Bài 3 Gọi a, b là hai ước nguyến tố khác nhau của số nguyên dương N, với a... Bất đẳng thức cuối sai khi a≠b, do đó dất đẳng thức đã cho sai khi a≠b.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 ĐK: y≠0
Đặt t x 2,u x
1 1
3
2
2
0
t t
u
t
t u
u
=
=
= −
=
Do đó
0 0
1 1
x x
y y
= =
= − = −
⇔
=
= − = −
Bài 2
1/
2014 2013 2012
2013 2012 2011
2012 2011 2010
2014 2013 2012
2013 2012 2011
1 2.2 3.2 4.2 2015.2 2015(2 2 2 2 1) (2 2 2 2 1) (2 2 2 2 1)
2015(2 1)(2 2 2 2 1) (2 1)(2 2 2 2 1) (2 1)
− − 2012 2011 2010
2015 2014 2013 2012
2015 2015
2015
(2 2 2 2 1)
2015(2 1) (2 1) (2 1)
2015.2 (2 2 2 2 1) 2015.2 (2 1)
2014.2 1
Cách khác:
2015 2014 2013 2012
2 2(1 2.2 3.2 4.2 2015.2 ) (1 2.2 3.2 4.2 2015.2 )
(2 2.2 3.2 4.2 2015.2 ) (1 2.2 3.2 4.2 2015.2 ) 2015.2 (2 2 2 2 1)
Trang 32015 2014 2013 2012
2015 2015
2015
2015.2 [(2 1)(2 2 2 2 1)]
2015.2 (2 1)
2014.2 1
11 3 3 2 3 6 (1)
x − + =x x + + +x x − x+
Ta có
2 2 2
13 11
2
+ +
Do đó (1) trở thành:
2 2
2 2
13
2 ( 6 9) ( 4 4) 0 ( 3) ( 2) 0 (2)
(u−3) ≥ ∀0 u v;( −2) ≥ ∀0 v nên:
2
2
(2)
2 ( 2) 0
v v
=
Suyra:
2 2
3 2 0
3 6 =2 2
3
2 2
1
x x
x x
x
⇔
− + =
=
= −
=
=
Bài 3
1/
Gọi a, b là hai ước nguyến tố khác nhau của số nguyên dương N, với a<b
Ta có N = ax.by với x, y ∈ ℕ *
Số ước dương của N là (x+1)(y+1)
Số N có 6 ước dương, nên (x+1)(y+1) = 6 ⇒ (x; y)=(1; 2) hoặc (x; y)=(2; 1)
Do đó N = a.b2 hoặc N = a2.b Vì a<b nên a2.b<a.b2 và N lớn nhất ⇒ N = a.b2
Tổng hai ước nguyên tố là 18 ⇒ a+b = 18
Hai số nguyên tố có tổng bằng 18 là 5 và 13 hoặc 7 và 11
Suy ra:
Trang 45 13 7 11
a
b
a
b
=
=
=
=
Ta có: 5.132 =845; 7.112 = 847
Vậy N = 847
1) Ví dụ kiểm chứng:
a = 6; b=4 ⇒
+ = + = ⇒ + < +
2) Những gì đã biết:
2
Bất đẳng thức cuối sai khi a≠b, do đó dất đẳng thức đã cho sai khi a≠b 3) Kết quả:
2
ℝ
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
3) Phát triển tự nhiên:
2
2
( ) ( )
(do (*))
( ) ( )
,
a b
+ ≤ + ⇔ + ≤ +
ℝ
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
4) Tổng quát:
a,b ; n
n
ℝ ℕ
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Dạng tổng quát khác:
a,b ; (*)
n n n
a) n = 0 thì không tồn tại số dạng 00
Trang 5b) Chứng minh qui nạp:
*) Với n = 1; 2 (*) đúng
*) Giả sử (*) đúng với n = k, nghĩa là:
k k k
+ ≤ +
2 2
2 2
0 2
k k
k k
k k
k k
k k
k k
a b
≥
≥ ≥
∀ ∈ < ⇔ <
<
ℝ
Hay:
2( 1) 2( 1) 2( 1)
Do đó: (*) đúng với n = k+1
*) Vậy (*) đúng ∀ ∈n ℕ*
Bài 4
Trang 61/ 0
45
PAF =PDF= ⇒ Tứ giác APFD nội tiếp
Tứ giác APFD nội tiếp ⇒ 0
90
Tương tự, tứ giác APEQ nội tiếp ⇒ 0
90
Do đó Q, P, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF
Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp ngũ giác CEPQF là trung điểm của đoạn
EF
0
90 45
AQE
AQE QAE
⇒∆
=
vuông cân tại Q ⇒ AE= AQ 2
Tứ giác EPQF nội tiếp đường tròn đường kính EF ⇒ APQ= AFE
⇒ AQP AEF
2 2
2 2
2
APQ
AEF APQ AEF
⇒ = = = ⇒ =
CPD= APD (BD là trung trực của AC)
Do đó CMD= MCD
Mặt khác, M là trung điểm của AE nên M thuộc trung trực của CD
Suy ra MCD= MDC CMD= ⇒∆MCD đều
GV toán - trường THCS Phú Long - Hàm Thuận Bắc - Bình Thuận