Tài liệu Lý thuyết mở rộng trường và GALOIS pdf

• Có theˆ’ tra cu´’u d¯eˆ´n tu`’ng phaˆ`n cu’a giáo trình ba˘`ng cách click vào Bookmarksbên leˆ` trái cu’a Acrobat Reader... ˙c d¯o`’i cu’a Evariste Galois... Lí thuyeˆ´t Galois có nhie

Khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế

Giáo trình điện tử

LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ

GALOIS

Huế 12-2006

• Có theˆ’ tra cu´’u d¯eˆ´n tu`’ng phaˆ`n cu’a giáo trình ba˘`ng cách click vào Bookmarks

bên leˆ` trái cu’a Acrobat Reader

• Có siêu kiên keˆ´t tham kha’o chéo và tham chieˆ´u d¯eˆ´n các tài lieˆ

• Có siêu liên keˆ´t d¯eˆ’ tra cu´’u các thuaˆ

• Có theˆ’ liên keˆ´t vo´’i trang web chı’ ra.

• Có siêu liên keˆ´t d¯eˆ’ tham kha’o nhanh hu’o´’ng daˆ˜n gia’i cu’a tu`’ng bài taˆ

• Có theˆ’ d¯o

• Có theˆ’ dùng d¯eˆ’ trình chieˆ´u vo´’i chu´’c na˘ng View|Full Screen

˙c d¯o`’i cu’a Evariste Galois 10

0.1 Tru’o`’ng D¯ a˘˙c soˆ´ cu’a tru’o`’ng. . 220.2 Vành d¯a thu´’c 25

iii

˙ng hu˜’u ha

˙n và mo’’ roˆ

˙ng d¯a˙i soˆ´ . 69

˙i soˆ´. . 71Bài taˆ

ke’ và compa 81

Bài taˆ

˙p . 86

§5 Tru’o`’ng phân rã cu’a moˆ

˙t d¯a thu´’c D¯ a thu´’c tách d¯u’o˙’c . 915.1 Tru’o`’ng phân rã cu’a moˆ

˙t d¯a thu´’c 91

5.2 ¯ a thu´’c tách d¯u’o˙’cD . 98Bài taˆ

Bài taˆ

˙p . 120

§7 Mo’’ roˆ ˙ng tách d¯u’o ˙’c, chuaˆ’n ta˘´c và Galois . 124

7.1 Mo’’ roˆ ˙ng tách d¯u’o ˙’c và d¯i˙nh lí phaˆ`n tu’’ nguyên thu’y 124

7.2 Tiêu chuaˆ’n cu’a mo’’ roˆ ˙ng Galois và chuaˆ’n ta˘´c . 127

Bài taˆ ˙p . 133

§8 ¯ i˙nh lí co’ baD ’ n cu’a Lí thuyeˆ´t Galois . 137

Bài taˆ ˙p . 151

§9 Moˆ ˙t soˆ´ u´’ng du ˙ng cu’a Lí thuyeˆ´t Galois . 156

9.1 Tru’o`’ng hu˜’u ha ˙n . 156

9.2 Tru’o`’ng và d¯a thu´’c chia d¯u’o`’ng tròn 160

9.3 ¯ a giác d¯eˆ`u du˙’ng d¯u’o˙’c ba˘D ` ng thu’o´’c ke’ và compa . 169

9.4 ¯ i˙nh lí co’ baD ’ n cu’a d¯a˙i soˆ´ . 171

Bài taˆ ˙p . 173

§10 Nhóm Galois cu’a d¯a thu´’c 179

10.1 Bieˆ ˙t thu´’c 179

10.3 ¯ a thu´’c baˆ˙c 4D . 18410.4 ¯ a thu´’c toˆ’ng quátD 191

Bài taˆ

˙p . 197

§11 Tiêu chuaˆ’n gia’i d¯u’o

˙’c ba˘`ng ca˘n thu´’c cu’a d¯a thu´’c . 20111.1 Mo’’ roˆ

˙ng ca˘n và tiêu chuaˆ’n gia’i d¯u’o

˙’c . 20111.2 Tính không gia’i d¯u’o

˙’c cu’a d¯a thu´’c có baˆ˙c lo´’n ho’n boˆ´n 211

11.3 Nghieˆ

˙m ca˘n thu´’c cu’a các d¯a thu´’c toˆ’ng quát có baˆ

˙c không quá 4213Bài taˆ

TÀI LIEˆ

CHI’ MU

Lí thuyeˆ´t Galois là moˆ

˙p d¯e˜ nhaˆ´t cu’a d¯a˙i soˆ´, taˆ˙p ho˙’pnhieˆ`u kieˆ´n thu´’c và phu’o’ng pháp cu’a các lı˜nh vu

quyeˆ´t các bài toán coˆ’ d¯ieˆ’n và nhu˜’ng vaˆ´n d¯eˆ` quan tro

˙ng khác cu’a d¯a˙i soˆ´ hieˆ˙n d¯a˙i.Moˆ

tìm nghieˆ

baˆ

phép xác d¯i

d¯ó, chúng ta nhaˆ

d¯ieˆ’n, d¯ó là không theˆ’ (ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa) chia ba moˆ

phu’o’ng hoa˘

Do taˆ`m quan tro

˙cnày d¯ã d¯u’o

Su’ pha

nhu’ kieˆ´n thu´’c co’ ba’n d¯eˆ’ tu`’ d¯ó mo’’ roˆ

du

Tru’o`’ng D¯ a˙i ho˙c su’ pha˙m Hueˆ´ suoˆ´t ho’n 10 na˘m tru˙’c tieˆ´p gia’ng da˙y môn ho˙c này.Trong quá trình d¯ó, ba’n tha’o d¯u’o

chu’o’ng trình cu’a Boˆ

cu

tìm d¯u’ trong moˆ

nha˘`m d¯áp u´’ng nhu caˆ`u su’’ du

ho

giáo viên phoˆ’ thông trung ho

này co’ so’’ toán ho

thu´’c, cu’a các bài toán du

su’’ toán ho

nhu˜’ng heˆ

nhu˜’ng ví du

cu˜ng nhu’ vieˆ

sinh viên và ho

thu´’c D¯ eˆ’ làm vieˆ˙c vo´’i giáo trình này, d¯oˆ˙c gia’ chı’ caˆ`n moˆ˙t soˆ´ kieˆ´n thu´’c co’ so’’ cu’a d¯a

˙isoˆ´ tuyeˆ´n tính, lôgic, d¯a

˙’cd¯i

boˆ’ sung, neˆ´u chu’a d¯u’o

Cao d¯a˘’ng, se˜ d¯u’o

cung caˆ´p moˆ

nghieˆ

keˆ´t qua’ chu’ yeˆ´u Gaˆ`n 150 bài taˆ

d¯u’ trong noˆ˜ lu

vieˆ

˙ccaˆ`n khai thác su

vieˆ

xi

vô cùng d¯o’n gia’n vo´’i su

trình Nhieˆ`u thaˆ`y cô, d¯oˆ`ng nghieˆ

báu trong quá trình biên soa

˙t laˆ`nnu˜’a, go’’i lo`’i ca’m o’n sâu sa˘´c d¯eˆ´n các thaˆ`y cô, d¯oˆ`ng nghieˆ

nhu˜’ng giúp d¯o˜’ vô giá trên

Ma˘

gia’ vô cùng bieˆ´t o’n neˆ´u nhaˆ

phát hieˆ

xin gu’’i veˆ` d¯i

Hueˆ´, 32 Lê Lo

Hueˆ´ ngày 25 tháng 4 na˘m 2007

Lí thuyeˆ´t Galois có nhieˆ`u cách tieˆ´p caˆ

u’u d¯ieˆ’m là trình bày Lí thuyeˆ´t Galois trên co’ so’’ Lí thuyeˆ´t mo’’ roˆ

d¯ieˆ’m d¯ó cu’a Boˆ

soa

Lí thuyeˆ´t Galois Moˆ˜i chu’o’ng d¯u’o

ho

0), nha˘`m nha˘´c la

ga˘´ng trình bày theo thu´’ tu

nhiên tùy theo mu

Sau khi d¯o

taˆ

caˆ`n) Các bài taˆ

cao ho’n Nhu’ d¯ã trình bày, neˆ´u có d¯ieˆ`u kieˆ

thông qua các ví du

˙i soˆ´ d¯a˙i cu’o’ng

xiii

Các d¯i

˙nh lí, meˆ˙nh d¯eˆ`, heˆ˙ qua’, boˆ’ d¯eˆ` d¯u’o

công thu´’c hoa˘

hay d¯o’n gia’n là “A.2.” Giáo trình có ba’ng các kí hieˆ

nieˆ

A) LI

˙ CH SU ’’ GIA’I PHU’O’NG TRÌNH D ¯ A THU ´’C

Ngày nay, ngu’o`’i ta tin ra˘`ng, vieˆ

d¯a

1 Thông tin trong phaˆ`n này d¯u’o˙’c tham kha’o chu’ yeˆ´u tu`’ [ 5 ] và [ 7 ].

(780-880) Tuy nhiên, các nhà toán ho

cuoˆ´n sách cu’a mình có tên “Hisabal-jabrw’al-muqaba”, al-Khwarizmi d¯ã phân

thành 6 loa

bày cách gia’i cho tu`’ng loa

“Algebra” (d¯a

tieˆ´ng cu’a nhà toán ho

Tru’o`’ng phái toán ho

Pacioli (1445-1517) xuaˆ´t ba’n na˘m 1494, d¯u’o

trong d¯ó lo`’i gia’i cu’a phu’o’ng trình baˆ

x4 + a = bx2 thì không theˆ’ gia’i d¯u’o

˙ ’c”.

Ngu’o`’i d¯aˆ`u tiên tìm d¯u’o

del Ferro (1465-1526), moˆ

d¯u’o

du

d¯u’ d¯eˆ’ gia’i taˆ´t ca’ các da

không bieˆ´t d¯ieˆ`u d¯ó Ferro gia’i d¯u’o

nhu’ng giu˜’ bí maˆ

˙ctrò cu’a mình là Antonio Fior Fior là moˆ

không lâu sau d¯ó N Fontana (d¯u’o

boˆ´ thành công cu’a mình Moˆ

na˘m 1535 Luaˆ

˙c

ba cho d¯oˆ´i thu’, he

phu’o’ng trình mà Fior d¯u’a ra cho Tartaglia d¯eˆ`u có da

3 + mx = b và Fior tin

✎

Hình 1: Chân dung Tartaglia

cha˘´c là Tartaglia không theˆ’ gia’i d¯u’o

d¯ã tìm d¯u’o

chúng, Tartaglia d¯u’a ra lo`’i gia’i cu’a 30 bài toán trong vòng 2 gio`’ và d¯u’o

là ngu’o`’i tha˘´ng cuoˆ

Chieˆ´n tha˘´ng cu’a Tartaglia lan d¯eˆ´n Milan, kích thích moˆ

du’ khác, bác sı˜ Girolamo Cardano (1501-1576) Cardano laˆ

d¯eˆ´n tha˘m Milan vào na˘m 1539 và tìm cách thuyeˆ´t phu

phu’o’ng trình baˆ

bí maˆ

Cardano không giu˜’ giao u’o´’c, lo`’i gia’i cu’a phu’o’ng trình baˆ

˙’cxuaˆ´t hieˆ

na˘m 1545 Tartaglia vô cùng tu´’c giaˆ

d¯ó, Tartaglia kha˘’ng d¯i

Trong “Ars Magna”, cuoˆ´n sách tieˆ´ng Latinh d¯aˆ`u tiên trên theˆ´ gio´’i veˆ` d¯a

˙i soˆ´,Cardano có d¯eˆ` caˆ

nghieˆ

minh công thu´’c cu˜ng nhu’ trình bày lo`’i gia’i chi tieˆ´t là cu’a ông cùng các ho

phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆ

nghieˆ

˙ c ba),

roˆ`i su’’ du

✎

Hình 2: Chân dung G Cardano

Lodovico Ferari (1522-1565), moˆ

Moˆ

Ferro là ngu’o`’i d¯ã gia’i d¯u’o

Su

gio´’i tieˆ´p tu

Viéte (1540-1603, Pháp), Descartes (1596-1650, Pháp), Harriot (1560-1621, Anh),

Hình 3: Chân dung N Abel

Pháp) Sau khi gia’i d¯u’o

ca˘n thu´’c cho phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆ

baˆ

˙’c bu’o´’c

✎

tieˆ´n quan tro

trình baˆ

mà chúng không d¯oˆ’i du’o´’i tác d¯oˆ

d¯a thu´’c ; ông cu˜ng d¯ã chı’ ra ra˘`ng quá trình d¯ó không theˆ’ thu

˙’c hieˆ˙n d¯u’o

˙’c d¯oˆ´i vo´’i d¯athu´’c baˆ

ba˘`ng ca˘n thu´’c tro’’ thành moˆ

(1765-1822, Italy) d¯ã coˆ´ ga˘´ng d¯u’a ra moˆ

chu´’ng minh cu’a ông còn nhieˆ`u d¯ieˆ’m không chính xác Vaˆ´n d¯eˆ` chı’ d¯u’o

tro

na˘m 1824 Abel chu’a ki

˙ t phu’o’ng trình d¯a thu ´’c baˆ

˙ c n có theˆ’ gia’i d¯u’o

˙ ’c ba˘`ng ca˘n thu ´’c” thì ông qua d¯o`’i lúc chu’a tròn

27 tuoˆ’i Công trình cu’a Abel chı’ d¯u’o

Ba na˘m sau, moˆ

dàng có câu tra’ lo`’i cho bài toán toˆ’ng quát trên Pha’i d¯o

Hình 4: Chân dung Galois lúc 15 tuoˆ’i

na˘m sau ngày ông qua d¯o`’i, nhu˜’ng tuyên boˆ´ sau cu’a nhà toán ho

Liouville (1809-1882) trong bu´’c thu’ gu’’i cho Vieˆ

d¯ánh daˆ´u su

Liouville vieˆ´t :

Hy vo

˙ ng tôi se˜ mang d¯eˆ´n cho Vieˆ ˙ n Hàn Lâm moˆ ˙ t su ˙ ’ quan tâm d¯a˘ ˙ c bieˆ ˙ t ba˘`ng vieˆ

˙ c công boˆ´ ra˘`ng tôi d¯ã phát hieˆ ˙ n d¯u’o

˙ ’c trong các công trình cu’a Evariste

✎

Galois lo`’i gia’i hoàn ha’o và sâu sa˘´c cho bài toán noˆ’i tieˆ´ng: khi nào thì phu’o’ng trình d¯a thu´’c gia’i d¯u’o ˙ ’c ba˘`ng ca˘n thu ´’c.

Abel và Galois, hai soˆ´ phaˆ

˙, xuaˆ´t hieˆ˙n

và bieˆ´n maˆ´t nhu’ hai veˆ

˙c Su˙’ toˆ`n ta˙i nga˘´nngu’i cu’a ho

Abel và Galois khép la

ra nhieˆ`u chu’o’ng mo´’i cu’a d¯a

˙p d¯e˜cùng nhieˆ`u u´’ng du

B) CUO ˆ

˙ C D ¯ O `’I CU’A EVARISTE GALOIS

Evariste Galois sinh ngày 25 tháng 10 na˘m 1811 ta

ngoa

˙tngu’o`’i noˆ’i tieˆ´ng, nhieˆ`u na˘m là thi

Tháng 10 na˘m 1823, Galois ba˘´t d¯aˆ`u d¯eˆ´n tru’o`’ng và vào ho

Louis-le-Grand Ta

˙ccách ma

lu’u ban vào na˘m 1826 do thieˆ´u d¯ieˆ’m môn tu tu`’ ho

˙c.

Na˘m 1827, Galois tham gia khóa ho

so´’m say mê môn ho

tru’o`’ng d¯a

Louis-le-Grand, anh tham gia khóa ho

ba˘´t d¯aˆ`u nghiên cu´’u nhu˜’ng d¯eˆ` tài riêng bieˆ

toán cao caˆ´p nhu’ Hình ho

˙ c cu’a Legendre, lí thuyeˆ´t Langrange Richard vieˆ´t veˆ`

˙ ’c khó nhaˆ´t cu’a toán ho ˙ c”.

Su´’c hút cu’a toán ho

xét veˆ` Galois nhu˜’ng na˘m d¯ó d¯eˆ`u mô ta’ anh là moˆ

di

˙ , d¯oˆ ˙ c d¯áo và khép kín” Tháng 4 na˘m 1829, Galois có công trình toán d¯aˆ`u tiên

✎

Hình 5: Chân dung Galois d¯u’o

˙’c anh trai ve˜ la˙i na˘m 1848

xuaˆ´t ba’n trên ta

d¯aˆ`u tháng 6, Galois gu’’i cho Vieˆ

veˆ` nghieˆ

pha’n bieˆ

Tha’m ki

cu’a vi

ba’o hoàng d¯ã lôi cuoˆ´n và góp phaˆ`n d¯aˆ’y d¯eˆ´n nhu˜’ng bi ki

và gia d¯ình anh Cái cheˆ´t cu’a cha gây soˆ´c ma

˙c d¯o`’iGalois sau này

Chı’ vài tuaˆ`n sau cái cheˆ´t cu’a cha, Galois pha’i tra’i qua laˆ`n thi thu´’ hai vào Tru’o`’ngÉcole Polytechnique Và Galois la

thi và d¯oˆ˜ vào tru’o`’ng École Normal Trong kì thi d¯ó, vi

¯ ây là ho˙c sinh duy nhaˆ ´ t tra’ lo`’i raˆ´t toˆ`i câu ho’i cu’a tôi và to’ ra không bieˆ´t

gì ca’ Tru’o´’c d¯ây, nhieˆ`u ngu’o`’i nói vo´’i tôi ra˘`ng ho

˙ c sinh này có na˘ng khieˆ´u d¯a˘

˙ c bieˆ ˙ t veˆ` toán ho ˙ c Tôi thaˆ ˙ t su ˙ ’ nga ˙ c nhiên veˆ` d¯ánh giá d¯ó vì sau kì thi này, tôi cho ra˘`ng anh ta không thông minh la˘´m.

✎

Cuoˆ´i na˘m 1829, Galois la

Cauchy Moˆ

1830, Galois gu’’i công trình “Veˆ` d¯ieˆ`u kieˆ

˙ n moˆ ˙ t phu’o’ng trình gia’i d¯u’o ˙ ’c ba˘`ng ca˘n thu ´’c” cho Vieˆ

Thu’ kí Vieˆ

trình cu’a Galois Nhu’ng Fourier qua d¯o`’i d¯oˆ

trình cu’a Galois không bao gio`’ d¯u’o

bieˆ´t ra˘`ng moˆ

de Férussac có moˆ

elliptic và tích phân aben Galois d¯ã d¯a˘ng 3 công trình trên Bulletin de Férussac

trong tháng 4 na˘m 1830 Trong tháng 6, Galois bieˆ´t tin gia’i thu’o’’ng toán ho

và ba’o hoàng Vua Charles X bi

Louis-Phillipe Các cuoˆ

trên các d¯u’o`’ng phoˆ´ Paris Hieˆ

nhoˆ´t ho

Trèo tu’o`’ng ra ngoài không thành, Galois vieˆ´t moˆ

Écoles d¯eˆ’ pha’n d¯oˆ´i vieˆ

Galois bi

hoàng gia Tuy nhiên, d¯eˆ´n tháng 12 na˘m 1830, pháo binh bi

cu’a nhà vua do lo so

Galois coˆ´ ga˘´ng quay tro’’ la

hút khoa’ng 40 sinh viên Nhu’ng sau buoˆ’i ho

nhanh chóng và cuoˆ´i cùng lo´’p ho

Galois là 2 bài báo nho’ d¯a˘ng trên Annales de Gergonne (tháng 12 na˘m 1830) và trên Gazette des Écoles (tháng 1 na˘m 1831).

Tháng 1 na˘m 1831, theo go

(1781-1840), laˆ`n thu´’ ba, Galois gu’’i công trình nghiên cu´’u veˆ` phu’o’ng trình cu’amình cho Vieˆ

khi pha’i d¯oˆ´i ma˘

vào vòng xoáy cu’a nhu˜’ng ý nghı˜ và hành d¯oˆ

sı˜ quan pháo binh bi

d¯ó Ngày 9 tháng 5 na˘m 1831, nhu˜’ng ngu’o`’i coˆ

vào ngày 15 tháng 6 na˘m 1831 Ngày 14 tháng 7, kı’ nieˆ

Galois la

hòa, vo´’i trang phu

Sainte-Pélagie Laˆ`n này Galois bi

d¯u’o

Vieˆ

Chúng tôi d¯ã coˆ´ ga˘´ng d¯eˆ’ hieˆ’u chu ´’ng minh cu’a Galois Raˆ´t tieˆ´c, laˆ

˙ p luaˆ ˙ n cu’a tác gia’ không rõ ràng và nhu ˜’ng keˆ´t qua’ d¯a ˙ t d¯u’o ˙ ’c chu’a d¯u’ d¯eˆ’ chúng tôi kha˘’ng d¯i

˙ nh d¯u’o

˙ ’c tính d¯úng d¯a˘´n cu’a công trình Tôi cho ra˘`ng tác gia’ nên

có theˆ’ làm di

yêu Stephanie-Felice du Motel, con gái cu’a moˆ

thay, d¯aˆ´y là moˆ

Galois Sau khi d¯u’o

d¯uoˆ’i cô gái no

Trong tho`’i gian này, nghe theo lo`’i khuyên cu’a Poisson, Galois la˘

la

Theˆ´ roˆ`i, Galois bi

1832 vo´’i Perscheux d’Herbinville Nguyên nhân cu’a cuoˆ

˙’csu

Motel Nhu’ tiên d¯oán d¯u’o

˙n d¯eˆ’ vieˆ´t bu´’cthu’ cuoˆ´i cùng cho ngu’o`’i ba

✎

Hình 6: Moˆ

˙t trang ba’n tha’o cu’a Galois

cu’a mình Raˆ´t nhieˆ`u d¯oa

không có d¯u’ tho`’i gian” Sáng hôm sau, Galois bu’o´’c chân d¯eˆ´n d¯aˆ´u tru’o`’ng và keˆ´t cu˙ctiên lieˆ

bi

na˘m 1832, Galois trút ho’i tho’’ cuoˆ´i cùng ta

Montparnasse 2 ngày sau d¯ó.

Anh cu’a Galois và Chavalier gu’’i bu´’c thu’ cùng toàn boˆ

hieˆ’u vì lí do gì, không có moˆ

ma˘´n là sau d¯ó, công trình cu’a Galois d¯eˆ´n d¯u’o

Liouville d¯ã vieˆ´t thu’ thông báo cho Vieˆ

trong keˆ´t qua’ cu’a Galois ; ông d¯ã cho xuaˆ´t ba’n nhu˜’ng phát minh cu’a Galois trênta

Galois keˆ´t thúc bu´’c thu’ d¯i

Xin gu’’i cho Gauss và Jacobi d¯eˆ’ ho ˙ d¯ánh giá công khai, không pha’i veˆ` tính d¯úng d¯a˘´n mà là taˆ`m quan tro

˙ ng cu’a nhu ˜’ng d¯i

˙ nh lí này Tôi hi vo ˙ ng haˆ ˙ u theˆ´ se˜ có ngu’o`’i thaˆ´y d¯u’o ˙ ’c su

˙ ’ sâu sa˘´c cu’a chúng cu˜ng nhu’ gia’i mã d¯u’o ˙ ’c taˆ´t ca’ nhu ˜’ng bí aˆ’n hieˆ

˙ n tho`’i.

Phát minh mà Galois d¯em la

tu

✎

KIE ˆ´ N THU´’C CHUAˆ’N BI

˙

✧✧✧

Trong phaˆ`n Kieˆ´n thu´’c chuaˆ’n bi

˙isoˆ´ d¯a

này deˆ˜ dàng tìm thaˆ´y trong các giáo trình d¯a

thu´’c sâu sa˘´c ho’n veˆ` Lí thuyeˆ´t nhóm caˆ`n thieˆ´t se˜ d¯u’o

0.1 TRU’O `’NG D ¯ A ˘

˙ C SO ˆ´ CU’A TRU’O`’NG.

D

¯ i ˙ nh nghı˜a. Tru’o`’ng là moˆ

˙t vành giao hoán có d¯o’n vi

˙ khác 0 và mo˙i phaˆ`n tu’’khác 0 d¯eˆ`u kha’ nghi

Tu’o’ng tu

Ví du

˙ 2 Vành thu’o’ng Zn = Z/nZ là moˆ

D

¯ i ˙ nh nghı˜a.

Moˆ

˙t d¯oˆ`ng caˆ´u tru’o`’ng là moˆ

˙t d¯oˆ`ng caˆ´u vành bieˆ´n d¯o’n vi

˙thành d¯o’nvi

˙ ’ d¯a˘’ng caˆ´u) tru’o`’ng Taˆ˙p taˆ´t ca’ các tu˙’ d¯a˘’ng caˆ´u tru’o`’ng vo´’i phép toántích các ánh xa

Nhaˆ

˙ n xét 0.2. Mo˙i d¯oˆ`ng caˆ´u tru’o`’ng d¯eˆ`u là d¯o’n caˆ´u

¯ i ˙ nh nghı˜a. Moˆ˙t vành con A chu´’a phaˆ`n tu’’ 1 cu’a tru’o`’ng F d¯u’o

˙’c go˙i là tru’o`’ng con neˆ´u A oˆ’n d¯i

˙nh vo´’i phép laˆ´y phaˆ`n tu’’ nghi

˙ch d¯a’o.

Nhaˆ

˙ n xét 0.3.

(i) Moˆ

(ii) Giao cu’a moˆ

ho

• Ker(ϕ) 6= 0 Do Z là mieˆ`n nguyên chính, ta có Ker(ϕ) = (p) vo´’i p > 0 là soˆ´

˙’c go˙i là d¯a˘˙c soˆ´ cu’a tru’o`’ng F

✎

• Ker(ϕ) = 0, tu´’c là 0là soˆ´ nguyên duy nhaˆ´t d¯eˆ’m 1 F = 0 Khi d¯óϕ mo’’ roˆ

tru’o`’ng có d¯a˘ ˙ c soˆ´ 0

D

¯ i ˙ nh nghı˜a. Cho F là moˆ˙t tru’o`’ng Giao cu’a taˆ´t ca’ các tru’o`’ng con cu’a F go

˙i là

tru’o`’ng con nguyên toˆ´ cu’a F

Tu`’ keˆ´t qua’ trên, ta có:

φ(m) = φ(1 + · · · + 1) = mφ(1) = m1 F

Ho’n nu˜’a, φ(−m) = −φ(m) = −(m1 F ) = (−m)1 F Hay

˙ 1 6= 0 Ký hieˆ˙u A[x] là vành các d¯a thu´’c

˙ ng duy nhaˆ´t thành d¯oˆ`ng caˆ´u vành ϕ tu`’ A[x] vào R tho’a

ϕ(x) = α và ϕ(a) = τ (a), ∀ a ∈ A.

Meˆ

˙ nh d¯eˆ` 0.7. Cho f, g ∈ A[x] và g 6= 0 có heˆ

˙ tu’’ daˆ˜n d¯aˆ`u kha’ nghi ˙ ch Khi d¯ó, toˆ`n ta

˙ i duy nhaˆ´t q, r ∈ D[x] sao cho f = gq + r vo´’i r = 0 hay deg(r) < deg(g) D ¯ a thu ´’c q (tu’o’ng u´’ng r) go

˙ i là thu’o’ng (tu’o’ng u´’ng du’ ) cu’a phép chia (Euclide) f cho g.

Vành d¯a thu´’c trên tru’o`’ng d¯óng moˆ

Heˆ

˙ qua’ 0.9. Cho f, g ∈ F [x] Ký hieˆ ˙ u d = (f, g) Khi d¯ó toˆ`n ta ˙ i các d¯a thu ´’c

s, t ∈ F [x] sao cho sf + tg = d.

Vo´’i Maple, các thuaˆ

cho g = x3 − x + 3, ta có theˆ’ dùng leˆ

˙nh Rem và Gcdex tu’o’ng u´’ng

˙i là chuaˆ’n ta˘´c neˆ´u heˆ˙ tu’’ daˆ˜n d¯aˆ`u cu’a f ba˘`ng 1

Meˆ

˙ nh d¯eˆ` 0.11. Cho f ∈ Z[x] là moˆ

˙ t d¯a thu ´’c chuaˆ’n ta˘´c Neˆ´u g ∈ Q[x] là moˆ

˙ t u’o´’c chuaˆ’n ta˘´c cu’a f trong Q[x] thì g ∈ Z[x].

Chu ´’ng minh Xem BT 0 14

˙ nh d¯eˆ` 0.12 (Tiêu chuaˆ’n baˆ ´ t kha’ quy cu’a Eisenstein).

Cho f = a n x n + · · · + a0 ∈ Z[x] Neˆ´u toˆ`n ta

˙ i moˆ ˙ t soˆ´ nguyên toˆ´ p sao cho:

p - a n , p|a i , ∀ i = 0, , n − 1 và p2 - a0 thì f baˆ´t kha’ quy trong Q[x]

˙nh factor hay Factor.

˙ nh d¯eˆ` 0.14. Cho f ∈ Z[x] Neˆ´u toˆ`n ta

˙ i moˆ ˙ t soˆ´ nguyên toˆ´ p không chia heˆ´t heˆ ˙ tu’’ cao nhaˆ´t cu’a f và f baˆ´t kha’ quy trong Zp [x] thì f baˆ´t kha’ quy trong Q[x]

Chu ´’ng minh Xem Bài taˆ

Chú ý ra˘`ng, meˆ

xem Bài taˆ

thieˆ

a) Nhóm dihedral D 2n

Nhóm dihedral D 2n còn go

Go