Vận dụng cặp phạm trù nội dung hình thức trong dạy học toán ở trường phổ thông (thể hiện qua dạy học giải bài tập toán) luận văn tốt nghiệp đại học

Đối với học sinh trung học phổ thông, năng lực giải Toán thường thể hiện ởkhả năng lựa chọn phương thức biến đổi bài toán thích hợp để giải quyết vấn đề.Việc lựa chọn một cách giải

Để hoàn thành khóa luận này, ngoài sự nổ lực của bản thân, tôi còn nhận đợc sự giúp đỡ của các thầy cô giáo, gia đình ngời thân, bạn bè.

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới Thầy giáo Ths Nguyễn Chiến Thắng - ngời đã trực tiếp tận tình hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô giáo khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo Tổ toán trờng THPT Nam Đàn 1 đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ cho tôi trong quá trình hoàn thành khoá luận.

Gia đình, ngời thân, bạn bè luôn là nguồn cổ vũ động viên để tôi thêm nghị lực hoàn thành khoá luận này.

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!

Mặc dù rất cố gắng nhng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn

đọc để khóa luận đợc hoàn chỉnh hơn.

1.1 Lớ luận về cặp phạm trự “Nội dung – Hỡnh thức” 9

1.1.1 Khỏi niệm nội dung và hỡnh thức 9

1.1.2 Mối liờn hệ biện chứng giữa nội dung và hỡnh thức thể 10

hiện trong toán học

1.2 Lí luận về “Bài toán” 15 1.2.1 Một số quan niệm về “Bài toán” 15

Chương 2 Một số hướng khai thác cặp phạm trù Nội dung – Hình thức trong dạy học giải bài tập Toán ở trường Phổ thông.

33

2.1 Hướng 1: Chuyển đổi nội dung của bài toán. 33

2.1.1 Chuyển đổi nội dung để đơn giản hoá bài toán 332.1.2 Chuyển đổi bài toán làm rõ nội dung bị hình thức chelấp

39

2.1.3 Chuyển đổi nội dung để khắc sâu và khắc phục sai lầmcho học sinh

42

2.2 Hướng 2: Chuyển đổi hình thức của bài toán. 43

2.2.1 Chuyển đổi hình thức bài toán thông qua chuyển đổi

ngôn ngữ giữa các bộ phận, môn học, mô hình

45

2.2.2 Chuyển đổi hình thức bài toán thông qua chuyển đổi

ngôn ngữ trong nội bộ môn học, từng bộ phận

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Từ xưa đến nay toán học phát sinh và phát triển do những nhu cầu thực tếcủa đời sống con người (và do cả nhu cầu của bản thân nó) Các lí thuyết của toánhọc đã có dù gần hay xa đều có thể tìm thấy những ứng dụng trong khoa học kĩthuật Toán học là những chặng đường trên con đường dài của nhận thức từ trựcquan sinh động đến tư duy trừu tượng rồi từ đó đến thực tiễn Môn Toán là môncung cấp nhiều kiến thức, kĩ năng phương pháp góp phần xây dựng văn hóa phổthông của người lao động mới Những kiến thức toán phổ thông sẽ giúp học sinhcó cơ sở để học các môn khoa học tự nhiên khác và từ đó nắm được quy luật kháchquan đồng thời rèn luyện cho học sinh phương pháp suy nghĩ, phương pháp suyluận, phương pháp giải quyết vấn đề, từ đó phát triển trí thông minh sáng tạo

Theo quan điểm giáo dục hiện đại, việc học tập của học sinh diễn ra tronghoạt động và bằng hoạt động Hình thức hoạt động toán học chủ yếu của học sinh

là hoạt động giải bài tập toán Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môntoán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất địnhbao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp,những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán

học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Dạy học giải bài

tập toán là một trong những tình huống điển hình trong dạy học bộ môn Toán

Phương pháp duy vật biện chứng là cơ sở, nền tảng của quá trình tư duy, quátrình nhận thức thế giới Dạy học cũng là một quá trình nhận thức Do đó, việc rènluyện kĩ năng toán học cho học sinh cũng tuân theo những quy luật của phép biệnchứng duy vật Hình thành một số kiến thức về phép biện chứng duy vật trong quátrình dạy học toán vừa là nhiệm vụ, vừa là điều kiện giúp học sinh nhận thức tốt

hơn kiến thức toán học Phép biện chứng duy vật có vai trò quan trọng trong hoạtđộng nhận thức Sự phát triển của toán học nói riêng và của các khoa học nóichung đều có nguồn gốc từ thực tiễn Quy luật phát triển của mỗi khoa học đềuphản ánh những tư tưởng triết học duy vật biện chứng Nhiều kiến thức triết họctiềm ẩn trong kiến thức môn toán Bằng cách vận dụng các cặp phạm trù triết họcvào việc khai thác kiến thức toán học, đặc biệt là khai thác các bài toán vừa gópphần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng vừa tạo điều kiện cho học sinhphát triển tư duy logic, tư duy sáng tạo

Đối với học sinh trung học phổ thông, năng lực giải Toán thường thể hiện ởkhả năng lựa chọn phương thức biến đổi bài toán thích hợp để giải quyết vấn đề.Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, khôngchỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng làhiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trongchương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất chobài toán đặt ra Rèn luyện khả năng khai thác bài toán đóng vai trò quan trọngtrong quá trình giải toán Đặc biệt chú trọng khai thác cặp phạm trù Nội dung -Hình thức để học sinh thấy rõ mối quan hệ logic của bài toán, từ đó sáng tạo đượcnhiều bài toán mới phong phú, kích thích niềm đam mê toán học cho chính bảnthân các em Làm tốt điều đó, học sinh hiểu rõ được vai trò và ý nghĩa của mỗiphân môn một cách sâu sắc và cụ thể hơn Chẳng hạn, trong môn Hình học ởtrường THPT nhiều tính chất của hình học, hình dáng, vị trí cũng như quan hệgiữa các yếu tố trong mỗi hình được biểu thị bằng các biểu thức đại số, biểu thứclượng giác, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình; hay trong chính nội bộ

bộ phận có sự chuyển hóa diễn đạt khác nhau như hình học tổng hợp, hình họcvectơ, hình học tọa độ

Hiện nay, có nhiều luận văn cao học, bài báo nghiên cứu về các cặp phạmtrù của Triết học duy vật biện chứng vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông.Tuy nhiên chưa có một công trình nào nghiên cứu một cách hệ thống về cặp phạmtrù Nội dung – Hình thức và vận dụng nó trong rèn luyện cho học sinh phổ thông

cách khai thác và sáng tạo bài toán mới Hơn nữa, giáo viên chưa thực sự quan tâmlồng ghép, tích hợp vốn kiến thức triết học duy vật biện chứng trong dạy học mônToán

Với các lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng cặp

phạm trù Nội dung – Hình thức trong dạy học Toán ở trường phổ thông (thể hiện qua dạy học giải bài tập toán)”.

2 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các kiến thức toán học ở phổ thông, cáchướng khai thác và sáng tạo bài toán dựa vào cặp phạm trù Nội dung – Hình thức

3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Làm sáng tỏ một số cơ sở lý luận về:

+) Cặp phạm trù Nội dung – Hình thức,

+) Dạy học giải bài tập toán,

+) Khái niệm bài toán, chức năng của bài toán

Đề xuất được một số hướng khai thác và sáng tạo bài toán

4.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

+) Hệ thống hoá một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu

+) Đề xuất một số hướng khai thác và sáng tạo bài toán thông qua vận dụng cặp phạmtrù Nội dung – Hình thức trong dạy học giải bài tập toán

+) Tiến hành thử nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tínhhiệu quả của đề tài

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

+) Nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học mônToán

- Các sách báo về phương pháp giải toán phục vụ cho đề tài

- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài

+) Quan sát:

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh trong quátrình khai thác các bài tập sách giáo khoa và các bài tập trong các tài liệu thamkhảo

+) Thử nghiệm sư phạm:

Tiến hành thử nghiệm sư phạm với lớp học thử nghiệm và lớp học đốichứng trên cùng một lớp đối tượng

6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC:

Nếu quan tâm đúng mức đến việc vận dụng cặp phạm trù Nội dung – Hìnhthức vào việc khai thác và sáng tạo bài toán cho học sinh trong quá trình dạy họcgiải bài tập toán ở trường Phổ thông thì sẽ nâng cao được hiệu quả giảng dạy mônToán, góp phần thực hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy họcToán trong giai đoạn hiện nay

7 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI:

8 CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận có 3chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận.

1.1 Lí luận về cặp phạm trù “Nội dung – Hình thức”

1.2 Lí luận về “Bài toán”

1.3 Dạy học giải bài tập Toán

1.4 Kết luận chương 1.

Chương 2 Một số hướng khai thác cặp phạm trù Nội dung – Hình thức trong dạy

học giải bài tập Toán ở trường Phổ thông

2.1 Hướng 1: Chuyển đổi nội dung của bài toán

2.2 Hướng 2: Chuyển đổi hình thức của bài toán

2.3 Sáng tạo bài toán dựa trên mối liên hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức.2.4 Kết luận chương 2

Chương 3 Thử nghiệm sư phạm.

Chương I: Cơ sở lí luận.

1.1 Lí luận về cặp phạm trù “Nội dung – Hình thức”:

Mọi sự vật và hiện tượng trong tự nhiên và xã hội đều có nội dung và hình thức

1.1.1 Khái niệm nội dung và hình thức:

 Nội dung là tổng hợp tất cả những mặt, những yếu tố, những quá trình hợpthành cơ sở tồn tại và phát triển của sự vật

 Hình thức là phương thức tồn tại và phát triển của sự vật, là hệ thống cácmối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật đó, là cách tổ chức kếtcấu của nội dung

Chẳng hạn:

Trong toán học hiện đại, phương pháp tiên đề đã trở thành một văn phongtrình bày các lý thuyết toán học Mỗi hệ tiên đề có nhiều mô hình Mỗi mô hình làmột hình thức chứa đựng nội dung hàm ẩn trong hệ tiên đề

Gần gủi nhất với chúng ta là hai mô hình của hình học Ơclit rất phổ biếntrong nhà trường là hình học tổng hợp và hình học giải tích

Hình học Lôbasepki cũng có nhiều mô hình khác nhau, trong đó hai mô hìnhquen thuộc nhất là mô hình Poăngcarê và mô hình Kêli - Clanh

Trong nội dung của toán học sơ cấp ở trường phổ thông, chúng ta dễ thấycặp phạm trù này biểu hiện rất rõ ràng qua các bộ phận: số học, đại số, giải tích vàhình học Đơn giản như nội dung của đại cương về phương trình bao gồm phươngtrình một ẩn, tập xác định, nghiệm, điều kiện của phương trình, phương trình tươngđương, phép biến đổi tương đương, phương trình hệ quả, nghiệm ngoại lai, phươngtrình nhiều ẩn, phương trình chứa tham số, còn hình thức của nó là cách tổ chức,sắp xếp của các mục và các khái niệm, cách trình bày kiến thức của từng mục,những khái niệm nào được được định nghĩa và dùng để định nghĩa khái niệm khác,ví dụ nào về phương trình được đưa ra,

1.1.2 Mối liên hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức thể hiện trong toán học:

a) Tính thống nhất giữa nội dung và hình thức:

Từ khái niệm trên ta thấy được nội dung và hình thức có mối quan hệ qualại, quy định lẫn nhau, luôn gắn bó chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất;không có hình thức nào tồn tại thuần tuý không chứa đựng nội dung và ngược lại,cũng không có nội dung nào lại tồn tại trong một hình thức xác định, không có nộidung nói chung, chỉ có nội dung cụ thể Không có hình thức thuần tuý mà chỉ cóhình thức cụ thể của một nội dung nhất định Chẳng hạn: Trong hình học, các hìnhnhư đường thẳng, tam giác, đường tròn là những hình thức bên ngoài của nhữngquan hệ bên trong – nội dung, như hình vẽ đường tròn chứa đựng nội dung “sựcách đều một điểm cố định”

Nội dung và hình thức không tồn tại tách rời, nhưng không phải vì thế màlúc nào nội dung và hình thức cũng phù hợp với nhau, không phải một nội dungbao giờ cũng chỉ thể hiện trong một hình thức nhất định mà một nội dung trongquá trình phát triển có nhiều hình thức thể hiện; ngược lại, một hệ thống hình thứccó thể thể hiện nhiều nội dung khác nhau Chẳng hạn, số tự nhiên là một khái niệmtrừu tượng được trừu xuất từ việc tìm ra một cách thuận tiện để so sánh các tập hợp

mà không cần trực tiếp thiết lập mối liên hệ 1 – 1 giữa các phần tử của tập hợp đó.Nội dung của chúng chính là lực lượng của các tập hợp hữu hạn Nội dung đó xuấthiện dưới rất hiều hình thức, mà hình thức văn minh nhất là các số Nhưng chínhcác số cũng có nhiều hình thức biểu hiện, chẳng hạn như các số La Mã và các số ẢRập Các số Ả Rập phổ biến nhất Chúng lại có thể xuất hiện trong những hệ đếm

cơ số khác nhau, mỗi hệ đếm cũng được xem là một hình thức, trong đó phổ biếnnhất là hệ thập phân Nói cách khác, các số cụ thể 1, 2, 3 , 4, chính là nhữnghình thức chứa đựng nội dung lực lượng các tập hợp Đến lượt các chữ cái a, b, c,

x, y, lại là những hình thức để biểu diễn một cái gì đó không còn tương ứng với

lực lượng những tập hợp cụ thể nữa Ví dụ như cho phương trình ax2 + bx + c = 0thì a, b, c có thể là bất cứ số thực nào còn x là một số chưa biết, phải tìm Như vậy,nội dung và hình thức cũng chỉ là những phạm trù có tính chất tương đối: Có cái ởtrong mối liên hệ này là hình thức thì ở trong mối liên hệ khác nó lại là nội dung.b) Nội dung giữ vai trò quyết định hình thức còn hình thức phụ thuộc nội dung:

Sự biến đổi của sự vật bao giờ cũng bắt đầu từ sự biến đổi và phát triển củanội dung, hình thức không tự mình biến đổi mà biến đổi dưới ảnh hưởng trực tiếp

của nội dung Chẳng hạn, cùng một nội dung định lí Pitago: “Bình phương cạnh

huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại” ta có thể

có nhiều hình thức, chẳng hạn đẳng thức số và đẳng

thức diện tích sau đây:

(1) a2 = b2 + c2, trong đó a = BC là cạnh huyền còn

b = AC và c = AB là hai cạnh góc vuông;

(2) S1 = S2 + S3, trong đó S1, S2, S3 lần lượt

là diện tích của các hình vuông dựng trên

cạnh huyền BC và các cạnh góc vuông AC,

AB (Xem hình 1)

Từ đây ta có thể biến đổi các hình thức đó để

đưa ra các bài toán tổng quát, nhưng sự biến đổi của

các hình thức phải được thực hiện dưới tác động của nội dung là định lí Pitago, vìvậy ta có bài toán tổng quát sau đây:

S1 = S2 + S3, trong đó S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của các hình đa giác đều n-cạnhdựng trên cạnh huyền BC và các cạnh góc vuông AC, AB

Thật vậy, trước hết ta tính diện tích của một đa giác đều

n-cạnh A1A2…An với độ dài của mỗi cạnh bằng x như sau (xem

H

a2 = S1 Đây là điều phải chứng minh.

c) Hình thức có tính độc lập tương đối và tác động trở lại nội dung:

Hình thức không phải thụ động đối với nội dung mà hình thức có tác dụngtích cực trở lại đối với nội dung Sự tác động của hình thức đến nội dung thể hiện ởchỗ, nếu phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ tạo điều kiện thuận lợi là động lựcthúc đẩy nội dung phát triển, nếu không phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ cảntrở, kìm hãm sự phát triển của nội dung, hình thức có thể che lấp nội dung, khi đócó mâu thuẫn giữa hình thức và nội dung: mâu thuẫn này kích thích việc nghiêncứu để làm rõ sự thống nhất Mỗi hình thức mang đến cho việc nghiên cứu nộidung những khó khăn và thuận lợi riêng Chẳng hạn, mâu thuẫn giữa nội dung vàhình thức của đường trung bình và đường trung tuyến kích thích việc nghiên cứu

về các đường trung bình của một tứ giác và những nghiên cứu này làm rõ sự thốngnhất Hay để nghiên cứu hình học Ơclit có thể dùng phương pháp giải tích, phươngpháp tổng hợp hoặc phương pháp vectơ Phương pháp tổng hợp có cái hay là huyđộng được nhiều trí tưởng tượng không gian và chính trí tưởng tượng đó nhiều khigiúp ta tìm được các mắt xích logic nối giải thiết với kết luận, đưa đến những lờigiải hay, gọn, đẹp Nhưng phương pháp tổng hợp có cái dở là mỗi bài toán hìnhhọc lại đòi hỏi một sự sáng tạo ra phương pháp giải riêng nhờ vào trực giác mà tìm

ra qua việc phân tích giả thiết và kết luận để tìm cách xây dựng cái cầu logic nốichúng lại Phương pháp tổng hợp lại ít khả năng đi vào cái vô cùng bé và cái vôcùng lớn nên dễ bị trực giác đánh lừa, do đó dễ mắc sai lầm, dễ bỏ sót nghiệm Cụ

thể như với phương pháp tổng hợp thì chỉ nghiên cứu được sự tiếp xúc bìnhthường, khó mà nghiên cứu được sự mật tiếp giữa các đường, các mặt vì đối vớitrực giác thì tiếp xúc bình thường hay mật tiếp cũng như nhau Phương pháp tổnghợp còn gây khó khăn ở chỗ phải phân biệt nhiều trường hợp ứng với hình vẽ khácnhau, chẳng hạn đối với các đường bậc hai không suy biến phải chia ra trường hợp(elip, hypebol, parabol) Phương pháp tổng hợp cũng không cho phép đưa đượccác phần tử ảo vào nên phải phân biệt ra những trường hợp có cắt nhau hay khôngcắt nhau, hoặc chỉ tiếp xúc với nhau (vấn đề trục đẳng phương của hai đường tròn).Phương pháp giải tích cho ta cách giải tổng quát cho nhiều trường hợp; có ngườinói rằng: “Khi dùng phương pháp giải tích mà đã đi đến được phương trình hay bấtphương trình rồi thì giống như người đi đường lên được tàu hoả rồi Lên được đórồi có thể ngủ mà vẫn đi tới đích nhờ các đường ray” Với phương pháp giải tích,

ta có thể gói nhiều trường hợp khác nhau vào chung một phương trình, đưa cácphần tử ảo vào Ví dụ, phương trình ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 gói đượctất cả các đường cong bậc hai suy biến và không suy biến, có điểm thực hay khôngcó điểm thực Phương pháp giải tích cho phép sử dụng cái vô cùng bé và vô cùnglớn như sự mật tiếp, những hiện tượng xảy ra ở xa vô tận Phương pháp giải tíchcho phép chuyển đổi số chiều không gian từ bé lên lớn một cách tương đối dễdàng Ví dụ từ hình học phẳng lên hình học không gian chỉ cần thêm một toạ độthứ ba là cao độ (bên cạnh hoành độ và tung độ) Nó còn mở đường cho khái niệmkhông gian nhiều chiều, thậm chí vô số chiều, trong lúc với phương pháp tổng hợpchỉ chuyển từ hình học phẳng lên hình học không gian đã thấy rất khó Chẳng hạn,xét bài toán: “Cho hình chóp tam giác đều S ABC, cắt chóp bởi một mặt phẳngcách đều tất cả các đỉnh của chóp Tính diện tích thiết diện tạo thành nếu cạnh bêncủa hình chóp tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 và độ dài trung đoạn của hìnhchóp bằng a” Bình thường để làm bài toán này, bằng phương pháp tổng hợp chúng

ta thường vẽ một hình ứng với một trường hợp cụ thể làm điểm tựa trực quan dẫntới dễ bỏ sót trường hợp Nhưng sử dụng phương pháp giải tích bẳng cách gán toạ

độ vào sẽ giải quyết được bài toán đầy đủ và trọn vẹn

d) Tính chất phức tạp của mối quan hệ giữa nội dung và hình thức:

Điều này được thể hiện ở những khía cạnh sau:

Thứ nhất, một nội dung có thể phát triển trong nhiều hình thức khác nhau,chẳng hạn: Cùng một nội dung là Hình học Euclide ở trường phổ thông (được xâydựng theo phương pháp tiên đề) có hai hình thức tương ứng là hình học tổng hợp(với các hình và những suy diễn trên các hình đó để tìm ra các tính chất của Hìnhhọc Euclide) và hình học giải tích (với các tọa độ, các phương trình, các bấtphương trình, các đẳng thức và bất đẳng thức nhờ đó mà rút ra các tính chất củaHình học Euclide) Tính nhiều vẻ của các hình thức khác nhau đó làm cho nộidung thêm phong phú và có nhiều nét độc đáo Hay ta xét một ví dụ cụ thể hơn như

để mô tả quan hệ giữa nội dung “Điểm O là trung điểm của đoạn AB” ta có nhữnghình thức sau:

Thứ hai, cùng một hình thức có thể thể hiện những nội dung khác nhau, chẳng hạn: Ngược lại của ví dụ nêu trên, từ đẳng thức hình thức: OA                             OB

có thể liên tưởng đến các nội dung: O là trung điểm đoạn AB; hai vectơ OA và OB đối nhau; A là ảnh của B qua phép vị tự V o1

1.2 Lí luận về “Bài toán”:

1.2.1 Một số quan niệm về “Bài toán”:

Trong [15], GS Nguyễn Bá Kim đã xây dựng khái niệm Bài toán thông quacác khái niệm trước đó theo sơ đồ như sau:

Theo đó thì “Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục đích tìmphần tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách

thể thì ta có một bài toán”.

Khái niệm “Bài toán” cũng được nhiều nhà khoa học khác trên thế giới và ởViệt Nam quan tâm Trong [13], tác giả Bùi Thị Hường đã thu thập được khá nhiềuquan niệm khác nhau về bài toán Chúng tôi xin điểm lại như sau:

a) Quan niệm về bài toán của một số nhà khoa học:

+) Theo Astobar: “Bài toán được chia làm hai loại: Bài toán chứng minh và bài

toán tìm tòi.

- Bài toán chứng minh mệnh đề A từ giả thiết B là sự đòi hỏi một dãy hữu hạn

các mệnh đề A 1 , A 2 , A 3 , , A n thoả mãn điều kiện:

là được rút ra từ những mệnh đề đúng trước nó nhờ một quy tắc suy luận logic.

- Bài toán tìm tòi là đòi hỏi tìm miền đúng của hàm mệnh đề.”

+) Theo G Polia:

“Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện

thích hợp để đạt được mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không đạt ngay được.”

+) Theo Fanghanel:

“Bài toán là sự đòi hỏi hành động trong đó quy định:

Hệ thống Tình huống Tình huống

bài toán Bài toán

 Mục đích của hành động

+) Theo Rubinstem:

“Về bản chất, bài toán là sự phát triển bằng lời của một vấn đề.”

+) Theo thầy Trần Văn Vuông và thầy Vũ Đức Mại (Đại học sư phạm Hà Nội II):

“Bài toán là sự đòi hỏi đạt được một mục đích nào đó Mục đích nêu trong

bài toán có thể là tập hợp bất kỳ (các số, các hình, các biểu thức, ) sự đúng đắn hoặc sai lầm của một hoặc nhiều kết luận Bài toán được phát biểu nhờ thuật ngữ của lĩnh vực chuyên môn nhất định gọi là bài toán của lĩnh vực chuyên môn đó.”

Với cách hiểu này bài toán sẽ đồng nghĩa với đề toán, bài tập, câu hỏi, nhiệm vụ b) Theo một số sinh viên qua điều tra:

Theo nghĩa rộng, bài toán là bất cứ vấn đề nào của khoa học hay cuộc sốngcần được giải quyết Với quan niệm này, vấn đề an toàn giao thông, vấn đề ônhiễm môi trường, vấn đề dân số, cũng được coi là bài toán

Theo nghĩa hẹp hơn, bài toán là vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sốngcần được giải quyết bằng kiến thức và phương pháp Toán học

Có quan niệm đơn giản: các bài tập trong sách giáo khoa toán, vật lí, hoáhọc, đều là bài toán

Như vậy, bằng cách tiếp cận khác nhau cho chúng ta những quan điểm khácnhau về khái niệm bài toán

Trong khuôn khổ khoá luận này, chúng tôi chọn quan niệm về Bài toán theo

GS Nguyễn Bá Kim (trong [15]), nhưng chỉ bó hẹp trong nội bộ môn Toán ởtrường Phổ thông

1.2.2 Chức năng của bài toán:

Ở một số nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyền thốngcủa sách giáo khoa thường có hai phần riêng biệt Phần lí thuyết và tiếp sau đó làphần bài tập Ngay trong phần lí thuyết, kiến thức lí thuyết (định nghĩa, định lí,công thức, ) chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh hoạ haybài tập áp dụng Dạy học các kiến thức lí thuyết luôn đóng vai trò trung tâm

Cấu trúc này tương thích với mô hình dạy học truyền thống, theo đó giáoviên thường truyền thụ kiến thức trực tiếp cho học sinh, cho một vài ví dụ minhhoạ và yêu cầu học sinh làm các bài tập áp dụng theo đúng mẫu mà giáo viên đã

trình bày Nói cách khác là kiểu dạy cầm tay chỉ việc rất máy móc, rập khuôn.

Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếm khuyết

đồng nhất bài toán (problem) với bài tập (exercise), và từ đó bó hẹp chức năng

của các bài toán chỉ là củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩnăng, kĩ xảo hay kiểm tra kiến thức của học sinh

Tuy nhiên, những nghiên cứu khoa học về lịch sử toán học đó chỉ rõ rànghầu hết các khái niệm và các lí thuyết toán học thường nảy sinh từ nhu cầu giảiquyết các bài toán trong thực tế cuộc sống, trong nội bộ toán học hay trong cáckhoa học khác Nói cách khác, tri thức toán học không phải có sẵn mà được xâydựng bắt đầu từ việc giải quyết các bài toán Như vậy, quan hệ thứ tự giữa kiếnthức lí thuyết và bài tập không còn là: Kiến thức lí thuyết  Bài tập áp dụng màchủ yếu là: Bài toán  Kiến thức lí thuyết  Bài tập áp dụng  Bài toán mới

Từ đó, quan điểm sư phạm hiện đại về dạy học toán đang được áp dụng trênnhiều nước là: Tập trung dạy học toán trên hoạt động của học sinh (phù hợp vớiquan điểm dạy toán là dạy hoạt động toán học) Chính học sinh tự mình xây dựngcác kiến thức toán học thông qua hoạt động giải các bài toán Nói cách khác, giảicác bài toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học Chức năng của bàitoán không còn bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng Sau đây chúng tôiphân tích kĩ hơn về một số chức năng chủ yếu của bài toán trong dạy học toán(Theo [23]):

1.2.2.1 Chức năng gợi động cơ:

Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động

và của đối tượng hoạt động

a) Gợi độmg cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối tượng mới

Trong trường hợp này, bài toán sẽ tạo ra nhu cầu và hứng thú giải quyết vấn

đề đặt ra, từ đó tạo nên động cơ đi vào nghiên cứu một đối tượng mới

Ví dụ: Bài toán sau đây là động cơ cho việc đi vào nghiên cứu phép tính giớihạn trong chương trình giải tích lớp 11 hiện hành Trong thần thoại Hi Lạp thầnAchilles (là con của nữ thần biển Thetis với vua Hi Lạp Peleus) biểu thị cho lòngdũng cảm và sự nhanh nhẹn Nhưng Zenon (thế kỉ III trước công nguyên) đã đưa ranghịch lí là Thần Achilles không đuổi kịp con rùa Nhà triết học cổ Hy Lạp này đó

đưa ra lí luận như sau: Giả sử ban đầu Achilles ở vị trí A và con rùa ở vị trí R.

Achilles và con rùa xuất phát cùng một lúc Khi Achilles chạy đến R thì trong khoảng thời gian đó con rùa chạy đến vị trí R 1 Khi Achilles chạy đến R 1 thì con rùa chạy đến R 2 , Cứ như thế, mãi mãi con rùa luôn ở trước Achilles một đoạn

x > 0, tức là Achilles không đuổi kịp rùa.

Giả sử khoảng cách giữa Achilles và rùa lúc đầu là 100 km và vận tốcAchilles và rùa lần lượt là 100 km/h và 1 km/h Để đi hết 1 km thì Achilles mất

10000 giờ trong khoảng thời

gian này con rùa đi được 1

10000 km Khoảng cách bây giờ là 1

10000 km, Nhưvậy, tổng thời gian để Achilles đuổi kịp rùa là:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là 1

100 Bài toán này sẽkhông giải quyết được nếu không có phép tính giới hạn

b) Gợi động cơ nảy sinh khái niệm mới

Trong toán học, bài toán, ý tưởng và công cụ hình thành nên ba thành phầnchủ yếu của hoạt động toán học Trong đó, bài toán cần qiải quyết là động cơ của

nghiên cứu, công cụ là phương tiện giải quyết vấn đề, còn ý tưởng là yếu tố trunggian nối khớp bài toán và công cụ Trong mối quan hệ này bài toán đóng vai trò cơbản.

Ví dụ: Dạy học khái niệm đạo hàm của hàm số:

Đối với một khái niệm khó như khái niệm đạo hàm thì nên hình thành nóbằng con đường quy nạp (kiến tạo), sẽ là một sai lầm lớn nếu chúng ta trình bàyngay một cách tường minh về khái niệm đạo hàm cho học sinh rồi nhanh chóngcho các em luyện tập Định nghĩa đạo hàm không hề dễ nhớ, thậm chí đối với giáoviên đôi khi đọc cho trôi chảy cũng là điều khó Nếu giáo viên đưa ra một địnhnghĩa áp đặt thì không giải quyết được vấn đề gợi động cơ học tập một chủ đề, họcsinh sẽ không hiểu được khái niệm đạo hàm xuất phát từ đâu và học nó để làm gì.Cho nên về mặt tâm lý, họ sẽ không sẵn sàng học khái niệm đó Trước hết, giáoviên cần phải đưa ra những bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm để thấy đượcnguồn gốc thực tiễn của khái niệm này Thông thường, phương án được lựa chọn ởđây là bài toán tìm vận tốc tức thời của chuyển động thẳng, bài toán tìm cường độdòng điện tức thời hay bài toán tìm tốc độ tức thời của một phản ứng hoá học, Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao đưa ra bài toán tìm vận tốc tức thờicủa một chuyển động thẳng đặc biệt là rơi tự do (đã được học ở chương trình vật lí10) còn sách giáo khoa ban cơ bản đưa ra hai bài toán: vận tốc tức thời của chuyểnđộng thẳng và cường độ tức thời của dòng điện Dù bằng cách nào hay đưa ra mấybài toán thì giáo viên cần phải nhấn mạnh rằng, để giải quyết được những bài toán

trên thì cần phải tìm giới hạn :

0

0 0

( ) ( ) lim

bộ toán học mà còn trong các khoa học khác

1.2.2.2 Chức năng huy động kiến thức cũ:

Quá trình hình thành kiến thức mới luôn đòi hỏi vận dụng các kiến thức cũ.Tuy nhiên không phải lúc nào học sinh cũng nhớ một cách đầy đủ các kiến thức cũnày hoặc có nhớ nhưng đôi khi lại không biết vận dụng Để đảm bảo rằng học sinhđó sẵn sàng và dễ dàng huy động các kiến thức cần thiết cho dạy học nội dung mớithì hoạt động giải các bài toán là một trong các cách thức tốt nhất để học sinh tìmlại được các kiến thức và kỹ năng vì nó cho phép phát huy vai trò chủ động và tíchcực của học sinh

1.2.2.3 Là phương tiện đưa vào kiến thức mới

Ở cấp độ thấp hơn, các bài toán cũng có thể được sử dụng như phương tiệnđưa vào kiến thức mới Kiến thức mới này nãy sinh không phải như là công cụ mànhư là kết quả của hoạt động giải quyết vấn đề

Ví dụ: Bài toán sau đây là phương tiện để dạy Định lí hàm số sin trong tam

giác Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, CA = b, AB = c, R là bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

a) Tính sin A, sin B, sin C theo a, b, c

b) Tìm mối liên hệ giữa ba cạnh, ba góc của tam giác ABC và R

Hệ thức (*) có đúng với tam giác đều không? (hiển nhiên đúng và ta dễ

dàng chứng minh được điều này)

Hệ thức (*) có đúng với tam giác bất kì không? (kết quả của việc giải quyếtvấn đề này là nội dung của định lí hàm số sin trong tam giác)

1.2.2.4 Chức năng củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành kĩ xảo toán học

Sau khi trình bày một định nghĩa, một định lí, một tính chất hay một tri thứcphương pháp chúng ta thường cho các ví dụ minh hoạ, các bài tập áp dụng Đóchính là các bài tập có mục đích củng cố các kiến thức mới vừa được xây dựng vàhình thành kĩ năng vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán

Một trong những chức năng chủ yếu của phần bài tập trong mỗi bài, mỗichương là củng cố các kiến thức, rèn luyện các kĩ năng đó được đưa vào trongphần lí thuyết hay hình thành kĩ năng mới và kĩ xảo có liên quan

Việc giải các bài tập toán học không chỉ cho phép củng cố các kiến thức vàkĩ năng vừa mới được hình thành mà cả những kiến thức, kĩ năng đã có trước đó

1.2.2.5 Chức năng phát triển các năng lực và các phẩm chất tư duy

Việc giải các bài toán là một trong những cơ hội tốt nhất để rèn luyện cácthao tác tư duy như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá, vàphát triển các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo,tính phê phán,

Ngoài các chức năng nêu trên, việc giải các bài toán còn là cơ hội hình thànhở học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, các phẩm chất đạo đức, thẩm mĩ Nócũng là công cụ cho phép kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh

Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạyhọc nói chung, trong một bài học nào đó nói riêng đều chứa đựng một cách tườngminh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Các chức năng này không bộc lộmột cách một cách riêng lẻ, tách rời nhau mà trong mối quan hệ mật thiết với nhau.Khi nhấn mạnh một chức năng cụ thể nào đó, ta muốn nói rằng, ở thời điểm đangxét chức năng này có vị trí trung tâm hơn so với các chức năng khác

1.2.3 Phân loại bài toán:

Việc phân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng

kiểu, có thể giúp ích khi giải toán Trong [5], trang 171, G Polia đã viết: “Một sự

phân loại tốt phải chia các bài toán thành những kiểu sao cho mỗi kiểu bài toán xác định trước một phương pháp giải.”

Như vậy, việc phân loại bài toán là không hề đơn giản và khó để có đượcmột cách phân chia tỉ mỉ nào thật hoàn thiện một cách tuyệt đối Sau đây, tôi xin đềcập đến một số cách phân loại được chọn lọc và mang tính hệ thống:

Thứ nhất, dựa vào mục đích giáo dục phù hợp với từng đối tượng học sinh(khá, trung bình, kém), có thể phân loại theo sơ đồ sau (Trang 170, [11]):

Đối với cách phân loại này, những bài toán không có tính chất vấn đề tuy không cótác dụng nhiều trong việc phát triển sự suy nghĩ sáng tạo, nhưng lại rất cần thiếttrong việc củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng; những bài toán có tình chất vấn

đề, nhất là những bài toán loại III thì tuy có tác dụng nhiều trong việc phát triển tríthông minh, nhưng lại không phù hợp với tất cả các loại học sinh Chẳng hạn: Saukhi dạy xong định lý “Ba đường vuông góc”, giáo viên có thể ra hệ thống các bàitoán sau:

(1) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA  (ABCD) Chứngminh, đường thẳng SB  BC.(Loại I)

(2) Cho SA vuông góc với đường thẳng chứa đường tròn đường kính AB M làđiểm bất kỳ trên đường tròn (không trùng A và B) Tính góc giữa MS và MB.(Loại II)

(3) Cho tứ diện vuông OABC, vuông tại O, H là hình chiếu của OP lên mặt phẳng

(ABC) Hãy chứng minh: 12 12 12 12

OC

OH OA OB  (Loại III)Thứ hai, phân loại theo phương pháp giải bài toán Trong cách phân chianày, chúng ta xét hai bài toán: Những bài toán tìm tòi và những bài toán chứngminh Mục đích cuối cùng của bài toán tìm tòi là tìm ra (dựng, thu được, xácđịnh, ) một đối tượng nào đó, tức là tìm ra ẩn số của bài toán Mục đích cuốicùng của bài toán chứng minh là xác định xem kết luận nào đó đúng hay sai, phảixác nhận hay bác bỏ kết luận đó Cụ thể là:

 Các bài toán tìm tòi:

Một bài toán tìm tòi có ba phần chính gồm ẩn, điều kiện và dữ kiện Trong

đó, “ẩn” là cái chưa biết, cái phải tìm; thuật ngữ “dữ kiện” để chỉ tất cả các đối tượng cho trước (những cái đã biết, những điều giả thiết); “điều kiện” là mối liên

hệ giữa ẩn và dữ kiện Muốn giải được bài toán ta phải hiểu bài toán đó, tức là ta đixác định được cái gì là ẩn, cái gì là dữ kiện và điều kiện là thế nào? Chẳng hạn:

“Xét bài toán có nội dung là dựng tam giác theo ba cạnh a, b, c của nó.” Ở đây, ẩn

là tam giác, dữ kiện là các đoạn thẳng a, b, c, với điều kiện a, b, c là ba cạnh củatam giác Hay xét bài toán có nội dung là giải phương trình bậc hai: x2 + ax + b = 0(*) thì ẩn là x, dữ kiện là a, b và điều kiện là a, b, x thoả mãn phương trình (*)

Mục đích của bài toán tìm tòi là xác định được ẩn của bài toán thoả mãnđiều kiện ràng buộc với các dữ kiện của bài toán đó Mỗi yếu tố đều có vai tròquan trọng Ta xét hai ví dụ:

“ Cho hai đoạn thẳng a, b và góc ; phải dựng một hình bình hành trong đó cácđoạn thẳng đã cho là hai cạnh kề hợp thành góc đã cho .”

“ Cho hai đoạn thẳng a, b và góc ; phải dựng một hình bình hành trong đó cácđoạn thẳng đã cho là những đường chéo hợp thành góc đã cho .”

Trong hai bài toán trên, các dữ kiện hệt như nhau gồm các đoạn thẳng a, b vàgóc  Trong hai bài toán ẩn cũng như nhau, do đó nếu chỉ để ý đến tính chất củaẩn thôi thì hai bài toán này không có gì khác nhau Thế nhưng, “điều kiện”, của haibài toán này đã khiến chúng phân biệt nhau; rõ ràng dạng hình bình hành liên quanđến cạnh và đường chéo là khác nhau.

 Bài toán chứng minh:

Dạng bài toán chứng minh có hai phần chính là giả thiết (điều kiện) và kếtluận Khi cần chứng minh hay bác bỏ một mệnh đề toán học ta cần chú ý đặc biệtđến phần chính của nó Muốn chứng minh một mệnh đề, cần khám phá ra khâulôgic liên hệ các phần chính của nó; muốn bác bỏ một mệnh đề cần phải vạch rõrằng một trong hai phần chính không đi đến phần kia (lấy ra phản ví dụ) Chẳnghạn, khi nói đến định lý lớn của Fermat, chúng ta nhớ rằng qua nghiên cứu của rấtnhiều nhà toán học đã chứng minh nó nhưng đều chỉ ra được hữu hạn giá trị đúng,sau hơn 300 năm bài toán về định lý Fermat lớn mới được nhà toán học Anh, Wilergiải quyết trọn vẹn Và một bài toán chứng minh khác cũng không kém phần nổitiếng của toán học là giả thuyết Gônbách, rất nhiều nhà toán học đã cố tìm cáchtước bỏ tấm màn hoài nghi cho giả thuyết này nhưng đều không đạt kết quả Mặcdù giả thiết và kết luận của nó dễ thấy song việc xác lập mối liên hệ giữa hai phầnchính đó hay đưa ra ví dụ mâu thuẫn thì thật sự khó khăn

1.2.3.1 Bài toán cơ bản:

Theo [14], bài toán cơ bản có thể hiểu là bài toán tương đối dễ, chỉ nhằmcủng cố vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản Đồng thời bàitoán cơ bản phải thoả mãn một trong hai điều kiện cơ bản sau:

- Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán khác

- Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bàitoán khác

Chẳng hạn:

Xét bài toán cơ bản sau: Chứng minh rằng trong hình hộp chữ nhật có:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 (1) Trong đó a, b, c là các cạnh của hình hộp và d là đường chéo.

Việc chứng minh bài toán này đơn giản chỉ cần sử dụng hai lần định lýPitago Từ bài toán trên, lần lượt xét các bài toán đưới đây:

 Bài toán 1 : Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O ba mặt vuông , ,

 là ba góc hợp bởi mặt phẳng (OAB), mặt phẳng (OBC), mặt phẳng (OCA)với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: cos2 cos2 cos2  1 (2)Hướng dẫn giải: Xem tứ diện vuông OABC là một bộ phận của hình hộp Dễ thấy :

cos = a

d , cos = b

d , cos = c

d Sử dụng bài toán cơ bản ta có (2)

 Bài toán 2 : Cho tứ diện OBC vuông tại O Tìm M trong mặt phẳng (ABC)sao cho tổng bình phương khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OAB),(OBC), (OAC) đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải: Gọi khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng (OAB), (OBC),(OCA) lần lượt là x, y, z Khi đó ta thấy x, y, z chính là ba kích thước của hìnhhộp chữ nhật có đường chéo OM với ba cạnh thuộc OA, OB, OC Từ bài toán cơbản ta có ngay OM 2 = x 2 + y 2 + z 2 Do đó, bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhấtcủa OM Như vậy, có thể kết luận ngay OM min  OM  mp(ABC) hay M là trựctâm ABC

1.2.3.2 Vai trò của bài toán cơ bản:

G Polia đã nói rằng : “Thật khó mà đề ra một bài toán mới, không giống

chút nào với bài toán khác, hay là không có một điểm nào chung với một bài toán trước đó đã được giải Nếu như có một bài toán như vậy vị tất đã giải được”

(trang 35, [6]) Thực vậy, khi giải một bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những

bài toán đã giải, dùng kết quả, phương pháp hay kinh nghiệm có được khi giải cábài toán đó Hiển nhiên, những bài toán dùng tới, phải có liên hệ nào đó với bàitoán hiện có

Một bài toán, vấn đề có thể bắt nguồn từ một bài toán, một vấn đề khác,cũng có thể là một bộ phận của một bài toán, một vấn đề khác Vì vậy, trong dạyhọc Toán giáo viên nên tạo cho học sinh thói quen khắc sâu bài toán cơ bản để dễ

dàng áp dụng khi cần thiết từ đó giúp học sinh có cơ hội đào sâu, kiến tạo nên một

số bài toán mới

Trong dạy học Toán, bài toán cơ bản có các vai trò quan trọng như:

- Bài toán cơ bản nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lý thuyết đãhọc Nhiều khi rèn luyện cho học sinh các bài toán cơ bản là một hình thức rất tốt

để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới

- Khắc sâu được các định lý, khái niệm cơ bản và mối quan hệ giữa chúng

- Qua các bài toán cơ bản đó giúp học sinh áp dụng vào giải quyết các bài toán liênquan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải được thu gọn hơn

- Qua các bài toán cơ bản giúp học sinh huy động, kiến tạo ra được bài toán mới

1.3 Dạy học giải bài tập toán:

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên chỉ đơn thuần cungcấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằngbiết cách thức giải được bài toán Để tăng hứng thú học tập cho học sinh, pháttriển tư duy, rèn luyện kỹ năng và hoạt động độc lập sáng tạo cho họ, giáo viênphải hình thành cho học sinh quy trình chung, các cách biến đổi bài toán để tìmlời giải bài toán

Trong dạy học giải bài tập toán điều then chốt là giáo viên dạy cho họ kỹnăng hướng về những tình huống có vấn đề khác nhau, biết phân biệt tình huống,biết lựa chọn một hoạt động, một hướng đi để giải quyết vấn đề Khi làm toán, trítuệ của con người được huy động tới mức tối đa, khả năng phân tích, tổng hợpđược rèn luyện, các thao tác tư duy từ đó trở nên nhanh nhạy Có thể nói kĩ nănggiải toán là tài sản đặc trưng của tư duy toán học

Thông qua hoạt động của học sinh khi giải bài tập, bộc lộ được khả năng vềtrí tuệ, tính nhanh, tính nhẩm, tính sáng tạo v.v Cũng thông qua hoạt động này,phát hiện những khuyết điểm, những sai lầm và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của họcsinh để kịp thời uốn nắn Từ đó đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khảnăng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Trong dạy học giải bài tập Toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các

kỹ năng quan trọng, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần khôngthể thiếu Tác giả G Pôlia trong [6] trang 148 – 150, đã đưa ra 4 bước để đi đến lờigiải bài toán

1) Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải cóhứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ý hướngdẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán của các

em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, muốn vậy cần phải: Phân tích giả thiết vàkết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện, dữkiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới một hình thức khác

được không? Như vậy, ngay ở bước “Hiểu rõ đề Toán” ta đã thấy được vai trò

của tư duy sáng tạo trong việc định hướng để tìm tòi lời giải

2) Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của tư duy sáng tạo được thể hiện rõnét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn Biếnđổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trường hợp đặc biệt,xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn, v.v thông qua các kỹ năng saubằng cách đặt các câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Bài toán này có thuật giải hay không?

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa? Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài

toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em có thể giải một phần của bài toán?

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để

ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi ýtrên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán.Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các giờdạy Toán, đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt động giải toáncủa mình

3) Thực hiện chương trình giải:

Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy rõ

ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:

Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bàitoán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ítquan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì vậy trong quátrình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên thực hiện các yêucầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cách giải,học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán, và kết quả là cónhiều lời giải độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát huy tínhsáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiên

cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và kém chánnản.

Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho một bàitoán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với học sinhyếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinh giỏi Tuynhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể cho học sinhtoàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp dụng vào bài toánkhác hoặc đề xuất ra bài toán mới

Rất nên hệ thống hoá các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hìnhnào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề và

mô hình đó (rất thích hợp khi tổng kết chương), cũng là cơ sở quan trọng để pháttriển tư duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu

Ví dụ: Cho ABC, M  BC Chứng minh: AM MCAB MBAC

1 Tìm hiểu nội dung bài tập:

Đây là một bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, hay phân tích một vectơtheo 2 vectơ không cùng phương Với giả thiết điểm M tuỳ ý trên BC Phải có các

tỉ số MC : BC và MB : BC Đó là một số chú ý trong đề bài toán

2 Xây dựng chương trình giải:

Ta cần tìm mối liên hệ giữa các vectơ: AM, AB,AC   

Và đến đây ta đã có một lời giải

3.Thực hiện chương trình giải:

A

N

M

   Cộng lại có điều phải chứng minh.

4 Kiểm tra tính đúng đắn và nghiên cứu sâu lời giải:

Bước này, chúng ta khai thác phần nôi dung – hình thức để phát triển bàitoán trên

+ Kiểm tra: Qua cách giải như trên ta thấy cách phân tích vectơ theo quy tắc tamgiác, đưa một vectơ về vectơ cùng phương với nó, sử dụng định lý Talet đều chínhxác Có thể kiểm tra lại điều này khi cho M là trung điểm BC, M chia BC theo tỉ số

- Sử dụng các thao tác tư duy:

a) Bài toán tương tự: Cho tứ giác ABCD Các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn

AD, BC sao cho: MA : MD = NB : NC = m : n

Khi cho A ≡ D, được bài toán trên

b) Đặc biệt hoá bài toán:

- Khi M là trung điểm BC, có bài toán quen thuộc: AM 1(AB AC)

AB kAC AM

, k1 Với k  1 tuỳ ý, thì M có thể ở ngoài đoạn BC

Như vậy với k tuỳ ý ta có nhiều bài toán dạng tương tự

c) Nghiên cứu tiếp ứng dụng của bài toán:

Bây giờ ta lấy 3 điểm trên 3 cạnh tam giác: Cho ABC, lấy M, N, P trên cácđường thẳng BC, CA, AB sao cho: MC 2MB, NA   2NC

   

và PA  PB Chứngminh: M, N, P thẳng hàng

Theo phương pháp trên, ta thấy mọi vectơ đều phân tích được 2 vectơ khôngcùng phương (cơ sở của không gian vectơ hai chiều)

Ta cần chứng tỏ rằng: MN kMP

 

, vậy chỉ cần phân tích MN, MP  theo một

cơ sở, chẳng hạn AB và AC Theo cách trên ta có:

d) Nghiên cứu tiếp bài toán: Qua bài toán trên ta thấy có thể tổng quát hơn việc

phân tích vetơ vào bài toán sau:

Cho ABC, 3 điểm M, N, P trên 3 cạnh BC, CA, AB chia 3 đoạn đó theo tỉ

lệ , ,  Tìm điều kiện của , ,  để M, N, P thẳng hàng

Theo giả thiết ta có: MB  MC, NC  NA, PA  PB

e) Nghiên cứu bài toán khi thay đổi giả thiết: Ta đã chứng minh được bài toán tổng

quát trong trường hợp tam giác Có thể thay đổi giả thiết cho tứ giác, hoặc thay đổimột số giả thiết thích hợp ta có nhiều bài toán khác sau:

Bài toán 1 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi AM, BN, CP lần

lượt là ba đường phân giác trong của các góc A, B, C Chứng minh

a(b c)AM b(c a)BN c(a b)CP 0      

Bài toán 2 Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là chân các phân giác thuộc.Các

cạnh BC, CA, AB Biết AM BN CP 0   

Bài toán 4 Các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với

đường tròn nội tiếp tại các điểm M, N, P Biết BC = a, CA = b, AB = cChứng minh: aAM bBN cCP 0    



Bài toán 5 Tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC,

CA, AB lần lượt tại M, N, P Chứng minh nếu AM BN CP 0  

   

thì tam giác ABC

là tam giác đều

1.4 Kết luận chương 1:

Trong chương này:

Khoá luận đã làm rõ các khái niệm về cặp phạm trù nội dung – hình thứccủa triết học duy vật biện chứng, mối liên hệ biện chứng giữa nội dung – hình thứcthể hiện trong dạy học Toán

Khoá luận đã đưa ra và làm rõ được định nghĩa về bài toán, bài toán cơ bản,một số hướng phân loại bài toán đồng thời khắc sâu chức năng của bài toán cũngnhư bài toán cơ bản.

Chương 2: Một số hướng khai thác cặp phạm trù Nội dung – Hình thức trong dạy học giải bài tập Toán ở trường Phổ thông.

Trên cơ sở lí luận ở Chương I, trong Chương này chúng tôi đề xuất cáchướng khai thác cặp phạm trù Nội dung – Hình thức trong dạy học giải bài tậpToán ở trường phổ thông

2.1 Hướng 1: Chuyển đổi nội dung của bài toán.

Trong tự nhiên và xã hội, các sự vật có mối quan hệ với nhau và trongnhững điều kiện nào đó chúng có thể chuyển hoá qua nhau Trong lĩnh vực toánhọc cũng vậy, có nhiều loại bài toán có thể chuyển hoá lẫn nhau Mối quan hệ giữachúng trong điều kiện nào đó cho phép ta chuyển từ việc giải bài toán này qua giảibài toán khác thuận lợi cho việc huy động kiến thức trong quá trình giải bài tậptoán Để góp phần nâng cao hiệu quả dạy học giải bài tập toán ở trường phổ thônggiáo viên cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh khả năng thay đổi cách diễn đạt lạinội dung bài toán, thay đổi cách biểu thị các mối liên quan giữa các dữ kiện của bàitoán Đó cũng là một cách thay thế bài toán đã cho bằng một bài toán tương đươngvới nó, nhưng đơn giản hơn hoặc quen thuộc với học sinh hơn

2.1.1 Chuyển đổi nội dung để đơn giản hoá bài toán.

Trong Toán học có nhiều loại toán liên quan với nhau Mối liên hệ giữa chúngtrong những điều kiện nào đó cho phép ta chuyển việc giải bài toán này sang giảibài toán khác (với nội dung khác) mà phương pháp giải dễ xác định hơn Chẳnghạn:

- Chuyển bài toán chứng minh bất đẳng thức thành bài toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số và ngược lại;

- Chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số về bài toán tìmmiền giá trị của hàm số;

- Chuyển bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, nghiên cứu cácphương trình về việc xác định tính chất của hàm số;

- Chuyển việc tính giá trị của một biểu thức lượng giác về việc lập phương trìnhlượng giác;

- …

Ví dụ 1: (Chuyển bài toán chứng minh bất đẳng thức thành bài toán tìm giá trị lớn

nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số) Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi x:

x5 + (1  x)5  1

Nhận xét: Bất đẳng thức (1) đúng với mọi x nếu ta chứng minh được hàm số y = x5

+ (1  x)5 có giá trị nhỏ nhất là 1

16 Như vậy ta đã chuyển bài toán chứng minh bấtđẳng thức thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số (chú ý rằng bài toán đượcthay thế là bài toán điều kiện đủ của bài toán đã cho) Ta sẽ dùng công cụ đạo hàm

để giải bài toán thay thế như sau:

Ta có: y’ = 5x4  5(1  x)4 = 5(2x2 – 2x + 1)(2x  1) nên y’ = 0  x = 1

2 Việc tìmgiá trị nhỏ nhất của y được thể hiện ở bảng sau đây:

x  1

2 +

y’  0 +y

116

+

+



Căn cứ vào bảng ta được kết quả ymin = y12

  = 1

16

Ví dụ 2 : (Chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số về

bài toán chứng minh bất đẳng thức) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P(x, y) = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3 bằng 0

P(x, y) là đa thức hai biến số Bài toán cực trị của hàm hai biến số khá phức tạp vàvượt ngoài chương trình phổ thông Nhưng học sinh có thể chuyển dổi từ bài toángiá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất thành một bài toán bất đẳng thức

Theo yêu cầu bài toán ta cần chứng minh: P(x, y)min = 0

Từ định nghĩa giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, yêu cầu bài toán đó có thể phát biểudưới dạng:

Chứng minh rằng với mọi x, y thì P(x,y)  0 và tồn tại cặp (xo; yo) để đẳngthức xảy ra

Như vậy bài toán đã cho được chuyển: P(x, y)  0

Dấu đẳng thức xảy ra

Khi giải một bài toán, nhất là các bài toán có tham số việc chuyển đổi bài toán vềmột hình thức mới để nhằm đưa bài toán về một nội dung mới dễ dàng hơn Do đótrong quá trình giảng dạy giáo viên cần có thói quen bồi dưỡng cho học sinh cáchbiến đổi bài toán về một hình thức mới gần với vùng nhận thức của học sinh

Ví dụ 3: (Chuyển việc chứng minh bất đẳng thức về việc xác định tính chất của

hàm số) Chứng minh rằng nếu x là góc nhọn thì bất đẳng thức sau đúng:

Do x là góc nhọn nên x > 0, 1 + cosx > 0, do đó:

(1)  2x t an(1 cos )  x

 t anx sinx 2   x 0 2 

Để chứng minh bất đẳng thức (2) đúng với góc x nhọn, ta đặt:

y = sinx + tanx – 2xNhận xét: y(0) = 0 Khi đó để chứng minh: y(x) > 0 = y(0) với x nhọn, ta hãy xéttính chất biến thiên của y Ta có thể thấy rằng nếu hàm y đồng biến với mọi

0 < x <

2



thì bài toán được giải quyết, vì khi đó: 0 = y(0) < y(x)

Để xác định tính chất của hàm y, ta xét:

Ví dụ 4: (Chuyển bài toán tính giá trị của biểu thức lượng giác về lập phương

trình lượng giác) Chứng minh rằng: tan37030’ – ( 6  3  2) là số nguyên

Để tính tan37030’ ta lập phương trình tìm tana khi biết tan2a

Xuất phát từ công thức: tan2a = 2 t ana2

1 tan a , đặt x = tan2a, ta được phương trình: tan2a.x2 +2x – tan2a = 0 (*)

Từ (*) lấy tan2a = tan1500 = 1

3

 , ta được phương trình xác định tan750 như sau:

x2 – 2 3x – 1 = 0 (**)

Do tan 750 > 0 Từ (**) giải được x = tan750 = 3 + 2.

Tiếp tục thay lại vào phương trình (*): tana = tan750 = 3 + 2 ta thu được phươngtrình xác định tan37030’ :

( 3 + 2)x2 + 2x – ( 3 + 2) = 0 (***)

Do tan37030’ > 0, từ (***) ta được: x = tan37030’ = 6  3  2 2 

Vậy: tan37030’ – ( 6  3  2) = 2 là số nguyên

Ví dụ 5 (Chuyển bài toán tìm điều kiện có nghiệm của hệ phương trình sang bài

toán tương giao của hai đồ thị) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

nhiều trường hợp, hơn nữa trong chương trình toán phổ thông hiện nay không đưa vào định lý đảo của dấu tam thức bậc hai nên rất khó giải cho học sinh Do đó khi giảng dạy cho học sinh cần bồi dưỡng cho các em cách chuyển bài toán trên sang một hình thức và nội dung mới để các em giải một cách dễ dàng hơn.

mới là: “Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y  t2 t 5 tr nª 2; ”.Việc giải bài toán với hình thức và nội dung này thì không khó khăn gì, vì chỉ cầnlập bảng biển thiên trên nửa khoảng đã cho là có ngay kết quả

Ví dụ 6 (Chuyển bài toán tìm cực trị sang bài toán tìm điều kiện có nghiệm của

hệ phương trình rồi giải bằng phương pháp đại số) Cho các số thực x, y thoả mãn:

cần bồi dưỡng cho học sinh phương pháp miền giá trị để chuyển đổi bài toán này

x xy y m Khi này nội dung của bài toán được chuyển đổi thành tìm m

để hệ phương trình trên có nghiệm

Đây là một hệ phương trình đẳng cấp nên việc giải nó không có gì khó khăn

Ví dụ 7 (Chuyển bài toán tìm cực trị sang bài toán tìm điều kiện có nghiệm của

hệ phương trình rồi giải bằng phương pháp hình học)

33

Hệ (I) có nghiệm  hệ (II) có nghiệm (X; Y; Z) mà , ,X Y Z ³ 0.Vì , ,X Y Z³ 0 nên

từ (II) suy ra m ³ 0 Khi đó, trong hệ toạ độ OXYZ: phương trình (1) là phươngtrình mặt phẳng (R): X + Y + Z – m = 0 phương trình (2) là phương trình mặt cầu(S) tâm O(0; 0; 0), bán kính R = m+6

Mặt cầu (S) cắt các tia OX, OY, OZ lần lượt tại A( m+ ; 0; 0), B(0; 6 m+ ;60), C(0; 0; m+ )6

Phương trình mặt phẳng qua A, B, C là:( ) :P1 X+ + -Y Z m+ = 6 0

Mặt phẳn (R) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi: d(O,(R)) = R

2

63

3 18 06( )

ê ëKhi m = 6 ta có mặt phẳng( ) :P2 X + + -Y Z 6= tiếp xúc với mặt cầu (S) ở góc0phần tám thứ nhất của hệ toạ độ

=-Hệ (II) có nghiệm (X; Y; Z) mà , ,X Y Z³ 0  mặt phẳng (R) có điểm chung vớimặt cầu (S) ở góc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ  mặt phẳng (R) di chuyểntrong phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng (P1) và mặt phẳng (P2) Û

m+ £ m£ Û £ m£ Vậy tập giá trị của hàm f(x; y; z) là [3;6 ]

Do đó: max f(x; y; z) = 6 và min f(x; y; z) = 3

Việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức (2biến) ta có thể đưa về việc tìm tập giá trị của biểu thức đó bằng cách chuyển nội dung bài toán về tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm Đây là một phương pháp cũng khá thông dụng, do đó khi giáo viên dạy cho học sinh dạng toán tìm GTLN, GTNN thì đừng quên bồi dưỡng cho học sinh cách biến đổi này

2.1.2 Chuyển đổi bài toán làm rõ nội dung bị hình thức che lấp.

Đứng trước một bài toán, điều quan trọng là tìm được lời giải đúng cho bàitoán đó Bởi vậy, chúng ta cần phải xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho Vấn đềđáng nói là cách nhìn bài toán Nếu ta nhìn bài toán dưới dạng chính quy, mẫu mựcthì ta sẽ phát hiện được các đặc điểm cơ bản, đơn giản, không bị che lấp bởi hìnhthức rắc rối Chẳng hạn:

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) 1 os4 1 os2 9 os4 3 os2 1

16c x 2c x 16c x 2c x 2Thoạt nhìn bài toán ta tưởng phức tạp, nhưng nếu để ý ta thấy:

bởi vì A  A2 , từ đó ta đưa phương trình đã cho về dạng:

4t 3 + 2t 2 – 4t– 12 = 0 (t = cosx) Phương trình này không có nghiệm hữu tỉ.Nếu kết hợp được nội dung bài toán với kiến thức lý thuyết đã học về các côngthức biến đổi lượng giác, ta có cách giải sau:

Ta thấy sinx = 0 không thoả mãn phương trình ban đầu Nhân thêm vào phươngtrình lượng 2sinx, và sử dụng công thức biến tích thành tổng ta được phương trìnhcuối cùng có dạng:

sin3x + sin4x = 0 (đây là phương trình lượng giác đơn giản)

Nhìn vào hình thức bài toán quả là khó và phức tạp Khi gặp những bài toánnhư vậy chúng ta cần lột bỏ phần hình thức để xác định tính chất nội dung của bàitoán thì mới xây dựng chính xác đường lối giải và phân tích để chọn lời giải tối ưu.

Do đó, biến đổi (2) về dạng:

(4) 0