúng

ta đã nghiên cứu các tính chất của những hình nằm trong mặt phẳng Môn học nghiêncứu các tính chất của hình nằm trong mặt phẳng đợc gọi là hình học phẳng Trong thực

tế, ta thờng gặp các vật nh: hộp phấn, kệ sách, bàn học,… là các hình hình học trongkhông gian Môn học nghiên cứu các tính chất của các hình trong không gian đợc gọi

là hình học không gian Hoặc khi bắt đầu học bài hai mặt phẳng song song, giáo viêngợi động cơ bằng hình ảnh bề mặt của các bậc cầu thang, hay khi bắt đầu học bài đờngthẳng vuông góc với mặt phẳng, giáo viên gợi động cơ nh sau: Trong thực tế, hình ảnhcủa sợi dây dọi vuông góc với nền nhà cho ta khái niệm về sự vuông góc của đờngthẳng và mặt phẳng

Gợi động cơ mở đầu có thể xuất phát từ thực tế nh các ví dụ trên đây hoặc từ nội

bộ toán học

- Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế có thể nêu lên:

+ Thực tế gần gũi xung quanh học sinh;

+ Thực tế xã hội rộng lớn (kinh tế, kỹ thuật, quốc phòng,…);

Nh vậy, việc xuất phát từ thực tế không những có tác dụng gợi động cơ mà còngóp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng Nhờ đó mà học sinh thấy rõ việcnhận thức và cải tạo thế giới đã đòi hỏi phải suy nghĩ và giải quyết những vấn đề Toánhọc nh thế nào, tức là nhận rõ Toán học bắt nguồn từ những nhu cầu của đời sống thực

tế Vì vậy cần khai thác mọi khả năng để gợi động cơ xuất phát từ thực tế, nhng cầnchú ý những điều kiện sau:

- Vấn đề đặt ra phải đảm bảo tính chân thực, có thể đơn giản hoá vì lý do s phạmtrong trờng hợp cần thiết;

- Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều kiến thức bổ sung vì nếu ngợc lại làmcho học sinh phân tán t tởng và khó mà lĩnh hội nội dung trọng tâm trọn vẹn;

- Con đờng từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càng tốt

Mặt khác Toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ và nhiều tầng, do đókhông phải bất cứ một nội dung nào, hoạt động nào cũng có thể gợi động cơ xuất phát

từ thực tế Vì vậy ta còn cần tận dụng việc gợi động cơ từ nội bộ Toán học

Gợi động cơ từ nội bộ Toán học là nêu vấn đề Toán học xuất phát từ nhu cầuToán học, từ việc xây dựng khoa học Toán học từ những phơng thức t duy và hoạt độngToán học

Gợi động cơ theo cách này là cần thiết vì hai lẽ:

+ Thứ nhất: Nh đã nêu trên, việc gợi động cơ từ thực tế không phải bao giờ cũngthực hiện đợc;

+ Thứ hai: Nhờ gợi động cơ từ nội bộ Toán học, học sinh hình dung đợc đúng sựhình thành và phát triển của Toán học cùng với đặc điểm của nó và có thể dần dần tiếntới hoạt động Toán học một cách độc lập

Ta thờng vận dụng gợi động cơ từ nội bộ Toán khi bắt đầu từ một bài mới, hoặctrong từng phần của bài, mà các cách thờng dùng là:

*Đáp ứng nhu cầu xóa bỏ một hạn chế

Ví dụ Trong hình học phẳng, để nghiên cứu quan hệ vị trí của hai đờng thẳng,ngời ta đa ra một khái niệm, đó là góc giữa hai đờng thẳng mà ta đã biết Bây giờ xéttrong không gian cho hai đờng thẳng chéo nhau, thì chúng không nằm trong mặt phẳngnào cả và hiển nhiên chúng không tạo ra một góc nào cả Tuy nhiên, chúng ta vẫnmuốn tìm một số để đo “độ lệch về ph ơng của hai đờng thẳng đó”, con số nh vậy vẫn

đợc gọi là góc giữa hai đờng thẳng a và b Từ đó ta phải mở rộng khái niệm góc giữahai đờng thẳng trong mặt phẳng thành góc giữa hai đờng thẳng trong không gian để

đáp ứng nhu cầu trên

*Hớng tới sự hoàn chỉnh, hệ thống

Ví dụ Tìm các trờng hợp về điều kiện song song của hai mặt phẳng, thực tế chothấy rằng trờng hợp mặt phẳng này chứa một đờng thẳng song song với mặt phẳng kiathì cha chắc hai mặt phẳng đó song song Từ đó, xét một cách đầy đủ và hệ thống tất cả các trờng hợp mặt phẳng này chứa hai đờng thẳng song song với mặt phẳng kia.

Làm nh vậy ta có kết quả: Điều kiện để hai mặt phẳng song song là mặt phẳng nàychứa hai đờng thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng kia

(P)

a (Q)

a b

(Q)

a

b

b' a'

(Q)

(P)

A' A

*Lật ngợc vấn đề

Sau khi chứng minh một định lý, một bài toán; một câu hỏi rất tự nhiên thờng

đ-ợc đặt ra là liệu mệnh đề đảo của định lý còn đúng nữa không?

Chẳng hạn, sau khi học xong định lý: Nếu đờng thẳng d không nằm trong mp (α)

và d song song đờng thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song (α) Giáo viên đặt câu hỏi ngợc lại: Nếu d song song (α), liệu có tồn tại đờng thẳng d’ nằm trong (α) mà d song

của hai đờng thẳng bằng 0 thì hai đờng thẳng đó có vuông góc với nhau không? (Từbiểu thức của tích vô hớng ta suy ra góc giữa hai vec tơ chỉ phơng bằng 90 0).

* Xét tơng tự

Ví dụ 1 Để học sinh phát biểu định nghĩa góc giữa hai vectơ trong không gian,giáo viên gợi ý rằng: Định nghĩa đó hoàn toàn tơng tự nh định nghĩa góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng.

Ví dụ 2 Xuất phát từ bài toán sau: Qua các đỉnh của tam giác ABC vẽ các đờngthẳng a, b, c lần lợt song song với các cạnh BC, CA, AB; a b M b c N c a P∩ = , ∩ = , ∩ = .

Chứng minh rằng A, B, C là các trung điểm của các cạnh PM, MN, NP của tam giácMNP

P

N M

C

Để có bài toán mới, giáo viên yêu cầu học sinh xét bài toán tơng tự trong không gian

Khi đó, học sinh phát biểu đợc bài toán mới: Cho tứ diện ABCD Qua các đỉnh

A, B C, D vẽ các mặt phẳng (P), (Q), (R), (S) lần lợt song song với các mặt đối diện vớicác đỉnh A, B, C, D Các mặt phẳng (P), (Q), (R), (S) đôi một cắt nhau tạo thành tứ diệnMNPQ Chứng minh rằng trọng tâm của các mặt tứ diện lần lợt là A, B, C, D

M

N P

C

B

A

D

*Khái quát hóa

Ví dụ 1 Sau khi học sinh giải bài toán: Cho ba đờng thẳng đôi một chéo nhau a,

b, c không nằm trên ba mặt phẳng đôi một song song Hãy dựng đờng thẳng d sao cho

d cắt a, b, c lần lợt tại A, B, C mà BA = BC

Giáo viên yêu cầu học sinh khái quát hóa bài toán và giải bài toán đó: Dựng

đ-ờng thẳng d sao cho d cắt a, b, c lần lợt tại A, B, C mà BA = kBC

a

b c

C B A

Ví dụ 2 Sau khi học sinh đợc học 5 tính chất thừa nhận về đờng thẳng và mặtphẳng, để học sinh phát hiện đợc định lý: Nếu hai mặt phẳng phân biệt ( ),( ) α β có một

điểm chung thì chúng có một đờng thẳng chung duy nhất đi qua tất cả các điểm chung ấy; giáo viên đặt vấn đề: Giả sử hai mặt phẳng phân biệt ( ),( ) α β có một điểm

chung A, hãy xem xét tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng đó Nh vậy, việc đặt

vấn đề này thực ra ta đã gợi động cơ mở đầu xuất phát từ nội bộ Toán học, bằng cách

yêu cầu học sinh khái quát hóa tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

*Xét sự liên hệ và phụ thuộc

Ví dụ 1 Để giải bài toán: Cho hình lập phơng ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M, N là các

điểm lần lợt thuộc các cạnh AD, BB’ sao cho AM = BN Gọi I, J lần lợt là trung điểmcác cạnh AB, C’D’ Hãy xác định vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng MN và IJ Đầutiên giáo viên gợi động cơ mở đầu tổ chức cho học sinh đoán nhận vị trí tơng đối giữahai đờng thẳng MN và IJ bằng câu hỏi: Khi M, N trùng các vị trí đặc biệt, ảnh hởng

nh thế nào đến vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng MN và IJ?

Bằng kinh nghiệm, học sinh khảo sát các trờng hợp riêng:

+ Khi M ≡A N, ≡B;

+ Khi M ≡D N, ≡B;

+ Khi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh AD, BB’

Sau đó rút ra nhận xét: M, N là các điểm lần lợt thuộc các cạnh AD, BB’ saocho AM = BN thì MN luôn cắt và vuông góc với IJ

Nói riêng đối với cách gợi động cơ xuất phát từ những phơng thức t duy và hoạt

động phổ biến trong toán học nh xét tơng tự, khái quát hóa, xét sự liên hệ và phụ thuộcthì sự quen thuộc đối với những phơng thức này không chỉ là kết quả mà còn là điềukiện của việc gợi động cơ theo cách đó Thật vậy, việc xét tơng tự, việc khái quát hóa,việc xét sự liên hệ và phụ thuộc chỉ có tác dụng gợi động cơ khi ngời học sinh đã quenthuộc với những cách xem xét này, đã trải nghiệm thành công nhiều lần làm việc theocác cách đó

ii) Gợi động cơ trung gian

Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bớc trung gian hoặc cho nhữnghoạt động tiến hành trong những bớc ấy để đạt mục tiêu

Gợi động cơ trung gian có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển năng lực độc lậpgiải quyết vấn đề

Sau đây là những cách thông thờng để gợi động cơ trung gian

* Hớng đích

Hớng đích cho học sinh là hớng vào những mục tiêu đã đặt ra, vào hiệu quả dựkiến của những hoạt động của họ nhằm đạt đợc những mục tiêu đó

Điểm xuất phát của hớng đích là việc đặt mục tiêu Để đặt mục tiêu một cáchchính xác, cụ thể, ngời giáo viên cần xuất phát từ chơng trình, nghiên cứu sách giáokhoa và tham khảo sách giáo viên Trong tiết học ngời giáo viên phát biểu những mụctiêu một cách dễ hiểu để học sinh nắm đợc.

Đặt mục tiêu là điểm xuất phát của hớng đích nhng không đồng nhất với hớng

đích Đặt mục tiêu thờng là một pha ngắn ngủi lúc ban đầu một quá trình dạy học, cònhớng đích là một nguyên tắc chỉ đạo toàn bộ quá trình này Hớng đích là làm sao cho

đối với tất cả những gì học sinh nói và làm, họ đều biết rằng những cái đó nhằm mụctiêu gì trong quá trình tìm hiểu và mô tả con đờng đi tới đích, họ luôn hớng nhữngquyết định và hoạt động của mình vào mục tiêu đã đặt ra

Việc hớng đích nh trên tạo đợc động lực cho những quyết định và hoạt động đócho nên nó là một cách gợi động cơ trung gian

*Quy lạ về quen

Trong quá trình giải bài tập toán hay chứng minh công thức, định lý không phảikhi nào cũng gặp những bài toán quen thuộc mà nhiều khi cần phá vỡ vỏ hình thức củabài toán để đa về bài toán đã biết cách giải

Chẳng hạn, xét bài toán: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt là trung điểm cáccạnh AB, CD và O là trung điểm đoạn MN Chứng minh rằng AO đi qua trọng tâm Gcủa tam giác BCD

M

K

Giáo viên hớng dẫn học sinh quy lạ về quen, đa bài toán về bài toán quen thuộc

bằng cách yêu cầu chuyển bài toán đã cho về bài toán trong mặt phẳng?

Từ đó, học sinh lập luận: Gọi AO cắt BN tại G Bài toán trở thành chứng minh G

là trọng tâm của tam giác BCD, điều này lại tơng đơng với việc chứng minh GN =GB/2 Do vậy, bài toán đợc chứng minh nhờ tách bộ phận phẳng (ABN) ra ngoài, đa vềbài toán phẳng quen thuộc: Cho tam giác ABN Gọi M là trung đểm cạnh AB; O làtrung điểm đoạn MN Đờng thẳng AO cắt BN tại G Chứng minh GN = GB/2

Hay, xét bài toán: Cho ba đờng thẳng đôi một chéo nhau a, b, c không nằm trên

ba mặt phẳng đôi một song song

a) Dựng đờng thẳng d sao cho d cắt a, b, c lần lợt tại A, B, C mà BA = BC

b) Dựng đờng thẳng d sao cho d cắt a, b, c lần lợt tại A, B, C mà BA = kBC

a

b c

C B A

Giáo viên hớng dẫn học sinh quy lạ về quen bằng cách gợi ý sử dụng phép chiếu

song song lên mp(α) cắt cả ba đờng thẳng a, b, c và phơng chiếu là phơng của đờngthẳng b, dẫn tới bài toán phẳng quen thuộc: Cho góc xOy và điểm B’ nằm trong góc

đó Dựng đờng thẳng d’ qua B’ và cắt hai cạnh của góc lần lợt tại A’, C’ sao cho B’A’

= B’C’ (hay B’A’ = kB’C’) Khi đó đờng thẳng d cần tìm là tạo ảnh của d’ qua phépchiếu song song trên

* Xét tơng tự

Ví dụ Sau khi học sinh giải bài toán : Cho ba đờng thẳng đôi một chéo nhau a,

b, c không nằm trên ba mặt phẳng đôi một song song.Dựng đờng thẳng d sao cho d cắt

a, b, c lần lợt tại A, B, C mà BA = BC

Để dẫn dắt học sinh giải bài toán tơng tự: Cho ba đờng thẳng đôi một chéo nhau

a, b, c không nằm trên ba mặt phẳng đôi một song song Dựng đờng thẳng d sao cho dcắt a, b, c lần lợt tại A, B, C mà BA = kBC

b c

C B A

Giáo viên có thể đặt vấn đề chứng minh bài toán mới này bằng phơng pháp tơng

tự bài toán đã chứng minh

* Khái quát hóa

Ví dụ1 Sau khi học sinh giải bài toán: Cho ba đờng thẳng đôi một chéo nhau a,

b, c không nằm trên ba mặt phẳng đôi một song song Hãy dựng đờng thẳng d sao cho

C B A

Ví dụ 2 Để giải bài toán: Cho hình lập phơng ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M, N là các

điểm lần lợt thuộc các cạnh AD, BB’ sao cho AM = BN Gọi I, J lần lợt là trung điểmcác cạnh AB, C’D’ Hãy xác định vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng MN và IJ Đầutiên giáo viên tổ chức cho học sinh đoán nhận vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng MN

và IJ bằng hai hoạt động sau:

- Hoạt động 1 Cho học sinh khảo sát các trờng hợp riêng:

+ Khi M ≡A N, ≡B;

+ Khi M ≡D N, ≡B;

+ Khi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh AD, BB’

- Hoạt động 2 Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu mệnh đề tổng quát (Nếu

M, N là các điểm lần lợt thuộc các cạnh AD, BB’ sao cho AM = BN, thì MN luôn cắt

và vuông góc IJ)

* Xét sự biến thiên và phụ thuộc

Chẳng hạn, xét bài toán: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có

AD BCP và AD = 2BC Gọi E là trung điểm của AD và O=AC∩BE I là điểm di độngtrên cạnh AC khác A và C Qua I, ta vẽ mặt phẳng ( ) α song song (SBE) Tìm thiết diện

tạo bởi ( ) α và hình chóp S.ABCD?

Để hớng dẫn học sinh phân chia trờng hợp khi tìm thiết diện giáo viên đặt vấn

đề: xem xét ảnh hởng của vị trí điểm I đến hình dạng của thiết diện nh thế nào? Từ

đó, để tìm thiết diện học sinh phân chia 2 trờng hợp: I thuộc đoạn AO, khi đó thiết diện

là ∆JMN và I thuộc đoạn CO, khi đó thiết diện là tứ giác MNPQ (hình dới)

động học tập nói chung và nhiều khi việc gợi động cơ kết thúc ở trờng hợp này lại là sựchuẩn bị gợi động cơ mở đầu cho những trờng hợp tơng tự sau này

iii) Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh phơng tiện và kết quả của hoạt động

Mục đích dạy học không chỉ là dạy tri thức mà điều quan trọng là dạy phơngpháp lĩnh hội tri thức nhằm giúp học sinh rút ra phơng phápđể ứng xử trong các tìnhhuống tơng tự

Tri thức vừa là điều kiện vừa là kết quả của hoạt động, vì vậy cần tạo điều kiệncho học sinh kiến tạo những dạng tri thức khác nhau: tri thức sự vật, tri thức phơngpháp, tri thức chuẩn, tri thức giá trị

- Tri thức sự vật: Tri thức chỉ rõ bản chất sự vật hiện tợng, giúp ngời ta phân biệt

sự vật này với sự vật khác Tri thức sự vật trong môn Toán thờng là một khái niệm(chẳng hạn khái niệm góc giữa hai đờng thẳng), một định lý ( định lý điều kiện đủ đểhai mặt phẳng vuông góc), cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng Toán học,…

- Tri thức phơng pháp: Tri thức giúp ngời ta chiếm lĩnh tri thức sự vật Tri thức

phơng pháp liên hệ với hai loại phơng pháp khác nhau về bản chất: Những phơng pháp

là những thuật giải, những phơng pháp có tính chất tìm đoán

- Tri thức chuẩn: Thờng liên quan đến những chuẩn mực nhất định, chẳng hạn,

trờng hợp ur r= 0 hoặc vr r= 0 ta quy ớc u vr r = 0

- Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn: Hình“

học có vai trò to lớn trong khoa học công nghệ cũng nh trong thực tiễn đời sống ”

Trong dạy học Toán, ngời giáo viên cần coi trọng đúng mức các dạng tri thứckhác nhau, tạo cơ sở cho việc giáo dục toàn diện Đặc biệt, tri thức giá trị liên hệ mậtthiết với giáo dục t tởng chính trị và thế giới quan, tri thức phơng pháp ảnh hởng trựctiếp đến rèn luyện kỹ năng, là cơ sở định hớng trực tiếp cho hoạt động

Đối với giáo viên, cần lu ý một số biện pháp nhằm truyền thụ tri thức phơngpháp cho học sinh :

a) Truyền thụ cho học sinh một cách tờng minh các tri thức phơng pháp đợc quy định trong chơng trình

Chẳng hạn, giáo viên yêu cầu học sinh nêu các bớc để dựng đờng vuông gócchung của hai đờng thẳng chéo nhau a và b bất kỳ:

b) Thông báo tri thức trong quá trình tiến hành một hoạt động

Ví dụ Để hình thành cho học sinh tri thức phơng pháp dựng đờng vuông gócchung của hai đờng thẳng chéo nhau mà vuông góc với nhau, giáo viên nêu câu hỏidẫn dắt khi cho học sinh giải bài tập sau: Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD làhình vuông và SA⊥ (ABCD) Dựng đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng SC và

- Giả sử O’H là đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau SC và BD

mà O' ∈BD H, ∈SC Nêu mối quan hệ mp( ) α = (O’H,SC) và BD?

Đặt uuur r uuur r uuur rAB a AD b AA= , = , ' =c ⇒ |uuurAB| | = uuurAD| | = uuurAA' | =a

Giả sử ta có đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau A’B và B’C là

IJ, với I ∈B C J’ , ∈ A’B Hãy xác định hai số m, n sao cho uuuurA J' =mA B B Iuuuur uuur' , ' =nB Cuuuur'

HD: Hãy biểu thị uur uuuur uuuurIJ A B B C, ' , '

theo a b cr r r , ,

và vận dụng mối quan hệ giữa uurIJ

vàhai vec tơ uuuur uuuurA B B C' , '

để tìm m, n?

(uuuur r r uuuur r rA B a c B C b c' = − , ' = − ,uur uuur uuuuur uuuurIJ =IB' +B A' ' +A J' = −n b c(r r− − + ) a m a cr (r r− )

IJ là đờng vuông góc chung nên IJ ⊥ A B IJ' , ⊥B C' , ta có IJuur uuuur uur uuuur⊥A B IJ' , ⊥B C' hay

+ Cách 1 Chứng tỏ ảnh của ba điểm đó qua phép chiếu song song theo phơng ∆

iv) Phân bậc hoạt động là một căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học

Một điều quan trọng trong dạy học là phải xác định những mức độ yêu cầu thểhiện ở những hoạt động mà học sinh phải đạt đợc hoặc có thể đạt vào lúc cuối cùng hay

ở những thời điểm trung gian

Mức độ yêu cầu của hoạt động có thể lâu dài (một chơng, một lớp, một bậc học)cũng có thể đợc hiểu là những mức độ yêu cầu trong một khoảng thời gian ngắn, trongmột tiết học

Để phân bậc hoạt động đợc tốt ta cần nắm đợc những căn cứ để tiến hành việcnày

*Những căn cứ để phân bậc hoạt động

a) Sự phức tạp của đối tợng hoạt động

Đối tợng hoạt động càng phức tạp thì hoạt động đó càng khó thực hiện Vì vậy

có thể dựa vào sự phức tạp của đối tợng để phân bậc hoạt động

Chẳng hạn, xác định góc giữa hai mặt phẳng là hoạt động phức tạp hơn so vớiviệc xác định góc giữa hai đờng thẳng; xác định giao điểm giữa đờng thẳng và mặtphẳng là hoạt động phức tạp hơn so với việc xác định giao điểm giữa hai đờng thẳng;

b) Sự trừu tợng, khái quát của đối tợng

Đối tợng hoạt động càng trừu tợng, khái quát có nghĩa là yêu cầu hoạt động càngcao

Ví dụ Xét bài toán dựng đờng thẳng cắt ba đờng thẳng đôi một chéo nhau Ta cóthể phân bậc hoạt động này căn cứ vào mức độ trừu tợng khái quát tăng dần của đối t-ợng nh sau :

Cho ba đờng thẳng đôi một chéo nhau a, b, c không nằm trên ba mặt phẳng đôimột song song

a) Dựng đờng thẳng d sao cho d cắt a, b, c lần lợt tại A, B, C mà

C B A

c) Nội dung hoạt động

Là những tri thức liên quan tới hoạt động và những điều kiện khác của hoạt

động

Nội dung hoạt động càng gia tăng thì hoạt động càng khó thực hiện, cho nên nộidung cũng là một căn cứ để phân bậc hoạt động

Ví dụ Cũng xét bài toán dựng đờng thẳng cắt ba đờng thẳng đôi một chéo nhautrên Ta có thể phân bậc hoạt động theo sự phức tạp của nội dung bằng cách ra bài tập:

Cho ba đờng thẳng đôi một chéo nhau a, b, c không nằm trên ba mặt phẳng đôimột song song

a) Dựng đờng thẳng d sao cho d cắt cả ba đờng thẳng a, b, c

b) Dựng đờng thẳng d sao cho d cắt a, b, c lần lợt tại A, B, C mà

BA = BC

a

b c

C B A

mà không có giả thiết: mp(M,a) không song song b và mp(M,b) không song song a Vìnếu không cho giả thiết ấy ta phả phân chia các trờng hợp về M:

+ TH3: ( )

( )

M,a M,

e) Chất lợng của hoạt động

Đó thờng là tính độc lập hay độ thành thạo, cũng có thể lấy làm căn cứ để phânbậc hoạt động Ví dụ sau lấy theo Nguyễn Bá Kim 2004:

Ví dụ 1 Chứng minh Toán học

Có thể phân bậc hoạt động chứng minh theo 3 mức độ: Hiểu chứng minh, lặp lạichứng minh và độc lập tiến hành chứng minh (Ưalsch và Weber 1975, trang 71) Sựphân bậc này căn cứ vào tính độc lập hoạt động của học sinh

f) Phối hợp nhiều phơng diện, làm căn cứ để phân bậc hoạt động

Đứng trớc một hoạt động Toán học có thể phải phối hợp nhiều phơng diện làmcăn cứ để phân bậc hoạt động, điều đó là tuỳ thuộc vào yêu cầu bài dạy và trình độ củahọc sinh

(*) Điều khiển quá trình học tập dựa vào sự phân bậc hoạt động

Nhờ phân bậc hoạt động, ta có thể điều khiển quá trình học tập theo những hớngsau:

a) Chính xác hóa mục tiêu

Nếu không dựa vào sự phân bậc hoạt động thì ngời ta thờng đề ra mục tiêu dạy họcmột cách quá chung Chẳng hạn: “Nắm vững định nghĩa tích vô hớng của hai vectơtrong không gian” Nhờ phân bậc hoạt động ta có thể đề ra mục tiêu một cách chínhxác hơn, chẳng hạn: Sau khi học xong định nghĩa tích vô hớng của hai vectơ trongkhông gian học sinh đạt đợc các mục tiêu sau:

- Biết cách tính tích vô hớng của hai vectơ trong không gian (Biết nhận dạng và thểhiện định nghĩa);

- Biết biến đổi công thức để tìm góc giữa hai vectơ, chứng minh hai đờng thẳngvuông góc

b) Tuần tự nâng cao yêu cầu

Theo lý thuyết của Vgôtxki về vùng phát triển gần nhất thì những yêu cầu đặt ra

đối với học sinh phải hớng vào vùng phát triển gần nhất.Vùng này đã đợc chuẩn bị doquá trình phát triển trớc đó, nhng học sinh còn cha đạt tới Nhờ hoạt động nhiều mặt,

vùng phát triển gần nhất sẽ trở thành vùng hoạt động hiện tại Vùng lúc trớc đó còn làvùng phát triển xa hơn một chút thì bây giờ lại trở thành vùng phát triển gần nhất Quátrình cứ lặp đi lặp lại nh thế và học sinh cứ leo hết bậc thang này đến bậc thang kháctrong quá trình hoạt động và phát triển.

Ví dụ Xét bài toán dựng đờng thẳng cắt ba đờng thẳng đôi một chéo nhau Tacho học sinh lần lợt làm các bài tập a), b), c) dới đây:

Cho ba đờng thẳng đôi một chéo nhau a, b, c không nằm trên ba mặt phẳng đôimột song song

a) Dựng đờng thẳng d sao cho d cắt cả ba đờng thẳng a, b, c

b) Dựng đờng thẳng d sao cho d cắt a, b, c lần lợt tại A, B, C mà

C B A

c) Tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết

Trờng hợp học sinh gặp khó khăn khi hoạt động, ta có thể tạm thời hạ thấp yêucầu Sau khi họ đã đạt đợc nấc thấp này, yêu cầu lại đợc tuần tự nâng cao Làm nh vậycũng vẫn phù hợp với lý thuyết của Vgôtxki về vùng phát triển gần nhất

Thật vậy, khi học sinh gặp khó khăn có nghĩa là yêu cầu đề ra còn ở những vùngphát triển quá xa Tạm thời hạ thấp yêu cầu tức là đã điều chỉnh yêu cầu hớng về vùngphát triển gần nhất

Ví dụ Xét bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật Xác địnhthiết diện tạo thành khi hình chóp bị cắt bởi một mặt phẳng ( ) α cách đều 5 đỉnh của

hình chóp

Khi giải bài tập này có thể học sinh gặp khó khăn khi xác định vị trí tơng đối của

( ) α , nên giáo viên tạm thời hạ thấp yêu cầu bằng cách yêu cầu học sinh chứng minh

mệnh đề: Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của

đoạn thẳng ấy Sau khi học sinh chứng minh mệnh đề này, giáo viên yêu cầu học sinhxác định các vị trí có thể có của ( ) α Từ đó suy ra thiết diện cần xác định

A B

C D

S

P Q

S

B A

Trong dạy học phân hoá, ngời thầy giáo cần tính tới những đặc điểm của cá nhânhọc sinh, chú ý từng đối tợng hay từng loại đối tợng về trình độ tri thức, kỹ năng, kỹxão đã đạt; về khả năng tiếp thu, nhu cầu luyện tập, sở thích, hứng thú và khuynh hớngnghề nghiệp,…để tích cực hoá hoạt động của học sinh trong học tập

Một khả năng dạy học phân hoá thờng dùng là phân hoá nội tại, tức là dạy họcphân hoá trong nội bộ một lớp học thống nhất