Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định.. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2014 – 2015
Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng 6 năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,0 điểm).
1) Tính giá trị biểu thức :
1 1
x A x
khi x = 9.
2) Cho biểu thức
.
P
với x > 0;x 1
a) Chứng minh
1
x P
x
b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x 5
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài III (2,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình
5 1
1 1
2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + 6 và parabol (P): y = x2
a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P)
b) Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB
Bài IV (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
3) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất
Bài V (0,5 điểm).
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 2a bc 2b ca 2c ab .
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2014 – 2015
Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng 6 năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút ( Đây là đáp án, biểu điểm dự kiến của Nguyễn Thị Xuyến giáo viên Trường THCS Nam Phương Tiến B, Chương Mỹ, Hà Nội Website: nganduongnpt.violet.vn )
Bài I (2,0 điểm).
1) Tính giá trị biểu thức :
1 1
x A x
khi x = 9.
2) Cho biểu thức
.
P
với x > 0;x 1
a) Chứng minh
1
x P
x
b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x 5
Bài 1.1
(0,5 điểm) Với x = 9 thì
3 1 4
3 1 2
Bài 1.2.
(1,5 điểm) a) Chứng minh P x x1.
- Với x > 0;x 1ta có
.
P
.
P
0, 25
.
P
1
x x
- Vậy vớix > 0;x 1ta có
1
x P
x
0, 25
b) - Với x > 0;x 1ta có:
1
x P
x
- Để 2P = 2 x 5 nên
2 x 1
x
2 x 5
0, 25
- Đưa về được phương trình 2x3 x 2 0
0, 25
Trang 3- Tính được
2
x x
x > 0;x 1
- vậy với x = 1/4 thì 2P = 2 x 5
0, 25
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
điểm)
Bài 2
(2,0 điểm)
- Gọi mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất số sản phẩm theo là x ( sản phẩm; đk x nguyên dương)
Khi đó trên thực tế mỗi ngày phân xưởng làm được số sản phẩm là x + 5 (sp)
0, 5
- Số ngày làm theo kế hoạch là:
1100
x ngày
Số ngày làm trên thực tế là:
1100 5
Vì thời gian thực tế ít kế hoạch 2 ngày , ta có phương trình:
1100 1100
2 5
+ Giải phương trình tìm được x1 55;x2 50 0,5
Vì x 0 nên x 1 50 thỏa mãn điều kiện của ẩn, x 2 55
không thỏa mãn điều kiện của ẩn
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng làm được 50 sp 0,25
Trang 4Bài III (2,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình
5 1
1 1
2)Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + 6 và parabol (P): y = x2
a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P)
b) Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB
Bài 3.1
(1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
5(1) 1
4(2) 1
đk xy y; 1.
0,25
- Lấy (1) trừ từng vế cho (2) ta được:
9
- Thay y = 2 vào (1) ta tính được x = -1 Vậy hệ pt có nghiệm là (x; y) = ( - 1; 2 )
0, 5
0,25
Bài 3.2.
(1,0 điểm)
a) - Xét phương trình hoành độ giao điểm:
+
3
x
0, 25
- Chỉ ra:
- Kết luận: A(2;4) và B(-3;9)
0, 25
- b) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành.
Ta có SOAB S AA 'B'B SOAA' SOBB'
Ta có A’B’ = x B' x A ' x B' x A ' 5
, AA’ = y A 9 , BB’ = y B 4
0, 25
Diện tích hình thang : S AA'B'B AA ' BB'2 .A 'B'9 42 .5652 (đvdt) OAA'
S
A 'A.A 'O
(đvdt); SOBB'
1 B'B.B'O 4 2
(đvdt)
OAB AA 'B'B OAA ' OBB'
65 27
- Kết luận
0, 25
Trang 5Bài IV (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
3) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất
điểm) Hình vẽ:
0,25
1
(0,75 điểm)
- Tứ giác AMBN có 4 góc vuông, vì là 4 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R)
0,75
2
(1 điểm)
Ta có ANM ABM (cùng chắn cung AM của (O;R) ) 0,25
- Chỉ raABM AQB (cùng phụ với góc MAB) 0,25
- Vì ANM AQB nên MNPQ nối tiếp (do có góc ngoài tại một
3
*/ Chứng minh: F là trung điểm của BP
- Chỉ ra OE là đường trung bình của tam giác ABQ
- Chứng minh được OF // AP nên OF là đường trung bình của
0,25
P
Q
O
F
E
N
M
Trang 6(1,0 điểm) tam giác ABP
Suy ra F là trung điểm của BP
0,25
*/ Chứng minh: ME // NF
Mà AP vuông góc với AQ nên OE vuông góc OF
Xét tam giác vuông NPB có F là trung điểm của cạnh huyền BP
Xét 2 tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên ONF 90 0 Tương tự ta có OME 90 0nên ME // NF vì cùng vuông góc với MN
0,25 0,25
4
(0,5 điểm)
- Ta thấy : 2S MNPQ 2S APQ 2S AMN
2R.PQ AM.AN 2R.(PB BQ) AM.AN
- Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy ra
AB BP
QBBA
2
AB BP.QB
Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
2
PB BQ 2 PB.BQ 2 (2R) 4R
0,25
- Ta có
AM.AN
= 2R2
Do đó,2S MNPQ 2R.4R 2R 2 6R2 Suy ra S MNPQ 3R2 Dấu bằng xảy ra khi AM =AN và PQ = BP hay MN vuông góc AB
0,25
Bài V (0,5 điểm).
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 2a bc 2b ca 2c ab .
(0,5 điểm)
- Ta có Q 2a bc 2b ca 2c ab
a2ab bc ca
(a b) (a c) (a b)(a c)
2
(Áp dụng bất đẳng thức với 2 số dương a+b và a+c) Vậy ta có 2a bc
(a b) (a c) 2
(1)
0,25
Tương tự ta có :
2b ca
(a b) (b c) 2
(2)
2c ab
(a c) (b c) 2
(3) Cộng (1) (2) (3) vế theo vế Q 2(a b c) 4
Khi a = b = c =
2
3thì Q = 4 vậy giá trị lớn nhất của Q là 4
0,25
Trang 7Lưu ý khi chấm bài:
- Điểm toàn bài không được làm tròn.
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 4, nếu học sinh không vẽ hình thì không chấm.