Hệ thức lượng giác và ứng dụng trong chương trình toán bâch trung học

Trong các đề thi tuyển sinh Đại học, cao đăng hàng năm, thi học sinh giỏi toán trong và ngoài nước thường có những bài toán mà lời giải của chúng có thể tìm được bằng phương pháp sử dụng

BQ GIAO DUC VA DAO TAO

DAI HOC DA NANG

LE MINH CHAU

HE THUC LUOQNG GIAC VA UNG

DUNG TRONG CHUONG TRINH

TOAN BAC TRUNG HỌC

CHUYEN NGANH: PHUONG PHAP TOAN SO CAP

MA SO: 60.46.40

TOM TAT LUAN VAN THAC Si KHOA HOC

2

Công trình được hoàn thành tại DAI HOC DA NANG

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện Ì: .‹-« «<< «+ « s s«5 Phản biện 2: se «e << s55 s55

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cham Luan van tôt nghiệp thạc sĩ khoa hoc hop tai Dai hoc Da

Năng vào ngày .tháng .năm 2011

- Trung tâm Thông tin — Học liệu, Đại học Đà Năng

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Năng

MO DAU

1 Lý do chọn đề tài

Lượng giác là một trong các chủ đề toán học quan trọng và có

nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học Trong chương trình

toán bậc phố thông, lượng giác xuất hiện trong cả hai phạm vi đại số

và hình học Trước hết với tư cách một đối tượng nghiên cứu, sau đó

với tư cách một công cụ để giải quyết nhiều dạng toán khác nhau

Theo chương trình Toán phổ thông hiện hành của nước ta, lượng giác

được đưa vào giảng dạy theo thứ tự: Lớp 9: lượng giác trong tam

giác Lớp l0: lượng giác trong đường tròn, và lượng giác trong hàm

số được dạy ở lớp 11 Nói chung học sinh phổ thông được làm quen

nhiều về lượng giác, đặc biệt là hệ thức lượng giác, tuy nhiên với một

thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức độ nhất định Trong các đề

thi tuyển sinh Đại học, cao đăng hàng năm, thi học sinh giỏi toán

trong và ngoài nước thường có những bài toán mà lời giải của chúng

có thể tìm được bằng phương pháp sử dụng các hệ thức lượng giác

Với mục đích tìm hiểu “hệ thức lượng giác” và hệ thống một cách

đầy đủ những ứng dụng của “hệ thức lượng giác” trong chương trình

toán bậc trung học, tôi chọn để tài luận văn của mình là: “Hệ thức

lượng giác và ứng dụng trong chương trình Toán bậc trung học”

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về lượng giác, đặc biệt là các hệ

thức lượng giác

- Hệ thống và phân loại các dạng bài toán có thể dùng hệ thức

lượng giác để giải

- Ứng dụng các hệ thức lượng giác để giải một số lớp bài toán thuộc chương trình bậc trung học phổ thông

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Chương trình Toán bậc trung học, đặc biệt là bộ môn lượng giác

- Các hệ thức lượng giác

- Các ứng dụng của hệ thức lượng giác trong chương trình toán

bậc trung học

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tư liệu: qua sách báo, giáo trình, sách giáo khoa, các

tạp chí toán học tuổi trẻ, cùng một số tài liệu khác từ internet

- Phân tích, tổng hợp, hệ thống các hệ thức lượng giác và khảo sát ứng dụng của nó qua các bài toán thuộc chương trình bậc trung học

- Trao đối, thảo luận với người hướng dẫn

5 Nội dung luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo,

nội dung luận văn được chia thành 2 chương Chương l1: Các hệ thức lượng giác

Trình bày sơ lược các kiến thức lượng giác như: một số định

nghĩa, tính chất, các công thức lượng giác, các hệ thức lượng giác và một số bất đẳng thức đại số để làm cơ sở cho chương sau

Chương 2: Ứng dụng của hệ thức lượng giác

Chương này trình bày một số ứng dụng của hệ thức lượng giác trong chương trình toán bậc trung học phố thông Cụ thể là những bài toán về tam giác, tứ giác, về số phức và những bài toán hình học không gian

Chuong 1 CAC HE THUC LUONG GIAC

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về các hàm lượng

giác, các hệ thức lượng giác và một số bất đăng thức đại số để làm cơ

sở cho chương sau Các chứng minh chi tiết có thể xem trong [5], [9],

[15]

1.1 NHUNG KIEN THUC CO BAN VE LUONG GIAC

1.1.1 Các hàm lượng giác

Hàm lượng giác là các hàm toán học của góc hoặc cung, thường

được dùng khi nghiên cứu tam giác, các hiện tượng có tính chất tuần

hoàn Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi

tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ

chiều dài giữa các đoạn thắng nối các điểm đặc biệt trên đường tròn

don vi

Dinh nghia

Cho tam giác ABC vuông tại A, có số đo góc B bang œ Lúc đó:

- Ty số giữa cạnh đối của góc B và cạnh huyền được gọi là sim

của góc &, ky hiéu sina

- Tỷ số giữa cạnh kề của góc B và cạnh huyền được gọi là cosin

của góc œ, ký hiệu cosGœ

- Tý số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc B được gọi là rang của

góc @, ky hiéu tana (hay tga)

- Tý số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc được gọi là cofang của

góc @, ky hiéu cota (hay cotga)

1.1.2 Góc và cung lượng giác

Trong lượng giác học không thể thiếu vấn đề căn bản nhất, là

bằng 1 đơn vị radian làm đơn

giản đi nhiều trong tính toán và đã được sử dụng rộng rãi đến nay 1.1.2.1 Các công thức tính độ dài cung và chuyển đổi

Cung tròn bán kính R có số đo a”(0< a < 360) thì có độ dài là:

) _ aR

= 780°

oa

180° = mrad, a? = ———rad(0 < a < 360%,

180°

Z

1.1.2.2 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1.1.2.3 Giá trị lượng giác của góc (cung) có hiên quan đặc biệt

0

rad = (SO) (0<a <2n), 1=Ra

Hai góc đối nhau: Hai góc đối nhau thì có cos bằng nhau; sin,

tan, cot đối nhau

tan(-œ) = - tana; co((-œ) = - cota

Hai góc hon kém nhau 7 Hai góc hơn kém nhau 7 thì sin, cos đối nhau; tan và cot bằng nhau

tan(Œ + 7) = tana ; co((Œ +7 = cotœŒ

Hai góc bù nhau: Hai góc bù nhau thì sin bang nhau, cos, tan

và cot đối nhau

tan(r - QO) = - tana; cot(m@- Q) = - cota

Hai góc phụ nhau: Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này băng cot góc kia

Z nt

sin( 5 -Q) = cosa ; cost - Q) = sina

tan( -Q) = cota ; cot -Q) = tana

1.1.3 Các công thức lượng giác

1.1.3.1 Công thức cộng

cos(œ # ) = cosœcosB_ + sinơsinB

sin(œ +) = sinœcosB + sinBcosœ

tan @ + tan tan @ — tan tan(œ + B)= - An ở + tan £ > te(a - B) = tana — tan 6

1.1.3.2 Công thức nhân đôi

cos2 = cos’ - sinœ = 2cosœ-l = 1 -2sin*o

sin2œ = 2sindicosa

1.1.3.3 Công thức hạ bậc

9 1 — cos2a@ 2 l+ cos2ø

sna = ——— ; cosa = ———

1.1.3.4 Công thức góc nhân ba

sin3œ = - 4sinœ + 3sinœ ; cos3œ = 4cos°œ - 3cosœ

3tan — tan”

tan3œ = ———

l— 3tanˆ ø

1.1.3.5 Công thức biến đổi tích thành tổng

cosacosB = > [cos(a + B) + cos(a - B)]

sinœsnB = > [cos(œ - ) - cos(œ + B)]

sinœcosB = = [since - B) + sin(a + B)]

1.1.3.6 Công thức biến đổi tổng thành tích

sina + sinB = 2sin@ + F cos FF

2

cosa + cosB =2cos@* B coos 2 = B

cosa -cosB =- 2sin@* B sin & 8

tanœ + tanB = sim(g+ 8) ; cota + co(B = sine + 8)

cosatcosB sinzsin Ø

1.1.4 Dinh lý ham sin, định lý hàm cosin, định lý hàm tang

sinA sin B sin C

1.1.4.2 Định lý hàm số cosin

Trong tam giác ABC với BC = a, CA =b, AB =c, ta có:

a’ = b* +c’ - 2bccosA; b* =a* +c’ - 2accosB; c” =a’ +b’ - ZabcosC

Định lý hàm số sin và định lý hàm số cosin là phương tiện chủ yếu trong các bài toán giải tam giác

- Khi biết ba cạnh a, b, c ta sử dụng định lý hàm sin để tính các góc

Chang han, dé tính góc A, ta có: a = b’ +c? - 2bccosA

cosA =

Góc B cũng được suy ra bằng cách tương tự, hoặc sau khi đã tính được góc A, có thê dùng công thức nhận được từ định lý hàm sin:

bsinA

a

asinB = bsinA => sinB =

- Khi đã biết 2 cạnh b,c vA góc A xen giữa chúng, có thể dùng

định lý hàm cos đê tính cạnh a: a’ = b’ +c’ - 2bccosA Dé tinh góc

_ g +c -b bsinA

a

- Khi biết một cạnh và hai góc, ta có thể dùng định lý hàm sin để

tính hai cạnh còn lại

- Khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa, ta dùng định lý

hàm sin để tính một trong 2 góc kia, và cũng dùng định lý hàm sin để

tính cạnh còn lại (hoặc dùng định lý hàm cosin sau khi đã tính góc)

1.1.4.3 Định lý hàm số tang

Trong tam giác ABC, ta luôn có:

tan 2B

= 2 = tan AF tan ©

tan

2

b — CC tan BO B-C -

tan

2

tan — A

c-a

tan 2

Chú thích

Định lý hàm số tang được Viète phát biểu vào khoảng năm 1850

Nó là hệ quả của định lý hàm số sin Tuy nhiên, vào thời Viète, kết

quả này được chứng minh độc lập chứ không thông qua định lý hàm

sn Ngày nay, không ai còn lưu giữ được chứng minh của Viète

Định lý hàm số tang có thể được dùng để giải tam giác trong trường

hợp biết được 2 góc và một cạnh, mà không cần sử dụng định lý hàm

cosin và định lý hàm sô sin Thật vậy, nêu biệt 2 góc, ta cũng có được

10

góc thứ ba, tiếp theo, chăng hạn biết b, dùng định lý hàm số tang để giải ra a, rối dùng hệ thức tương tự để có c

1.2 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Trong một tam giác ABC bắt kỳ, ta có các hệ thức sau:

1.2.1 Đẳng thức lượng giác Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ban kính đường tròn nội tiêp tam giác

C

r=(p-—c)tan— (p—e)tan—

r=4Rsin sin sin

2 2 Ban kinh dwong tron bang tiép tam giác

r = ptan `; —, I, — tan” ; —_— :› Ƒ — t an — C

a 2 b P 2 e P 2

Đường phân giác trong của tam giác

A

L =— 2; L, = |, =——+

Đường trung tuyên của tam giác

› bˆ+c ` a > ate b

mM, = — —: Mm, — — ›

m, + m+ m= Se +b* + c’)

II

S = T7 sin A = 2 esin B = TpsinC

S=2R’ sin Asin BsinC ; S = pr

S = (p-a)r, = (p—b)r, = (p-oyr,

S=,/p(p—a)(p-b)(p—c)

Một số đẳng thức khác

cos A +cosB +cosC = 1 + —

sin2A + sin2B + sin2Π= 4sin Asin BsinC

sin’ A + sin? B + sin*C = 2(1 + cos Acos BcosC)

cosA +cosB+cosC = 14+ 4sin—sin—sin—

tanA + tan B + tanC = tan A tan Btan C

(AABC không phải là tam giác vuông)

tan— tan— + tan—tan— + tan—tan— = 1

cot AcotB + cot BcotC + cotCcotA = 1

1.2.2 Bất đăng thức lượng giác

33

sin —sin—sin— < 1, 2 <sinA +sinB +sinC < ———

3

l <cosA+cosB+cosC < 2

< 3

`2

3

_A B Cc

1 < sin— + sin— + sin—

A B

cotA + cotB + cotC > 43

cosAcosBcosC < ! —; sin? A +sin’?B + sin? C< 7

8

12

2< cos’ > + cos’ > + cos’ <

C „3⁄3

A

2 < COS— + COS— + cos— <

sinA + sinB + sinC < 4cos 5 COS = cos

0<a<b<c SB O0OK<AK<BK<C

c 0 < sinA < sinB < sinC <1

l >cosA >cosB>cosŒ >0 Nếu 0<x<7:0<y<mxthì SetsmMy „À (n3†}

Néu ey <Z; -“ <y < #, thì €05x † cosy < cost ty

Vxe (0, —),ta luôn có: ~ < tg> < —< snx < x

1.3 MOT SO BAT DANG THUC DAI SO 1.3.1 Bất đẳng thức Cosi

Với n số thực không âm aj, đ¿, , đ„(mn 2 2), ta có:

Tre le > Alaa, đ,

n Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a,=a,= =a 1.3.2 Bat dang thire Bunhiacopxki

Với hai bộ m số thực (a,,d; đ„): (b,,b, b,) bất kì, ta

n°

⁄

co:

(ab, + a,b, + +4,b,) < (a2 +2 + +a2)(bỆ +bỷ + +bŸ]

a = ay b, b, = HT = a

Qui ưóc: Nếu một số b, nào đó bằng 0 thì a, bang 0

n

13

1.3.3 Bat dang thirc Chebyshev

Cho hai day sé tang (a,) va (b,) 1= Ln Khi đó:

(œa+a, + +a,)(b+b,+ +b,) < niab,+a,b,+ .+4a,b,)

Néu aS a, < Sa, vab, >b, > 2b, thi:

(a,ta,+ +a, (b,+b,+ +b,) 2 nab, +a,b,+ .+4,b,)

a, =a, = =a

b= b, = =b,

n

n

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi:

1.3.4 Bất đăng thức S-vac-xơ

Cho hai day sô thuc aj, a2, .a, và bị, bạ, ,bạ trong đó bị > 0

với mọi 1= 1,2 ,n Khi đó ta có:

Chương 2

UNG DUNG CUA HE THUC LƯỢNG GIÁC

Chương này trình bày một số ứng dụng của hệ thức lượng giác

trong chương trình toán bậc trung học phổ thông Cụ thể là những bài

toán về tam giác, tứ giác, về số phức và những bài toán hình học

không gian

2.1 ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

2.1.1 Các bài toán về nhận dạng tam giác

Bài toán 2.2 ([15]) Chứng minh rằng AABC đều nếu nó thỏa mãn

đăng thức sau:

Yala + Moly + Pek = p : L = 2bc cos &

GIải: Ta có: rạ =

p-a

14

cosA = b +c cứ => 2cos? A - | = ———_

+ eo A = Pte + 2bc — a _ toc) —a

sie 2bc |p(p - 4) _ 2,/bc.p(p — a)

A|p(p - a)(p - b)(p - c) › \bcp (p — 4)

- PD @) yahoo Dip —o)

C

pD-a

(p—b)+(p-c)

2

> 11, =

rl, < p

rÌ SP

b=c

= Dấu “=” xảyra © 4ä = €

p-a=p-b=p-c

©a=b=c © AABCIatamgidc déu > dpcm

15

2.1.2 Các bài toán liên quan đến cạnh và góc của tam giác

CD = 2BD Kéo dài đoạn AD và lấy E sao cho AD = DE

Giải: Gọi H là trung điểm của CD, dễ thấy ABEH là hình bình hành

Trên BC kéo dài, lẫy điểm G sao cho CG = CA Dat:

BD = DH = HC=3, CA =b,ABz=c

BE = AH =x , AD = DE = yvaCE = z

Vi 2ÌÄBC = ACB = CAG + EGA = 2EGA „ fa có các tam

giác ABG và CAG đồng dạng

A

P

E

Hinh 2.1

Ap dung dinh ly trung tuyén vao c4c tam gidc ACD, ABH va CDE, ta

được:

2a

2a’

2a°

16

Khử y từ (2.2) và (2.3)tacó: x” + cỔ + 2b = 4X” + ~2

2a’

2a’

Khử y tir (2.3) va (2.4) ta nhan duge : x° + c° + 22° = 4c° + 7

Kết hợp kết quả này với (2.1) và (2.5), ta cóz = b + 24 (2.6)

3

= CE.EP, trong đó P là điêm trên CE sao cho CP = BC

BE _ EP

BEP = CEB.Suyra: CB = EBP = EBC - PBC = EBC

5 (180° - ECB)

Ma PBC = 5 (180° - BCP) = EBC 5 (180°- ECB )

Cuối cùng, ta được : ECB + 180° = 2'EBC

2.1.3 Các bài toán về đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao

Bài toán 2.32 ([21]) Cho AABC nhọn Chứng minh rằng:

1 RI, © RA," RA,

Giải:

+b

17

xz C

2(———

=> G » <sinZ-£) < (Z.L)

At)

=> _ 2 —~ < cos€ < A+B _, 24A+B) < 2co€ < A+B z 2 2 z 2

(A+ B) 2cos = (A+B)

Theo định lý hàm sin ta cé:

2R_ 2A, 2K 2B AR Oe 2x,

+b

Nên từ (2.7) ta có được: = ‹ a < Re (2.8)

2 cos —

2 Tương tự cho 2 trường hợp còn lại, ta được:

b+

2coS—

2

+

2 cos—

2

Cộng (2.8), (2.9), (2.10) ta được:

2coS—— 2cos— 2cos—

VR ab mo Ri ° RL * RI + be +o < 3n (dpcm)

18

2.1.4 Các bài toán về chu vi và diện tích tam giác Bài toán 2.41 Chứng minh rằng: Nếu AABC có:

a/ Hai góc lớn hơn 60° thì p > Al3(R + r) b/ Hai góc nhỏ hơn 60°thì p < Aj3(R + r)

c/ Ít nhất một góc bằng 60° thi p = 4/3 (R + 1r)

= —— r ~ —(COSA + cos B + cosC)

R

[Chuong 1, muc 1.2.1, muc 1.1.4.1] (sin A - WB so A) + (5 sin B - WB son)

+ (5 sin C - WB cose)

sin(A - 3) + sin(B - 3) + sin(C - 3)

Không mat tinh téng quat ta gia st’ x > y > z sinx + siny + sinz = sinx + siny - sin(x+y)

= Asin 222 cos Š—* - 2sin “TT cos" 5+

Dox+y+z=Ovax 2 y 2 z nén O< el, O<x+y eZ

Suy ra: 4sin S=* gin * > 0

-Nuy>OOB>4 tiy=B-— < —, ssint > 0

V3(R+r) _

Do đó “— aR 3 4sin tŸ sin 2 sin 2 sin 5 X V — > 0, tức là:` Ae

19

p>N\23(R+r) khi AABC có 2 góc >

-Nuy <0 OB <4 thh- = <y <0 > sin < 0

Do đó p=J3(R+r) = 4sin " sin x sin Đã < 0, tức là:

-Néuy = 0@ B=, thisiny = 0.Dod6p = V3 (R +0) Khi

z ` ya

đó cơ it nhât một góc băng 3 Suy ra c/ ding

2.1.5 Các bài toán về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

tam giác

Bài toán 2.52 ([12]) Cho AABC nội tiếp trong đường tròn (O, R)

Gọi (O¡, Rị); (Oa, R¿); (Oa, Ra) là các đường tròn tiếp xúc ngoài với

(O, R) đồng thời tiếp xúc với các cặp tia (AB, AC); (BC,BA); (CA,

CB) và r là bán kính đường tròn nội tiếp của AABC Chứng minh

rằng: R,+R.+R; 2 12r

Giải: Theo bất đẳng thức côsi, ta có:

Hình 2.2

20

2

(p-a/(p-b)< [@=4)+0=% || „ #p~@+ÐƑ _c ` a1

Tương tự: (p-b\(p-e) € Ÿ ;(p-e)(p-a) < T (2.12)

Nhân (2.11) và (2.12) về theo về, ta được:

2_ 212

[(p - a)(p - b)p -e) < sa (p- a)( - b)( - e)] < =

(2.13)

Giả sử (Ơi, R¡) tiêp xúc với cap tia (AB, AC) tai M, N

Kẻ OK L AM và OE L MOI

Datx - AM, AK = £; EO = MK =x-&£ 2

Xét AAKO c6 OK = R.cos OK = R.cosC

> O,E = Rị - ME= R, -OK= R,-R.cosC

Ap dung dinh ly Pitago trong A ozo, ta có

2

002 = OF? + EO? & (R+R) = 2 — <) +(R.— R.cosC}

2

© R” + R+2RR¡= x”-xc + Rị - 2RR¡cosC +o + Rfcos“C

& R*? + R,’+2RR,= x°-xc+R,’- 2RR,cosC +R’

& 2RR, (1 +cosC) = x(x-c)

Mặt khác, AO; là đường phân giác của A MAN Va A Amo, Vuong tai

Khi d6 2RR,; (1 + cosC) = x(x -c)

2RR, (1+

Xx

Theo dinh ly ham cosin:

at+b-c _ (a+b) —c?

(1 +cosC) = 1 +