Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng d luôn cắt parapol P tại hai điểm phân biệt 2.. Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, BC lần lượt tại E,M.[r]
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015
Môn thi: Toán
Câu 1: (2,5 điểm)
1 Cho a ≥ 0, a # 1 Rút gọn biểu thức
2 Cho x,y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 và
1 1 1
x y
Tìm giá trị của biểu thức P x y x2 xy y 2
Câu 2: (2 điểm)
Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng
có hình parabol Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách
từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y ax2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a = -1
2 Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a2b2 1 2(ab a b )
Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) M là trung điểm của cạnh BC O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S Gọi X,Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng È với các đường thẳng BS,AO Chứng minh rằng:
1 MX BF
2 Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng
3
EF BC
FY CD
Câu 5: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số nguyên)
Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên
Trang 2ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NGOẠI NGỮ
NĂM 2015 Môn thi: Toán
Câu 1: (2,0 điểm)
1 Cho biểu thức
( 2)
A
,trong đó x là biến số thực Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn A
2 Cho x 1 32 Tính giá trị của biểu thức B x 5 2x4x3 3x2 1942
Câu 2: ( 2.5 điểm)
1 Giải hệ phương trình
2
2 Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số sao cho bình phương của số này
là một số mà hai chữ số tận cùng của nó bằng 96
Câu 3: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho pa ra pol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = mx +2 m là tham số
1 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn cắt parapol (P) tại hai điểm phân biệt
2 Gọi A(x1,y1) ,B(x2,y2) là giao điểm của (d) và (p) Tìm giá tri của m để y12
+ y22 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A Một điểm I thay đổi trên cạnh AB (AI, BI) Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC,
BC lần lượt tại E,M Đường thẳng CI cắt BE tại F
a CMR 4 điểm B,F, I,M nằm trên một đường tròn 4 điểm C,E,F,M cũng nằm trên một đường tròn
b D là điểm đối xứng của A qua BC CM: D,F,M thẳng hàng
c Đường tròn đường kính AM cắt AB,AC lần lượt tại P,Q (#A) CMR: đường thẳng qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định khi I thay đổi trên cạnh AB
Câu 5: (1 điểm)
Cho hai số thực dương thỏa mãn x y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
x y
Trang 3Câu 1: (2,0 điểm)
1 Cho biểu thức
( 2)
A
,trong đó x là biến số thực Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn A
a) Điều kiện :
0 4
x x
( 2)
.
2
2
4
A
x x
x
x
x
2 Cho x 1 3 2 Tính giá trị của biểu thức B x 5 2x4x3 3x2 1942
2 ( 3 2 2 3) 1942
B x x x x
Thay x 1 3 2 Ta có B = 1939
Câu 2: ( 2.5 điểm)
1 Giải hệ phương trình
2
2 Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số sao cho bình phương của số này
là một số mà hai chữ số tận cùng của nó bằng 96
2
1 1
x x
Trang 4
2 2
2 2
2
2
2
( ) 2 ( ) ( 2 ) 0
1 1
2
2
1
2
4
x x y y x y x y
y
1 y (2)
Từ (1) điều kiện y>0 suy ra y = 0 và x= 1
Từ (2) y
1 2
ta có
2
2 1 2
3
1 3
Vậy x= 1 , y= 0
2 Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số sao cho bình phương của số này
là một số mà hai chữ số tận cùng của nó bằng 96
Các số đó là 14; 64;36; 86
Câu 3: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho pa ra pol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = mx +2 m là tham số
1 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn cắt parapol (P) tại hai điểm phân biệt
2 Gọi A(x1,y1) ,B(x2,y2) là giao điểm của (d) và (p) Tìm giá tri của m để y12
+ y22 đạt giá trị nhỏ nhất
1 Giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình
2
y x
2
8 8 0
m
với mọi m vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Ta có A(x1,y1) và B(x2,y2) thuộc (P) suy ra y1 = x12 , y2 = x22
Áp dụng định lý vi ét ta có
2 2
1 2
2
2
x x
Vậy min y12 + y22 = 8 khi m= 0
Trang 5Câu 4 a) Ta có IM vuông góc BC ABC vuông cân tại A IM cắt AC tại
E , CI cắt BE tại F I là trực tâm của BEC CI vuông góc BE tại F
< BFI + < BMI = 1800 tứ giác BFIM nội tiêp
Ta có < CME = < CFE = 900 suy ra M, F cùng nhìn CE một góc 900 , Áp dụng quỹ tích cung chứa góc Tứ giác CMFE nội tiếp
b) Chứng minh tương tự ta có tứ giác BFAC, CMIA nội tiếp
< FMI = < FBI ( cùng chắn cung FI )
< FBI = < CAI ( cùng chắn cung AI )
< FBA = < FAC (cùng chắn cung FA )
< FMI = < IMA IM là phân giác < FMA
MC là phân giác <AMD
Mà < IMA + < AMC = 900
FMI + < CMD = 900
IMA + < AMC + < FMI + < CMD = 1800 Vậy F,M ,D Thẳng hang
c) Chứng minh tương tự ta có AB là phân giác của < FAM
PF PM PQ vuông góc FM ( đường kính đi qua trung điểm dây cung) Vì A cố định D cố định Vậy FM vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định là D
Câu 5: (1 điểm)
Trang 6Cho hai số thực dương thỏa mãn x y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
x y
Ta có
P
Vậy max P = 24 Dấu bằng xảy ra khi x= 2 và y = 1