Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 hình 1

A Từ trung điểm D của cạnh AC kẻ DE vuông góc với BC tại... N Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB tại.. B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại.. P Đư

PHẦN B HÌNH HỌC Bài 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

6 AB3 ;a AC4a (với a là độ dài cho trước, a  ).0

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn.

, , ,

AH BC AB AC nếu biết:

1 BH 9cm CH; 16cm. 2 BH  2cm CH;  2cm.

3 BH 1 ;cm CH 3 cm 4 BH 25cm CH; 144cm.

5 BH 16 ;a CH 9a (với a là độ dài cho trước, a  ).0

6 BH 144 ,a CH 25a (với a là độ dài cho trước, a  ).0

Bài 4 Cho tam giác DEF vuông tại D có DI là đường cao Tính độ dài DI nếu biết:

1 DE15cm DF, 20cm. 2 DE 1 ,cm DF 1 cm

3 DE7cm DF, 24cm. 4 DE 12cm EF, 15cm.

5 DF  3cm EF, 2cm. 6 EI 9cm EF, 25cm.

2 LUYỆN TẬP

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy điền các số thích hợp vào ô.

trống (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm)

Bài 6 Giả sử tam giác ABC không có góc tù Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

Bài 10 Cho tam giác ABC vuông tại A Từ trung điểm D của cạnh AC kẻ DE vuông góc

với BC tại E Chứng minh rằng:

Bài 11 Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn Lấy O là một điểm tùy ý ở miền trong của

tam giác Kẻ OH OK OL lần lượt vuông góc với ,, , AB BC CA tại , , , H K L Chứng minh

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông cân tại A và điểm M thuộc cạnh BC Kẻ . ME MF lần,

lượt vuông góc với AB AC tại , E và F Chứng minh rằng:

1 BM2 2ME2 và CM2 2MF2. 2 BM2CM2 2AM2.

Bài 16 Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC Kéo dài . AM cắt tia DC tại N

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB tại E Chứng minh rằng:

AB AM  AN

Bài 17 Cho tam giác ABC cân tại , A có các đường cao AH và BK Qua B kẻ đường thẳng

vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D Chứng minh rằng:

.4

BK BC  AH

3 BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 18 Cho tam giác ABC vuông tại Acó đường cao AH và đường trung tuyến AM Hãy.

tính lần lượt độ dài các đoạn AM HM BH CH AB AC nếu biết:, , , , ,

1 AH 4,8cm BC, 10cm. 2 AH 12cm BC, 25cm.

3 AH  3cm BC, 4cm. 4 AH 6cm BC, 13 cm

Bài 19 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Đặt BH  Hãy tính x. x, rồi suy

ra độ dài các đoạn AB AC nếu biết:,

1 AH 2,4cm BC; 5cm. 2 AH 1 ;cm BC 2cm.

2 AH 2cm BC; 5cm. 4 AH 6,72cm BC; 25cm.

Bài 20 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Đặt . BH  Hãy tính x x, rồi suy

ra độ dài các đoạn AH AC nếu biết:,

1 AB3cm CH; 3,2cm. 2 AB6cm CH; 3 2cm.

3 AB60cm CH; 27cm. 4 AB1 ;cm CH 1,5cm.

Bài 21 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a  và một điểm 0 A di động sao cho

 90

BAC   Kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi HE và HF lần lượt là đường cao của

tam giác ABH và tam giác ACH.

1 Chứng minh rằng: BC2 3AH2BE2CF2.

2 Tìm điều kiện của tam giác ABC để tổng BE2CF2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 22 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a  và một điểm 0 A di động sao cho

 90

BAC   Kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi HE và HF lần lượt là đường cao của

tam giác ABH và tam giác ACH Đặt . AH x

1 Chứng minh rằng: AH3 BC BE CF BC HE HF. .  . . .

2 Tính SAEF theo a và x

3 Tìm x để SAEF

đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 23 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Gọi ,. E F lần lượt là hình chiếu

vuông góc của H trên các cạnh AB AC Đặt , . BC 2a với a 0.

2 Tìm điều kiện của tam giác ABC để tổng BM CN đạt giá trị lớn nhất.

Bài 30 Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là dường phân giác Biết rằng

AD x CD x với x  Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo x0.

Bài 31 Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác Biết rằng

15 , 20

BD x CD x với x  Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo x0.

Bài 32 Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác và AM là đường trungtuyến Biết rằng AM BD BD, 2 3x với x  Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác0.ABC

Bài 33 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD Đặt . BDx CD,  vớiy, 0

x y  Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo x và y

Bài 34 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD Đặt . AD a CD ,  vớiy

0

y x  Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo x và y.

Bài 35 Cho hình chữ nhật ABCD với AD t AB t  0  Lấy điểm M trên cạnh BC Đường

thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P Đường thẳng EF vuông góc với AM cắt AB tại E

và cắt CD tại F Đường phân giác của DAM cắt CD tại K Chứng minh rằng:

Bài 36 Co hình thoi ABCD với BAD  120  Tia Ax tạo với tia AB một góc 15 và cắt

cạnh BC tại M cắt đường thẳng CD tại , N Chứng minh rằng: 2 2 2

.3

B C tại , D từ B kẻ By vuông góc với A C tại ,1 1 E từ C kẻ Cz vuông góc với A B tại 1 1 F

Gọi O là giao điểm By và Cz Kẻ OH vuông góc với . B C Chứng minh rằng:1 1

Bài 43 Ax By Cz đòng quy tại một điểm Cho đường tròn tâm ,, , O bán kính bằng , R đường

kính AB Lấy điểm . M tùy thuộc  O Vẽ MH vuông góc với AB tại H Hãy xác định

các vị trí của M trên  O sao cho tổng độ dài OH MH lớn nhất

BÀI 2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A Đặt ABC x với 0  x 90  Chứng minh rằng:

1 sinxcos 90   x 2 cosxsin 90   x.

3 tanxcot 90   x 4 cotxtan 90   x

Bài 2 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a với a  và đường cao 0 AH

1 Tính BH AH theo a,

2 Tính tỉ số lượng giác của góc 30 và góc 60 

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC2a với a 0.

1 sin1 , sin 23 , sin 45 , sin 67 , sin 89     

2 cos1 , cos 23 , cos 45 , cos 67 , cos89     

3 tan1 , tan 23 , tan 45 , tan 67 , tan89     

4 cot1 , cot 23 , cot 45 , cot 67 , cot89     

Bài 6 Cho tam giác ABC vuông tại A Hãy điền các số thích hợp vào ô trống (Sử dụng máy

tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm và đổi kết quả đo góc sang

độ, phút, giây)

1 tan ;cos x   x

2 2

1

1 cot sin x   x

Bài 8 Tính giá trị các biểu thức sau:

1 A sin 23  cos67  2 B cos34  sin 56 

3 C tan18  cot 72  4 D cot 36  tan 54 

Bài 9 Tính giá trị các biểu thức sau:

1 A sin10 sin 40  cos50  cos80 

2 B cos15 cos35  sin 55  sin 75 

3

tan 27 tan 63

.cot 63 cot 27

Bài 10 TÍnh giá trị các biểu thức sau:

1 A sin 222  cos 222  2 B sin 402  sin 50 2 

3 C cos 202  cos 70 2  4 D tan15 cot15  

5 E tan18 tan 72   6 F cot16 cot 74  

Bài 11 Tính giá trị các biểu thức sau:

1 A sin 152  sin 352  sin 552  sin 75 2 

2 B cos 152  cos 352  cos 552  cos 75 2 

3 C tan15 tan 35 tan 55 tan 75    

4 D cot15 cot 35 cot 55 cot 75    

Bài 12 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính sin , cos ,tan ,cot. B B B B

rồi suy ra sin , cos , tan , cotC C C C nếu biết:

3 Tính sin ,cos , cotx x x nếu biết tan x  3

4 Tính sin ,cos , tanx x x nếu biết cot x 1

Bài 16 Cho tam giác ABC vuông tại . A Đặt ABCx0x90  Chứng minh rằngsinxtan x

Bài 17 Cho tam giác ABH vuông tại .H Trên cạnh BH lấy điểm .C Đặt

 ,  0 , 90 

ABH x ACH y x y 

1 So sánh x và , y AB và AC

2 Chứng minh rằng sinxsin y

3 Chứng minh rằng tanxtany và cotxcot y

Bài 18 Cho tam giác ABH vuông tại .H Trên cạnh BH lấy điểm .C Đặt

 ,  0 , 90 

BAH x CAH y x y 

1 So sánh x và y.

2 Chứng minh rằng cosxcos y

Bài 19 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau:

1 sin15 , sin 30 , sin 45 , sin 60 , sin 75     

2 cos15 ,cos30 , cos 45 , cos60 ,cos75     

3 tan15 , tan 30 , tan 45 , tan 60 , tan 75     

4 cot15 , cot 30 , cot 45 , cot 60 , cot 75     

Bài 20 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau:

1 sin11 , sin 33 ,cos55 ,cos 77     2 tan 22 , tan 44 , cot 66 , cot 88    

3 sin15 , cos80 , tan 25 , cot 75     4 sin10 , cos10 , tan 45 , cot 33    

Bài 21 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng . AB.sinBAC.sin C

Bài 22 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng:.

1 BH AB.cosB 2 BC AB.cosB AC .cos C

BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 23 Cho 0 x90 Chứng minh các đẳng thức sau:

1 sin4xcos4x 1 2sin2xcos 2x

2 sin6xcos6x 1 3sin2xcos 2x

3 sin4x cos4x 1 2cos 2x

4

1 cos sin

.sin 1 cos

Bài 24 Cho 0 x90 Chứng minh các đẳng thức sau:

1 tan2x sin2xtan sin 2x 2x

2 cot2x cos2 cot cos 2x 2x

.sin cos sin cos 1 cot

Bài 25 Cho 0 x90 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

1 Acos4xsin2xcos2xsin 2x

2 Bcos4x sin4x2cos 2x

3 C2 sin 6xcos6x 3 sin 4xcos4x

4 Dsin6xcos6x 2sin4x cos4xsin 2x

5 Esin6xcos6xsin4xcos4x5sin2xcos 2x

6 F 2 sin 4xcos4xsin2xcos2x 2 sin8xcos8x.

Bài 26 Cho 0 x90 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

1 Atanxcotx2 tanx cotx2

2 2

1 tan

1 tan 1 cot tan

Bài 27 Tính giá trị các biểu thức sau:

1 A sin1 sin 2 sin 3  sin88  sin89

cos1 cos 2 cos3 88 cos89 

          

2 B tan1 tan 2 tan 3 tan 87 tan88 tan89      

3 C cot1 cot 2 cot 3 cot 87 cot 88 cot 89      

4 D sin 12  sin 22  sin 32   sin 87 2  sin 882  sin 892 

5 E cos 12  cos 22  cos 32   cos 87 2  cos 882  cos 892 

Bài 28 Cho tam giác ABC có đường cao BH Chứng minh rằng:.

1 Nếu BAC  90 thì

1

.sin 2

ABC

S  AB AC   BAC

Bài 29 Cho tam giác ABC có đường cao BH Chứng minh rằng:.

1 Nếu BAC  90 thì BC2 AB2AC2 2AB AC. .cosBAC .

2.Nếu BAC  90 thì BC2 AB2AC22AB AC .cos 180   BAC .

Bài 30 Cho tam giác ABC hãy tính cạnh BC nếu biết:,

1 Tính độ dài các cạnh của tam giác AHM theo , , a b c

2 Tính tỉ số lượng giác của góc x và góc 2x theo , , a b c

iii) 2

2 tantan 2

1 tan

x x

2

1

.sin2

ABC

S  AB AC BAC

và

1

2

p p a AD

Bài 35 Cho tam giác ABC có AB 2, BAC 60 , ACB45  Kẻ các đường cao AH và

BK của tam giác ABC

1 Tính AK BK CK BC AH, , , , .

2 Tính tỉ số lượng giác của góc 15 và góc 75 

Bài 36 Cho tam giác ABC vuông tại A AB c ACB,  ,   Đường trung trực của BC cắt15

AC tại M

1 Chứng minh: MC2 c

2 Tính độ dài các cạnh AC BC theo c,

3 Tính tỉ số lượng giác của góc 15 và góc 75 

Bài 37 Cho tam giác ABC cân tại A có BAC   Trên tia đối của tia CB lấy điểm 36 D sao

cho CDAC. Kẻ AH BC tại H Đặt ABACx BC, 2 y

1 Chứng minh: ABC đồng dạng với DBA và x2 2y x 2 y

2 Từ đó tính x và AH theo y.

3 Tính tỉ số lượng giác của góc 18 và góc 72 

Bài 38 Cho tam giác ABC cân tại A có BAC  108  Kẻ đường cao AH Trên tia đối của tia.

AB lấy điểm D sao cho ACD   Đặt 72 ABACx BC, 2 y

1) Chứng minh: AD CD 2 y

2) Chứng minh: 4y2 x x 2 y

3) Từ đó tính x và AH theo y.

4) Tính tỉ số lượng giác của góc 36 và góc 54 

Bài 39 Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AH BK CL Chứng minh rằng: , , .

1

2

cos

suy ra cos2 Acos2Bcos2C1.

Bài 40 Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau Đặt

BC a AC b AB c  

1 Tính a theo b và c

2 Chứng minh rằng:

3cot cot

2

B C

Bài 41 Cho 0  x 90  Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

1 Asin4xcos 4x 2 Bsin6xcos 6x

3 Ctanxcot x 4 Dtan2xcot 2x

Bài 42 Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng:

Bài 1: Giải thích tại sao tam giác ABC vuông tại A nếu cạnh BC là đường kính của đường

tròn ngoại tiếp ABC?

Bài 2: Cho AC là đường kính của đường tròn tâm O Vẽ hai dây AB và CD song song nhau.

Chứng minh rằng ba điểm , ,B O D thẳng hàng.

Hướng dẫn: tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 3: Vẽ đường tròn tâm O , bán kính bằng , R có dây BC không phải là đường kính Chứng

minh độ dài BC nhỏ hơn đường kính BC2R

Hướng dẫn:Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác.

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có hai góc đối ở đỉnh B và D cùng bằng 90  Gọi O là trung

điểm của AC Chứng minh bốn điểm , , ,. A B C D cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Bài 5: Cho tam giác ABC đều có I và K là trung điểm của AB và AC Chứng minh bốn.

điểm , , ,B I K C cùng thuộc một đường tròn đường kính BC

Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE Gọi O và . I lần lượt là trung

điểm của BC và DE.

1 Chứng minh bốn điểm , , ,B C D E cùng thuộc một đường tròn.

2 Chứng minh OI vuông góc với DE.

Bài 7: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB và dây CD không cắt nhau (điểm C nằm

giữa A và D trên  O ) Vẽ , OI AH và BK cùng vuông góc với CD ở , I H và K Chứng

minh I là trung điểm của HK và CH DK.

Bài 8: Cho đường tròn tâm O có hai dây cung AB và CD Gọi . OH OK là khoảng cách từ,

O đến dây AB và CD tương ứng

1 Chứng minh rằng nếu AB CD thì AH CK và OH OK .

2 Chứng minh rằng nếu OH OK thì AB CD .

3 Rút ra nhận xét gì?

Bài 9: Cho đường tròn tâm O và hai dây AB và CD dài bằng nhau Hai đường thẳng AB và

CD cắt nhau ở I Gọi H và K là trung điểm của AB và CD tương ứng Chứng minh

OH OK và IH IK.

Bài 10: Trên đường tròn O R , dựng các điểm , , , ,;  A I B K C theo thứ tự chiều kim đồng hồ

sao cho AI IB IK KC R . Chứng minh tam giác ABC đều.

Hướng dẫn: Chứng minh AOB BOC 120 

Bài 11: Cho đường tròn O R có đường kính ;  AI Gọi H là trung điểm của OI Vẽ dây

cung BC vuông góc với OI tại H Chứng minh tam giác ABC đều.

Hướng dẫn: OBI,OIC là các tam giác gì đặc biệt? Tính sin IAB và  sinIAC

Bài 12: Cho đường tròn tâm O đường kính BC Lấy . A thuộc  O và A khác , B C Vẽ AH

vuông góc với BC tại H Giả sử H nằm giữa O và B Vẽ đường kính AD

1 Chứng minh AB AC. AD AH. (Hướng dẫn: ABC vuông ở A)

2 Chứng minh CAH BAD (Hướng dẫn: cùng bằng với ABC )

Bài 13: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O Vẽ đường

kính AK.

1 Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.

Hướng dẫn: CH và BK cùng vuông góc với một đường thẳng nào?

2 Kẻ OM vuông góc với BC ở M Chứng minh , ,. H M K thẳng hàng.

2 CÁC BÀI TÍNH TOÁN VÀ NÂNG CAO Bài 14 Cho điểm M bên ngoài đường tròn O R Tia MO cắt ;   O tại A và B (A nằm

giữa O và M ) Lấy C bất kì thuộc  O và khác hai điểm A và .B Chứng minh:

MA MC MB 

Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức trong OCM.

Bài 15 Trên nửa đường tròn tâm ,O đường kính , AB lấy điểm C và D ( C nằm giữa A và

)

D Tia AC cắt tia BD tại M Chứng minh đường kính MH của đường tròn ngoại tiếp

tam giác MCD vuông góc với AB.

Hướng dẫn: H là giao điểm của AD và BC là trực tâm của MAB.

Bài 16: Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c ,  ,  và có R là bán kính đường tròn ngoại

tiếp thỏa mãn hệ thức .

a bc R

b c



Hãy định dạng tam giác ABC.

Bài 17: Cho đường tròn tâm O có hai dây AB và CD dài bằng nhau và vuông góc nhau ở I

Giả sử: IA1 ,cm IB7cm. Tính bán kính của  O

Hướng dẫn: Vẽ OH vuông góc với AB ở H và OK vuông góc với CD ở K

Bài 18: Cho tam giác ABC cân tại A có AB  cm và nội tiếp đường tròn tâm O có bán8

kính bằng 5 cm Vẽ đường kính AD cắt BC ở H Tính BH và BC

Hướng dẫn: Tính BD trước Chứng minh AD vuông góc với BC Dùng hệ thức lượng.

trong tam giác ABD để tính BH BC, .

Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A có AB  cm, 40 BC 48 cm và nội tiếp đường tròntâm O Tính bán kính của  O .

Hướng dẫn: Vẽ đường kính AD cắt BC ở H Đặt a  cm thì 8 AB5 ,a BC6 a Chứng

minh OH vuông góc với BC Dùng hệ thức lượng trong tam giác . ABD để tính BD AD,

theo a rổi tính bán kính của  O

Bài 20: Cho đường tròn O R và dây ;  AB sao cho AOB 120  Gọi I là trung điểm của

AB và kéo dài OI cắt đường tròn tại C