Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 đại số 3

b Trong hệ phương trình theo ẩn mới hãy tính ,X Y theo Z từ hai phương trình đầu rồi thay vào phương trình còn lại để tìm , ,X Y Z.. b Trong hệ phương trình theo ẩn mới hãy tính ,X Y th

7 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN Bài 1.Giải các hệ bậc nhất ba ẩn sau đây theo phép thế hay cộng đại số bình thường

a) Thay x xz  từ phương trình 4  1 vào  2 để chứng minh rằng y2 2xz8

b) Thay y2 2xz vào phương trình 8  3 để tính  2

x z c) Tìm , , x y z

a) Thay x xz  từ phương trình 8  1 vào  2 để chứng minh rằng y2 2xz1

b) Thay y2 2xz vào phương trình 1  3 để tính  2

a) Từ phương trình  1 và  2 hãy tính ,x y theo z.

b) Thay ,x y theo z ở câu a vào phương trình  3 để tìm , ,x y z

a) Từ phương trình  1 và  2 hãy tính ,x y theo z.

b) Thay ,x y theo z ở câu a vào phương trình  3 để tìm , ,x y z

a) Từ hai phương trình đầu hãy tính ,x y theo z

b) Thay ,x y theo z ở câu a vào phương trình còn lại để tìm , ,x y z

a) Từ phương trình  1 và  2 hãy tính ,x ytheo z.

b) Thay ,x y theo z ở câu a vào phương trình  3 để tìm , ,x y z

59

38

x y xy

yz xz xy xyz

a) Chia hai vế của phương trình  1 cho xy, chia hai vế của phương trình  2 cho xyz, nghịch

đảo hai vế của phương trình  3 , sau đó đặt X  1x,Y  1y,Z 1z

để đưa hệ về ẩn , ,X Y Z

b) Trong hệ phương trình theo ẩn mới hãy tính ,X Y theo Z từ hai phương trình đầu rồi thay

vào phương trình còn lại để tìm , ,X Y Z

a) Chia hai vế của phương trình  1 cho xy, chia hai vế của phương trình  2 cho xyz, nghịch

đảo hai vế của phương trình  3 , sau đó đặt X  1x,Y  1y,Z 1z

để đưa hệ về ẩn , ,X Y Z

b) Trong hệ phương trình theo ẩn mới hãy tính ,X Y theo Z từ hai phương trình đầu rồi thay

vào phương trình còn lại để tìm , ,X Y Z

c) Tìm , , x y z

9

y z yz

xz xy yz xyz

a) Trừ vế theo vế vế phương trình  1 và  2 hãy chứng minh rằng:

b) Thay các kết quả ở câu a vào hệ để tìm , , x y z

Bài 5.Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế tích của hai biến vào phương

trình chứa tích của ba biến

a) Thay phương trình  2 vào phương trình  3 để tìm z.

b) Thay z tìm được ở câu a vào hệ phương trình đã cho để tìm ,x y

a) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng sau:

4

 

 

162

5   2

      3 8

x y xyz xy

xy

x y xy xy

y z yz

xy yz zx xyz

99162

y z yz

xy yz zx xyz

x y z

xy yz zx xyz

x y z

xy yz zx xyz

x y z

xy yz zx xyz

11

5412

2

x y z xyz

3

x y z xyz

b) Phân tích x3 y3 z3 3xyz thành tích rồi từ đó tính xyz.

30

41498

1 Cho hệ phương trình sau có nghiệm:

4112

b) Sử dụng định lý viet đảo để chứng minh rằng:

b) Sử dụng định lý viet đảo để chứng minh rằng: 1 �x y z, , �3

3 Cho hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 2

59

Bài 11.Giải các hệ phương trình ba ẩn đối xứng loại II sau

Dạng 1 Sử dụng kĩ thuật CỘNG VẾ theo vế để TÌM TỔNG của ba nghiệm sau đó tìm các nghiệm còn lại.

a) Giả sử trong ba số , ,x y z có một số bằng 0 thì hai số còn lại sẽ như thế nào:.

b) Chia cả hai vế của phương trình  1 cho xy, phương trình  2 cho yz, phương trình  3cho zx sau đó đặt

a) Giả sử trong ba số , ,x y z có một số bằng 0 thì hai số còn lại sẽ như thế nào?

b) Chia cả hai vế của phương trình  1 cho xy, phương trình  2 cho yz, phương trình  3cho zx sau đó đặt

xy yz zx

xy yz zx

xy yz zx

xy yz zx

xy yz zx

13

152

16

5149

a) Giả sử một trong ba số x, y, z bằng 0, tìm hai số còn lại.

b) Chia hai vế của phương trình (1) cho yz, phương trình (2) cho zx, phương trình (3) cho

b) Chia hai vế của phương trình (1) cho yz, phương trình (2) cho zx, phương trình (3) cho

a) Nếu một trong ba số x, y, z = 0 thì hai số còn lại sẽ như thế nào?

b) Chia cả hai vế của ba phương trình cho xyz, sau đó đặt

a) Nếu một trong ba số x, y, z = 0 thì hai số còn lại sẽ như thế nào?

b) Chia cả hai vế của ba phương trình cho xyz, sau đó đặt

24 (2)71

(3)4

3

2094

xyz

y x xyz

y z xyz

xyz

y x xyz

y z xyz

xyz

y x xyz

y z xyz

a) Giải hệ trong trường hợp xyz 0.

b) Trong trường hợp xyz �0 thì chia cả hai vế của ba phương trình cho xyz Sau đó đặt

a) Giải hệ trong trường hợp xyz 0.

b) Trong trường hợp xyz �0 thì chia cả hai vế của ba phương trình cho xyz Sau

a) Nếu một trong ba số x, y, z = 0 thì hai số còn lại sẽ như thế nào?

b) Chia cả hai vế phương trình (1) cho xy z2 , chia cả hai vế phương trình (2) cho

161616

để đưa hệ đã cho về hệ phương trình theo ba ẩn X, Y, Z

c) Từ hệ phương trình theo ẩn X, Y, Z hãy cộng vế theo vế để chứng minh rằng:

X Y  Z YZ ZX  XY Từ đó chứng minh rằng ta có hệ phương trình mới:

để đưa hệ đã cho về hệ phương trình theo ba ẩn X, Y, Z.

c) Từ hệ phương trình theo ẩn X, Y, Z hãy cộng vế theo vế để chứng minh rằng:

để đưa hệ đã cho về hệ phương trình theo ba ẩn X, Y, Z

c) Từ hệ phương trình theo ẩn X, Y, Z hãy cộng vế theo vế để chứng minh rằng:

Lúc đó hãy trừ vế theo vế hai phương trình (4) và (5) để tìm x, y, z.

c) Trong trường hợp z x y  1 hãy chứng minh rằng hệ đã cho có dạng:

Lúc đó hãy trừ vế theo vế hai phương trình (4) và (5) để tìm x, y, z.

c) Trong trường hợp z x y  2 hãy chứng minh rằng hệ đã cho có dạng:

x t yz

a) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) hãy chứng minh rằng:

y z x y z     9 (4) Lấy phương trình (2) trừ phương trình (3) hãy chứng minh

c) Trong trường hợp x y z  0tính z theo x và y rồi thay vào hệ đã cho Từ đó

chứng minh rằng hệ đã cho vô nghiệm

d) Trong trường hợp còn lại, ta đặt y z x y t    Tính x, y theo y và t Sau đó thay x, ztheo t vào phương trình (4) để tìm t, y Kết hợp với phương trình (3) tìm t và y rồi suy ra x, y,z

a) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) hãy chứng minh rằng:

y z x y z     6 (4) Lấy phương trình (2) trừ phương trình (3) hãy chứng minh

c) Trong trường hợp x y z  0tính z theo x và y rồi thay vào hệ đã cho Từ đó

chứng minh rằng hệ đã cho vô nghiệm

d) Trong trường hợp còn lại, ta đặt y z x y t    Tính x, y theo y và t.Sau đó thay x, ztheo t vào phương trình (4) để tìm t, y.Kết hợp với phương trình (3) tìm t và y rồi suy ra x, y, z

48484848

27272727

75757575

12121212

50505050

72727272

98989898

a) Nếu x y  thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: z x Sau đó từ

phương trình (1) và (3) chứng minh rằng: y z Từ đó rút ra kết luận

b) Nếu x y  thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: z x Sau đó từ

phương trình (1) và (3) chứng minh rằng: y z Từ đó rút ra kết luận

c) Tìm x, y, z.

12

5 (1)yzx 5 (2)

b) Nếu x y thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: z x Sau đó từ

phương trình (1) và (3) chứng minh rằng: y z Từ đó rút ra kết luận

z z

x y y z z x

36 5

x y y z z x

b) Nếu x0 thì từ (3) chứng minh rằng: z21�z 1, khi đó từ (2) chứng minh rằng:

2

2

y y

 � � và từ phương trình (2) chứng minh rằng: z �0 Từ đó rút ra kết luận.

d) Từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: (x y x y )(  ) y z, từ phương trình(2) và (3) chứng minh rằng: (y z y z )(  ) z x, từ phương trình (1) và (3) chứng minhrằng: (x z x z )(  ) y x Sau dó nhân vế theo vế các phương trình vừa thu được để

e) Giải hệ trong từng trường hợp (x y y z )(  )(x z) 0 

f) Trường hợp còn lại xét trường hợp x y z, , 0 và trường hợp  �1 x y z, , �0 để kếtluận trường hợp (x y y z z x )(  )(  ) 1 không xảy ra.

y � 

và từ phương trình (2) chứng minh rằng: z 0 Từ đó rút ra kết luận.

d) Từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: (x y x y )(  ) y z, từ phương trình(2) và (3) chứng minh rằng: (y z y z )(  ) z x, từ phương trình (1) và (3) chứng minh

rằng: (x z x z )(  ) y x Sau dó nhân vế theo vế các phương trình vừa thu được để

e) Giải hệ trong từng trường hợp (x y y z )(  )(x z) 0 

f) Trường hợp còn lại xét trường hợp x y z, , 0 và trường hợp

a) Từ phương trình (1), (2) và (3) hãy chứng minh rằng: x y z, , �2

b) Nếu x0 thì phương trình (3) chứng minh rằng: z24� z 2, khi đó từ phươngtrình (2) chứng minh rằng:y2 8 4 và y 2 Từ đó rút ra kết luận.

thu được để chứng minh rằng:

e) Giải hệ trong từng trường hợp (x y y z )(  )(x z) 0 

f) Trường hợp còn lại xét trường hợp x y z, , 0 và trường hợp  �2 x y z, , �0 để kếtluận trường hợp (x y y z z x )(  )(  ) 8 không xảy ra.

a) Từ phương trình (1), (2) và (3) hãy chứng minh rằng: x y z, , 0.

b) Nếu x y  thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: y z Sau đó từ phươngtrình (2) và (3) chứng minh rằng: z x Từ đó rút ra kết luận

c) Nếu x y  thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: y z Sau đó từ phươngtrình (2) và (3) chứng minh rằng: z x Từ đó rút ra kết luận.

a) Từ phương trình (1), (2) và (3) hãy chứng minh rằng: x y z, , 0.

b) Nếu x y  thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: y z Sau đó từ phươngtrình (2) và (3) chứng minh rằng: z x Từ đó rút ra kết luận

c) Nếu x y  thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: y z Sau đó từ phươngtrình (2) và (3) chứng minh rằng: z x Từ đó rút ra kết luận.

b) Nếu x > y thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng y > z, sau đó từ phương trình(2) và (3) chứng minh rằng z > Từ đó rút ra kết luận x

c) Nếu x<y thì từ phương trình (1) và (2), chứng minh rằng y < , sau đó từ phương trình z(2) và (3) chứng minh rằng z x< Từ đó rút ra kết luận

a) Từ phương trình (1) (2) và (3) hãy chứng minh rằng y,z, x < 0

b) Nếu x > thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: y y > z, sau đó từ phương trình(2) và (3) chứng minh rằng: z x> Từ đó rút ra kết luận

c) Nếu x< thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng: y zy < , sau đó từ phương trình(2) và (3) chứng minh rằng: z x< Từ đó rút ra kết luận

31(3)3

b) Nếu x> thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằng y 0<x3- y3=(y- z y)( + +z 1)

b) Nếu x> thì từ phương trình (1) và (2) chứng minh rằngy

38

364

17 9 3

91

c) Trường hợp ba số x,y,z khác 1 hay nhân vế theo vế (1),(2),(3) để chứng minh rằng:

kết luận về nghiệm của hệ phương trình đã cho

c) Trường hợp ba số x,y,z khác 2 hay nhân vế theo vế (1),(2),(3) để chứng minh rằng:

kết luận về nghiệm của hệ phương trình đã cho

c) Nếu x > 2thì từ (2) chứng minh rằng: 6z2- 12z+ > � > và từ (3) chứng minh8 8 z 2rằng: y > 2.

d) Nếu x <2thì từ (2) chứng minh rằng: 6z2- 12z+ < � < và từ (3) chứng minh8 8 z 2rằng: y < Từ đó tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho 2

2 3

2 3

Bài 12: Giải các hệ phương trình bằng bất đẳng thức:

Dạng 1 Xem ẩn thứ ba có vai trò là tham số

để đưa hệ phương trình đã cho về ẫn, Y, Z

b) Tìm điều kiện của Z để hệ phương trình theo ẩn X, Y, Z có nghiệm X,Y

c) Tìm x, y, z

2

39

để đưa hệ phương trình đã cho về ẫn, Y, Z

b) Tìm điều kiện của Z để hệ phương trình theo ẩn X, Y, Z có nghiệm X,Y

c) Tìm x, y, z

2

210

để đưa hệ phương trình đã cho về

ẩn a,b,c,A,B,C Sau đó chứng minh rằng: (a2+b2+c2)(A2+B2+C2)�64

b) Dùng bất đẳng thức B C S chứng minh rằng: (a2+b2+c2)(A2+B2+C2)�64 Từ đótìm x,y,z

để đưa hệ phương trình đã cho về

ẩn a,b,c,A,B,C Sau đó chứng minh rằng: (a2+b2+c2)(A2+B2+C2) 121�

b) Dùng bất đẳng thức B C S chứng minh rằng: (a2+b2+c2)(A2+B2+C2) 121� Từ đótìm x,y,z

để đưa hệ phương trình đã cho về

ẩn a,b,c,A,B,C Sau đó chứng minh rằng: (a2+b2+c2)(A2+B2+C2)�36

b) Dùng bất đẳng thức B C S chứng minh rằng: (a2+b2+c2)(A2+B2+C2)�36 Từ đótìm x,y,z

109

211

y x

y

z y

z

x z

(4) Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mỗi thừa số của

vế trái của (4) để chứng minh rằng: VT( ) 3 �8xyz

Dấu “ =” xảy ra khi nào ?c) Tìm x y z, , .

( ) ( ) ( )

x

y x

y

z y

z

x z

a) Từ hệ phương trình hãy chứng minh rằng: , , x y z� Nếu một trong ba số , , 00 x y z= thìhai số còn lại sẽ như thế nào ?

b) Trong trường hợp nhân vế theo , , x y z> (1), (2), (3) để chứng minh rằng:0(x2+4)(y2+4)(z2+ =4) 64xyz

(4) Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mỗi thừa sốcủa vế trái của (4) để chứng minh rằng: VT( ) 3 �64xyz

Dấu “ =” xảy ra khi nào ?c) Tìm x y z, , .

( ) ( ) ( )

x

y x

y

z y

z

x z

y

x z

z

y x

2 2 2 2 2 2

44415

444

x z z

y x

2 2 2 2 2 2

69616

969

x z z

y x

y

z y

z

x z

2 2 2 2 2 2

2 33

2 318

3

2 33

Dạng 4 Sự dụng bất đẳng thức x4+y4+ �z4 xyz x( + +y z)

1 Chứng minh rằng: x2+y2�2xy x y" , Dấu “=” xảy ra khi nào?

2 Chứng minh rằng: x4+y4�2x y2 2 "x y, Dấu “=” xảy ra khi nào?

3 Chứng minh rằng: x y2 2+y z2 2 �2xy z x y z2 " , , Dấu “=” xảy ra khi nào?

4 Chứng minh rằng: x4+y4+z4�x y2 2+y z2 2+x z2 2 "x y, Dấu “=” xảy ra khi nào?

2 2 2

4 (1)6

a) Từ phương trình (3) và (4) hãy chứng minh rằng: (x+y x t)( + =) 105 (5)

b) Sử dụng định lí Viet đảo cho phương trình (1) và (5) để tìm (x+y);(z t+ )

c) Tìm x,y,z,t

11 (1)81

(2)2

2 1 1 7

(3)6

(4)9

x y

z t

16105

x y

z t

20384

a) Nhân hai vế của (2) cho z t+ hãy chứng minh rằng: 4 z( + =t) 3zt+6

b) Nhân hai vế của (3) cho z t+ hãy chứng minh rằng: 3 z( + =t) 2zt+5

c) Tìm z, t, x, y

( ) ( ) ( ) ( )

a) Nhân hai vế của (2) cho z t+ hãy chứng minh rằng: 14 2zt+ =5 z( +t)

b) Nhân hai vế của (3) cho z t+ hãy chứng minh rằng: 41 5zt+ =14 z( +t)

c) Tìm z, t, x, y

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )