Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan hệ đồng chất trên các p nhóm

Quan hệ liên hợp này là một quan hệ tương ñương trên nhóm G, và có vai trò nhất ñịnh ñối với bài toán phân loại ñồng chất các nhóm hữu hạn... Nhằm tìm hiểu quan hệ liên hợp trong một nhó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 1: TS Lê HoàngTrí

Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào

ngày 26 tháng 11 năm 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn ñề tài

Bài toán tổng quát của nhóm hữu hạn, là xác ñịnh các nhóm

có cấp cho trước, ñã ñược ñề ra bởi A.Cayley năm 1878 Đây là bài toán khó và cho ñến nay vẫn chưa có lời giải ñầy ñủ Năm 1939, P.Hall ñã ñề xuất một quan ñiểm phân loại nhóm, thô hơn phân loại ñẳng cấu, như sau:

Hai nhóm G và H ñược gọi là ñồng chất nếu tồn tại hai ñẳng cấu

)(/)

Cho a, b là hai phần tử của một nhóm G Ta nói phần tử b liên hợp với phần tử a nếu ∃x∈G sao cho b = xax−1 Quan hệ liên hợp này là một quan hệ tương ñương trên nhóm G, và có vai trò

nhất ñịnh ñối với bài toán phân loại ñồng chất các nhóm hữu hạn

Nhằm tìm hiểu quan hệ liên hợp trong một nhóm và ứng dụng của nó vào quan hệ ñồng chất giữa các nhóm, tôi chọn ñề tài

luận văn thạc sỹ của mình là “Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan

- Lớp liên hợp của những nhóm quen biết

- Ứng dụng của quan hệ liên hợp vào quan hệ ñồng chất giữa một vài lớp p – nhóm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan ñến nội dung luận văn, ñặc biệt là quan hệ liên hợp và quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm

- Nghiên cứu tính bất biến của số lớp liên hợp có cùng ñộ dài ñối với quan hệ ñồng chất, từ ñó sẽ ñưa ra ứng dụng cụ thể của

lớp liên hợp

- Trao ñổi, thảo luận với người hướng dẫn

5 Cấu trúc luận văn

Mở ñầu

Chương 1 Cấu trúc nhóm và quan hệ liên hợp trong một nhóm Chương 2 Quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm và ứng dụng của lớp liên hợp vào quan hệ ñồng chất

Kết luận

Chương I CẤU TRÚC NHÓM VÀ QUAN HỆ LIÊN HỢP

TRONG MỘT NHÓM

Phần ñầu chương này nhắc lại một cách sơ lược những kiến thức cơ bản về về cấu trúc nhóm Phần thứ hai của chương trình bày quan hệ liên hợp trong một nhóm cùng những tính chất của nó

1.1 CẤU TRÚC NHÓM

1.1.1 Định nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm thương

1.1.1.1 Định nghĩa phép toán hai ngôi

Cho một tập X ≠ ∅ Một phép toán hai ngôi trên tập X là một ánh xạ từ bình phương Đềcác X x X ñến tập X

f : X x X → X

( x, y ) a f( x, y )

tử y của phép toán ñó, và ñược kí hiệu bằng cách viết x, y theo thứ

tự này và ñặt vào giữa x, y một dấu ñặc trưng cho phép toán, chẳng hạn xTy, x⊥y, x 0 y…

1.1.1.2 Một số tính chất của phép toán hai ngôi

i) Tính kết hợp

Một phép toán hai ngôi, kí hiệu * , trên tập X gọi là có tính kết hợp nếu bất kì ba phần tử x, y, z ∈ X, (x * y) * z = x * (y * z) ii) Tính giao hoán

Một phép toán hai ngôi * trên X ñược gọi là có tính giao

hoán nếu với mọi x, y ∈ X, x * y = y * x

iii) Phần tử trung lập

Giả sử trên tập X có một phép toán hai ngôi ký hiệu * Một phần tử của X, kí hiệu e, gọi là phần tử trung lập bên trái (tương ứng trung lập bên phải) ñối với phép toán * nếu ∀x ∈ X, e * x = x ( tương ứng x * e = x )

Nếu e vừa là trung lập bên trái, vừa là trung lập bên phải thì

ta nói e là phần tử trung lập ñối với phép toán *

Nếu phép toán trên X ñược ký hiệu là phép nhân (tương ứng phép toán cộng) thì phần tử trung lập ñược gọi là phần tử ñơn vị (tương ứng phần tử không) và ñược ký hiệu là 1X hay 1 (tương ứng

0X hay 0)

iv) Phần tử ñối xứng

Giả sử trên tập X có phép toán * với phần tử trung lập e

và x là một phần tử của X Phần tử x’ ∈ X ñược gọi là phần tử ñối xứng bên trái (tương ứng bên phải) của phần tử x ñối với phép toán

* nếu x’ * x = e (tương ứng x * x’ = e)

Nếu phần tử x’ vừa là phần tử ñối xứng bên trái, vừa là phần tử ñối xứng bên phải của phần tử x thì ta nói x’ là phần tử ñối xứng của x ñối với phép toán *

Từ ñịnh nghĩa trên ta thấy nếu x’ là phần tử ñối xứng của

x ñối với phép toán * thì x cũng là phần tử ñối xứng của x’ ñối với phép toán ñó, do ñó ta cũng nói x và x’ ñối xứng với nhau ñối với phép toán *

Nếu phép toán trên X ñược ký hiệu là phép nhân (tương ứng phép cộng) thì phần tử ñối xứng của x ñược gọi là phần tử nghịch ñảo (tương ứng phần tử ñối) và ñược ký hiệu là x - 1 (tương ứng –x )

Định nghĩa 1.1

Cho X là một tập hợp trên ñó có xác ñịnh một phép toán hai ngôi ký hiệu * ; cặp ( X, * ) ñược gọi là một nhóm nếu:

i) Phép toán * có tính kết hợp

ii) Phép toán * có phần tử trung lập

iii) Mọi phần tử thuộc X ñều có phần tử ñối xứng ñối với phép toán *

Nếu X là tập vô hạn ta nói X là nhóm vô hạn, nếu tập X là

hữu hạn thì ta nói X là nhóm hữu hạn Số phần tử của tập X ký

hiệu là: X và gọi là cấp của nhóm X

Nếu phép toán hai ngôi trong nhóm X có tính giao hoán thi ta

nói X là một nhóm giao hoán hay nhóm aben

Mệnh ñề 1.1

Giả sử ( X,
) là một nhóm Khi ñó:

i) Phần tử trung lập cúa X là duy nhất

ii) Với mỗi x thuộc X, phần tử nghịch ñảo của x là duy nhất

Giả sử p là một số nguyên tố Một nhóm có cấp là một lũy

thừa của p ñược gọi là một p – nhóm

1.1.1.3 Tập con ổn ñịnh

Giả sử trên tập X có phép toán hai ngôi ký hiệu * , và A là một tập con của X Tập A gọi là tập con ổn ñịnh của X ñối với phép toán * nếu : ∀a, b ∈ A, a * b ∈ A

Khi A là một tập con ổn ñịnh của X thì trên A có phép toán

∀a, b ∈ A, a * b ∈ A; gọi là phép toán cảm sinh từ phép toán trong X

Định nghĩa 1.3

Một tập con ổn ñịnh A của một nhóm X ñược gọi là một

nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm,

Giả sử U là một tập con của một nhóm X Nhóm con bé nhất

của X chứa U gọi là nhóm con sinh bởi U Ký hiệu < U >

Nếu U = { a1, a2,…, an-1, an } thì nhóm sinh ra bởi U và ñược

ký hiệu < a1, a2,…, an-1, an >

Nếu < U > = X, thì U ñược gọi là một hệ sinh của X , hay

còn nói X ñược sinh ra bởi U

Định nghĩa 1.5

Một nhóm X gọi là nhóm xyclic nếu X ñược sinh ra bởi chỉ

một phần tử a ∈ X Phần tử a gọi là một phần tử sinh của X

Nhóm xyclic cấp n ñược ký hiệu là Cn

1.1.1.4 Cấp của một phần tử trong một nhóm

Giả sử a là một phần tử bất kỳ của nhóm X và A là nhóm con của X sinh bởi a

Phần tử a có cấp vô hạn nếu A vô hạn, trong trường hợp này không có một số nguyên dương n nào sao cho a n = e Phần tử a

có cấp m , nếu m là số nguyên dương bé nhất sao cho a m = e Ta

ký hiệu cấp của phần tử a là ord ( a ) Nếu ord ( a ) = m, thì

b = ak∈ X Khi ñó cấp của phần tử b bằng n

d

, trong ñó d là ước chung lớn nhất của k và n

Định nghĩa 1.6

Giả sử S là một nhóm con của X Với mỗi a thuộc X, các tập hợp aS = { as : s ∈ S } , Sa = { sa : s ∈ S } lần lượt ñược gọi

là lớp kề trái, và lớp kề phải của nhóm con S

Tập gồm tất cả các lớp kề trái của S trong nhóm X, ñược ký hiệu X/S và gọi là tập thương của X trên nhóm con S

Cho ( X,
) là một nhóm, một nhóm con S của X ñược gọi

là nhóm con chuẩn tắc của X nếu aS = Sa, với mọi a ∈ X, ký hiệu

Z(X) = { x ∈ X / xg = gx,∀g ∈ X } Khi ñó Z(X) là một nhóm con chuẩn tắc của X Ta gọi Z ( X ) là nhóm con tâm hay là tâm

Cho X là một nhóm Với mọi x, y ∈ X , phần tử

[ x, y ] = x-1y-1xy ñược gọi là giao hoán tử của cặp phần tử x, y Nhóm con của X ñược sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử [x, y], ∀x, y ∈ X ñược gọi là nhóm con giao hoán tử (hay nhóm

dẫn xuất ) của X, ký hiệu [ X, X ]

Giả sử X và Y là hai nhóm Một ánh xạ f : X →Y ñược

gọi là một ñồng cấu nhóm nếu f ( xy ) = f( x )f( y ), ∀ x, y ∈ X

Nếu X = Y thì ñồng cấu f gọi là một tự ñồng cấu của nhóm

X

Một ñồng cấu nhóm f với f là một ñơn ánh, (tương ứng toàn ánh, song ánh) thì ñược gọi là một ñơn cấu, (tương ứng toàn cấu, ñẳng cấu) Một tự ñồng cấu mà song ánh gọi là một tự ñẳng cấu Nếu

có một ñẳng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y thì ta nói hai nhóm X và

Y ñẳng cấu nhau, ký hiệu X ≅ Y

Định nghĩa 1.11

Giả sử f : X →Y là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, các phần tử trung lập của X và Y ñược kí hiệu theo thứ tự là eX và

e Ta kí hiệu

1.2.1 Định nghĩa quan hệ liên hợp trong một nhóm

Cho nhóm X và a, x thuộc X Phần tử xax-1∈ X, ñược gọi

là liên hợp của a bởi phần tử x, và ký hiệu ax = xax-1

Trong nhóm X ta xác ñịnh một quan hệ hai ngôi R như sau:

a, b ∈ X, a R b nếu ∃ x ∈ X sao cho b = ax

1.2.2 Những tính chất của quan hệ liên hợp

jk là số lớp liên hợp gồm pk phần tử

Nếu X Z X/ ( ) = ph và [X, X] = pt , ta có k < h, k ≤ t và

0 ( )

j = Z X

1.2.3 Lớp liên hợp của một số nhóm quen biết

Như một ví dụ minh họa, phần này sẽ tính lớp liên hợp của một

số nhóm quen biết

1/

2

D n = < x, y / x2n−1= y2 = 1 , y-1xy = x-1 > ; n ≥ 4 2/ Q2n = < x, y / x2n−2= y2 ; y-1xy = x−1 > ; n ≥ 4 3/ M = < x, y / x2n−1= y2 = 1 ; y-1xy = x1 2+ n−2 > ; n ≥ 4

D ,n Q n, M n, S là nhóm không giao hoán có n

cấp 2n, hai nhóm (C1) và (C2) là nhóm không giao hoán cấp 16

2

2 x

2

2 x

2 x

Chương II QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP CÁC NHÓM

VÀ ỨNG DỤNG CỦA LỚP LIÊN HỢP VÀO QUAN

HỆ ĐỒNG CHẤT

Chương này trình bày quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm, tính bất biến của số lớp liên hợp có cùng ñộ dài ñối với quan hệ ñồng chất Phần cuối của chương minh họa một ứng dụng của lớp liên hợp vào quan hệ ñồng chất

nghĩa là ∂Yo( ϕ ϕ ψ× =) o∂X

Mệnh ñề 2.1

Quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm là một quan hệ tương ñương

Xét ba nhóm không giao hoán sau (xem 1.2.3)

[ X, X ] ψ [ Y, Y ]

nghĩa là ∂Yo(ϕ ϕ× ) =ψo∂X

Chẳng hạn, ta xét X = D16 = < x, y x8 = y2 = 1, y-1xy = x-1 > = { xs yt  0 ≤ s ≤ 7, 0 ≤ t ≤ 1 } ,

∂ ∂

[ D16, D16 ] [ Q16, Q16]

ψ

Vậy hai nhóm D16 và Q16 ñồng chất với nhau

Định lý (Tính bất biến của số lớp liên hợp ñối với quan hệ ñồng chất)

Giả sử X và Y là hai p-nhóm hữu hạn có cùng cấp, và ñồng chất với nhau Kí hiệu jk (X) là số lớp liên hợp có pk phần tử của nhóm X Khi ñó jk( X ) = jk( Y ), k = 0, 1, 2, …

Xét hai nhóm không giao hoán cấp 26

sau ñây ( xem [4] )

X1 = < x1, x2, x3 , x4 / xi

2

= 1, i= 1, 4 , [ x1, x2 ] = a, [ x3, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [ a, xi ] = 1,

/ 0≤ s, t, i, j, k, h ≤ 1 }

Hệ quả

Hai nhóm X1 và X2 không ñồng chất với nhau

KẾT LUẬN


Luận văn “Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan hệ ñồng chất trên các p - nhóm” ñã thực hiện ñược các nội dung sau:

1 Khảo sát các tính chất của quan hệ liên hợp trong một nhóm, và xác ñịnh ñược lớp liên hợp của một số p-nhóm, cụ thể là các nhóm: