Hóa học dựa vào quy trình đơn giản này để đạt được tiến bộ; tuy nhiên, bản vẽ không tạo ra cấu trúc một cách có hệ thống, tức là không có tính hoàn chỉnh hoặc tính duy nhất được đảm bảo.
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
oOo
-Họ và tên: Lê Minh Đức
Mã số sinh viên: 20020291
Lớp: Toán rời rạc INT1050_25
Giáo viên: Lê Phê Đô
TIỂU LUẬN MÔN:
TOÁN RỜI RẠC
ĐỀ TÀI:
HÃY TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP CAYLEY DÙNG CÂY ĐỂ TÍNH SỐ ĐỒNG PHÂN HIDROCACBON
TP Hà Nội, Ngày 21,Tháng 5, Năm 2021
Trang 2Nhận xét của giáo viên :
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Trang 3LỜI MỞ ĐẦU
Các nhà hóa học có truyền thống lâu đời trong việc sử dụng các hóa trị nguyên tử để tìm các cấu trúc phân tử bằng đồ thị Hóa học dựa vào quy trình đơn giản này để đạt được tiến bộ; tuy nhiên, bản vẽ không tạo ra cấu trúc một cách có hệ thống, tức là không có tính hoàn chỉnh hoặc tính duy nhất được đảm bảo Có phải tất cả các cấu trúc được tạo ra không? Một cấu trúc có được tạo nhiều lần không? Lấy ví dụ phân tử butan (C4H10) Có thể thấy (Hình 1) rằng một cấu trúc chuỗi thẳng và một cấu trúc phân nhánh là đủ.
Nhưng khi kích thước phân tử ngày càng lớn, việc tìm kiếm các cấu trúc một cách toàn diện và độc đáo có thể trở thành một công việc khó khăn Bài báo này đề cập đến cách chúng ta tạo ra các cấu trúc hóa học từ các nguyên tắc đầu tiên So với phương pháp thực nghiệm dựa vào máy tính, 1 thế hệ cấu trúc
thông qua nguyên lý đầu tiên đã có một quá khứ lâu dài và quanh co.
Trang 4Hình 1.Cấu trúc của butanes
Khoảng thời gian Darwin công bố Nguồn gốc các loài của mình, hai nhà toán học đã nỗ lực tạo cấu trúc các hợp chất hóa học Họ được gọi là 'cặp song sinh bất biến,' 2 Sylvester và Cayley Ý tưởng của họ
là bắt đầu từ hai lần quan sát.
Đầu tiên, một số phương trình đại số nhất định không thay đổi theo các phép biến đổi hình học (ví
dụ, một đường tròn không thay đổi khi quay quanh một trục qua tâm của nó) Thứ hai, cấu trúc hóa học
và tính chất phân tử cũng không thay đổi trong cùng một sự biến đổi Kết nối là gì? Sylvester liên quan đến cấu trúc hóa học, như được hiểu vào thời của ông, với các dạng đại số bất biến Kết quả được công
bố 3 vào năm 1878 nhưng không dẫn đến quá xa Cayley4 ghi nhận nỗ lực của Sylvester và tập trung vào các cấu trúc mạch vòng đơn giản Cayley phát minh ra một dạng phân tích được gọi là cây đã được chứng minh là công cụ phù hợp để tạo ra các cấu trúc hóa học, mặc dù ông chỉ sử dụng phép phân tích này
để đếm các cấu trúc.
Trang 5I SƠ LƯỢC PHƯƠNG PHÁP CAYLEY
Năm 1875, Cayley đã cố gắng liệt kê các ankan
CnH2n+2 , hoặc tương đương n-node cây không có nhãn trong
đó mỗi nút có mức độ tối đa là 4 và xuất bản một ghi
chú ngắn [Cay75] chứa bảng:
N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Trung tâm 1 0 1 1 2 2 6 9 20 37 86 183 419 (1) bicentered 0 1 0 1 1 3 3 9 15 38 73 174 380 (2) tất cả 1 1 1 2 3 5 9 18 35 75 159 357 799 (3)
(Các thuật ngữ "trung tâm" và "bicentered" được định nghĩa phía dưới.) Bảng này được Busacker và Saaty tái bản vào năm 1965 [BuS65]và ba chuỗi được bao gồm
trong [HIS]
Trên thực tế, hai cột cuối cùng là do nhầm lẫn, như đã được Herrmann chỉ ra vào năm 1880 [Her80] Herrmann sử dụng một phương pháp khác với Cayley, và đưa ra các giá
trị chính xác 355 (cho n= 12) và 802 (cho n= 13) cho chuỗi
(3) Tuy nhiên, cả trong [Her80] cũng như trong hai ghi chú sau này của ông [Her97], [Her98] ông không đề cập đến các chuỗi (1) và (2) Trình tự alkane (3) cũng được thảo luận trong các tác phẩm của [Los97a], Henze và
Blaire [HeB31],Perry [Per32], Polya [Polya36], [Polya37], Harary và Norman [HaN60], Lederberg [Led69], Schiff Losanitsch [Los97], Đọc [Rea76], Harary và Balaban
[RoHB76], và Bergeron, Labelle và
Leroux [BeLL98] Hàm tạo đơn giản nhất là do Harary và
Trang 6Norman (xem Phần 4 của [Rea76] hoặc tr 289 của
[BeLL98]) Tuy nhiên, không ai trong số các tác giả này sử dụng phương pháp của Cayley, và theo như chúng ta có thể nói, không ai trong số họ thảo luận về các chuỗi (1) và (2)
Năm 1988, R K Guy đã viết thư cho N.J.A.S., chỉ ra rằng có lỗi trong ba chuỗi này, và đề nghị rằng lý thuyết đếm Polya được sử dụng để mở rộng (1) và (2) (Phiên bản chính xác của (3), trình tự A602, đã có mặt
trong [HIS].) Để làm như vậy là mục tiêu của ghi chú hiện tại
Các trình tự trong cơ sở dữ liệu [EIS] được đánh số
(A1, A2, A3, ), và một số người đã gợi ý rằng trình tự
"chéo", nên được thêm vào [EIS] Thực tế là (1) là trình
tự A22 cung cấp thêm động lực để mở rộng nó đến ít nhất
là nhiệm kỳ thứ 22! (Trình tự "chéo" hiện nằm trong cơ sở
dữ liệu, trình tự A31135, cũng như A37181 thậm chí còn ít
được xác định rõ hơn có thuậtngữ thứ n là 1 + n thuậtngữ thứ của An.)
Phần khó khăn là xác định chính xác những gì Cayley đang cố gắng đếm, vì [Cay75] có phần không rõ ràng, và chứa nhiều lỗi đánh máy Một khi vấn đề đã được xác định, hóa ra khá dễ dàng để tính toán các chuỗi này - vì vậy trên thực tế rất có khả năng điều này đã được thực hiện trong
124 năm kể từ khi [Cay75] xuất hiện Nhưng chúng tôi đã không thể tìm thấy bất kỳ hồ sơ nào về nó trong tài liệu
Trang 7II PHƯƠNG PHÁP CAYLEY
Một cây có đường kính 2m có một nút độc đáo được gọi
là trung tâm, ở điểm giữa của bất kỳ con đường nào có
chiều dài 2m Một cây có đường kính 2m+ 1 có một cặp nút độc đáo được gọi là bicenters, ở giữa bất kỳ con đường nào
có chiều dài 2m+ 1 Các thuật ngữ này được Jordan giới
thiệu vào khoảng năm 1869([Har69],tr 35)
Cách tiếp cận của Cayley [Cay75] để đếm ankan sử dụng các khái niệm về trung tâm và trung tâm để giảm vấn đề cho các câu hỏi đơn giản hơn về cây rễ Điều này hóa ra là một cách khó xử để tấn công vấn đề (vì khái niệm đường kính không liên quan) và có thể giải thích tại sao không ai khác sử dụng phương pháp này
Đơn giản hơn là sử dụng khái niệm "centroid" và
"bicentroid", cũng do Jordan (xem Harary [Har69], tr 36,
để định nghĩa) Năm 1881, Cayley [Cay81] đã tìm thấy sự
tái phát đối với số lượng cây n-node với một centroid (trình
tự A676) và với một bicentroid (A677), cho ông một cách đơn giản hơn để liệt kê các cây chưa được trồng (A55) Tuy nhiên, theo như chúng ta biết Cayley đã không sử dụng phương pháp centroid / bicentroid để liệt kê ankan
(A602) Điều này dường như lần đầu tiên được thực hiện bởi Polya [Polya36], [Polya37] vào năm 1936
Trang 8Tuy nhiên, mối quan tâm của chúng tôi ở đây là với những
cây tập trung và hai trung tâm
Chúng tôi sẽ nói rằng một cái cây là k-valent nếu mức
độ của mỗi nút là nhiều nhất k Ankan chính xác là những
cây 4 giá trị
Chúng tôi cũng xem xét cây có rễ và xác định một cây
có rễ b-ary là cây trống hoặc cây rễ trong đó mức độ ngoài
của mọi nút (hóa trị không bao gồm cạnh kết nối nó với
gốc) nhiều nhất là b Điều này khái quát hóa khái niệm
về một cây có rễ nhị phân, trường hợp b= 2, đó là cây trống
hoặc cây rễ trong đó mỗi nút có 0, 1 hoặc 2 con trai (Tài
liệu chứa một số định nghĩa khác về cây nhị phân và
b-ary Những thuật ngữ này đôi khi đề cập cụ thể đến cây planar Cây của chúng tôi không phải là ván, và đặc biệt không có khái niệm về bên phải hay bên trái.)
Chúng tôi sẽ tìm thấy các chức năng tạo cho cây
k-valent trung tâm và haitrung tâm.
Sửa chữa k,và để T h,n là số lượng (k-1) -ary rễ cây với n nút
và chiều cao nhiều nhất h (Chiều cao của một nút trong
cây đã root là số cạnh nối nút với gốc.) Theo quy ước, cây
trống có chiều cao -1 Hãy để T h (z) = SUM n > = 0 T h,
n z n Sau đó T-1 (z ) = 1, T0 (z) = 1 + zvà đối với h>1,
T h+1 (z) = 1 +zS k-1( Th (z)), (4)
trong đó Sm ( f(z)) biểu thị kết quả thay thế f(z) vào chỉ số chu kỳ cho nhóm đối xứng của thứ tự m! Ví dụ,
S3(f(z) = (f(z)3+3f(z)f(z2) + 2f(z3)) / 3!
Trang 9Phương trình (4) giữ bởi vì nếu chúng ta loại bỏ gốc
và các cạnh liền kề khỏi một cây rễ có chiều cao h+1,
chúng ta sẽ bị bỏ lại với một cây không có thứ tự(k1) -tuple của cây có chiều cao h.
Hãy để C2h,n là số cây k-valent trung tâm với n nút và đường kính 2hvà để C 2h (z) = SUM n > = 0 C2h, n zn Bằng cách xóa nút trung tâm và các cạnh liền kề, chúng ta thấy rằng
bất kỳ cây nào như vậy tương ứng với một k-tuplekhôngcó thứ tự có chiều cao tối đa h-1, ít nhất hai trong số đó có chiều cao chính xác h-1 do đó
C2h = ( 1 +zS k( Th-1 (z))) - (1 +zS k( Th-2 (z))) - (T h-1 (z)-T h-2 (z))
(T h-1 (z) - 1 ).(5)
Ba biểu thức trong (5) chiếm k-tuples của cây rễ có chiều cao tối đa 1, k-tuples của cây có chiều cao tối đa
h-2, và rễ cây với chính xác một cây con ở gốc với chiều cao
h-1, tương ứng.
Cuối cùng, hãy để C n biểu thị số lượng cây k-valent trung tâm với n nút và C(z) = SUM n > = 0 C n z n sau đó
C(z) = SUM h >=0C 2h (z)
Đối với k = 4 chúng tôi có được
C(z) = z + z3+ z4+ 2z5+ 2z6+ 6 z7+ 9 z8+ 20 z9+ 37 z10+ 86
z11+ 181 z12+ 422 z13+
đó là phiên bản sửa chữa của chuỗi Cayley (1), A22 (Xem bảng dưới đây.)
Cây hai trung tâm dễ xử lý hơn Để B 2h+1,nlà số cây k
-valent haitrung tâm có n nút và đường kính 2h+1, để
B 2h+1 (z) = SUM n > = 0 B 2h+1,n zn, hãy b n là tổng số cây
Trang 10k-valent hai trung tâm với n nút và để B(z) = SUM n >
=0 B n z n Vì một cây hai trung tâm tương ứng với một cặp
cây có rễ không có thứ tự (k-1) - cây có chiều cao chính xác h, chúng tôi có
B 2h+1 (z) =S2( Th (z) -T h-1 (z)) ,
và sau đó
B(z) = SUM h> = 0 B 2h+1 (z)
Đối với k = 4 chúng tôi có được
B(z) =z2+z4+z5+ 3z6+ 3 z7+ 9 z8+ 15 z9+ 38 z10+ 73 z11+ 174
z12+ 380 z13+
Trình tự của Cayley (2), A200 (hóa ra là chính xác) Hàm tạo cho alkenes (A602) sau đó là
C(z) +B(z) =z+z2+z3+ 2z4+ 3z5+ 5z6+ 9 z7+ 18 z8+ 35 z9+ 75
z10+ 159 z11+ 355 z12+ 802 z13+
đồng ý với Henze và Blair [HeB31] (ngoại trừ giá trị họ
đưa ra cho n = 19, 147284, là không chính xác: nó phải là
148284) Các thuật ngữ khác được hiển thị trong bảng sau:
Bảng:Số lượng cây 4 giá trungtâm, haitrung tâm và không
hạn chế với n nút
Trang 116 2 3 5
Nếu chúng ta đặt k = 3 trong công thức trên (tương
ứng với cây 3 giá trị trung tâm, hai trung tâm và không hạn chế), chúng ta sẽ có được các chuỗi A675, A673 và A672, trong đó các thuật ngữ ban đầu được Cayley xuất bản
(chính xác) trong một bài báo năm 1875 khác [Cay75a], và các thuật ngữ khác đã được tính toán bởi R W Robinson vào năm 1975 [Rob75]
Trang 12Đối với k = 5 và 6 trình tự kết quả
(A36648, A36649, A36650, A36651, A36652, A36653) dường như là mới
Kết quả của Cayley(5) đã gây ra nhiều sửa đổi ngay sau đó,(6),(7) một phần vì một số lỗi được tìm thấy trong bài báo của mình, vì ông đã sử dụng một phương pháp có thể quản lý và nhưng tốn nhiều công sức để tách cây (bao gồm các dòng và nút) thành những cái trung tâm và hai tâm (Hình 2) Tuy nhiên, những gì Cayley thiết lập nên được coi là một công cụ phân tích hơn là một phép tính Khoảng
70 năm sau, phương pháp của ông đã được Otter(8) chứng minh một cách nghiêm ngặt và được tổng quát hóa bởi
Harary và Norman9 (xem Phần IV) Những tác giả này đã cải thiện phương pháp của Cayley bằng cách bỏ qua các cây trung tâm và hai trung tâm Kết quả là, phương pháp này trở nên khó thực hiện thủ công hơn, nhưng dễ viết mã hơn (vì các bước lặp đi lặp lại hơn; xem Yeh(10) về mã hóa) Bài báo hiện tại chỉ ra rằng Cayley và các tác giả nói trên đã vô tình (hoặc không được báo cáo) đã phát hiện ra một công cụ toán học để tổng hợp một phần tốt của 10-20 triệu hợp chất hóa học được biết đến ngày nay
Trang 13Hình 2 Ví dụ về (a) cây trung tâm và (b) cây hai tâm.
Lấy cảm hứng từ công trình của Sylvester về việc trao đổi các biến trong tính toán vi phân, Cayley4 bắt đầu khái niệm cây toán học Theo thuật ngữ hiện đại, cây có rễ được liệt kê bởi sự mở rộng chuỗi của một hàm f(x) của một biến độc lập x như được thể hiện trong phương trình ( )
f(x) = xe^f(x) (1)
Sau đó, công thức của Otter(8): F(x) =
f(x)-1/2{[f(x)]^2 –f(x^2)} được sử dụng để chiết xuất cây
không có rễ (xem Hình 3) Cayley không giới hạn số lượng các dòng kết nối với một nút trong cây đến bốn, nhưng bốn tình cờ là hóa trị của một nguyên tử carbon trong tất cả các hợp chất hữu cơ Chúng tôi có thể áp dụng sơ đồ của
Cayley trong các hợp chất hữu cơ và bao gồm các nguyên
tử thiết yếu khác như nitơ, oxy và halogen Trong Phần III
và IV, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ của Cayley trên lớp phân
tử hữu cơ đơn giản nhất, chuỗi alkane (CnH2n +2), để
minh họa hai điểm Một là cho thấy kế hoạch của ông tuân thủ khái niệm cấu trúc hóa học như thế nào, mặc dù bản thân ông đã đối xử với loạt alkane khác nhau như thế nào -bằng cách đếm 4 cây trung tâm và hai tâm Vấn đề khác là vấn đề trung tâm của bài báo này: Các nguyên tố hóa học
Trang 14có thể đóng vai trò là các biến toán học và phương trình là nguồn tạo ra các công thức hóa học
Hình 3 Ví dụ về rễ trên cây: (a) rễ; (b) không có root
Về bản chất, bản năng vẽ của chúng ta không hoàn toàn hoạt động trên các cấu trúc hóa học Chiến lược đúng đắn là lùi lại một bước và tìm tất cả các cấu trúc đã root (có nhãn) trước tiên, như được hiển thị trong Phần III, và sau
đó bỏ gắn nhãn chúng, như trong Phần IV
Tham khảo
A Cayley, Rep Br Assoc Adv Sci., 257-304 (1875)
6 H.R Henze and C.M Blair, J Am Chem Soc 53,
3077-3085 (1931); 55, 680-686 (1933) 12
7 N Trinajstić, Chemical Graph Theory, CRC Press, Boca Raton, FL, 1983
8 R Otter, Ann Math 49, 583-599 (1948)
[BeLL98] F Bergeron, G Labelle và P Leroux, Các loài tổ
hợp và cấu trúc giống như cây,Camb Univ Press, 1998,
xem tr 290
Trang 15R G Busacker và T L Saaty, Finite Graphs and
Networks, McGraw-Hill, NY, 1965, xem tr 201.
[Cay75] A Cayley, Ueber chết analytischen Figuren,
welche in der Mathematik Bäume genannt werden und ihre Anwendung auf die Theorie chemischer
Verbindungen, Ber deutsch chem Ges., 8 (1875),
1056-1059
[Cay75a] A Cayley, Trên các dạng phân tích được gọi là
cây, với các ứng dụng cho lý thuyết kết hợp hóa học, Báo
cáo Assoc Anh Adv Sci., 45 (1875), 257-305 = Toán,Tập
9, tr 427-460 (xem tr 451)
[Cay81] A Cayley, Trên các hình thức phân tích được gọi
là cây, Amer J Math., 4 (1881), 266-268.
[Har69] F Harary, Lý thuyết đồ thị,Addison-Wesley,
Reading, MA, 1969
[HaN60] F Harary và R Z Norman, Định lý đặc trưng
khác nhau cho đồ thị, Proc Amer Math Soc., 54 (1960),
332-334
[HeB31] H R Henze và C.M Blair, Số lượng hydrocarbon
đồng phân của loạt mêtan, J Amer Chem Soc., 53 (1931),
3077-3085
[Her80] F Hermann, Ueber das Problem, chết Anzahl der isomeren Paraffine der Formel CnH2n+2 zu bestimmen, Ber.
deutsch chem Ges., 13 (1880), 792 [Cả tên tác giả và
công thức hóa học đều không chính xác.]
[Her97] F Herrmann, Ueber das Problem, chết Anzahl der isomeren Paraffine von der Formel CnH2n+2 zu
bestimmen, Ber deutsch chem Ges., 30 (1897),
2423-2426
[Her98] F Herrmann, Entgegnung, Ber deutsch chem.
Ges., 31 (1898), 91.
Trang 16[Led69] J Lederberg, Topology of molecules, tr 37-51
of The Mathematical Sciences, M.I.T Press, Cambridge,
MA, 1969
[Los97] S.M Losanitsch, Die Isomerie-Arten bei den
Homologen der Paraffin-Reihe, Ber deutsch chem.
Ges., 30 (1897), 1917-1926.
[Los97a] S.M Losanitsch, Bemerkungen zu der
Hermannschen Mittheilung: Die Anzahl der isomeren
Paraffine, Ber deutsch chem Ges., 30 (1897), 3059-3060.
[Per32] D Perry, Số lượng đồng phân cấu trúc của một số đồng phân của một số đồng phân của metan và
methanol, J Amer Chem Soc., 54 (1932), 2918-2920.
[Polya36] G Polya, Đại số Berechnung der Anzahl der
Isomeren einiger organischer Verbindungen, Zeit f.
Kristall., 93 (1936), 415-443.
[Polya37] G Polya, Kombinatorische
Abzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und
chemische Verbindungen, Acta Math 68 (1937),
145-254 Dịch là G Polya và R.C Đọc, Liệt kê tổ hợp các
nhóm, đồ thị và hợp chất hóa học,Springer-Verlag, NY,
1987
[Rea76] R.C Read, Liệt kê các hợp chất hóa học tuần hoàn, các trang 25-61 của A T Balaban, chủ đề, Ứng dụng hóa
học của lý thuyết đồ thị,Báo chí học thuật, NY, 1976.
[Rob75] R W Robinson, giao tiếp cá nhân, 1975
[RoHB76] R W Robinson, F Harary và A T Balaban, Số lượng ankan chiral và achiral và ankan thay thế
đơn, Tứdiện , 32 (1976), 355-361.
[Sch75] H Schiff, Zur Statistik chemischer
Verbindungen, Ber deutsch chem Ber., 8 (1875),
1542-1547