De thi TSL10 Toan Ho Chi Minhchuyen PTNK20142015

minh tương tự BM  BC b Chứng minh 4 điểm M, N, J, I cùng nằm trên một đường tròn và các đường thẳng MJ, NI, CH đồng quy... Cách khác: Gọi K là giao điểm của AI và CN; E là giao điểm của[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014-2015

MÔN THI: TOÁN (chuyên)

(Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề)

Câu I

m  x  mx m với m là tham số a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Chứng minh rằng khi đó

tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên

b) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện

x x1 2  x1 x24  16

Câu II

2

2

x y y x

y x x y







2) Cho tam giác ABC vuông tại A với các đường phân giác trong BM và CN Chứng

3 2 2

MA NA

 

Câu III

Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho 1 1 1

ab c

a) Chứng minh rằng a + b không thể là số nguyên tố

b) Chứng minh rằng nếu c > 1 thì a + c và b + c không thể đồng thời là số nguyên tố

Câu IV

Cho điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R (C ≠ A, C ≠ B) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB; I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ACH và BCH Các đường thẳng CI,CJ cắt AB lần lượt tại M,N a) Chứng minh rằng AN = AC, BM = BC

b) Chứng minh 4 điểm M, N, J, I cùng nằm trên một đường tròn và các đường thẳng MJ, NI, CH đồng quy

c) Tìm giá trị lớn nhất của MN và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CMN theo R

Câu V

Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của ba số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của hai số còn lại

a) Chứng minh rằng tất cả 5 số đã cho đều không nhỏ hơn 5

b) Tìm tất cả các bộ gồm 5 số thỏa mãn đề bài mà tổng của chúng nhỏ hơn 40

SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Câu I

a) Vì 2

m   , với mọi m Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ

2

12 144

m  m m    mm    m

Khi đó theo Viét ta có

2

5

m

x x

m

2

2

5

m

m



Nên tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên

5

m t m



 (t 0 vì m 0), ta có tm2  2m 5t 0  *

         

2

12 144

m  m m    mm    m

Theo Viét ta có

1 2 2

2 5 6 5

m

x x

m m

x x m



 







1 2 1 2

2 16

2

x x x x

x x x x

x x x x

   



x x x x

0

m  )

x x x x



5

m

t

m

1

3

t loai

t nhan

  



      

 



2 2

2

2

m m











2

m m

Câu II

1) ĐK: x 0,y 0 Đặt ax y b,  y x a 0,b 0 Hệ đã cho trở thành

2

2

 



(Vì a 0,b  0 2a 2b 13  0)

2

2

a

a







 



(TMĐK)

4 2

x y

x y

y x



  







(TMĐK)

TH 2: Khi 1

2

1

1 2

2

x y

x y

y x







  





(TMĐK)

Vậy hệ có hai nghiệm là   3 3  3 1 3 1

; 4; 4 , ;

4 4

x y   

2) Vì BM, CN lần lượt là phân giác các góc B, C của tam giác ABC nên ta có

,

MC BC NB BC

MA  AB NA AC (tính chất đường phân giác của tam giác)

Do đó

             

Mà

BC AB AC AB AC

AB AC AB AC AB AC

1 2 2 2 1 3 2 2

Dấu ‘=’ xảy ra khi AB = AC, tam giác ABC vuông cân tại A

Câu III

a) Ta có 1 1 1 c a b ab ab a b 

abc      

Giả sử a + b là số nguyên tố Vì a < a + b a a b,   1 mà ab a b  b a b (vô

lý vì 0 bab) Vậy a + b không thể là số nguyên tố

b) Ta có c a babbcabacab bc  2ab ac b a ca2b c b a c a

tương tự cũng có a b c  b2a c a b c b

Giả sử a + c và b + c đều là số nguyên tố Vì a < a + c

a a, c 1

   tương tự b b c,   1

Mà b a c a b a

tương tự có a b ab 2ca c   b c 3c không là

số nguyên tố vì c > 1 Vậy khi c > 1 thì a + c và b + c

không thể đồng thời là số nguyên tố

Câu IV

a) Chứng minh rằng AN = AC, BM = BC

Ta có ANCABCBCN (góc ngoài BCN)

ACN ACH HCN

Mà ABCACH (cùng phụ BAC), BCNHCN (CJ là

phân giác BCH)

ANC ACN

minh tương tự BM BC

b) Chứng minh 4 điểm M, N, J, I cùng nằm trên một đường tròn và các đường thẳng MJ, NI, CH đồng quy

MHI  AHC  

90

CIN CHN

Chứng minh tương tự có tứ giác CJHM nội tiếp CJM CHM  90 0

Xét tứ giác MNJI, ta có MINMJN 90 0 (CIN CJM  90 0cmt)

Vậy tứ giác MNJI nội tiếp, hay 4 điểm M, N, J, I cùng thuộc một đường tròn

Cách khác: Gọi K là giao điểm của AI và CN; E là giao điểm của BJ và CM Ta có:

ACN cân tại A (cmt), AI là phân giác góc CAN (theo gt)

2

2

EC EM  CM

Do đó EK là đường trung bình tam giác CMN  EK // MN CEK CMN a 

90

IEJ IKJ  (AK  CN, BE  CM)

Nên tứ giác IEKJ nội tiếp

CEK CJI b Từ (a) và (b) có

CMN CJI Vậy tứ giác MNJI là tứ giác nội tiếp

Xét tam giác CMN, ta có: CH 

MN (gt), NI  CM, MJ  CN (theo cmt)

Vậy MJ, NI, CH đồng quy

c) Tìm giá trị lớn nhất của MN và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CMN theo R

4

a b  AB  R

Ta có AN + BM = AB + MN MN a b 2R

a b   aba b  a b  a b  R a b  R

Do đó MN a b 2R 2 2R 2R 2 2 1  R

Dấu ‘=’ xảy ra khi abR 2 BCAC C là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB Khi đó CH cũng đạt GTLN là R, nên diện tích tam giác CMN đạt

.2 2 1 2 1

2R  R  R

Câu V

a) Gọi 5 số đó là a, b, c, d, e Vì các số phân biệt nên giả sử a < b < c < d < e Theo giả thiết có: a + b + c > d + e  a + b + c ≥ d + e + 1  a ≥ d + e + 1 - b - c

Lại có d > c > b  d ≥ c + 1, c ≥ b + 1  d ≥ b + 2  d - b ≥ 2

e > d > c  e ≥ c + 2  e - c ≥ 2

Nên a ≥ (d - b) + (e - c) + 1 ≥ 5  b, c, d, e > 5

Vậy tất cả các số đều không nhỏ hơn 5

b) Nếu a ≥ 6  b ≥ 7, c ≥ 8, d ≥ 9, e ≥ 10  a + b + c + d + e ≥ 40 (vô lý)  a < 6 theo câu a) ta có a = 5 Ta có b + c + 5 ≥ d + e + 1  b + c ≥ d + e - 4

mà d - 2 ≥ b, e - 2 ≥ c  d + e - 4 ≥ b + c Nên b = d - 2, c = e - 2

 a + b + c + d + e = 5 + 2b + 2c + 4 < 40  b + c < 31

2  2b + 1 < 31

2  b ≤ 7

Từ đó có b = 6 hoặc b = 7

Nếu b = 6, ta có d = 8  c = 7, e = 9 Ta được bộ (5; 6; 7; 8; 9)

Nếu b = 7, ta có d = 9  c = 8, e = 10 Ta được bộ (5; 7; 8; 9; 10)