SKKN Mot so ung dung cua the tich khoi chop

Tiến hành thực nghiệm *Nội dung thực nghiệm Chúng tôi tiến hành dạy luyện tập cho học sinh cách vận dụng công thức thể tích để giải một số bài Toán Hình Học theo bốn chủ đề:” Sử dụng côn[r]

Phần I Mở Đầu 1.1 Lí do chọn đề tài

Nâng cao chất lượng giáo dục đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáodục nước ta Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mớinội dung và phương pháp dạy học

Luật giáo dục 2005 điều 28 đã chỉ rõ “ phương pháp giáo dục phổ thông phải pháthuy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từnglớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm,rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đemlại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Nghị quyết hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục

và đào tạo xác định “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản củagiáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất, năng lực của ngườihọc Tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân,phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nângcao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lí tưởng, truyền thống, đạođức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kĩ năng thực hành, vận dụng kiếnthức vào thực tiễn Phát triển năng lực sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốtđời”

Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học công nghệ có những bước tiến nhảy vọt,việc đào tạo những con người không chỉ nắm vững kiến thức mà còn có năng lựcsáng tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với tiềm lực khoa học kĩ thuật của đất nước.Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việc dạy giảibài tập toán có vai trò quan trọng vì: Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt độngtoán học Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinhphát triển tư duy, tính sáng tạo Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thựchiện các mục đích dạy toán ở trường phổ thông Dạy giải bài tập toán cho học sinh

có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú họctập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huốngmới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ,sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu

Trong việc dạy giải bài tập Toán việc quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹnăng giải Toán, phải rèn luyện cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải vàkhả năng vận dụng kiến thức, cách hệ thống các dạng bài tập

Trong những năm gần đây đề thi ĐH- CĐ luôn có một bài Toán HHKG với trọng

số 1 điểm và thường được chia điểm rõ ràng là 0,5 điểm cho phần tính thể tích khốichóp hoặc khối lăng trụ và 0,5 điểm cho bài Toán tính khoảng cách từ một điểmđến một mặt phẳng hoặc là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hoặc

là bài Toán tính góc giữa các đối tượng Hình học Với các em học sinh bài Toántính khoảng cách là một bài Toán khó

Bàn về bài Toán tính khoảng cách thì chúng ta có ba con đường giải quyết:

Một là giải quyết bằng con đường sử dụng định nghĩa tức là chúng ta đi dựng cáckhoảng cách cần tính

Hai là giải quyết bằng công cụ Tọa độ bằng cách cố gắng chuyển bài Toán HHKGsang bài Toán HH tọa độ

Ba là giải quyết bằng con đường gián tiếp chẳng hạn như thay thế khoảng cáchtương đương, hoặc sử dụng công thức thể tích

Thực tế giảng dạy cho thấy việc dựng khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng haydựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là một việc làmkhông dễ đối với đại đa số học sinh, kể cả những em học tương đối khá Còn việcchuyển bài Toán sang bài Toán HH tọa độ thì không phải là thuận lợi cho mọi bàiToán HHKG, nó chỉ thuận lợi với một lớp các bài Toán nhất định

Để giúp học sinh khắc phục những khó khăn trên, bằng những kinh nghiệm thựctiễn dạy học và nghiên cứu của bản thân chúng tôi thấy có thể vận dụng việc tínhthể tích khối chóp để tính hai loại khoảng cách nói trên Ngoài ra đề tài này còn đềcập đến việc sử dụng bài toán tính thể tích khối chóp để giải quyết hai bài Toánnữa là bài toán chứng minh hệ thức hình học không gian và bài toán tính diện tíchthiết diện Với những lí do như trên tác giả lựa chọn đề tài:

“ Sử dụng thể tích khối chóp để giải một số bài Toán Hình Học”.

1.2 Bố cục của đề tài SKKN

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bàytrong 2 chương

Chương 1 Sử dụng thể tích để giải một số bài Toán Hình Học.

Chương 2 Thực nghiệm sư phạm.

Phần II Nội Dung

Chương 1 Sử dụng thể tích khối chóp để giải một số bài Toán Hình Học

1.1 Một số kiến thức cơ bản

1.1.1 Các định nghĩa

1.1.1.1 Định nghĩa 1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

+) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A và đường thẳng d Gọi H là hình

chiếu vuông góc của điểm A lên d Độ dài đoạn AH gọi là khoảng cách từ điểm Ađến đường thẳng d

+) Kí hiệu: d A d , 

+) Nhận xét: d A d ,  AM,Md

Nếu d’//d thì d d d( , ')d A d , , A d, kí hiệu d d d( , ') là khoảng cách giữa hai đườngthẳng song song d và d’

1.1.1.2 Định nghĩa 2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A và mặt phẳng (P) Gọi H là hình

chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) Độ dài đoạn AH gọi là khoảngcách từ điểm A đến mặt phẳng (P)

d P Q để chỉ khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q)

1.1.1.3 Định nghĩa Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+) Định nghĩa: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.

-) Đường thẳng vuông góc với

cả hai đường thẳng a và b đồng thời

cắt cả a và b gọi là đường vuông góc chung

của hai đường thẳng chéo nhau a và b

-) Gọi A  a ,B  b Đoạn thẳng AB

gọi là đoạn vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau a và b

-) Độ dài đoạn AB gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.+) Kí hiệu: d a b , 

+) Nhận xét: d a b , MN M, a N, b

1.1.2 Thể tích khối chóp và khối lăng trụ

+) Thể tích khối chóp

1 3

V  B h

, trong đó B là diện tích đáy khối chóp, h là chiềucao của khối chóp

Chiều cao khối chóp bằng khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy hình chóp

+) Thể tích khối lăng trụ V B h. , trong đó B là diện tích đáy lăng trụ, h là chiềucao của lăng trụ

Chiều cao lăng trụ bằng khoảng cách từ một đỉnh của đáy này đến đáy kia của lăngtrụ và cũng bằng khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ

1.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác, công thức diện tích

1.1.3.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông ở A BCa AC, b AB, c, h là độ dài đường cao kẻ từđỉnh A của tam giác, c b', 'lần lượt là độ dài hình chiếu vuông góc của AB, AC trêncạnh huyền BC Ta có các hệ thức sau:

a b

c c

b

1.1.3.2 Hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC kí hiệu

BCa ACb ABc, h h h a, b, ctương ứng là

độ dài đường cao kẻ từ A, B, C của tam

giác ABC, S là diện tích tam giác R, r

tương ứng là bán kính đường tròn ngoại

tiếp và nội tiếp tam giác, m m m a, b, c tương

ứng là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ

a

A

b c

a

A

C B

1.2 Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Chúng ta có thể sử dụng công thức tính thể tích khối chóp để tính khoảng cách từmột điểm đến một mặt phẳng Cơ sở của vấn đề này đó là chúng ta có thể gắnkhoảng cách cần tính với chiều cao của một khối chóp rồi sử dụng công thức tính

3V

h

B



Sau đây là các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B Cạnh SA vuông góc

với đáy Biết SA a AB b ,  Hãy tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Nhận xét: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng chiều cao của hình

1 2

D AB C B ADC

V V  BB dt ADC

3 1

2

a a

M

C

C' B

3

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a

AA ' 2a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM vàA’C Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC)

Nhận xét: mp(IBC) chính là mp(A’BC) Khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC)

bằng độ dài chiều cao kẻ từ A của hình chóp A.BCA’

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3.

M và N lần lượt là trung điểm của AB và CB Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lênmp(ABCD) trùng với giao điểm H của AN và DM Tính theo a khoảng cách từđiểm H đến mặt phẳng (SDN)

Nhận xét: Khoảng cách từ điểm H đến mp(SDN) bằng độ dài đường cao kẻ từ H

d H SND



+) Gọi H là giao điểm của AM và DN

Từ giả thiết ta có SH ABCDTa có

 DMABANDMAADM 900

 DMAN AMD vuông tại A có

a a

D C

Ta có 1 1 1  

1 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với đáy,  0

D SBC S DBC S ABCD

đều cạnh a, mp(SBC) vuông góc với đáy Tính theo akhoảng cách từ C đếnmp(SAB).

Lời giải

Lấy H là trung điểm của BC SBC đều nên SHBC

SBC  ABC SHABC SH AB ABC vuông tại A

1 3

Lời giải.

Kẻ đường cao SH của SBC,

SH là đường cao của hình chóp S.ABC

1 3

Tính được SC2 ,a HB SB .sin 300 2a 3,HA3a 2,SA a 21,AC5a  SAC

vuông cân tại S  

a

SD 

, hình chiếuvuông góc của S trên mp(ABCD) là trung điểm của cạnh AB Tính theo a khoảngcách từ điểm A đến mp(SBD)

Lời giải

Ta có    

3 , V A SBD

6

A SBD

a V

SBC  ABC SHABC

Ta có d B ACC A , ' '  d B , ACA '    

.AA ' 3 '

2

Gọi E là giao điểm của AB và CD

Lấy M là trung điểm của EC, N là

trung điểm của SE, F là trung điểm

*Kết luận.

Như vậy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoàn toàn có

thể sử dụng thông qua việc tính thể tích khối chóp, đồng thời trong quá trình tính khoảng cách đó chúng ta cũng có thể sử dụng kết hợp với các tính chất:

J

- Nếu B là trung điểm của OA thì d A P , ( ) 2d B P ,( ).

1.3 Sử dụng thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Bài Toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một trong những bàitoán khó đối với học sinh Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta

có ba con đường: sử dụng định nghĩa, tính bằng con đường gián tiếp, hay sử dụngcông thức của hình học tọa độ bằng cách chuyển bài Toán sang bài Toán Hình Họctọa độ

Như đã nói ở phần trên, việc chuyển bài Toán sang Hình Học tọa độ chỉ nên sửdụng và sử dụng tốt cho một lớp các bài Toán đặc trưng

Tính bằng cách sử dụng định nghĩa là chúng ta đi dựng đoạn vuông góc chung củahai đường thẳng chéo nhau rồi tính độ dài đoạn thẳng đó Tuy nhiên bằng kinhnghiệm bản thân và tìm hiểu thực tiễn cho thấy việc dựng đoạn vuông góc chungcủa hai đường thẳng chéo nhau chỉ được thực hiện khá dễ dàng khi hai đườngthẳng đó vuông góc với nhau mà thôi Chính vì vậy mà con đường này chỉ nên sửdụng khi hai đường thẳng chéo nhau đó là vuông góc hoặc bài toán yêu cầu dựng.Tính gián tiếp nghĩa là chúng ta không đi dựng đoạn vuông góc chung của haiđường thẳng chéo nhau mà thay thế khoảng cách cần tính bởi một khoảng cáchtương đương khác rồi tính hoặc là sử dụng công thức thể tích Một trong nhữngcon đường gián tiếp đó là chuyển về tính khoảng cách từ một điểm thuộc đườngthẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại mà song song với nó Theocách này chúng ta sẽ phải đi dựng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,đây là công việc đã đơn giản hơn nhưng cũng không dễ đối với đa số học sinh nhất

là những em yếu khâu vẽ hình và dựng hình, hoặc sử dụng kỹ thuật tính như mục

1.2 Ở đây, chúng tôi muốn hướng học sinh tới một cách tính gián tiếp khác nhờ

ứng dụng của bài toán tính thể tích tứ diện

Cơ sở của vấn đề này là bài Toán:

Bài Toán (Bài 38tr10 Bài tập HH 12 nâng cao - NXBGD 2008)

Cho tứ diện ABCD Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD,  làgóc giữa hai đường thẳng đó Chứng minh

ACF BCE DAMB CANB AMBN F EC

Bài toán này có một dạng phát biểu khác như sau: Cho hai đường thẳng chéo

nhau d và d’ Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài btrượt trên d’ Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi (Bài tập

6 tr26 SGKHH12 - NXB GD 2008)

Vậy thể tích tứ diện bằng một phần sáu tích của một cặp cạnh đối với khoảng cách giữa hai cạnh đó và sin của góc tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cặp cạnh đối nói trên.

Nhận xét: Với AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng

được cho bởi công thức

6 ,

giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD chúng ta có thể thực hiện theo cácbước sau:

B1 Tính thể tích khối tứ diện ABCD

B2 Tính độ dài các đoạn thẳng AB, CD và sinAB CD, 

Theo cách tính này thì học sinh sẽ tránh được việc phải dựng hình khó khăn

Sau đây là hệ thống các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = h và

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳngsau:

a) SB và CD b) SC và BD c) SC và AB.Lời giải

b) Ta có

6 ,

Ví dụ 2 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA =

OB = OC = a Gọi I là trung điểm của BC Hãy dựng đoạn vuông góc chung vàtính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau:

c)Ta có

6 ,

DBB A V

SBC ABC  Tínhkhoảng cách giữa AB và SN theo a

 vuông tại A nên SA AB .tan 600 2a 3.

Ta có mp qua SM song song với BC cắt mp(ABC) theo giao tuyến qua M và songsong với BC, giao tuyến này cắt AC tại N M là trung điểm của AB nên N là trung

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a E là điểm đối xứng của

D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Tínhtheo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC

Lời giải Ta có

6 ,

2 2 2 2 2

60 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

SABC

2 3,4

a

,3

Ví dụ 8 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có kich thước tương ứng là AB

= 10, AD = 15, AA1 = 20 Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng B1D1 và

1 1

1

.6

Cho hình chóp S.ABC có dáy ABC là tam giác vuông cân tại A mặt bên SBC là

tam giác đều cạnh a và mp(SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách

giữa hai đường thẳng SA và BC

Để thấy ưu điểm của phương pháp này ta so sánh các lời giải trong ví dụ sau:

Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA =

OB = OC = a Gọi I là trung điểm của BC Hãy dựng đoạn vuông góc chung vàtính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau AI và OC

Lời giải 1 (Sử dụng định nghĩa)

Lấy J là trung điểm của OB thì IJ / /OC

do đó OC/ / AIJ  Vậy mp(AIJ) chứa AI

và song song với OC Do IJ // OC,

  IJ   AIJ  

Dựng OK vuông góc với AJ tại K

 

 OK AIJ

Từ K kẻ đường thẳng song song với OC

cắt AI tại E Từ E dựng đường thẳng song song

Lời giải 2 (Chuyển về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng)

Lấy J là trung điểm của OB thì IJ / /OCdo đó OC/ / AIJ  Vậy mp(AIJ) chứa AI

và song song với OC 

     

 AIJ 3

5

a

d AI OC 

(đvđd)

Lời giải 3.(sử dụng công thức tính thể tích tứ diện)

Ta có

6 ,

*Kết luận: Có thể sử dụng việc tính thể tích để tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng chéo nhau.

1.4 Sử dụng thể tích để tính diện tích thiết diện

Để tính diện tích thiết diện sau khi đã dựng được thiết diện chúng ta có thể thựchiện theo một trong các con đường sau:

+) Xác định thiết diện là các đa giác đặc biệt như đa giác đều hoặc các tam giáchoặc tứ giác đặc biệt và tính diện tích thiết diện đó

+) Chia thiết diện cần tính thành các đa giác đặc biệt tính được diện tích

+) Sử dụng phương pháp thêm bớt, nghĩa là chúng ta thêm vào thiết diện cần tínhcác đa giác thích hợp để được đa giác lớn hơn tính được diện tích rồi trừ đi diệntích các đa giác thêm vào sẽ được diện tích cần tính