C thuộc cung nhỏ MB C khác B, M, AC cắt MN tại D a Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp b Chứng minh AD.AC=R2 c Khi C chạy trên cung nhỏ MB chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác[r]
Trang 1THI THỬ VÀO THPT LẦN 12
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1 ( 1,5 điểm)
a) Tính : A=2√16 −√49
b) Rút gọn biểu thức B=(1+a+√a
√a+1)(1 − a −√a
√a −1) với a ≥ 0 ;a ≠1
Câu2 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình : 2 x2−7 x+3=0
b) Giải hệ phương trình
¿
x+3 y =4
x + y=2
¿ {
¿
c) Cho phương trình x2 +2(m+1)x +m2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2 ;
Câu 3 (1,5 điểm)
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m2 Tính diện tích của mảnh vườn
Câu 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi I là trung
điểm OA, qua I kẻ dây MN vuông góc với OA C thuộc cung nhỏ MB (C khác
B, M), AC cắt MN tại D
a) Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp
b) Chứng minh AD.AC=R2
c) Khi C chạy trên cung nhỏ MB chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD luôn thuộc đường thẳng cố định
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
a b b c c a 2
- Hết
-Họ và tên thí sinh :………Số báo danh…………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ VÀO THPT LẦN 12
Môn : TOÁN
1
b) B=(1+√a (1+√a)
√a+1 )(1−√a (√a −1)
2
a) Ta có: Δ = 49 – 24 = 25 > 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 7 − 5
4 =¿
1
2 ; x2 =
7 +5
4 =¿ 3 ;
0,5
b) Ta có:
¿
x+3 y =4
x + y=2
¿ {
¿
⇔
¿
2 y=2
x+ y=2
¿ {
¿
⇔
¿
y=1 x+1=2
¿ {
¿
⇔
¿
x =1 y=1
¿ {
¿
0,75
c) Δ ’ = (m+1)2 – m2
= m2 + 2m + 1 – m2 = 2m + 1
Δ ’ > 0 ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m > - 12 (*)
0,5
Vì phương trình có 1 nghiệm là -2 nên thay x = -2 vào (1) ta được:
(-2)2 + 2(m+1)(-2) + m2 = 0
⇔ – 4m + m2 = 0
⇔ m(m - 4) = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = 4 (**)
0,5
Từ (*) và (**) suy ra m = 0 ; m = 4 thỏa mãn đề bài 0,25
3
Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh vườn ( 0< x < 25) 0,25 Chiều dài của mảnh vườn là: 50 - x
Diện tích của mảnh vườn là: x(50 - x)
Nếu tăng chiều rộng 3m thì chiều rộng mới là x + 3 (m);
Giảm chiều dài 4m thì chiều dài mới là 46- x (m)
Diện tích mới của mảnh vườn là: (x+3)(46 - x)
Theo bài ra ta có phương trình: x(50 - x) - (x + 3)(46 - x) = 2
0,75
50x - x2 - 43x + x2 – 138 = 2 7x = 140 x = 20 (TM)
Vậy diện tích của mảnh vườn là 20(50-20)=600 m2 0,5
Trang 3Vẽ hình
0,5
a) Ta có : ∠ ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
hay ∠ DCB = 900;
Lại có ∠ DIB = 900 (gt)
Tứ giác BIDC có ∠ DCB + ∠ DIB = 900 +900= 1800
Tứ giác BIDC là tứ giác nội tiếp
1
b) Xét Δ AID và Δ ACB có ∠ B chung và ∠ AID =
∠ ACB = 900 Nên Δ AID dồng dạng Δ ACB(g.g) ⇒ AI
AC=
AD AB
<=> AD.AC = AI.AB <=> AD.AC = R2 2R = R2 ;
1
c) Dễ thấy Δ AMD đồng dạng với Δ ACM (g.g)
⇒ AM
AC =
AD
AM ⇒ AM2=AC.AD ⇒ AM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD mà AM vuông góc với
MB suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD luôn
thuộc đường thẳng BM cố định
1
5
Áp dụng BĐT Cô Si cho các số thực dương a, b, c ta có:
2
2
2
0,5
Suy ra
a b c (a b c) (a b b c c a) a b c 1
Vậy
a b b c c a 2
0,5
D H
N
M
I
A
C