Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 đại số 2

Tìm điều kiện của tham số m để các phương trình bậc hai ẩn x sau có hai nghiệmphân biệt... Viết phương trình đường thẳng D biết D cắt P tại A có hoành độ là −2 và cắt trụctung tại điểm

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

BÀI 4 ĐỊNH LÍ VI – ET VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ

1 TÍNH BIỂU THỨC CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 4 Nếu phương trình sau:

x − − =x

có hai nghiệm x x x1, 2 ( 1<x2)

thì hãy tính giá trịcác đại lượng sau mà không được giải phương trình

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

theo m mà không được giải phương trình

Bài 6 Nếu phương trình bậc hai ẩn x sau: x2−2 2( m−1)x−4m=0

0114

x x x

x x

+ 3

3

1,

x x

1

x x

+

Bài 8 Cho

2 2

0123

x x x

x x

+ 3

3

1,

x x

1

x x

+

Bài 9 Cho

2 2

0134

x x x

x x

+ 3

3

1,

x x

1

x x

+

Bài 10 Cho

2 2

0147

x x x

1

x x

+

Bài 11 Cho

2 2

017

x x x

1

x x

+

(TS lớp 10 trường THPT chuyên LHP, vòng 2, 04 –05)

2 VẤN ĐỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 12 Tìm điều kiện của tham số m để các phương trình bậc hai ẩn x sau có hai nghiệmphân biệt

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 15 Tìm điều kiện của m để các phương trình sau vô nghiệm

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

x

=+

x

=+

x

=+

3 TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MỘT HỆ ĐỐI XỨNG

Bài 19 Tìm m để các phương trình bậc hai ẩn x sâu có hai nghiệm 1 2

,

x x

thỏa mãn một đẳngthức đối xứng

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

x

− + + −

=+

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 24 Cho phương trình bậc hai ẩn x sau: x2−5x+ =4 0 1( )

1 Chứng minh (1) có hai nghiệm 1 2

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

x

và

3 2

x

làm nghiệm [PTNKban AB, 1999 – 2000]

x

và

3 2

x

và

3 2

x

và

3 2

x

làm nghiệm

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 31 Gọi 1 2

,

x x

là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x sau: x2−5x+ =4 0 1 ( )

Không giải phương trình ( )1

hãy lập một phương trình bậc hai mà có các nghiệm là:

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 35 Biết rằng các phương trình bậc hai ẩn x sau đã có hai nghiệm 1 2

,

x x

, hãy tìm một hệthức giữa 1 2

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

y= x

10

21

2

y= − x

11

214

y= x

12

214

Bài 3 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị sau bằng phép toán:

Bài 6 Chứng minh rằng ba đường thẳng ( ) ( ) ( )D1 , D2 , D3

đồng quy trong các trường hợp sau:

1 ( )D1 : y x= +2

; ( )D2 :y=2x+1;( )D3 :y=3x

(Hướng dẫn: dùng phép toán tìm tọa độ

giao điểm của hai đường thẳng, rồi chứng minh giao điểm đó thuộc đường thẳng thứ ba)

Bài 8 Cho đường thẳng: ( ) (D : m+2) (x− 2m−1) y+6m− =8 0.

y mx m= + +

và y=(4m2+1) x2

1 Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số trên cùng đi qua điểm (−1;2 )

2 Với giá trị m tìm được ở câu trên hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thịđó

Bài 10 Cho hai hàm số:

1 Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số trên cùng đi qua điểm (−1;2 )

2 Với giá trị m tìm được ở câu trên hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị đó

Bài 11: Với tất cả các giá trị của biến số x thuộc tập xác định, hãy tìm giá trị nhỏ nhất hay lớnnhất của các hàm số sau (nếu có)

3 12

y= x − +x

10

21

2 53

y= − −x

y= − x x− −

18

21

2 43

=+

x y x

−

=+

x

− +

=+

2 LẬP PHƯƠNG TRÌNH BIỂU DIỄN HÀM SỐ

Bài 13 Viết phương trình đường thẳng (D) biết:

và cắt trục hoành tại điểm K có hoành độ là 4.

11 (D) cắt trục tung tại điểm E có tung độ là 3 và cắt trục hoành tại điểm F có hoành độ là

1

12 (D) cắt trục tung tại điểm G có tung độ là −2

và cắt trục hoành tại điểm H có hoành độ

là 2

13 (D) cắt trục tung tại điểm I có tung độ là 4 và cắt trục hoành tại điểm K có hoành độ là

2

14 (D) cắt trục tung tại điểm A có tung độ là −1

và cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ

4 Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có

B

2 Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hoành độ là −3

và cắt trụchoành tại B có hoành độ là 2

3 Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hoành độ là −2

và cắt trụctung tại điểm có tung độ là 4

Bài 17 Cho (P):

22

Bài 18 Cho (P):

2

=

y x Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có tung độ

là 1 và cắt trục tung tại B có tung độ là 2

là 9 và cắt trục hoành tại B có hoành độ là 3

4 (D) cắt trục tung tại A có tung độ là −3

và vuông góc với đường thẳng (D):

12

= −

7 (D) cắt (P):

22

Bài 31 Cho đường thẳng 1

Viết phương trình đường thẳng AB

3 Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB.

Bài 33 Cho ∆ABC

(D ) vuông góc với BC Tìm tọa độ giao điểm của hai đường1

2 Trên (P) lấy B có hoành độ là −2

Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giaođiểm của AB với trục tung

3 Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB Xác định tọa độ giao điểm của (D) và (P).

Bài 36.

1 Cho hai điểm A và B trong mặt phẳng tọa độ

Chứng minh độ dài của AB là

2 Cho đường thẳng (D): y ax b= +

Chứng minh khoảng cách từ gốc O của mặt phẳng tọa

độ đến (D) được tính theo công thức

21

=+

b d

a

(Hướng dẫn: Nếu a = 0 thì hiển nhiên Xét a≠0

, viết phương trình đường thẳng

'( )D

qua

O và vuông góc với (D) Tìm tọa độ giao điểm H của (D) và

'( )D Tính độ dài d của OH).

Bài 37 [Nâng cao] Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến các đường thẳng sau đây là

lớn nhất hay nhỏ nhất (nếu có):

1

2(D m) : y mx m 1= + +

2(D m) : y mx m 1= + −

3

2(D m) : y mx m= − −2

2(D m) : y mx m= + +3

5

2(D m) : y m x m= −

2 Chứng minh rằng (D) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm.

3 Viết phương trình đường thẳng

'( )D

biết

'( )D vuông góc với (D) tại A.

4 Tìm tọa độ giao điểm của

'( )D

và (P).

Bài 39 Cho (P):

214

= −

và đường thẳng (D): y x m= +

Biện luận theo m số giao điểm

của (D) và (P) Trong trường hợp chúng tiếp xúc hãy tìm tọa độ tiếp điểm.

Bài 40 Cho (P):

212

2 Biện luận theo m số giao điểm của (D) và (P) Trong trường hợp chúng tiếp xúc hãy tìm

tọa độ tiếp điểm

Bài 42 Với giá trị nào của m thì đường thẳng (D):

322

= +

cắt (P):

234

= −

tại haiđiểm phân biệt [TS Lớp 10 chuyên vòng 1, 2006 – 2007]

Bài 53 Gọi (D) là đường thẳng đi qua hai điểm

2 Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua

3 Biện luận theo m sự tương giao giữa (D) và (P) Khi (D) tiếp xúc với (P) hãy tìm tọa độ

tiếp điểm B và suy ra tọa độ của điểm M

4 Tìm m để (D) tiếp xúc với (P) và viết phương trình đường thẳng (D) trong trường hợp

này Tìm tọa độ tiếp điểm B

4 ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐỒ THỊ THEO HÀM SỐ

Bài 62 Tìm điểm cố định của họ các đường thẳng sau:

2 Định m để (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

3 Chứng minh rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định không thuộc (P).

Bài 64 Cho (P):

214

2 Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn đi qua một điểm cố định thuộc (P).

Bài 65 Cho (P):

212

=

y x

và (D):

12

= +

y mx

1 Chứng minh rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định.

2 Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài 66 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến các đường thẳng sau đây là lớn nhất:

(D m) : (m 2) x (m 3) y m 8 0+ + − − + =

.(D m) : y (4 5 )= − m x+(3m−2)y+3m− =4 0

.(D m) : (m−1)x+2(2−m) y 5− m+ =1 0

1 Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC

2 Viết phương trình đường cao BE, CF của ∆ABC

3 Chứng minh rằng ∆OAB

vuông Tính AB

4 Gọi H và K là hình chiếu của A và B xuống trục hoành Tính diện tích ∆HKB

và diệntích ∆OAB

Viết phương trình đường thẳng AB

3 Viết phương trình đường trung trực (D) của AB

4 Chứng minh rằng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

x x

bằng đồ thị

4 Giải bất phương trình

2 4+ − ≤

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y bằng đồ thị và phép toán.

và (D) là đường thẳng qua I(0;1) có hệ số góc là m.

1 Chứng minh rằng đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

2 Tính

2

AB

theo m

3 Tìm m đểAB=2 10

, từ đó suy ra phương trình đường thẳng (D).

Bài 78: Cho

2(P) : y

1 Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua I và M Chứng minh rằng (D) cắt (P) tại hai

điểm phân biệt A và B

và (D) là đường thẳng đi qua I(0; -1) và có hệ số góc là k.

1 Viết phương trình đường thẳng (D) Chứng minh rằng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A

4

= −x

và (D) là đường thẳng đi qua I(0; -2) và có hệ số góc là m.

1 Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

4

= −x

và M(1; -2) Đường thẳng (D) đi qua M và có số đo góc là k.

1 Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

= x

và I(0; 2) Đường thẳng (D) có hệ số góc là m quay quanh I và không

song song với trục tung

1 Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

3 Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) song song với AB và tiếp xúc với (P).

Bài 87: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) có tọa độ lần lượt là:

M

5

2( 2m 3;4m 1)− + −

M

6

2(3− ;m +2)

5

2(4 +3;2 +3);

A m m B m(4 − −1;1 4m2)

6

2(3 + −1; +4);

A m m B( 7− m− −7; 3m2−10)

Bài 89 Cho

21( ) :

tại hai điểm phân biệt M, N

3 Tìm tập hợp trung điểm I của MN

BÀI 6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO KHÔNG THAM SỐ

1 GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO SỬ DỤNG PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ Bài 1 Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế trực tiếp

Bài 2 Giải hệ phương trình sau đây bằng cách cộng, trừ vế rồi dùng phương pháp thế trực tiếp

b) Giải hệ trong từng trường hợp của câu a

(2).c) Chứng minh rằng nghiệm của hệ phương trình

(1)

và

(2)cũng là nghiệm của phương trình:

x x xy y y

x y

+ =

1 152

6

47

4 143

Bài 6 Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ rồi sử dụng phương pháp thế

bằng 0thì số còn lại sẽ như thế nào?

b) Trong trường hợp cả hai số đều khác 0 thì chia cả hai vế của phương trình

(1)cho

y

;

chia cả hai vế của phương trình

(2)chox Sau đó đặt

bằng 0 thì số còn lại sẽ như thế nào?

b) Trong trường hợp cả hai số đều khác 0 thì chia cả hai vế của phương trình

(1)cho

y

;

chia cả hai vế của phương trình

(2)chox Sau đó đặt



xy y x

y x y x

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1

Bài 7 Giải các hệ phương trình hai ẩn đối xứng loại I sau đây bằng cách tìm giá trị của tổng



+ =



+ =

 + =

+ =

 + =



+ =

 + =



+ =



x y

x y

31

3

x x

y y x x

y y

x x

7

x x

y y

x x

y y x x

y y

x x

b) Chia mỗi vế của hai phương trình cho

có phải là một nghiệm của hệ không?

b) Chia mỗi vế của hai phương trình cho

uv xy

xy

= + +

để đưa hệ phương trìnhtrên về hệ phương trình theo hai ẩn u và v

uv xy

xy

= + +

để đưa hệ phương trìnhtrên về hệ phương trình theo hai ẩn u và v

x y

x y xy

2

x y

x y xy

3

2 2

1484



5

2 2

555

3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2

Bài 13 Giải các hệ sau (trừ vế theo vế sẽ thu được tích của hai biểu thức bậc nhất)

Bài 14 Giải các hệ sau đây (Khi trừ vế theo vế sẽ thu được tích của một biểu thức bậc nhất và

biểu thức bậc hai Trong đó biểu thức bậc hai luôn mang dấu dương)

a) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) hãy chứng minh rằng:

(x y x− )( +xy y+ + =2) 0

b) Giải hệ trong từng trường hợp của câu a.

a) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) hãy chứng minh rằng

x x y

x x y

x x y

x x y

x x y



Bài 15 Giải các hệ sau (Khi trừ vế theo vế sẽ thu được tích của một biểu thức bậc nhất và một

biểu thức bậc hai Trong đó biểu thức bậc hai đưa được về tổng các bình phương)

1

2

2

32

32

a) Trừ vế theo vế phương trình (1) và (2) hãy chứng minh rằng:

566

242

2 3

962962

x y x

xy y

Bài 16 Giải các hệ sau (Khi trừ vế theo vế sẽ thu được tích của một biểu thức bậc nhất và bậc

hai Trong đó biểu thức bậc hai có nghiệm)

1

2 2

2 2

22

a) Trừ vế theo vế phương trình (1) và (2) hãy chứng minh rằng:

a) Trừ vế theo vế phương trình (1) và (2) hãy chứng minh rằng:

2 2(x y x− )( + y +xy+ =1) 0

b) Giải hệ trong từng trường hợp x=y

3

2

2

22

a) Sau khi trừ vế theo vế (1) và (2) hãy xét trường hợp

x y>

và trường hợp

x y<

rồi chonhận xét

b) Giải hệ phương trình đã cho

a) Sau khi trừ vế theo vế (1) và (2) hãy xét trường hợp

x y>

và trường hợp

x y<

rồi chonhận xét

b) Giải hệ phương trình đã cho

Bài 20 Giải các hệ phương trình sai bằn cách CÂN BẰNG BẬC

1

4 4

14

a) Cân bằng bậc hai vế của phương trình (2) bằng cách thay

3 3 2

1 x= +y −xy

từ phương trình(1) vào

a) Cân bằng bậc hai vế của phương trình (2) bằng cách thay

3 3 2

1 x= − −y xy

từ phương trình(1) vào

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài: 21 Giải các hệ sau đây bằng phép thế:

a) Thay phương trình (2) vào phương trình (1) để đưa hệ phương trình đã cho về dạng:

2

5 205

b) Từ phương trình (3) đơa ra hai trường hợp sau đó thay

2

5 y x

y

+

=

, từ phương trình (4) vàotừng trường hợp để tìm x, y

a) Thay phương trình (2) vào phương trình (1) để đưa hệ phương trình đã cho về dạng:

b) Từ phương trình (3) đơa ra hai trường hợp sau đó thay

2

20 y x

y

+

=

, từ phương trình (4) vàotừng trường hợp để tìm x, y

Bài 22 Gải các hệ sau (Từ điều kiện của một giá trị tuyệt đối trong hệ phương trình biết được

dấu của biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối còn lại)

a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng:

52

a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng:

9

;5

y≤ −

từ phương trình (2) chứng minh rằng:

7.2

a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng:

13

;3

y≥

từ phương trình (2) chứng minh rằng:

3.2

6 CÁC DẠNG KHÁC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN VÀ ÔN TẬP

Bài 26 Giải các hệ phương trình sau bằng cách làm xuất hiện hằng đẳng thức:

2 2

A ±B

1

2 2

3 3

13

a) Giải hệ trong trường hợp

a) Từ phương trình (1) hãy chứng minh rằng:

2 22

x y

y x

x y

y x

a) Từ phương trình (1) tính x theo y rồi thay vào phương trình (2) để thu được một phươngtrình bậc hai theo ẩn y.

Bài 29 Giải các hệ phương trình bằng phương pháp bất đẳng thức

Dạng 1 Đánh giá trực tiếp từ mỗi phương trình của hệ

a) Từ phương trình (1) hãy chứng minh rằng:

(x 1) 2(y 2y 1)

sau đó chứng minhrằng: x≤ −1.

b) Từ phương trình (2) hãy chứng minh rằng:

a) Từ phương trình (1) hãy chứng minh rằng:

(x 17) 2(y 2y 1)

sau đó chứng minhrằng: x≤ −3.

b) Từ phương trình (2) hãy chứng minh rằng:



(1)(2)

4( 1) 4( 1) 0

x x− + y y− ≤

Từ đó hãy chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào

10

6 6

7 7

11



(1)(2)

1

( ) ( )

4 2

2 2

697

181

x + y ≤

Dấu “=” xảy ra khi nào?

d) Tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho

2

( ) ( )

3 2

2 2

211

127

x +y ≤

Dấu “=” xảy ra khi nào?

d) Tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho

3

4 2

2 2

6979

Rồi sau đó kết hợp với ( )1

để chỉ ra dấu “=” xảy ra

d) Tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho

7

( ) ( )

Rồi sau đó kết hợp với ( )1

để chỉ ra dấu “=” xảy ra

d) Tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho