Tài liệu Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai doc

Tóm tắt lý thuyết Chú ý ban đầu: Tr ớc khi xét một tam thức khi hệ số a chứa tham số, cần xét −ơng trình x riêng tr ờng hợp a=0... So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với một số cho

Giải bài kỳ tr ớc −ớc

Bài 1 a) Giải ph ơng trình x−ơng trình x 4=3x2+10x+4

b) x3=6x2+1

Giải

a) Viết lại ph ơng trình đã cho d ới dạng: −ơng trình x −ơng trình x

α2

Chọn α để vế phải là một hằng đẳng thức, tức là

2

Thấy α =1 thoả mãn ( Chú ý chỉ cần chọn một nghiệm α )

Vậy ta có:

⇔ 



2 2

2

2

2

Đây là hai ph ơng trình bậc hai , từ đó giải đ ợc nghiệm −ơng trình x −ơng trình x







2

2

x

x

b) x3=6x2+1⇔ x3-6x2-1=0 (xem dạng 6- ph ơng trình bậc 3) −ơng trình x

a

Khi đó ph ơng trình đã cho t ơng đ ơng với ph ơng trình sau: −ơng trình x −ơng trình x −ơng trình x −ơng trình x

⇔ =

3

3

15

y

y

0

Từ đó nghiệm của ph ơng trình là −ơng trình x x = + 2 3 1 5

Bài 2 Giải ph ơng trình a(ax−ơng trình x 2+bx+c)2+b(ax2+bx+c)+c=x

Đặt ax2 +bx+ =c y

Ta có hệ ph ơng trình sau: −ơng trình x

 + + =



2 2

Đây là hệ ph ơng trình đối xứng loại I đã biết cách giải −ơng trình x

Chú ý: Tổng quát hơn khi gặp ph ơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một −ơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một hàm số nào đó thì đặt f(x)=y, ta sẽ có hệ đối xứng loại I:

 =

=



( ) ( )

Bài 3 (ĐH Ngoại th ơng-2000) −ơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một

Giải ph ơng trình (x−ơng trình x 2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4

Viết lại ph ơng trình d ới dạng: −ơng trình x −ơng trình x

(x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)-4=x

Đây là dạng cụ thể của bài 2 Đặt x2+3x-4=y, ta có hệ:

 + − =



2 2

Từ hai ph ơng trình cho nhau, giải ra ta đ ợc −ơng trình x −ơng trình x x = 0;x= − = − ± 4;x 1 5

Bài 4.Giải hệ ph ơng trình −ơng trình x

a)

3

3







b)

3

3







c)

0 3 4 1

8

x y z

xy yz zx

xyz













=



Giải

a)

3

3







) )

0

Đây là ph ơng trình đối xứng loại II Trừ hai ph ơng trình cho nhau ta đ ợc −ơng trình x −ơng trình x −ơng trình x

3 3

⇔ =

Thay x=y vào (1) ta đ ợc: −ơng trình x x3 = 2(x− ⇔ − 1) x3 2x= − 2

ở đây p=2, q=-2

p

x= t= t, khi đó ta đ ợc ph ơng trình t ơng đ ơng: −ơng trình x −ơng trình x −ơng trình x −ơng trình x

3

3

3

3

3 3

2 2

= −

Đặt 3 3

1

2 2

m = − ⇒ m > nên ph ơng trình có nghiệm duy nhất −ơng trình x

1

2

2

3

Vậy nghiệm của hệ ph ơng trình đã cho là: −ơng trình x

x

y







b) Giải t ơng tự nh a) −ơng trình x −ơng trình x

c)

0 3 4 1

8

x y z

xy yz zx

xyz













=



áp dụng công thức Viet cho ph ơng trình bậc ba, khi đó x,y,z là nghiệm của ph ơng −ơng trình x −ơng trình x trình bậc ba sau đây:

3 3

0

1

2

Vì 1

cos

π

= nên nghiệm của ph ơng trình là (xem ph ơng pháp giải) −ơng trình x −ơng trình x

2 3

π

±

Tóm lại ph ơng trình có ba nghiệm là: −ơng trình x

1 2 7 3 5

9

Từ đó nghiệm của hệ ph ơng trình là: −ơng trình x (cos ; cos7 ;cos5 )

cùng các hoán vị của bộ

ba số này

Bài 5 Giải các ph ơng trình −ơng trình x

4x -3x=

2

4

x + x=

c)x4=4x+1

Giải

a),b) Xem cách giải trong phần ph ơng trình bậc ba −ơng trình x

c)Viết lại ph ơng trình đã cho d ới dạng: −ơng trình x −ơng trình x

x4 2 x2 2 2 x2 4x 1 2

Chọn α để vế phải là hằng đẳng thức tức là :

∆ = ' 4 2 (1 − α + α2) 0 =

Nhận thấy α =1 thoả mãn

Viết lại ph ơng trình d ới dạng: −ơng trình x −ơng trình x

2 2

⇔ 



2 ]

Đây là các ph ơng trình bậc hai nên có thể giải dễ dàng −ơng trình x

Bài 7 Dấu của tam thức bậc hai

A Tóm tắt lý thuyết

Chú ý ban đầu: Tr ớc khi xét một tam thức khi hệ số a chứa tham số, cần xét −ơng trình x riêng tr ờng hợp a=0 Chỉ khi a −ơng trình x ≠ 0 các điều sau đây mới đ ợc thực hiện −ơng trình x

1.Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức f(x)=ax2+bx+c; trong đó a ≠ 0

+) Nếu ∆ <0 thì a.f(x)>0 ; ∀ x ∈ R, tức là f(x) luôn cùng dấu với hệ số a

+)Nếu ∆ =0 thì a.f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R, f(x) =0 ⇔

2

b x a

= − , tức là f(x) luôn cùng dấu với

hệ số a với mọi

2

b x a

≠ −

+) Nếu ∆ >0 thì f(x) =0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1<x2) và

*) af(x)<0 ∀ x ∈ (x1;x2)

*) a.f(x)>0 ∀ x ∈ (-∞;x1) ∪(x2;+∞ ) Tức là trong khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu với hệ số a, ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với hệ số a

2 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

2.1 Định lý

Cho tam thức bậc hai f(x) =ax2+bx+c Nếu có một số α sao cho a.f(α ) <0 thì f(x) có hai nghiệm x1,x2 và x1< α <x2, tức là α nằm giữa hai nghiệm của f(x)

2.2 So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với một số cho tr ớc ước ước

Cho ph ơng trình bậc hai f(x) =axương trình x 2+bx+c=0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1,x2 và một

số α Khi đó

+)x1< α < x2 ⇔ a f ( ) 0 α <

α

α



∆ >

 ư >



1 2

1 2

0

ph ơng trình có hai nghiệm x , ương trình x

0 2

x

a f

S

α

α



∆ >

 ư <



1 2

1 2

0

ph ơng trình có hai nghiệm x , ương trình x

0 2

x

a f

và x x

S

α

∆ >



>



0

a f

2.3 So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với hai số cho tr ớc ước ước

Cho ph ơng trình f(x) =axương trình x 2+bx+c=0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1,x2 và hai số α , β (giả sử α < β ) Khi đó

β



<



a.f( )<0 ( tức là cả hai số đều nằm trong khoảng hai nghiệm)

a f

(Chú ý rằng khi đó ph ơng trình luôn có hai nghiệm, không cần điều kiện ương trình x ∆ ≥ 0) +)Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt và chỉ có một nghiệm thuộc ( ương trình x α β ; ) ⇔ f( ) ( ) α f β < 0

+)

α

α β





∆ ≥









 ư >





ư <





1 2

0 a.f( )>0

0 2

0 2

S S

B Ph ơng pháp giải và ví dụ minh hoạ ước

Dạng 1 : Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất ph ơng trình hữu tỉ ương trình hữu tỉ

a) Xét dấu một biểu thức E

+) Viết E d ới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai và nhị thức bậc nhất ương trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một +)Lập bảng xét dấu

b)Giải bất ph ơng trình hữu tỉ ương trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một

+) Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế

+)Rút gọn biểu thức có đ ợc ương trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một

+) Xét dấu biểu thức đó

+)Dựa vào bảng xét dấu để chọn miền nghiệm

Ví dụ 1 Xét dấu biểu thức sau:

2 1 2 7

E = x − x− − x− )2

Giải

áp dụng hằng đẳng thức, viết lại E d ới dạng: −ơng trình x

2 2 2 2 1 7 1 [ 2 (2 )].[ 2 (2 )] 2 2 2 ( 4)( 4 3) E x x x x x x x x x = − − + − − − − − = − − + 7 2 +) x2-4=0 có hai nghiệm là -2,+2 +)x2-4x+3=0 có hai nghiệm là: 1;3 áp dụng quy tắc xét dấu đối với tam thức bậc hai ta có bảng sau: Ví dụ 2 Giải bất ph ơng trình: −ơng trình x x - ∞ -2 1 2 3 + ∞

x 2 - 4 + 0 - - 0 + +

x 2 – 4x +3 + + 0 - - 0 +

E + 0 - 0 + 0 - 0 +

5 2 1 2 2 1 5 x x x x + − + > − + Giải

2 5 2 1 2 2 1 5 5 2 1 2 0 2 1 5 12 36 0 (2 1)( 5) x x x x x x x x x x x x + − + > − + + − ⇔ + − − + − + ⇔ > − + > Từ đó ta có bảng xét dấu sau:

x - ∞ -5 1/2 6 + ∞

x2 – 12x + 36 + + + 0 +

(2x-1)(x+5) + 0 - 0 + +

f(x) + - + 0 +

Dựa vào bảng xét dấu ta có nghiệm của bất ph ơng trình là: −ơng trình x x<-5 ∨ 1 6 2 <x< ∨ x>6 Chú ý: Nếu đề toán là: 5 2 1 2 2 1 5 x x x x + − + ≥ − + thì nghiệm của bài toán là: x<-5 ∨ 1 2 x >

Dạng 2 Giải và biện luận bất ph ơng trình bậc hai −ơng trình hữu tỉ

f(x)=ax 2 +bx+c>0 ( hay <; ≤ ; ≥ )

*) Xét riêng tr ờng hợp hệ số a=0 ương trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một

*) Khi a ≠ 0

+) Lập bảng xét dấu của a và biệt thức ∆ trên cùng một bảng

+)áp dụng đính lý về dấu của tam thức bậc hai để xác định nghiệm của bất ph ơng ương trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một trình Ví dụ 3 Giải và biện luận bất ph ơng trình ương trình x (mư 1)x2ư 4(m+ 1)x m+ + ≤ 1 0 (1 ) Giải Ta xét các tr ờng hợp: ương trình x a) a=m-1=0 ⇔ m=1: Ta có: (1) ⇔ -8x+2≤ 0 ⇔ 1 4 x ≥ b) m ≠ 1; Khi đó (1) là một bất ph ơng trình bậc hai: ương trình x +) a=m-1=0 ⇔ m=1 +) ∆ '=(3m+5)(m+1)=0 ⇔ 5 3 m = ư ∨ m=-1 Ta có bảng xét dấu sau:

m - ∞ -5/3 -1 1 + ∞

a - - - 0 +

∆ ’ + 0 - 0 + +

Từ bảng xét dấu ta có: +) < ư5 hoặc -1<m<1: 3 m Khi đó ta có a<0 và ∆ '>0, ph ơng trình t ơng ứng có hai nghiệm là: ương trình x ương trình x

=



ư





=



1

2

1

1

m x

m m x

m

Trong tr ờng hợp này xương trình x 1>x2, từ đó áp dụng quy tắc xét dấu (1)⇔ x ≤ x2 hoặc x ≥ x1 +) ư ≤5 ≤ ư 1

Trong tr ờng hợp này a<0 và ương trình x ∆ '≤ 0, tam thức mang dấu của hệ số a nên (1) ⇔ x ∈ R +) m>1: Trong tr ờng hợp này a>0, ương trình x ∆ '> và x1<x2

Khi đó (1) ⇔ x1≤ x ≤ x2

Tóm lại:

4

x

+) < 5 hoặc -1<m<1: x ≤ x ;2 1

3

+)− ≤5 ≤ − 1 : ∈

x

+) m> 1 :x1 ≤ ≤x 2

Trong đó :

=

−

=

−

1

2

1

1

x

m

x

m

Dạng 3 Tìm điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R

Ta có:

>



∆ <



>



∆ ≤



<



∆ <



≤



∆ <



0

0 0

0 0

0 0

0

a

a

a

a

*)Chú ý: Nếu hệ số a có chứa tham số thì phải xét riêng tr ờng hợp a=0 −ơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một

Ví dụ 4 Tìm m sao cho:

a) f x( ) = 2x2− 2(m+ 1)x+ 2m+ > 1 0 ∀∈R

b)f x( ) = (m− 1)x2− (m− 1)x+ − 1 2m≤ 0 ∀ ∈x R

Giải

a) Ta có:

2

m

b)*) m=1: khi đó f(x) có dạng f(x)=-1 <0 ∀ x ∈ R Do đó m=1 thoả mãn

*) m ≠ 1: ta có:

= − <





<





≥



1 5

1 5

9 9

m

m m

Ví dụ 5 Tìm m để bất ph ơng trình sau vô nghiệm −ơng trình x

f x( ) =mx2− (2m− 1)x+m+ < 1 0 (1)

Giải

*) Nếu a=m=0, khi đó (1) ⇔ x+1<0: có nghiệm ⇒ m=0 loại

*) Nếu m ≠ 0





8

Ví dụ 6 Tìm m để:

2 2

4 2 4

x R

+ +

≤ ∀ ∈

Giải

Vì tam thức x2+x+4 có ∆ =-15<0 nên x2+4x+4>0 ∀ x ∈ R

để

2

2

4

2 4

x R

+ +

≤ ∀ ∈

− + thoả mãn cho mọi x ∈ R tr ớc hết hàm phải xác định tại mọi −ơng trình x

x ∈ R, suy ra x2-mx+4=0 phải vô nghiệm, tức là ∆ =m2-16<0

Với ∆ =m2-16< 0 thì tam thức x2-mx+4>0 ∀ x ∈ R

Do đó

2

2

m

R

Vậy điều kiện của bài toán là:

2 2

m

m m







Dạng 4.So sánh một số với các nghiệm của một tam thức bậc hai

nghiệm x 1 ; x 2 của nó

áp dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai, ta thức hiện các b ớc sau: −ơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một

*)Xét riêng tr ờng hợp a=0 −ơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một

*)Khi a ≠ 0:Tính a.f(α )

+)Nếu a.f(α )<0 thì ph ơng trình f(x) =0 luôn có hai nghiệm x −ơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một 1 ;x 2 ( luôn có ∆ >0), khi

đó α nằm giữa hai nghiệm: x 1 <α <x 2

+)Nếu a.f(α )>0, ta tính ∆

-Nếu ∆ <0 thì ph ơng trình f(x)=0 vô nghiệm, việc so sánh nghiệm với −ơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một α là vô nghĩa -Nếu ∆ =0 thì ph ơng trình f(x)=0 có nghiệm kép −ơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một 1 2

2

b

a

tiếp nghiệm này với α

-Nếu ∆ >0 thì ph ơng trình f(x)=0 có hai nghiệm x −ơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một 1 ,x 2 và α nằm ngoài đoạn [x 1 ;x 2 ]

Để biết rõ α nằm về bên nào của nghiệm đó ta so sánh α với nửa tổng của hai nghiệm tức là so sánh với

a

= −

2

S

2

S

*Cụ thể hơn xem phần A, mục 2.2

Ví dụ 7 Tìm m để các ph ơng trình sau đây có hai nghiệm x−ơng trình x 1;x2 thoả mãn điều kiện

đ ợc nêu: −ơng trình x

a)mx2+(m-1)x+3-4m=0 với x1<2<x2

b)(m+1)x2-(m-3)x+m+1=0 với -1<x1 ≤ x2

Giải

a)Đặt f(x)= mx2+(m-1)x+3-4m

Tr ờng hợp 1: a=m=0: Loại vì khi đó f(x) là nhị thức bậc nhất nên không thể có hai −ơng trình x nghiệm

Tr ờng hợp 2: m −ơng trình x ≠ 0, f(x) là tam thức bậc hai

1

2

b) Đặt f x( ) = (m+ 1)x2− (m− 3)x+m+ 1

Tr ờng hợp 1: a=m+1=0 −ơng trình x ⇔ m=-1 loại

Tr ờng hợp 2: m −ơng trình x ≠ -1

≤







 > −







+















< − >



1 2 2

2

( )=0 có hai nghiệm thoả mãn:-1<x

1 2

0

1 5

3 1

3 1 1;

3

−

S

m m

m

Ví dụ 8 Biện luận theo m vị trí của số 1 đối với các nghiệm của ph ơng trình: −ơng trình x

f x( ) = (m+ 1)x2 − 4mx+m= 0 (1)

Giải

Tr ờng hợp 1 a=m+1=0 −ơng trình x ⇔ m=-1, thay m=-1 vào f(x) ta có (1) ⇔ =1

4

x

Tr ờng hợp 2: m −ơng trình x ≠ -1

=







= −





= ⇔



−

− =

+

− = ⇔ =

2

0

3

1

2 1

1

2

m m

m

a f

m

m S

m

Từ đó ta có bảng biện luận sau:

(Hình 4)

Dạng 5 So sánh các nghiệm của ph ơng trình bậc hai với hai số cho tr ớc −ơng trình hữu tỉ −ơng trình hữu tỉ

Cách giải: Xem phần A, mục 2.3

Ví dụ 9 Tìm m để các ph ơng trình sau thoả mãn các điều kiện đ ợc nêu: −ơng trình x −ơng trình x a) f(x)=(m+1)x2+mx+3=0 với x1<-2<1<x2

b)f(x)=x2-2mx+m=0, với x1;x2 ∈ (-1;3)

Giải

a) Tr ờng hợp 1: a=m+1=0 −ơng trình x ⇔ m=-1 loại vì khi đó f(x) chỉ có một nghiệm

Tr ờng hợp 2: m −ơng trình x ≠ -1

Điều kiện của bài toán là:









− < < −



− < < −



7

1 5 2

1 2

5

1 2

m

m m

< −

b) Điều kiện của bài toán là:

ư < ≤ <

<









⇔ 

 ≤ <



1 2 2

m>-3

9

5

2

3

2 1

0 3

9 1

5

S

m S

m m m

C Bài tập tự giải

1) Tìm m để ph ơng trình sau có hai nghiệm xương trình x 1;x2 thoả mãn:

( ) = 2 ư 2 ư 3 = 0 với m ≤ 1< < 1 2

2

2) Biện luận theo m vị trí của số 2 đối với nghiệm của ph ơng trình: ương trình x

(mư 2 )x2 ư 2(m+ 1)x+ 2mư = 6 0

0

0

3) Tìm m để bất ph ơng trình sau vô nghiệm: ương trình x

(m+ 1 )x2ư 2mxư (mư 3) <

4)Cho f x( ) = (m+ 1)x2ư 2(mư 1)x+ 3mư 3

Tìm m để bất ph ơng trình f(x)ương trình x ≥ 0 có nghiệm

5 Cho bất ph ơng trình: ương trình x

x2+ 6x+ + 7 m≤

a) Tìm m để bất ph ơng trình vô nghiệm ương trình x

b)Tìm m để bất ph ơng trình có đúng một nghiệm ương trình x

c)Tìm m để bất ph ơng trình có miền nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng ương trình x

1